GHEORGHE ADALBERT SCHNEIDER
MEMoRAToR $I iNunumanDE MATEMATICA
TRIGONOMETRIE $I GEOMETRIEPENTRU LICEU
EDITURA HYPERION
CUPRINS
Trigonometriel.l Unitati de masura pentru unghruri gi arce . . . .
I .2 Rezolvarea triunghiului dreptunghic1.2.1 Func{iile trigonometrice ale unui unghi
asculit al unui triunghi IBC dreptunghicin A . . , .
1.2.2 Valorite funcliilor trigonometrice pentru
unghiurile uzuale ale unui triunghi dreptunghic . . .
1.2,3 Cazwi de rezolvare a triunghiului drep-
tunghic1.2.4 Egalitdli tngonometrice intr-un triunghi
dreptunghic1.2.5 Aplicalii
1.3 Cercul trigonometric. Functii trigonometrice,I .3. I Cercul trigonornetric1.3.2 Funclii trigonometrice
1.4 Periodicitatea, paritatea ;i imparitatea funcliilortrigonometrice
I .4,1 Periodicitatea funcliilor trigonometrice .
1.4.2 Paritatea qi imparitatea funcliilor trigono-metrice
5 Reducerea Ia primul cadran .
6 Graficele funcliilor trigonometrice . .
7 Formule de leg[tur5 intre funcliilemetnce1.8 Formule pentru functiile trigonometrice ale
surnei si dilerenlei de unghiuri1.9 Formule pentru funcliile trigonometrice ale
unghiului dublu, ale unghiului triplu gi ale jumAtatii
89
6
6
8
8
9
J
J
4
t212
13
1J
15
18
20
trigono-
unui unghi 231.10 Transforrnarea sumei sau diferen{ei de func1iitrigonomeftice in produs 25l. I 1 Transformarea produsului de functiitrigonometrice in sumd 26l.l2 ldentiteli trigonometrice 27l.l3 Transformarea unei expresii trigonometriceintr-un produs de alte expresii trigonometrice . . . . 321.14 Expresii care nu depind de parametri 33I . 15 Funclii trigonometrice inverse . 341.16 InegalitSli trigonornetrice . . . .. 361.17 Ecualii trigonometrice 371.18 Aplicaliile trigonometriei in algebri . .. . . . 44
1.18.1 Numere complexe sub form6 trigono-metricd 44
1.18.2 Operafii cu numere complexe sub formitrigonometricd 45
1.18.3 Rddicinile de ordin n ale unui numircomplex 47
1.18.4 Ecualii binomel.l9 Aplicaliile trigonometriei in geometrie . . . .
Geometrie2.1 Paralelism qi calcul vectorial
2. 1.1 Segmente orientate2.1.2 Vectori. Operalii cu vectori2.1.3 Descompunerea unui vector dupe directii
date
2. 1.4 Vectori coliniari2.1.5 Vectorul de pozilie al urui punct . . . . .
2. 1.6 T eorema bisectoarei, vectorul de pozilieal centrului cercului inscris intr-un triunghi. Relatialui Sylvester
2.1.7 Teorema lui Menelaus. Teorema lui Ceva_
48496l6t61
64
6970
72
74t6
90
2.1.8 Produsul scalar a doi vectori
2.2 Elemente de geometrie analiticd2.2,1 Reper cartezian. Coordonate carteziene . .
2.2.2 Coordonatele unui vector. Operalii cu
vectori ln coordonate carteziene2.2,3 Coordonatele puncfului care imparte un
segment intr-un raPort dat ' . .
2,2,4 Ecualii ale drePtei in Plan .
2,2,5 Coliniaritate,concurenta,... .
2.2,6Paralelism,perpendicularitate ...,',..2.2.7 Calcule de distanle qi arii .
