Universitatea โPOLITEHNICAโ Bucuresti Facultatea de Energetica
Modelarea numerica a incintelor
Raport 1 al tezei: Contributii la modelarea numerica acladirilor
Conducator de Doctorat Prof. Dr. Ing. Adrian Badea DOCTORAND Ing. Tudor Baracu
Aprilie, 2013
Cuprins Cuprins 2 Introducere 3 1. Calcul numeric al transferului de caldura in cladiri 4 2. Parametrii fizici ai climatului unei clฤdiri 19 3. Calculul termotehnic al componentelor cladirii 29 4. Teoria circuitelor termice 38 5. Sisteme de control automat al incalzirii cladirii 45 6. Punti termice 47 Bibliografie 48
1
Introducere
Modelarea numerica cat si simularea energetica a cladirilor este un domeniu in deplina maturitate dar in acelasi timp in plina dezvoltare beneficiind de noile tehnici computerizate si de automatizare care se extind tot mai mult in chiar cele mai banale sectoare de activitate. Problema este ca prin aportul tehnicii computerizate exista riscul pentru majoritatea beneficiarilor sa uite sensul fenomenelor care stau la baza asigurarii pentru ei a unui climat placut in cladiri; in schimb pentru proiectantul sistemelor este un domeniu ce aduce noi provocari si noi cai de rezolvare optimizata a problemelor. Un al doilea risc care il poate da dezvoltarea tehnicii pentru oameni il poate reprezenta enclavizarea stiintei doar pentru anumite centre private de cercetare si de promovare produse specifice, care sub protectie de patent sau copyrights (care in ziua de azi mai mult blocheaza dezvoltarea stiintei decat sa o promoveze) pastreaza doar in interiorul lor in mod ezoteric anumite rezultate de cercetare in scopul fructificarii comerciale al lor. In acest sens, lucrarea de fata isi propune sa trateze bazele fundamentale modelarii numerice a fenomenelor de transfer energetic la nivelul cladirilor, in mod explicit, expunand atat modele matematice cat si modele descriptive. Optimizarea energiei in cladiri este facuta pentru oameni, deci se pleaca de la necesitatile lor legate de microclimat acceptabil, iar rezultatele cercetarii trebuie sa convearga catre aceste necesitati
2
1. Calcul numeric al transferului de caldura in cladiri
Se stie ca in utilizarea metodei diferentelor finite majoritatea expunerilor tind sa prezinte aceasta metoda considerand gridul uniform, fiind situatia cea mai simpla din punct de vedere matematic. Trebuie insa subliniat faptul ca modelele geometrice complexe deja cer si un aparat matematic mai complex, in consecinta un tip de grid mai elaborat, mai flexibil pe geometria corpului modelat.
Conditii ce trebuie sa le indeplineasca o analiza numerica pentru a fi considerate valida:
โข Consistenta โ discretizarea ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale trebuie sa fie facuta in sensul tinderii la zero a meshului (deci eroarea de truncare trebuie sa fie redusa cat mai mult)
โข Stabilitate โ erorile generate in rezolvarea ecuatiilor discretizate nu trebuie sa se amplifice โข Convergenta โ Solutia numerica trebuie sa fie in preajma solutiei exacte a ecuatiei diferentiale
sis a convearga spree a pe masura ce meshul tinde la zero โข Conservare - Legile de conservare aflate la baza trebuie sa fie respectate si la nivel de domeniu
discret (surse artificiale de valori sau gropi trebuie sa fie evitate โ de exemplu la analiza solidului rigid trebuie evitati concentratorii artificiali de tensiuni)
โข Marginire โ cantitati cum ar fi masa, densitatea, temperature trebuie sa apara strict positive in orice fel de rezultate
โข Repetabilitate โ modelul construit si analizat intr-un loc sa dea aceleasi rezultate cu un model construit cu aceleasi conditii initiale in alt loc
Sunt mai multe modalitati de calcul numeric al transferului de caldura, dar cele mai importante sunt: โข metoda diferentelor finite โ se porneste de la ecuatiile ce guverneaza fenomenul ajungandu-se in
urma discretizarii si stabilirii conditiilor de margine la un sistem de ecuatii banal โข metoda elementului finit โ se porneste tot de la ecuatiile ce guverneaza fenomenul la scara
intregului, ulterior in urma discretizarii forma ecuatiei inca se recunoaste la nivelul elementelor finite rezultate, fiecare element finit este reprezentat de o matrice, iar matricea globala a intregului studiat este insumarea tuturor matricelor elementelor finite.
โข Metoda volumelor finite โข Metoda spectrala
Metoda diferentelor finite in schimbul de caldura
In figura de mai sus este prezentat un element de volum tridimensional centrat in nodul (i,j,k). Laturile acestuia sunt โ๐ฅ๐ฅ, โ๐ฆ๐ฆ, โ๐ง๐ง. Variatia numarului de nod I, j, k in cazul nostru se face dupa directiile x, y, respectiv z.
i,j,k i+1,j,k
i,j,k
i,j,k+1 i,j+1,k
i-1,j,k
i,j-1,k
3
In elaborarea metodei diferentelor finite se pleaca de la desfasurarea functiei in serie Taylor, anume:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ๐ฅ0) +11!๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0) +12!๐๐2๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ2
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)2 +13!๐๐3๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ3
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)3 +14!๐๐4๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ4
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)4 + โฏ Sunt trei concepte care se aplica in diferentiere, in functie de conjunctura studiului care se urmeaza sa se faca, anume:
โข diferentierea โinainteโ
๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐
=๐๐๐๐+1 โ ๐๐๐๐โ๐ฅ๐ฅ
+ ๐๐(โ๐ฅ๐ฅ)
โข diferentierea โcentralaโ (din punct de vedere pur matematic cea mai riguroasa)
๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐
=๐๐๐๐+1 โ ๐๐๐๐โ1
2 โ๐ฅ๐ฅ+ ๐๐(โ๐ฅ๐ฅ2)
โข diferentierea โinapoiโ
๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐
=๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐โ1โ๐ฅ๐ฅ
+ ๐๐(โ๐ฅ๐ฅ)
Dupa cum se vede, apare termenul ๐๐(โ๐ฅ๐ฅ) care se cheama โeroare de truncareโ si apare datorita
faptului ca in exprimarea cu diferente finite a unei functii sau diferentialei acesteia se face in limitele unei erori acceptate ca urmare a faptului ca termenii de grad superior ai seriei Taylor sunt neglijati. Se observa ca prin diferentierea centrala eroarea de truncare este cea mai mica dintre cele trei variante, anume porneste abia de la โ๐ฅ๐ฅ2 , fiind ๐๐(โ๐ฅ๐ฅ2). Oricare din cele trei metode folosite da rezultate asemanatoare, problema alegerii uneia dintre ele este doar de convenienta sau functie de anumite rigori ce le impune modelul studiat. Trebuie sa prezentam mai pe larg cum se pleaca de la seria Taylor pentru a se ajunge la formulele de diferentiere:
๐๐(๐ฅ๐ฅ + โ) โ ๐๐(๐ฅ๐ฅ) +๐๐โฒ(๐ฅ๐ฅ)
1!โ +
๐๐โฒโฒ(๐ฅ๐ฅ)2!
