7/22/2019 Metodo de Marcus
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Facultad de Ingeniera
Universidad Nacional de La Plata
ESTRUCTURAS IIIPara alumnos de la carrera de Ingeniera Aeronutica y Mecnica de la UNLP
METODO DE MARCUSpara la resolucin de placas planas rectangulares
Autores:
Ing. Alejandro J. PatanellaIng. Marcos D. ActisIng. Juan P. Durruty
-2008-
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Estructuras III
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METODO DE MARCUS PARA LA RESOLUCION DE
PLACAS PLANAS
CALCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS
Este mtodo se basa en el clculo del Laplaciano doble por el mtodo de diferencias
finitas. Para ellos se toma a la expresin,
D
q
yx
w
y
w
x
w=++
22
4
4
4
4
4
2
como el producto de dos Laplacianos, es decir,
Dq
yw
xw
yxw =
+
+=
2
2
2
2
2
2
2
222
El mtodo resuelve por separado cada uno de estos Laplacianos utilizando una variable
llamado operador de Marcus (M), de forma tal que,
( )
+=
+
y
w
x
wD
y
22
1+
MM=M
x
entonces
+y
w
x
w
D
22=
M
y
+
yxq
MM=
22
Primeramente se resuelve con un operador simple
kilkkk MMMMMSq 4112
+++= +
l
k-1
i
k+1kS
S
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Estructuras III
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Para ver ms claramente el mtodo se calcular los desplazamientos w, los
momentosMx yMy, y los esfuerzos de corte Qxy Qyde la siguiente placa;
Para simplificar el clculo solo se considerar un cuarto de la placa debido a que el
resultado obtenido en la misma se puede llevar a la totalidad de la placa debido a las
condiciones de simetra existentes:
a/4a/4
b
b
b/3
b/3
aa
espesorh
cteq
baS
a
b
=
=
==
=
=
64
3.0
5.1
1
5
9
13
17
21
2
6
10
14
18
22
3
7
11
15
19
23
4
8
12
16
20
24
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Planteando las ecuaciones del operador de Marcus para cada nodo se obtiene un
sistema de 24ecuaciones con 24incgnitas.
1.- 2M2+ M5- 4M1= -q S2
2.- M3+ M1+ M6- 4M2= -q S2
3.- M2+ M4+ M7- 4M3= -q S
2
4.- M3+ M8- 4M4= -q S2
5.- 2 M6+ M1+ M9- 4M5= -q S2
6.- M2+ M10+ M5 M7- 4M6= -q S2
7.- M6+ M8+ M3 M11- 4M7= -q S2
8.- M7+ M4+ M12 - 4M8= -q S2
9.- 2M10+ M5+ M13- 4M9= -q S2
10.- M9+ M11+ M6 M14- 4M10= -q S2
11.- M10+ M12+ M7 M15- 4M11= -q S2
12.- M11+ M8+ M16 - 4M12= -q S2
13.- M9+ M17+ 2 M14 - 4M13= - q S
2
14.- M10+ M18+ M13 M15- 4M14= - q S2
15.- M14+ M16+ M11 M19- 4M15= -q S2
16.- M15+ M12+ M 20 - 4M16= -q S2
17.- 2 M18 + M13+ M21 - 4M17= 0
18.- M17+ M19+ M14 M22- 4M18= - q S2
19.- M18+ M20+ M15 M23- 4M19= -q S2
20.- M16+ M24+ M19 - 4M20= -q S2
21.- 2 M22 + 2 M17- 4M21= 0
22.-M
21+M
23+ 2M
18 - 4M
22= - q S
2
23.- 2 M19+ M22+ M24 - 4M23= -q S2
24.- M23+ 2 M19- 4M24= -q S2
Escribiendo el sistema en forma matricial { [A] [x] = [B] }.