80
777979
8l8283
8486
91
1. Trigonometrie1.1 Unitn{i de misurl pentru unghiuri Ei arce
Definitie. Unghiul reprezinth figura geometricd formatd din
c:u6 semidrepte inchise, care au aceeaqi origine'
Defini(ie, Gradul sexagesimal reprezintd misura unghiului
:-::i cu a 180 a parte dintr-un unghi cu larurile in prelungire Ei
'rrrirrntA unilatea de nlSsurd pcnlru unBhiuri. ^
Valoarea maximd a rnhsurii unui unghi este I'800'
Defini{ie. Fiind dat un cerc de razd r, un arc mic lB de pe
3:3jt cerc are misura de I radian, dacd lungimea arcului lB este
:::.-i cu r,Un cerc are m[sura in radiani egalb cu 2n'
Exemple: ,o' =:, qs' =X,soo =;.,1aoo = n,"'
Fiind dat un cerc Ei un arc al cercului care are misura in grade
r.".i n si misura in radiani egal6 cu a, atunci are loc relalia:
fia) Pentru un arc de 300, mdsura in radiani este:
: ?entru un arc de 900, misura in radiani: a
Exemple
:r'300I B0u
1800 ,a
r'900 fi*
1800 2'
F:ind dat un cerc de razd r, do'Jhpuncte pe cerc A' B qt a
mi:-- in radiani a arcultti AB, atunci are loc fonnula:
l(arcAB) = r'q'f xemplu: a) Fiind dat un cerc de tazd 2 crn Ei douh puncte l'
i :,: cerc astfel inc6t misura in radiani a arcului lB este n' atunci
-,i,.:."u arcului de cerc AB este: I(arc '48) = 2 ' r = Ztr'
: I ungimea unui cerc de razd r esle Zftr'
TT
6'
1.2 Rezolvarea triunghiului dreptunghic
Defini{ie. A rezolva un triunghi dreptunghic inscatrrrrd adetermina lungimile tuturor laturilor Ei mdrimile tuturorunghiurilor sale atunci cAnd se cunosc o parte din aceste mirinti.
1.2.1 Func{iile trigonometrice ale unui unghi ascu{it al unuitriunghi ABC drepttnghic in.4
bsinB =-
ac
sinC =-ab
tgB =-,-cc
ccosB=-
bcosC=-
ac
'b" b
bctgB =i, ctgd = -
1.2.2 Valorile func{iilor trigonometrice pentru unghiurileuztlrale ale unui triunghi dreptunghic
TtLnl7o.'t:sin
U = 7,sin; = ,,sin i= T
rl3n.'12n7cos6= 2,cos4= 2,cosl:,
rJilrft,ei= i,rei = r, te5 = V3
tt-fttt/3ctg6 v3,tB7=1,tg,T= 3
1,2.3 Cazuri de rezolvare a triunghiului dreptunghic
a) Se cunosc catetele D gi c. Se aplicd teorema lui Pitagora qi se
obline: a : "l82 +?i tcl = b-,
de unde rezulrd B. Apoi avem
C=900-8.Exemplu: Se dau b = 5.,6; c = 5' Atunci q -.$TTVT=-
= \ni +2s= VlTo = 10. ts B :b- =f : V= = B = 600'
C=900-B=900-600=300.b) Se cunosc ipotenuza a qi cateta b. Se apticd teorema lui
Pitagora qi se obline c = ",1FZF; sin B = l, d" .,rd" teztltd B,
apoiC=9Oo-8.
Exemplu. Se dau a = 6,b = 3. Atunci c : Gr=12 = 3V5;31
sinB = a= i*B = 300,C = 900 - 300 = 600.
c) Se cunosc ipotenuza a gi un unghi ascu{it, de exemplu B. Atunci
avem: b = a sin B,c = acosB, C = 900 - B.
Exemplu: a = 7O,B = 300, Atunci b = 10 'sin 300 = 5;
-r;c = 10.cos300 = ro ;= s.V5; C = 900 -300 = 600.
d) Se cunosc o cateta qi un unghi ascu{it, de exemplu b, .8. Atunci:h
"= O;;,c = b ctgB ; C =900 - B.
Exemplu: b = 4,8= 450. Atunci, =;;h : +^12;
c = 4' ctg45o = 4; C =900 *450 = 450'
1.2.4. Egalitirli trigonometrice intr-un triunghidreptunghic
intre laturile qi unghiurile unui triunghi dreptunghic existidiverse egalitd{i, care se demonstreazd in general folosindformulele date de functiile trigonometrice intr-un triunghidreptunghic qi / sau teorema lui Pitagora.