โ2
๐๐(๐ฅ๐ฅ โ โ) โ ๐๐(๐ฅ๐ฅ) โ๐๐โฒ(๐ฅ๐ฅ)
1!โ +
๐๐โฒโฒ(๐ฅ๐ฅ)2!
โ2 โ
๐๐โฒ(๐ฅ๐ฅ) =๐๐(๐ฅ๐ฅ + โ) โ ๐๐(๐ฅ๐ฅ โ โ)
2โ
๐๐โฒโฒ(๐ฅ๐ฅ) =๐๐(๐ฅ๐ฅ + โ) โ 2 โ ๐๐(๐ฅ๐ฅ) + ๐๐(๐ฅ๐ฅ โ โ)
โ2
Se obtin astfel diferentele finite: โข Derivata partiala de ordin 1 centrala in nodul (i,j,k)
๐๐๐๐๐๐,๐๐,๐๐
๐๐๐ฅ๐ฅ=๐๐๐๐+1,๐๐,๐๐ โ ๐๐๐๐โ1,๐๐,๐๐
2 โ โ๐ฅ๐ฅ ;
๐๐๐๐๐๐,๐๐,๐๐
๐๐๐ฆ๐ฆ=๐๐๐๐,๐๐+1,๐๐ โ ๐๐๐๐,๐๐โ1,๐๐
2 โ โ๐ฆ๐ฆ ;
๐๐๐๐๐๐,๐๐,๐๐
๐๐๐ง๐ง=๐๐๐๐,๐๐,๐๐+1 โ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐โ1
2 โ โ๐ง๐ง
โข Derivarea de ordin 2 in mod central in nodul (i,j,k) ๐๐2๐๐๐๐,๐๐,๐๐
๐๐๐ฅ๐ฅ2=๐๐๐๐+1,๐๐,๐๐ โ 2 โ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐ + ๐๐๐๐โ1,๐๐,๐๐
โ๐ฅ๐ฅ2
โ2Ti,j,kโy2
=๐๐๐๐,๐๐+1,๐๐ โ 2 โ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐ + Ti,jโ1,k
โ๐ฆ๐ฆ2
โ2Ti,j,kโz2
=๐๐๐๐,๐๐,๐๐+1 โ 2 โ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐ + Ti,j,kโ1
โ๐ง๐ง2
Ecuatia de transfer de caldura stationar de-a lungul sistemului discretizat va fi:
Ti+1,j,k + ๐๐๐๐โ1,๐๐,๐๐ + ๐๐๐๐,๐๐+1,๐๐ + Ti,jโ1,k + ๐๐๐๐,๐๐,๐๐+1 + Ti,j,kโ1 โ 2 โ ๐๐ โ Ti,j,k = 0 In forma unidimensionala:
Ti+1 + ๐๐๐๐โ1 โ 2 Ti Practic in forma matriceala aceasta ecuatie are forma (intr-un studiu unidimensional, ):
[๐ด๐ด] โ [๐๐] = [๐ถ๐ถ] care dezvoltata inseamna:
4
โ
โโโโโโโ
๐๐11 ๐๐12 ๐๐13 0 โฆ 0 0 0 0
0 ๐๐21 ๐๐22 ๐๐23 0 0 โฆ 0 0
0 0 ๐๐31 ๐๐32 ๐๐33 0 0 0 0
โฎ โฎ โฑ โฑ โฑ โฑ โฆ โฎ โฎ
0 0 โฆ 0 ๐๐๐๐โ2,๐๐โ4 ๐๐๐๐2,๐๐โ3 ๐๐๐๐โ2,๐๐โ2 0 0
0 0 0 0 0 ๐๐๐๐โ1,๐๐โ3 ๐๐๐๐โ1,๐๐โ2 ๐๐๐๐โ1,๐๐โ1 0
0 0 0 0 โฆ 0 ๐๐๐๐,๐๐โ2 ๐๐๐๐,๐๐โ1 ๐๐๐๐,๐๐โ
โโโโโโโ
โ
โ
โโโโโโโ
๐๐1๐๐2๐๐3โฎ
๐๐๐๐โ2๐๐๐๐โ1๐๐๐๐ โ
โโโโโโโ
=
โ
โโโโโโโ
๐๐10๐๐20๐๐30โฎ
๐๐๐๐โ2,0
๐๐๐๐โ1,0
๐๐๐๐0 โ
โโโโโโโ
Ca sa fie rezolvabila aceasta ecuatie matriceala atunci numarul de linii trebuie sa fie egal cu numarul de coloane. Se observa ca pe fiecare linie sunt maxim 3 termeni, acest lucru rezultand din faptul ca in cadrul ecuatiei apar pentru fiecare directie termenii a 3 noduri succesive. In general aceasta relatie matriceala implica foarte multe grade de libertate si atunci rezolvarea acesteia pe cale analitica implica un consum mare de resurse de calcul cat si de timp de rezolvare, ca atare sunt preferate tehnicile de rezolvare prin iteratii, intre care este si metoda Gauss โ Seidel. Exactitatea solutiilor este cu atat mai mare cu cat numarul de noduri rezultate din discretizarea modelului este mai mare. O mare atentie in rezolvarea acestui sistem de ecuatii trebuie acordata conditiilor de margine. La regim nestationar derivata partiala (diferenta โinainteโ) a temperaturii in raport cu timpul in nodul u este:
๐๐๐๐๐ข๐ข
๐๐๐๐=๐๐(๐ข๐ข+1) โ ๐๐(๐ข๐ข)
โ๐๐
Relationari pentru regim nestationar si tridimensional ๐๐๐๐๐๐,๐๐,๐๐
๐ข๐ข
๐๐๐ฅ๐ฅ=๐๐๐๐๐๐+1,๐๐,๐๐
๐ข๐ข โ ๐๐๐๐๐๐โ1,๐๐,๐๐๐ข๐ข
2 โ โ๐ฅ๐ฅ ;
๐๐๐๐๐๐,๐๐,๐๐๐ข๐ข
๐๐๐ฆ๐ฆ=๐๐๐๐๐๐,๐๐+1,๐๐
๐ข๐ข โ ๐๐๐๐๐๐,๐๐โ1,๐๐๐ข๐ข
2 โ โ๐ฆ๐ฆ ; ๐๐๐๐๐๐,๐๐,๐๐
๐ข๐ข
๐๐๐ง๐ง=๐๐๐๐๐๐,๐๐,๐๐+1
๐ข๐ข โ ๐๐๐๐๐๐,๐๐,๐๐โ1๐ข๐ข
2 โ โ๐ง๐ง
๐๐T๐๐,๐๐,๐๐
u
๐๐๐๐=
T๐๐,๐๐,๐๐u+1 โ T๐๐,๐๐,๐๐
u
2 โ โ๐๐
๐๐2T๐๐,๐๐,๐๐
u
๐๐๐ฅ๐ฅ2=
T๐๐+1,๐๐,๐๐u โ 2 โ T๐๐,๐๐,๐๐
u + T๐๐โ1,๐๐,๐๐u
โ๐ฅ๐ฅ2
๐๐2T๐๐,๐๐,๐๐u
๐๐๐ฆ๐ฆ2=
T๐๐,๐๐+1,๐๐u โ 2 โ T๐๐,๐๐,๐๐
u + T๐๐,๐๐โ1,๐๐u
โ๐ฆ๐ฆ2
๐๐2T๐๐,๐๐,๐๐u
๐๐๐ง๐ง2=
T๐๐,๐๐,๐๐+1u โ 2 โ T๐๐,๐๐,๐๐
u + T๐๐,๐๐,๐๐โ1u
โ๐ง๐ง2
In acest moment avand stabilite toate diferentialele functiei T, poate fi scrisa complet ecuatia Fourier de transmitere a caldurii. Ecuatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu, tridimensional si fara surse de caldura,
๐๐๐๐๐๐๐๐
โ ๐๐ โ ๐๐2๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ2
+๐๐2๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ2
+๐๐2๐๐๐๐๐ง๐ง2
= 0
Este aplicata in nodul quadridimensional (u, i, j, k) ๐๐๐๐๐๐,๐๐,๐๐
๐ข๐ข
๐๐๐๐โ ๐๐ โ
๐๐2T๐๐,๐๐,๐๐u
๐๐๐ฅ๐ฅ2+๐๐2T๐๐,๐๐,๐๐
u
๐๐๐ฆ๐ฆ2+๐๐2T๐๐,๐๐,๐๐
u
๐๐๐ง๐ง2 = 0
Si are ca exprimare in diferente finite expresia: ๐๐๐๐,๐๐,๐๐๐ข๐ข+1 โ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐
๐ข๐ข โ โ๐น๐น๐น๐น๐๐๐๐+1,๐๐,๐๐๐ข๐ข + ๐๐๐๐โ1,๐๐,๐๐
๐ข๐ข + ๐๐๐๐,๐๐+1,๐๐๐ข๐ข + ๐๐i,jโ1,k
๐ข๐ข + ๐๐๐๐,๐๐,๐๐+1๐ข๐ข + ๐๐i,j,kโ1๐ข๐ข โ 6 โ ๐๐i,j,k๐ข๐ข = 0
in care โ๐น๐น๐น๐น = ๐๐โโ๐๐(โ๐ฅ๐ฅ)2
este modulul Fourier si care defineste raportul dintre rata caldurii conduse si rata caldurii stocate. Valori mari ale acestuia inseamna mediu cu conductie buna si cu stocare mica de caldura, valori mici inseamna conductie slaba dar cu un potential mare de stocare de caldura.