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-4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 3,6421404
1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 3,59713185
0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2,68060333
0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1,54816687
1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 6,37429791
0 1 0 4 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 7,06578365
0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 4,5771146
0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2,51206414
0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 6,72348393
0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 6,52192278
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 = 5,05000729
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2,92297509
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -0,5 6,47579225
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0,75 6,24841626
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 5,17801668
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 3,12982894
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 6,18285257
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 -0,5 6,06793332
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 -1 5,28381421
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 -1 3,41832399
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 -4 2 0 0 0 6,1197514
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 -4 1 0 -0,5 6,05665023
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 -4 1 -1 5,47098287
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 -4 -1 4,25965282
Siendo el valor del operador deMarcusen cada nodo,
M1= 3.642 q S2 M9= 6.723q S
2 M17= 6.182q S2
M2= 3.597 q S2 M10= 6.521q S
2 M18= 6.067q S2
M3= 2.680 q S2 M11= 5.05q S
2 M19= 5.283q S2
M4= 1.548q S2 M12= 2.922q S
2 M20= 3.418q S2
M5= 6.374q S2 M13= 6.475q S
2 M21= 6.119q S
2
M6= 7.065q S2 M14= 6.248q S
2 M22= 6.056q S
2
M7= 4.577q S2 M15= 5.178q S
2 M23= 5.470q S
2
M8= 2.512q S2 M16= 3.129q S
2 M24= 4.259q S2
Ahora resolviendo la ecuacin,
+
y
w
x
w
D
22=
M
siendo,
( )2
3
112
=hE
D
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Resolviendo a travs de
-MkS2/ D= w k+1 + w k-1 + w l + w i - 4 w k
Planteando las ecuaciones para cada nodo se obtiene un sistema de 24ecuaciones
con 24incgnitas.
1.- 2w2+ w5- 4w1= -3.642 q S4/D
2.- w3+ w1+ w6- 4w2= -3.597 q S4/D
3.- w2+ w4+ w7- 4w3= -2.680 q S4/D
4.- w3+ w8- 4w4= -1.548 q S4/D
5.- 2 w6+ w1+ w9- 4w5= -6.374 q S4/D
6.- w2+ w10+ w5 w7- 4w6= -7.065 q S4/D
7.- w6+ w8+ w3 w11- 4w7= -4.577 q S4/D
8.- w7+ w4+ w12 - 4w8= -2.512 q S4/D
9.- 2w10+ w5+ w13- 4w9= -6.723 q S4/D
10.- w9+ w11+ w6 w14- 4w10= -6.521 q S4/D
11.- w10+ w12+ w7 w15- 4w11= -5.050 q S4/D
12.- w11+ w8+ w16 - 4w12= -2.922 q S4/D
13.- w9+ w17+ 2 w14 - 4w13= -6.475 q S4/D14.- w10+ w18+ w13 w15- 4w14= -6.248 q S
4/D
15.- w14+ w16+ w11 w19- 4w15= -5.178 q S4/D
16.- w15+ w12+ w 20 - 4w16= -3.129 q S4/D
17.- 2 w18 + w13+ w21 - 4w17= - 6.182 q S4/D
18.- w17+ w19+ w14 w22- 4w18= -6.067 q S4/D
19.- w18+ w20+ w15 w23- 4w19= -5.283 q S4/D
20.- w16+ w24+ w19 - 4w20= -3.418 q S4/D
21.- 2 w22 + 2 w17- 4w21= -6.119 q S4/D
22.- w21+ w23+ 2 w18 - 4w22= -6.056 q S4/D
23.- 2 w19+ w22+ w24 - 4w23= -5.470 q S4/D24.- w23+ 2 w19- 4w24= -4.259 q S
4/D
Escribiendo el sistema en forma matricial { [A] [x] = [B] }.
m
lk-1
i
k+1kS
S
n
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-4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3,64 18.2488325
1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3,6 17.6386756
0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2,68 12.4837155
0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,55 6.44356101
1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6,37 34.0758385
