PRESENTED byDRS. MARZUKI SILALAHI

METODE NUMERIK

Teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian, sehingga dapat diselesaikan melalui operasi aritmatika.

Tujuan :

Mencari solusi pendekatan (aproksimasi) dari masalah matematika tersebut.

Kenapa : karena solusi eksaknya sulit atau bahkan tidak dapat dicari.

Ide :

Iteration (repetition)

Aproksimasi dari sebuah fungsi rumit

dengan sebuah fungsilinier

Pengulangan pola tindakan atau proses

Pemecahan persaman : x = f(x)

Pemecahan persamaan bentuk : f(x) = 0Aproksimasi kurva dengan TANGENTnya pada titik (xo, f(xo))

Iterasi akan semakin KONVERGEN menuju solusi masalah yang bersangkutan.

Dapat mencari solusi praktis (aproksimasi) dari masalah yang sulit atau bahkan tidakdapat dicari solusi eksaknya

Mengandung kesalahanAda sejumlah besar iterasi.

Keuntungan

kerugian

Peranan komputer :Kesalahan dapat diperkecil dan sejumlah besar iterasi dapat diatasi

Menggunakan sistem binary digit (bit) sedangkan sehari-hari menggunakan sistem desimal

Kesalahan

1. Kesalahan absolut (mutlak)

eabs = x – x’=nilai sebenarnya-nilai pendekatan

2. Kesalahan relatif

ercl= eabs/x’

Harga sebenarnya dikurangi dengan harga pendekatan

Untuk bilangan yang mendekati 1, kesalahan relatif mendekati kesalahan Absolut

Untuk bilangan yang tidak mendekati 1, kesalahan relatif tidak mendekati kesalahan absolut

a.x = 0,00005 dengan pendekatan 0,00006kes.absolut = - 0,00001kes.relatif = - 1667

b. x = 1,0000 dengan pendekatan 1,0002kes.absolut = - 0,0002kes.relatif = - 0,0002

c. Mis: perhitungan menghasilkan : -3,60016<x<-3,60013 maka titik tengahnya = -3,600145sehingga x dapat dituliskan : x = -3,6001450,000015.Harga mutlak kesalahan absolut = 0,000015Harga mutlak kesalahan relatif = 0,000417%.

Contoh :

Jenis kesalahan :1. INHEREN (bawaan)

disebabkan : data yang diperoleh adalah

* data aproksimasi

* keterbatasan alat komputasi

* kalkulator atau komputer (akibat pembulatan karena jumlah digit terbatas)

* pengukuran yang tidak pasti akibat salah baca

* salah memasukkan data

* kurang mengerti hukum fisis

2. Pemotongan (truncation)

disebabkan : pemotongan proses matematis yang tidak berhingga atau karena tidak semua bit

digunakan

Pembulatan (rounding)Untuk membulatkan sampai ke n angka signifikan, perhatikan sampai dengan (n+1) angka signifikan.

Chopping

penghapusan digit setelah n angka signifikan

Gunakan aturan sebagai berikut :Untuk bilangan yang kurang dari 5, angka n tidak berubah.Untuk bilangan yang lebih dari 5, angka n bertambah satu satuan Untuk bilangan yang tepat = 5, angka ke n bertambah satu satuanBilangan hasil pembulatan tersebut disebut : teliti sampai n angka signifikan”

Contoh : = 3,141592654…pembulatan 4 desimalnya : 3,1416chopping sampai 4 desimal : 3,1415

Normalisasi :Proses penulisan bilangan dengan mengggunakan mantissa dan eksponen, dengan syarat digit terdepan mantissa (setelah tanda koma desimal) 0.

Contoh :0,0002354 ditulis : 0,2354.10-3 (4 desimal).

mantissa = 0,2354 ; eksponen = -3165,2 ditulis : 0,1652.103 (4 desimal).

mantissa = 0,1652 ; eksponen = 3

Penjumlahan Dua Bilangan riildalam komputer dilakukan dengan menyamakan eksponennya menurut pangkat yang terbesar

Contoh :x =165,2 ; y = 21,00, maka : x y = 0,1652.103 0,0210.103

= 0,1862.103.

Carilah kesalahan chopping dan rounding untuk : x = 0,7324.103 0,8261.10-1

Kesalahan relatif akibat Chopping = 0,1128.10-3

Kesalahan relatif akibat rounding = -0,2374.10-4.

Kesalahan akibat rounding lebih kecil daripada kesalahan akibat chopping

Prosedurnya:

Study kasus:F(x) = x4 – 9x3 – 2x2 120x – 130

untuk harga x = -10, -9, …,9,10Mencari harga x untuk polinomial sehingga nilainya nol.

Membagi dua interval (metode membagi dua interval) Mencari pendekatan akar Metode pendekatan beruntun Modifikasi metode pendekatan beruntun Metode Newton – raptoson Akar yang hampir sama besar dsb

Analisis kesalahan dalam hasil numerikdasar perhitungan yang baik

Karena : harga masukan jarang mempunyai nilai eksak (pasti). didasarkan pada percobaan atau taksiran & proses

numerik itu sendiri mempunyai berbagai macam kesalahan).Contoh :1. Pers: x2 0,4002x 0,00008 = 0

dengan menggunakan empat digit “floating point aritmatic” salah satu akarnya : x = -0,00015 (tanpa ketelitian)muncul kesalahan yang disebabkan oleh empat digit “floating point” aritmatic sebesar 25%.dengan dealapan digit = x = -0,0002

2. Deret Taylor : sinx = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + …hanya berlaku untuk sudut terbatas. Kesalahan pemendekan deret yang terjadi karena menghentikan penjumlahan.

Secara manual

Dengan komputer