5
In general este impusa conditia de stabilitate a solutiei:
๐๐ โ โ๐๐ โ 1
(โ๐ฅ๐ฅ)2 +1
(โ๐ฆ๐ฆ)2 +1
(โ๐ง๐ง)2 โค12
Relatia (prin metoda diferentelor โinainteโ) de regim tranzitoriu este: ๐๐๐๐,๐๐,๐๐๐ข๐ข+1 โ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐
๐ข๐ข โ โ๐น๐น๐น๐น โ ๐๐๐๐+1,๐๐,๐๐๐ข๐ข + ๐๐๐๐โ1,๐๐,๐๐
๐ข๐ข + ๐๐๐๐,๐๐+1,๐๐๐ข๐ข + ๐๐i,jโ1,k
๐ข๐ข + ๐๐๐๐,๐๐,๐๐+1๐ข๐ข + ๐๐i,j,kโ1๐ข๐ข + (1 โ 2 โ ๐๐ โ โ๐น๐น๐น๐น) โ ๐๐i,j,k๐ข๐ข =0
In forma combinata in care intra in considerare o pondere, care este o derivatie intre metodele diferentelor โinainteโ si โinapoiโ se poate utiliza relatia dupa schema lui Crank-Nicolson:
๐๐๐๐,๐๐,๐๐๐ข๐ข+1 โ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐
๐ข๐ข โ โ๐น๐น๐น๐น โ ๐๐ โ ๐๐๐๐+1,๐๐,๐๐๐ข๐ข+1 + ๐๐๐๐โ1,๐๐,๐๐
๐ข๐ข+1 + ๐๐๐๐,๐๐+1,๐๐๐ข๐ข+1 + ๐๐i,jโ1,k
๐ข๐ข+1 + ๐๐๐๐,๐๐,๐๐+1๐ข๐ข+1 + ๐๐i,j,kโ1๐ข๐ข+1 โ 6 โ ๐๐i,j,k๐ข๐ข+1
โ โ๐น๐น๐น๐น โ (1 โ ๐๐) โ ๐๐๐๐+1,๐๐,๐๐
๐ข๐ข + ๐๐๐๐โ1,๐๐,๐๐๐ข๐ข + ๐๐๐๐,๐๐+1,๐๐
๐ข๐ข + ๐๐i,jโ1,k๐ข๐ข + ๐๐๐๐,๐๐,๐๐+1
๐ข๐ข + ๐๐i,j,kโ1๐ข๐ข โ 6 โ ๐๐i,j,k๐ข๐ข = 0 unde ๐๐ este un coeficient de pondere, 0 โค ๐๐ โค 1. In regim nestationar vom avea o relatie matriceala de genul:
[๐ด๐ด] โ [๐๐๐ข๐ข+1] = [๐ต๐ต] โ [๐๐๐ข๐ข] + [๐ถ๐ถ] Conditii de margine
Schimbul de caldura pe zona de frontiera este caracterizat de relatia:
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
= ๐ผ๐ผ(๐๐๐๐ โ ๐๐๐ ๐ ) + ๐๐๐๐2๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ2
In diferente finite, relatia de mai sus capata forma:
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐ข+1 โ ๐๐๐๐๐ข๐ข
โ๐๐= ๐ผ๐ผ(๐๐๐๐ โ ๐๐๐ ๐ ) + ๐๐
T๐๐+1u โ 2 โ T๐๐u + T๐๐โ1u
โ๐ฅ๐ฅ2
โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
= ๐ผ๐ผ(๐๐๐๐ โ ๐๐๐ ๐ ) Nodul s1
โ ๐๐๐๐1 โ ๐๐๐ ๐ 1โ๐ฅ๐ฅ
+ ๐ผ๐ผ๐๐๐ ๐ 1 โ ๐๐๐๐1 = 0 Nodul 1
โ ๐๐๐๐2 โ ๐๐1โ๐ฅ๐ฅ
+ ๐ผ๐ผ๐๐๐ ๐ 1 โ ๐๐๐๐1 = 0 Nodul n
โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐โ1
โ๐ฅ๐ฅ+ ๐ผ๐ผ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐ ๐ ๐๐ = 0
Nodul sn
โ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ โ ๐๐๐๐โ๐ฅ๐ฅ
+ ๐ผ๐ผ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐ ๐ ๐๐ = 0
๐๐๐๐๐๐๐๐
= ๐๐๐ฅ๐ฅ โ ๐๐๐ฅ๐ฅ+๐๐๐ฅ๐ฅ = โ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐๐๐๐๐
= ๐ผ๐ผ(๐๐๐๐ โ ๐๐๐ ๐ ) โ ๐๐๐ฅ๐ฅ+๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐ผ๐ผ(๐๐๐๐ โ ๐๐๐ ๐ ) โ ๐๐๐ฅ๐ฅ +๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐ฅ๐ฅ =
๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐1 ๐๐๐ ๐ 1 ๐๐๐๐1 ๐๐2 ๐๐๐๐โ1
6
= ๐ผ๐ผ(๐๐๐๐ โ ๐๐๐ ๐ ) + ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
+ ๐๐๐๐2๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ2
๐๐๐ฅ๐ฅ Metoda volumelor finite in transferul de caldura in cladiri
Din punct de vedere istoric metoda volumelor finite a fost introdusa in analiza numerica a dinamicii fluidelor in mod independent de catre Mc Donald (1971) si de catre MacCormac si Paully (1972) pentru solutia bidimensionala si dependenta de timp a ecuatiilor Euler si care a fost extinsa la nivel tri-dimensional de csatre Rizzi si Inouye (1973).