0 1 0 4 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -7,07 36.2250224
0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4,58 23.1720222
0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2,51 11.7423617
0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6,72 39.2301788
0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6,52 37.1735255
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5,05 = 27.6598746
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -2,92 14.8417993
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -3,24 41.774342
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -4,69 39.0571034
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 -5,18 30.4021441
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 -3,13 17.0419858
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 -6,18 43.2771899
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 -3,03 40.6299859
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 -5,28 32.6715959
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 0 0 0 1 -3,42 19.794171
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 -4 2 0 0 -6,12 43.8915932
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 -4 1 0 -3,03 41.4461209
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 -4 1 -5,47 34.5762685
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 -4 -4,26 26.0447783
Siendo el valor de la deflexin en cada nodo,
w1= 18.248 q S4/D w9= 39.230q S
4/D w17= 43.277q S
4/D
w2= 17.639 q S4/D w10= 37.173q S
4/D w18= 40.629q S
4/D
w3= 12.483 q S4/D w11= 27.659q S
4/D w19= 32.671q S
4/D
w4= 6.443q S4/D w12= 14.841q S
4/D w20= 19.794q S
4/D
w5= 34.075q S4/D w13= 41.774q S
4/D w21= 43.891q S
4/D
w6= 36.225q S4/D w14= 39.057q S
4/D w22= 41.446q S
4/D
w7
= 23.172q S4/D w
15= 30.402q S
4/D w
23= 34.576q S
4/D
w8= 11.74q S4/D w16= 17.041q S
4/D w24= 26.044q S
4/D
Graficando para la placa entera
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0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -5.86640165 -11.3879762 -16.118084 -16.6835545 -16.118084 -11.3879762 -5.86640165 0
0 -10.568087 -20.9585733 -32.9016525 -30.9560714 -32.9016525 -20.9585733 -10.568087 0
0 -13.0180456 -24.54989 -33.2624883 -35.1678168 -33.2624883 -24.54989 -13.0180456 0
0 -14.1731265 -26.1376623 -34.181071 -36.745334 -34.181071 -26.1376623 -14.1731265 0
0 -14.6645997 -26.8126897 -34.6941697 -37.3404918 -34.6941697 -26.8126897 -14.6645997 0
0 -14.7987399 -26.9984579 -34.8481878 -37.4988966 -34.8481878 -26.9984579 -14.7987399 0
0 -14.6645997 -26.8126897 -34.6941697 -37.3404918 -34.6941697 -26.8126897 -14.6645997 0
0 -14.1731265 -26.1376623 -34.181071 -36.745334 -34.181071 -26.1376623 -14.1731265 0
0 -13.0180456 -24.54989 -33.2624883 -35.1678168 -33.2624883 -24.54989 -13.0180456 0
0 -10.568087 -20.9585733 -32.9016525 -30.9560714 -32.9016525 -20.9585733 -10.568087 0
0 -5.86640165 -11.3879762 -16.118084 -16.6835545 -16.118084 -11.3879762 -5.86640165 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Curvas de nivel de losdesplazamientos en z
de la placa
Deformada de la
placa
Nota:
A los valores ledos de los grficos y tablas hay que multiplicarlos por q
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Estructuras III
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CALCULO DE LOS MOMENTOS FLECTORES
Para el clculo de los momentos enxdebemos utilizar la siguiente expresin,
M Dw
x
w
yx = +
2
2
2
2
que expresado en diferencias finitas queda,
( )[ ]iklkkkkx wwwwwwS
DM +++= + 22 112
Resolviendo a lo largo de la placa se tiene,
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0.69424196 1.33668053 3.96499191 1.85425231 3.96499191 1.33668053 0.69424196 0
0 0.85311876 0.24119125 18.8154801 -0.87293085 18.8154801 0.24119125 0.85311876 0