Exemplel
1. sinB + cosB = sinC * cosC;bccb
Solu{ie. sinB =;; cosB : - ; sin C :;, cos C = -.
sinB * cosB = sinC * cosC<+ L *l :! *1.aaaa
2. sinzA + sin2B + sin2C = 2'.
Solu(ie. sin2,4 + sin2B + sin2C = 2 <+bz c2
<+ 1 + :;*-; = 2 <> b2 + c2 : a2,adev5rat5.az a'
3. (1 +costs)(l * cosc) -@* b * c)z
.2a2
Solufie. (1 + cosB)(1 *cosC) = 1 *cosB * cosC tc b bc a2+a(b+c)+bc
*cosBcosC=1+-+;+A=--- ,, :
2a2 + za(b + c) + Lbc -az
+ a2 + 2a(b + c) + 2bc _2a2 2aZ
(a+b+c)z= .., = __
zaz_.1.2.5 Aplica{ii
l. SI se rezolve triunghiul dreptunghic lBC, qtiind ca:
b+c=79ib*c=1.
Solu(ie. Rezolv6nd sistemul format din cele doui relaliioblinem b = 4 $ic = 3. Din teorema lui Pitagora, rezultd a = 5,
43Aooi sinB=-si sinC=-" 5 '' '"'" 5'
2, SI se rezolve triunghiul dreptunghic l-BC, gtiind cd B = 2Cgi cd mediana AM = 1.2.
Solutie, $tim cd BC : 2' AM :2'12 = 24.intre unghiuriavemrelaliile: B : 2C,B * C = 900,deundeB = 600, C = 300.
BC ,11Atunci AB =--: 1,2 si AC = BC sin 600 = 24'f = 12,'h.2Z
3. Si se rezolve triunghiul ABC dreptunghicin A, ptiind cd
indllimea AA' = 5 Ei C : 28.
Solu(ie, Avem cd: B * C = 900 qi C = 28 ,i prin rezolvareasistemului oblinem B = 300 qi C = 600.
Din triunghiul dreptunghrc AA'B avem:
AA, 5AB = 'i"=
= ] = 10, iar din triunghiul dreptunghic AA'C,sin B -l
2AA' 5 10 20
AC -_
- =: =.^: si BC :2AC =:.sinC VS VS' VS.T
4. Sa se arate cd intr-un triunghi dreptunghic ABC este
adeviratd egalitatea:sin2B(tg B + tg C) = tg B,
Solu{ie. sinzB(tg B + tg C) = tg B <+b2 tb c\ b b2lb2 + cz) b()-l-*-l--€)---c)az \c b) c a'bc c
b(bz + c2) b azb b(2---*e-_--j---.
A.C C A"C C
1.3 Cercul trigonomctric. Funcfii trigonometricc1.3.1 Cercul trigonometric
Defini{ie. Se numeEte cerc trigonometric, un cerc de razd 1.
inzestrat cu sens pozitiv sau sens trigonometric ( sens contraracelor de ceasomic ) qi un punct I fixat numit origine.
Fiind dat un cerc trigonometric de centru O Ei origine A, vomalege un reper cartezian, pe care-l vom numi reper cartezianstandard dupd cum trmeazd:
- originea axelor de coordonate va fi punctul O;* axa Ox va fi dreapta O,4, astfel incdt vectorul D7 sd aibd sensutpozitiv;' axa Oy va fi dreapta OB perpendiculardpe OA, cu punctul B pecerc, astfel incAt arcul mic AB sd pAstreze sensul trigonolnetric.
Notdm cu ,4'gi respectiv B' punctele diametral opuse ale lui IEi respectiv B in cercul trigononretric.
Dreptele AA' qi B B' impart cercul trigonometric in pahu pdr{irrunrile cadrane. dupd cum unrreazl:
- cadranul I - oblinut prin parcurgerea in sens trigonometric de
la A la B, cotespunde intervalului (0, |) ;
- cadranul II - oblinut prin parcurgerea in sens trigonometric de
la B l.a A' , corespunde intervalului (1,") t