Datorita generalitatii ei, metoda volumelor finite poate aborda orice tip de mesh, structurat sau nestructurat.
In timp ce metoda diferentelor finite se bazeaza pe discretizarea ecuatiilor de conservare in forma diferentiala ce stau la baza unui fenomen, metoda volumelor finite se bazeaza pe discretizarea formei integrale a ecuatiilor de conservare.
Sa luam in considerare ecuatia de conservare de mai jos:
๐๐๐๐๐๐๐๐
ฮฉ
๐๐ฮฉ + ๐น ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐
ฮฉ
ฮฉ
๐๐
+ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๐๐
Pentru a discretiza aceasta ecuatie integrala, la fel ca si in metoda diferentelor finite va trebui sa discretizam spatiul fizic in retele discrete de celule.
Doua tipuri de meshuri vor corespunde tipurilor structurat si nestructurat de mesh.
In figura de mai sus avem reprezentate:
a) celula centrala in mesh structurat cu volum finit b) celula muchie in mesh structurat cu volum finit c) celula centrala in mesh nestructurat cu volum finit d) celula muchie in mesh nestructurat cu volum finit
Meshurile nestructurate sunt acelea formate din elemente triunghiulare (2D) sau quadrilatere (2D) cat si piramidale (3D) sau hexaedrice (3D). Ele nu pot fi identificate prin axe de coordonate (i,j), ci vor fi
7
numerotate individual intr-o anumita ordine fiecare element de volum. Ca urmare a acestui fapt, desi vor fi mai utile in studiul ecuatiilor, totusi folosirea de mesh nestructurat va cere mai multa memorie de computer si mai mai mult timp de procesare.
In timp ce meshurile nestructurate sunt recomandate pentru geometrii complexe, meshurile structurate in schimb sunt recomandate pentru geometrii simple. Studiul transmiterii caldurii prin metoda elementului finit La baza studiului cu element finit se afla la scara cea mai larga de folosire aparatul matematic elaborat de Boris Grigoryevich Galerkin (1871 โ 1945) metoda Galerkin.
Se stie ca o diferenta semnificativa intre metoda elementelor finite si metoda diferentelor finite este faptul ca in cazul MEF forma ecuatiei matematice specifica fenomenului studiat ramane recognoscibila atat la nivelul elementului finit in urma discretizarii cat si la nivelul ansamblului.
Daca metoda diferentelor finite porneste de la o ecuatie diferentiala, in urma diferentierii pe noduri se obtine o relatie de recurenta generala in care se pierde semnificatia relatiei diferentiale, totul se reduce doar la rezolvarea unui sistem de ecuatii banal dupa ce au fost stabilite bineinteles si conditiile de frontiera.
Un domeniu de studiu D este discretizat in n elemente finite (subdomenii). Ecuatia generala ce sta la baza intregului domeniu studiat va fi folosita ca aplicare si la nivelul fiecarui element finit parte a intregului. Fiecare element finit va avea o ecuatie matriceala aferenta rezultata din ecuatia diferentiala ce sta la baza fenomenului studiat. Ulterior intregul domeniu D va avea o matrice globala rezultata din asamblarea matricelor fiecarui element finit. Astfel, de la ecuatia adaptata generalizat la nivelul fiecarui element finit obtinandu-se o ecuatie matriceala pentru fiecare, se ajunge la o ecuatie matriceala globala a intregului domeniu D. De exemplu, pentru un domeniu D unidimensional, in urma discretizarii, fiecare element finit va avea o ecuatie in care va interveni o functie N de interpolare intre nodurile elementului finit.
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐๐๐(๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐(๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐๐๐ In care ๐๐๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ + ๐๐ este functie liniara de x. De asemenea intervine o functie de pondere ๐๐๐๐. Ecuatia unidimensionala a caldurii fara surse de caldura va avea forma:
๐๐ โ ๐๐ โ๐๐2๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ2
+ ๐๐๐ฃ๐ฃ โ ๐๐๐๐ = 0
๐ท๐ท
Echivalent in relatie matriceala se obtine:
โ
โโโ๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐ฟ๐ฟ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐ฟ๐ฟ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐ฟ๐ฟ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐ฅ๐ฅ
๐ฟ๐ฟ โ
โโโ
โ
โโ
๐๐๐๐
๐๐๐๐โ
โโ
=
โ
โโ
๐๐๐๐
๐๐๐๐โ
โโ
8
Matriceala elementara are forma:
๐พ๐พ11๐๐1 ๐พ๐พ12๐๐1
๐พ๐พ21๐๐1 ๐พ๐พ22๐๐1 โ ๐๐1๐๐2
= ๐๐1๐๐1
๐๐2๐๐1
๐พ๐พ11๐๐ ๐พ๐พ12๐๐๐พ๐พ21๐๐ ๐พ๐พ22๐๐
=๐พ๐พ โ ๐ด๐ด๐ฟ๐ฟ
1 โ1โ1 1
Ecuatia matriceala globala va capata forma:
Evident, fiecare matrice a elementului finit corespunzator va fi pozitionata in matricea globala corespunzator locatiei legaturilor acestuia de ansamblu (de exemplu elementul 2 are nodurile cu temperaturile ๐๐2 si ๐๐3 prin care se leaga de ansamblu, iar zona ramasa goala din jurul matricei elementului finit in cadrul matricei globale este zona fara legaturi, deci termenii sunt nuli. Matricea emulata a matricei elementului 2 la dimensiunea matricei globale este:
๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐ ๐ฅ๐ฅ
๐๐๐๐
๐๐๐๐
๐๐
โ
โโโโโโโ
๐พ๐พ11๐๐1 ๐พ๐พ12๐๐1 0 0 โฆ 0 0
๐พ๐พ21๐๐1 ๐พ๐พ22๐๐1 + ๐พ๐พ11๐๐2 ๐พ๐พ12๐๐2 0 โฆ 0 0
0 ๐พ๐พ21๐๐2 ๐พ๐พ22๐๐2 0 โฆ โฎ โฎ
0 0 0 โฑ 0 0 0
โฎ โฎ โฆ 0 ๐พ๐พ11๐๐๐๐โ1 ๐พ๐พ12๐๐๐๐โ1 0
0 0 โฆ 0 ๐พ๐พ21๐๐๐๐โ1 ๐พ๐พ22๐๐๐๐โ1 + ๐พ๐พ11๐๐๐๐ ๐พ๐พ12๐๐๐๐
0 0 โฆ 0 0 ๐พ๐พ21๐๐๐๐ ๐พ๐พ22๐๐๐๐โ
โโโโโโโ
โ
โ
โโโโโโโ
๐๐1๐๐2๐๐3โฎ
๐๐๐๐โ2๐๐๐๐โ1๐๐๐๐ โ
โโโโโโโ
=
โ
โโโโโโโ
๐๐1๐๐2๐๐3โฎ
๐๐๐๐โ2๐๐๐๐โ1๐๐๐๐ โ
โโโโโโโ
9
โ
โโโโโโโ
0 0 0 0 โฆ 0 0
0 ๐พ๐พ11๐๐2 ๐พ๐พ12๐๐2 0 โฆ 0 0
0 ๐พ๐พ21๐๐2 ๐พ๐พ22๐๐2 0 โฆ โฎ โฎ
0 0 0 โฑ 0 0 0
โฎ โฎ โฆ 0 0 0 0
0 0 โฆ 0 0 โฑ 0
0 0 โฆ 0 0 0 0โ
โโโโโโโ
Ecuatia matriceala elementara in forma prezentata mai sus este rezultatul prelucrarii ecuatiei caldurii prin utilizarea unor functii de interpolare. ๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐ผ๐ผ1 + ๐ผ๐ผ2 โ ๐ฅ๐ฅ
๐๐๐๐ = ๐ผ๐ผ1 + ๐ผ๐ผ2 โ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐๐๐ = ๐ผ๐ผ1 + ๐ผ๐ผ2 โ ๐ฅ๐ฅ๐๐
โ
โฉโชโจ
โชโง๐ผ๐ผ1 =
๐๐๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ๐๐
๐ผ๐ผ1 =๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ๐๐
๐๐ =๐ฅ๐ฅ๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ๐๐
๐๐๐๐ +๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ๐๐
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐(๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐(๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐๐๐
๐๐ = ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = (๐๐๐๐ ๐๐๐๐) โ ๐๐๐๐๐๐๐๐