0 1.87466463 3.42030933 6.63994575 4.6009254 6.63994575 3.42030933 1.87466463 0
0 2.40767301 4.19495055 5.60079087 5.42323387 5.60079087 4.19495055 2.40767301 0
0 2.62370949 4.41338789 5.34288197 5.42367024 5.34288197 4.41338789 2.62370949 0
0 2.67950606 4.4614491 5.29143183 5.39646058 5.29143183 4.4614491 2.67950606 0
0 2.62370949 4.41338789 5.34288197 5.42367024 5.34288197 4.41338789 2.62370949 0
0 2.40767301 4.19495055 5.60079087 5.42323387 5.60079087 4.19495055 2.40767301 0
0 1.87466463 3.42030933 6.63994575 4.6009254 6.63994575 3.42030933 1.87466463 0
0 0.85311876 0.24119125 18.8154801 -0.87293085 18.8154801 0.24119125 0.85311876 0
0 0.69424196 1.33668053 3.96499191 1.85425231 3.96499191 1.33668053 0.69424196 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Momentos flectoresrespecto al eje x
(Mx)
7/22/2019 Metodo de Marcus
10/17
Estructuras III
Pagina 9 de 16
Grafico de Mx en y= b/2
0.691.34
3.96
1.85
3.96
1.34
0.690 0
x
Grafico de Mx en y= 0
2.68
0 04.46
2.68
4.46 5.29 5.405.29 x
Grafico de Mx en x= a/2
0
0.690.85
1.872.41
2.62
2.68
2.62
2.411.87
0.850.69
0 y
Grafico de Mx en x= 0
1.85
-0.87
0
4.605.425.42
5.40
5.42
5.42
4.60
-0.87
1.850 y
Para el calculo de los momentos eny debemos utilizar la siguiente expresin,
M D
w
y
w
xy = +
2
2
2
2
que expresado en diferencias finitas queda,
kxkky MM += )1( M
Resolviendo a lo largo de la placa se tiene,
x2
Sq
7/22/2019 Metodo de Marcus
11/17
Estructuras III
Pagina 10 de 16
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.38947485 0.5397418 -1.44699962 0.69524597 -1.44699962 0.5397418 0.38947485 0
0 0.90532614 2.96278898 -13.8694316 5.33493938 -13.8694316 2.96278898 0.90532614 0
0 0.17141793 0.11469577 -2.0745998 0.10551335 -2.0745998 0.11469577 0.17141793 0
0 -0.21679275 -0.57033887 -1.22689949 -0.89017929 -1.22689949 -0.57033887 -0.21679275 0
0 -0.2308827 -0.71471794 -1.09532864 -1.09567344 -1.09532864 -0.71471794 -0.2308827 0
0 0.30225091 -0.63176109 -1.05177668 -1.1126346 -1.05177668 -0.63176109 0.30225091 0
0 -0.2308827 -0.71471794 -1.09532864 -1.09567344 -1.09532864 -0.71471794 -0.2308827 0
0 -0.21679275 -0.57033887 -1.22689949 -0.89017929 -1.22689949 -0.57033887 -0.21679275 0
0 0.17141793 0.11469577 -2.0745998 0.10551335 -2.0745998 0.11469577 0.17141793 0
0 0.90532614 2.96278898 -13.8694316 5.33493938 -13.8694316 2.96278898 0.90532614 0
0 0.38947485 0.5397418 -1.44699962 0.69524597 -1.44699962 0.5397418 0.38947485 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Grafico de My en y= b/2
0.390.54
-1.450.70
-1.45
0.540.390 0
x
Grafico de My en y= 0
0.300 0
-0.63
0.30
-0.63-1.05 -1.11
-1.05
x
Nota:
A los valores ledos del grfico y de la tabla hay que multiplicarlos por q S2
x2Sq
Momentos flectoresrespecto al eje y
(My)
7/22/2019 Metodo de Marcus
12/17
Estructuras III
Pagina 11 de 16
Grafico de My en x= a/2
0
0.39
0.91
0.17
-0.22-0.23
0.30
-0.23-0.22
0.17
0.91
0.39
0
y
Grafico de My en x= 0
0.70
5.33
00.11
-0.89-1.10-1.11-1.10-0.89
0.11
5.33
0.700 y
CALCULO DE ESFUERZOS DE CORTE
Para el calculo de los esfuerzo de corte enxdebemos utilizar la siguiente expresin,
Q Dw
x
w
x yx = +
3
3
3
2
que expresado en diferencias finitas queda,
[ ]111121123 442 +++++ +++= iillkkkkkx wwwwwwww
S
DQ
Resolviendo a lo largo de la placa se tiene,
x2
Sq
Esfuerzos de Corterespecto al eje x
(Qx)
7/22/2019 Metodo de Marcus
13/17
Estructuras III
Pagina 12 de 16
0 0 0 0 0 0 0 0 0
-3.0190867 -2.6088459 -1.9896094 -0.9331328 0 0.933133 1.989609 2.608846 3.019087
-4.8586550 -4.4266876 -27.8820655 -1.7429216 0 1.742922 27.882066 4.426688 4.858655
-5.5621581 -4.8227904 -3.4684438 -1.6220947 0 1.622095 3.468444 4.822790 5.562158
-5.7443968 -4.8338719 -3.0124313 -1.2770135 0 1.277014 3.012431 4.833872 5.744397
-5.7476851 -4.7558694 -2.7203959 -0.9735280 0 0.973528 2.720396 4.755869 5.747685