unde ๐๐ = (๐๐๐๐ ๐๐๐๐) este functie a formei in elementul finit in care ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ = 1 ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
=๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐๐ +๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐๐ = โ1๐๐
1๐๐ โ
๐๐๐๐๐๐๐๐
Relatia matriceala este: [๐พ๐พ] โ [๐๐] = [๐๐]
In elemente bidimensionale
๐๐ = ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = (๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐) โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ = 1
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ =
12๐ด๐ด
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
1๐ฅ๐ฅ๐ฆ๐ฆ
unde ๐๐( ) = ๐ฅ๐ฅ( )+1๐ฆ๐ฆ( )+2 โ ๐ฅ๐ฅ( )+2๐ฆ๐ฆ( )+1 ๐๐( ) = ๐ฆ๐ฆ( )+1 โ ๐ฆ๐ฆ( ) ๐๐( ) = ๐ฅ๐ฅ( )+1 โ ๐ฅ๐ฅ( ) ๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
=๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐๐ +๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐๐ +๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐๐๐ =๐๐๐๐2๐ด๐ด
๐๐๐๐ +๐๐๐๐2๐ด๐ด
๐๐๐๐ +๐๐๐๐2๐ด๐ด
๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ
=๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐๐๐ +๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐๐๐ +๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐๐๐ =๐๐๐๐
2๐ด๐ด๐๐๐๐ +
๐๐๐๐2๐ด๐ด
๐๐๐๐ +๐๐๐๐2๐ด๐ด
๐๐๐๐
j
k
i
y
x
10
โ
โ
๐๐๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐๐๐๐ฆ๐ฆโ
โ =1
2๐ด๐ด ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
Criterii de stabilitate a solutiilor numerice Stabilitatea solutiei numerice are la baza faptul ca fenomenul studiat este intr-un mediu continuu
de evolutie si caracterizat prin ecuatii continui, dar de fapt rezultatele sunt in format discret, o abatere care trebuie tinuta totusi sub control.
In acest sens, au fost elaborate criterii de stabilitate care in general pentru a mentine solutiile numerice in control leaga anumite caracteristici de discretizare ale unor coordonate care in principiu sunt independente una de alta.
Aceste criterii ne feresc de situatii hilare cum ar fi de exemplu in anumite locatii sa existe cate un element finit in care โ๐ฅ๐ฅ โซ โ๐ฆ๐ฆ sau invers.
Sa privim mai jos, si doar din intuitie ne putem da seama ca un element finit de genul celui prezentat mai jos este foarte suspect de mari erori.
Dar in coordonate spatiale x, y, z inca ne mai putem da seama intuitiv ca anumite elemente finite sunt suspecte de erori, cand apar si coordonate temporare va fi greu de intuit acest lucru, de aceea aceste criterii trebuie formulate pur algebric.
Aceste criterii nu sunt doar pentru a anula anumite erori locale, ci pur si simplu erori care tind sa se propage mai departe in mesh, si care tind sa se amplifice la scara intregului model determinand rezultate de neconceput.
Vom prezenta mai jos conditia de stabilitate a solutiilor von Neumann care este cea mai relevanta. Conceptul conditiei de stabilitate von Neumann are in vedere toate componentele ale seriei Fourier la evolutia in timp sa fie procesate printr-un rezolvant iterative. Pornim de la forma Cranck-Nickolson:
๐๐๐๐๐ข๐ข+1 = โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐+1๐ข๐ข + (1 โ 2 โ๐น๐น๐น๐น)๐๐๐๐๐ข๐ข + โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐โ1๐ข๐ข in care โ๐น๐น๐น๐น = ๐๐โโ๐๐
(โ๐ฅ๐ฅ)2 este modulul Fourier si care defineste raportul dintre rata caldurii conduse si
rata caldurii stocate. Valori mari ale acestuia inseamna mediu cu conductie buna si cu stocare mica de caldura, valori mici inseamna conductie slaba dar cu un potential mare de stocare de caldura.
Substituind component generala Fourier ๐๐๐๐๐ข๐ข = ๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ
๐๐ in relatia de mai sus, obtinem:
๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข+1 ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ
๐๐ = ๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ (๐๐+1) โ๐ฅ๐ฅ
๐๐ + (1 โ 2 โ๐น๐น๐น๐น)๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ
๐๐ + โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ (๐๐โ1) โ๐ฅ๐ฅ
๐๐
Se obtine: ๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข+1
๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข= (1 โ 2 โ๐น๐น๐น๐น) + โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ๐๐ + โ๐น๐น๐น๐น ๐๐โ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ๐๐
= 1 โ 2 โ๐น๐น๐น๐น + 2 โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐น๐น๐๐ ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ๐๐ = 1 โ 4 โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ 2
๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ2๐๐
Aceasta ultima relatie predictioneaza cresterea fiecarei componente k a seriei Fourier. Daca toate componentele sunt in decalaj, atunci pentru ca solutia sa fie stabile va trebui sa fie satisfacuta relatia:
๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข+1
๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข โค 1
Deci in consecinta
1
3 2
11
1 โ 4 โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ 2 ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ
2๐๐ โค 1
adica |1 โ 4 โ๐น๐น๐น๐น| โค 1 sau 1 โ 4 โ๐น๐น๐น๐น โค 1 daca 1 โ 4 โ๐น๐น๐น๐น > 0 โ1 + 4 โ๐น๐น๐น๐น โค 1 daca 1 โ 4 โ๐น๐น๐น๐น โค 0
deci โ๐น๐น๐น๐น โฅ 0 โ๐น๐น๐น๐น โค 1
2 sau 0 โค โ๐น๐น๐น๐น โค 1
2 rezultand astfel ๐๐โ๐๐
(โ๐ฅ๐ฅ)2โค 1
2
Astfel, conditia Courant de stabilitate ce trebuie indeplinita este:
โ๐๐ โค(โ๐ฅ๐ฅ)2
2 ๐๐
Ecuatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu, tridimensional si fara surse de caldura, ๐๐๐๐๐๐๐๐
โ ๐๐ โ ๐๐2๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ2
+๐๐2๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ2
+๐๐2๐๐๐๐๐ง๐ง2
= 0
๐๐๐๐๐๐,๐๐,๐๐๐ข๐ข
๐๐๐๐โ ๐๐ โ
๐๐2T๐๐,๐๐,๐๐u
๐๐๐ฅ๐ฅ2+๐๐2T๐๐,๐๐,๐๐
u
๐๐๐ฆ๐ฆ2+๐๐2T๐๐,๐๐,๐๐
u
๐๐๐ง๐ง2 = 0
are ca echivalent de exprimare in diferente finite expresia ๐๐๐๐,๐๐,๐๐๐ข๐ข+1 โ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐
๐ข๐ข โ โ๐น๐น๐น๐น๐๐๐๐+1,๐๐,๐๐๐ข๐ข + ๐๐๐๐โ1,๐๐,๐๐
๐ข๐ข + ๐๐๐๐,๐๐+1,๐๐๐ข๐ข + ๐๐i,jโ1,k
๐ข๐ข + ๐๐๐๐,๐๐,๐๐+1๐ข๐ข + ๐๐i,j,kโ1๐ข๐ข โ 6 โ ๐๐i,j,k๐ข๐ข = 0
In general este impusa conditia de stabilitate a solutiei:
๐๐ โ โ๐๐ โ 1
(โ๐ฅ๐ฅ)2 +1
(โ๐ฆ๐ฆ)2 +1
(โ๐ง๐ง)2 โค12
Metoda spectrala
In metoda spectrala se face aproximarea functiei pe baza unei serii truncate (finite) a unor functii ortogonale.
De exemplu seriile Fourier sunt folosite pentru probleme ce implica periodicitate. Pentru problem ce implica valori de granite polinoamele Cebyshev sau Legendre sunt folosite ca functii de baza.
Aproximarea poate fi scrisa in forma de mai jos:
๐ข๐ข๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐ข๐ข๐๐ ๐๐๐๐(๐ฅ๐ฅ)๐๐
๐๐=0
In care ๐ข๐ข๐๐ sunt valori ce vor fi determinate.
Consideram conditiile de granita:
๐ฟ๐ฟ๐ข๐ข = ๐๐ pentru ๐๐ < ๐ฅ๐ฅ < ๐๐๐ข๐ข(๐๐) = 0 ๐ข๐ข(๐๐) = 0
Metoda Galerkin in cazul de fata consta in anularea reziduului ๐ ๐ ๐๐ = ๐ฟ๐ฟ๐ข๐ข๐๐ โ ๐๐ in sens de โformulare slabaโ:
(๐ ๐ ๐๐,๐๐๐๐)๐ค๐ค = โซ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ค๐ค ๐๐๐ฅ๐ฅ = 0 pentru ๐ ๐ = 0 โฆ๐ ๐
Unde w este functia de pondere asociata cu ortogonalitatea functiilor de baza, iar valorile ๐๐๐๐ satisfac conditiile de granite. Aceste asocieri sunt valide doar prin serii Fourier unde conditiile de granite sunt inlocuite de periodicitate, iar pe de alta parte pentru rezolvarea problemelor de granite nu se pot
12
folosi polinoame Cebyshev sau Legendre decat daca metoda Galerkin este modificata de la forma ei in metoda โtauโ.
Metoda โtauโ consta in considerarea doar a primelor n-1 ecuatii ale sistemului (๐ ๐ ๐๐,๐๐๐๐)๐ค๐ค care este deci pentru i=0โฆn-2 si adaugarea conditiilor de granita:
โฉโชโจ
โชโง๐ข๐ข๐๐ ๐๐๐๐(๐๐) = 0
๐๐
๐ข๐ข๐๐ ๐๐๐๐(๐๐) = 0๐๐
Metoda colocatiei este de asemenea o metoda spectral ace consta in anularea reziduului ๐ ๐ ๐๐ pentru un set de puncte ๐ฅ๐ฅ๐๐ โ ]๐๐, ๐๐[. Atunci conditiile de granite sunt adaugate:
๐ฟ๐ฟ๐ข๐ข๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ = 0, ๐๐ = 0 โฆ๐ ๐ โ 1๐ข๐ข๐๐(๐๐) = 0 ๐ข๐ข๐๐(๐๐) = 0
Punctele de colocare xj sunt in general extremele polinoamelor Cebyshev si Legendre de grad n. Aceasta alegere este dictate in principal de convergenta aproximarii. De fapt metoda colocatiei se bazeaza pe cautarea solutiei problemei ca polinom de gradul n care satisfice exact ecuatia diferentiala in punctele date xj unde aceste polinoame iau valorile ๐ข๐ข๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐. Astfel expandarea seriei truncate poate fi reinterpretata ca un polinom de interpolare Lagrange:
๐๐๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐ข๐ข๐๐(๐ฅ๐ฅ๐๐)๐๐๐๐(๐ฅ๐ฅ)๐๐
๐๐=0
unde ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐ = ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ vor fi usor determinate. Prin diferentierea lui ๐๐๐๐(๐ฅ๐ฅ) vom scrie derivatele in orice punct al termenilor ๐ข๐ข๐๐ la toate punctele de colocare. Obtinand un system de ecuatii pentru determinarea valorilor ๐ข๐ข๐๐(๐ฅ๐ฅ๐๐) mai degraba decat a ๐ข๐ข๐๐ .
Aceasta strategie pentru metoda colocatiei este larg folosita in aplicatii.
Principalul interes in metoda spectrala este gradul ei inalt de acuratete. Se poate arata ca eroarea dintre functia data u(x) si aproximanta ei ๐ข๐ข๐๐(๐ฅ๐ฅ) este:
โ๐ข๐ข โ ๐ข๐ข๐๐โ โค๐๐๐ ๐ ๐ผ๐ผ
Unde ๐ผ๐ผ este numarul de derivate continui ale u(x).
Este interesant de observat ca pentru un numar de puncte sufficient de mare gradul de precizie este reglementat de regularitatea solutiei in sine in special, deci pentru o funcลฃie infinit derivabil eroare este mai mic orice putere de 1/n (deci precizie exponentiala). Acest lucru este complet diferit fata de metoda diferentelor finite sau metoda elementului finit in care daca p este numarul de noduri al schemei de mesh eroarea este de ordinul 1/np si care este un numar finit.
13
Criterii de stabilitate a solutiilor numerice
Stabilitatea solutiei numerice are la baza faptul ca fenomenul studiat este intr-un mediu continuu de evolutie si caracterizat prin ecuatii continui, dar de fapt rezultatele sunt in format discret, o abatere care trebuie tinuta totusi sub control.
In acest sens, au fost elaborate criterii de stabilitate care in general pentru a mentine solutiile numerice in control leaga anumite caracteristici de discretizare ale unor coordonate care in principiu sunt independente una de alta.
Aceste criterii ne feresc de situatii hilare cum ar fi de exemplu in anumite locatii sa existe cate un element finit in care โ๐ฅ๐ฅ โซ โ๐ฆ๐ฆ sau invers.
Sa privim mai jos, si doar din intuitie ne putem da seama ca un element finit de genul celui prezentat mai jos este foarte suspect de mari erori.