-5.7346048 -4.7215246 -2.6397547 -0.8967027 0 0.896703 2.639755 4.721525 5.734605
-5.7476851 -4.7558694 -2.7203959 -0.9735280 0 0.973528 2.720396 4.755869 5.747685
-5.7443968 -4.8338719 -3.0124313 -1.2770135 0 1.277014 3.012431 4.833872 5.744397
-5.5621581 -4.8227904 -3.4684438 -1.6220947 0 1.622095 3.468444 4.822790 5.562158
-4.8586550 -4.4266876 -27.8820655 -1.7429216 0 1.742922 27.882066 4.426688 4.858655
-3.0190867 -2.6088459 -1.9896094 -0.9331328 0 0.933133 1.989609 2.608846 3.019087
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Grafico de Qxen y=b/2
2.611.990.93
0-0.93-1.99-2.61-3
3
x
Grafico de Qxen y=0
6
-6 -4.72 -2.64-0.90 0
0.90 2.644.72
x
Grafico de Qxen x= a/2
-3.02
-5.75-5.73-5.75-6-5.56-4.86
-3.02
0
-6 -5.56-4.86
0
y
Grafico de Qxen x= 0
000 0 0 0 0 0 0 0 00 0
y
x Sq
Nota:A los valores ledos del grfico y de la tabla hay que multiplicarlos por q S
7/22/2019 Metodo de Marcus
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Estructuras III
Pagina 13 de 16
De la misma forma queda,
+=
2
3
3
3
xy
w
y
wDQy
que expresado en diferencias finitas queda,
[ ]11113 442 ++ +++= ililnilmky wwwwwwww
S
DQ
Resolviendo a lo largo de la placa se tiene,
0 -3.019087 -5.217692 -6.998306 -7.083957 -6.998306 -5.217692 -3.019087 0
0 -2.429327 -4.426688 -30.311393 -6.169609 -30.311393 -4.426688 -2.429327 0
0 -1.271536 -2.213944 -2.750370 -2.902906 -2.750370 -2.213944 -1.271536 0
0 -0.442871 -0.407184 24.426763 0.058724 24.426763 -0.407184 -0.442871 0
0 -0.092763 0.066921 0.655285 0.715488 0.655285 0.066921 -0.092763 0
0 0.004896 0.112347 0.377573 0.492658 0.377573 0.112347 0.004896 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -0.0048960 -0.1123474 -0.3775725 -0.4926582 -0.3775725 -0.1123474 -0.0048960 0
0 0.0927635 -0.0669210 -0.6552845 -0.7154877 -0.6552845 -0.0669210 0.0927635 0
0 0.4428709 0.4071844 -24.4267634 -0.0587237 -24.4267634 0.4071844 0.4428709 0
0 1.2715357 2.2139444 2.7503701 2.9029064 2.7503701 2.2139444 1.2715357 0
0 2.4293275 4.4266876 30.3113930 6.1696092 30.3113930 4.4266876 2.4293275 0
0 3.0190867 5.2176918 6.9983055 7.0839573 6.9983055 5.2176918 3.0190867 0
Esfuerzos de Corterespecto al eje y
(Qy)
Nota:
A los valores ledos del grfico y de la tabla hay que multiplicarlos por q S
7/22/2019 Metodo de Marcus
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Estructuras III
Pagina 14 de 16
CALCULO DE LAS REACCIONES
Para el clculo de las reacciones de los apoyos se parte de la expresin que vincula
al equilibrio de fuerzas, es decir,
+=
y
MQR
xy
xx
+=
x
MQR
xy
yy
Recordando que:
yx
wDMxy
=
2
)1(
que expresado en diferencias finitas queda,
x qS
Grafico de Qyen y= b/2
-3.02
-5.22
-7-7-7
-5.22-3.02
0
0
x
Grafico de Qyen y= 0
00 0 0 0 0 0 0 0
x
Grafico de Qyen x= a/2
0000
-0.44
-1.27-2.43-3
0 0.44
1.27 32.43 y
Grafico de Qy en x= 0
2.90
-0.72-7.08 -6.17
-2.90
0 0.72 0.49 0
-0.49
7.08
0
6.17
y
7/22/2019 Metodo de Marcus
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Estructuras III
Pagina 15 de 16
( )111124)1(
++ +
= ililk
xy wwwwS
DM
siendo:
( )( ) ( ) ( ) ( )( )1111111134
1++++ +
=
nkkmnkkm
k
xywwwwwwww
S
D
y
M
( )( ) ( ) ( ) ( )( )2212234
1++ +
=
iillilm
k
xywwwwwwww
S
D
x
M
Resolviendo se tiene
Ry Rx0 0
5.30966636 2.27852623
8.34017876 2.17149287
8.3147031 1.87246435
7.2341098 1.78837906
6.5709621 1.87246435
6.36021826 2.17149287
6.5709621 2.27852623
7.2341098 0
8.31470318.34017876
5.30966636
0
Y grficamente,
Reacc in Ry sobre el Borde de la Placa
5.31
8.31 8.34
6.36 6.576.57
7.23 7.23
8.318.34
5.31
00x
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17/17
Estructuras III
Pagina 16 de 16
Reacc in Rx sobre el Borde de la
Placa
0
2.17
0
1.79 1.87
2.28
2.17
2.28
1.87
y
Nota:
A los valores ledos del grfico y de la tabla hay que multiplicarlos por q S
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