Dar in coordonate spatiale x, y, z inca ne mai putem da seama intuitiv ca anumite elemente finite sunt suspecte de erori, cand apar si coordonate temporare va fi greu de intuit acest lucru, de aceea aceste criterii trebuie formulate pur algebric.
Aceste criterii nu sunt doar pentru a anula anumite erori locale, ci pur si simplu erori care tind sa se propage mai departe in mesh, si care tind sa se amplifice la scara intregului model determinand rezultate de neconceput.
Vom prezenta mai jos conditia de stabilitate a solutiilor von Neumann care este cea mai relevanta. Conceptul conditiei de stabilitate von Neumann are in vedere toate componentele ale seriei Fourier la evolutia in timp sa fie procesate printr-un rezolvant iterative.
Pornim de la forma Cranck-Nickolson:
๐๐๐๐๐ข๐ข+1 = โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐+1๐ข๐ข + (1 โ 2 โ๐น๐น๐น๐น)๐๐๐๐๐ข๐ข + โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐โ1๐ข๐ข
in care โ๐น๐น๐น๐น = ๐๐โโ๐๐(โ๐ฅ๐ฅ)2
este modulul Fourier si care defineste raportul dintre rata caldurii conduse si rata caldurii stocate. Valori mari ale acestuia inseamna mediu cu conductie buna si cu stocare mica de caldura, valori mici inseamna conductie slaba dar cu un potential mare de stocare de caldura.
Substituind component generala Fourier ๐๐๐๐๐ข๐ข = ๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ
๐๐ in relatia de mai sus, obtinem:
๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข+1 ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ
๐๐ = ๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ (๐๐+1) โ๐ฅ๐ฅ
๐๐ + (1 โ 2 โ๐น๐น๐น๐น)๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ
๐๐ + โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ (๐๐โ1) โ๐ฅ๐ฅ
๐๐
Se obtine:
๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข+1
๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข= (1 โ 2 โ๐น๐น๐น๐น) + โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ๐๐ + โ๐น๐น๐น๐น ๐๐โ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ๐๐
= 1 โ 2 โ๐น๐น๐น๐น + 2 โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐น๐น๐๐ ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ๐๐ = 1 โ 4 โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ 2
๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ2๐๐
1
3 2
14
Aceasta ultima relatie predictioneaza cresterea fiecarei componente k a seriei Fourier.
Daca toate componentele sunt in decalaj, atunci pentru ca solutia sa fie stabile va trebui sa fie satisfacuta relatia:
๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข+1
๐ด๐ด๐๐๐ข๐ข โค 1
Deci in consecinta
1 โ 4 โ๐น๐น๐น๐น ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ 2 ๐๐ ๐๐ โ๐ฅ๐ฅ
2๐๐ โค 1
adica |1 โ 4 โ๐น๐น๐น๐น| โค 1 sau 1 โ 4 โ๐น๐น๐น๐น โค 1 daca 1 โ 4 โ๐น๐น๐น๐น > 0 โ1 + 4 โ๐น๐น๐น๐น โค 1 daca 1 โ 4 โ๐น๐น๐น๐น โค 0
deci โ๐น๐น๐น๐น โฅ 0 โ๐น๐น๐น๐น โค 1
2 sau 0 โค โ๐น๐น๐น๐น โค 1
2 rezultand astfel ๐๐โ๐๐
(โ๐ฅ๐ฅ)2โค 1
2
Astfel, conditia Courant de stabilitate ce trebuie indeplinita este:
โ๐๐ โค(โ๐ฅ๐ฅ)2
2 ๐๐
Ecuatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu, tridimensional si fara surse de caldura,
๐๐๐๐๐๐๐๐
โ ๐๐ โ ๐๐2๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ2
+๐๐2๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ2
+๐๐2๐๐๐๐๐ง๐ง2
= 0
๐๐๐๐๐๐,๐๐,๐๐๐ข๐ข
๐๐๐๐โ ๐๐ โ
๐๐2T๐๐,๐๐,๐๐u
๐๐๐ฅ๐ฅ2+๐๐2T๐๐,๐๐,๐๐
u
๐๐๐ฆ๐ฆ2+๐๐2T๐๐,๐๐,๐๐
u
๐๐๐ง๐ง2 = 0
are ca echivalent de exprimare in diferente finite expresia
๐๐๐๐,๐๐,๐๐๐ข๐ข+1 โ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐
๐ข๐ข โ โ๐น๐น๐น๐น๐๐๐๐+1,๐๐,๐๐๐ข๐ข + ๐๐๐๐โ1,๐๐,๐๐
๐ข๐ข + ๐๐๐๐,๐๐+1,๐๐๐ข๐ข + ๐๐i,jโ1,k
๐ข๐ข + ๐๐๐๐,๐๐,๐๐+1๐ข๐ข + ๐๐i,j,kโ1๐ข๐ข โ 6 โ ๐๐i,j,k๐ข๐ข = 0
In general este impusa conditia de stabilitate a solutiei:
๐๐ โ โ๐๐ โ 1
(โ๐ฅ๐ฅ)2 +1
(โ๐ฆ๐ฆ)2 +1
(โ๐ง๐ง)2 โค12
Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii
Evident, in urma discretizarii domeniului analizat, vor rezulta cu atat mai multemecuatii de rezolvat cu cat numarul de noduri este mai mare, deci cu cat discretizarea este mai fina.
Problema se pune de a rezolva foarte repede aceste sisteme de ecuatii care necesita resurse computationale destul de ridicate. In acest sens sunt de evidentiat cateva metode.
15
Aceste metode sunt clasificate astfel:
โข metode exacte o metoda Cramer โ din puct de vedere strict mathematic este ideala intrucat rezultatele sunt
exacte, nu exista erori de metoda, doar erori de computare numerica primara. Dezavantaj: necesita resurse de calcul uriase, mai ales ca este vorba de mii de ecuatii de rezolvat intr-un system.
o Metoda de eliminare Gauss โ este de asemenea o metoda exacta care de asemenea nu da erori de metoda ci doar de computatie, se bazeaza pe o serie de pasi succesivi de rezolvare a sistemului de ecuatii. Dezavantaj: din punct de vedere computational este mai rapida decat metoda Cramer pentru sisteme de multe ecuatii intrucat prin faptul ca are niste pasi succesivi se apropie de ideologia computatiei, anume iteratia. Totusi nu e satisfacatoare pe deplin in privinta resurselor computationale cerute si a timpului efectiv de rezolvare a sistemelor de ecuatii. Aceasta metoda are si o derivata a ei cum ar fi metoda Gauss cu strategie de pivotare, dar surplusul de rapiditate care il ofera nu este mare
o Metoda Choleski โ este bazata pe descompunerea matricei coeficientilor sistemului de ecuatii in doua matrici triunghiulare respective triunghiular superioara si triunghiular inferioara
โข Metode iterative o Metoda Jacobi โ se numeste si โmetoda deplasarilor simultaneโ pentru ca initial se
porneste de la un set de valori initiale date arbitrar necunoscutelor si la fiecare noua iteratie se preiau valorile adaptate ale necunoscutelor rezultate din iteratia precedenta. Ciclul de iteratii inceteaza cand este atinsa o relatie de convergenta. Metoda este satisfacator de rapida, dar are in acelasi timp dezavantajul ca nu se poate aprecia timpul de rezolvare al sistemului, anume cand va fi atinsa relatia de convergenta.
Metoda Gauss-Seidel se bazeaza la fel ca si metoda Jaciobi pe pornirea de la un set de valori initiale arbitrare ale necunoscutelor, si la fiecare noua iteratie se preiau valorile adaptate ale necunoscutelor rezultate din iteratia precedent la care se adauga un termen de โrelaxareโ cuprins intre 1 si 2 care va relaxa la zero reziduul ecuatiei din iteratia curenta, si are rolul de a accelera gasirea solutiei. Este o metoda iterative mai rapida decat Jacobi. Are si aceasta metoda un dezavantaj in sensul ca nu se poate stabili initial o valoare optima pentru termenul de relaxare incat numarul de iteratii sa fie minim. Aceasta metoda este cea mai larg folosita in rezolvarea prin iteratii a sistemelor de ecuatii. Tehnici de grid (mesh)
Trebuie evidentiat de asemenea ideea folosirii unui grid neuniform, in care doua ochiuri vecine sau din puncte diferite ale gridului sa nu aiba acelasi pas de tranzitie intre noduri.
Oricum, indiferent de situatie, este recomandat ca fiecare element din grid sa fie cat mai ortogonal posibil si de asemenea raporturile relative intre dimensiunile laturilor sa fie cat mai apropiate de 1.
Constrangerile care pot impune ca gridul sa fie neuniform pot fi de doua feluri, anume:
โข constrangeri geometrice in care datorita unor forme geometrice foarte complicate (colturi, suprafete neliniare, discontinuitati)
โข constrangeri ale distributiei fenomenului โ in sensul ca este recomandat ca gridul prin forma lui sa cloneze aproximativ forma campurilor de distributie a marimilor studiate. Acest lucru este recomandat pentru a obtine rezultate de mare acuratete pentru fenomenul studiat.
16
In exemplul prezentat mai sus de grid neuniform, profilul de viteze se suprapune cu gridul in sensul ca in zona stratului limita in care viteza are scadere accentuata pe masura apropierii de perete, in consecinta si gridul este mai dens.
Avem formula lui Prandtl pentru grosimea stratului limita laminar:
๐ฟ๐ฟ~๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐ข๐ขโ
=๐ฅ๐ฅ
๐ ๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ
Este de asemenea stiut ca raportul intre gradientii vitezelor pe cele doua directii este de asemenea functie de Re:
๐๐๐ข๐ข๐๐๐ฆ๐ฆ
/๐๐๐ข๐ข๐๐๐ฅ๐ฅ
= ~ ๐ ๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ
Astfel pentru a echilibra variatiile intre noduri pe ambele directii, avand consecinta unei acurateti mai bune a rezultatelor, gridul se va construi deci in zona stratului limita la nivelul fiecarei celule cu un raport โ๐ฆ๐ฆ/โ๐ฅ๐ฅ luat dupa relatia:
โ๐ฆ๐ฆโ๐ฅ๐ฅ
~1
๐ ๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ
In figura de mai sus este prezentat un exemplu unidimensional de variatie a dimensiunii de baza a gridului.
Atunci cand trebuie sa fie modelata o granita de geometrie neliniara, aceasta va fi aproximata cu un model de scara, treapta cu treapta meshatura suprapunandu-se prin nodurile ei pe curba ce trebuie urmata.
17
Cand tot modelul este imersat intr-o meshatura carteziana, atunci la nivel de granita este elaborata o metoda numerica de partitionare a marimii pe granita pe partea interioara si pe partea exterioara a acesteia.
In cazul meshaturilor carteziene (uniforme) are loc intersectie intre laturile celulelor de mesh cu granita domeniului studiat, rezultand forme arbitrare de celule de mesh. Aceste celule se vor numi celule de taietura (cut-cells). Acest lucru va cere aplicarea metodei volumului finit de discretizare pe celulele de taietura.
Etape ale analizei numerice
โข Fixarea problemei โ adunare cat mai multe informatii despre curgere โข Modelul matematic โ stabilire ecuatii cu derivate partiale, conditii initiale, de granita si de limita โข Generare model โ noduri, cellule, instanturi de timp โข Discretizare spatiala โข Discretizare a timpului โ relevarea modelului algebraic linear At=b โข Rezolvantul iterativ โ valori ale functiilor discrete โข Utilizare soft de mecanica fluidelor computationala โ implementarea tuturor conditiilor
modelului de cercetat โข Rularea simularii โ relevare parametrii, criteria de convergenta โข Postprocesare โ vizualizare si analiza date โข Verificarea โ validare model si ajustari
18
2. Parametrii fizici ai climatului unei clฤdiri In aceasta sectiune se vor trata modalitatile de cercetare numerica privind influenta factorilor fizici de mediu. Factorii care determina confortul termic sunt urmatorii:
โข Temperatura aerului โข Umiditatea aerului โข Nivelul de caldura radianta propagata prin incinta โข Viteza de miscare a curentilor de aer
Mai departe vor fi dezbatute in special problemele legate de circulatia aerului incluzand temperatura si viteza de miscare Temperatura aerului In cadrul comfortului ambiental participa temperatura aerului aflat in jurul corpului si ea influenteaza fluxul de cadura transmis prin convectie si conductie intre corp si mediu, fluxul radiativ fiind exclus considerandu-se ca persoana sta departe de sursele de radiatie termica. Variatiile de temperatura destul de fine sunt usor sesizate de corpul uman care se va manifesta prin reactii fiziologice involuntare in primele momente (tremuraturi, senzatia de rece, incretire piele). รn perioada de iarnฤ, cรขnd pentru obลฃinerea unei anumite valori a temperaturii aerului interior se folosesc instalaลฃiile de รฎncฤlzire, apar o serie de fenomene asociate transferului de cฤldurฤ (apare o convecลฃie naturalฤ) care fac ca repartiลฃia temperaturii aerului interior pe verticala incintei sฤ nu mai fie uniformฤ. Distribuลฃia temperaturii aerului interior pe verticala incintei depinde esenลฃial de tipul instalaลฃiilor de รฎncฤlzire utilizate โ vezi figura. Variaลฃia temperaturii pe verticala incintei: a. variatia ideala; b. รฎncฤlzirea cu aer cald; c. รฎncฤlzirea cu sobe de teracotฤ; d. รฎncฤlzirea centralฤ; e. รฎncฤlzirea prin plafon; f. รฎncฤlzirea prin pardosealฤ. La realizarea confortului termic o importanลฃa deosebitฤ o are ลi distribuลฃia temperaturii รฎn planul orizontal incintei โvezi figura. Dacฤ incinta are zone diferฤ cu mai mult de 2 โ 3 grd., trecerea de la zonele calde, la cele mai puลฃin calde, devine supฤrฤtoare pentru om, datoritฤ necesitฤลฃii unui timp de aclimatizare.
a b16 20 24 28 ti[ยฐC]
0,5
1,0
1,5
2,0
h[m]
16 20 24 28 ti[ยฐC]
0,5
1,0
1,5
2,0
h[m]
16 20 24 28 ti[ยฐC]
0,5
1,0
1,5
2,0
h[m]
16 20 24 28 ti[ยฐC]
0,5
1,0
1,5
2,0
h[m]
16 20 24 28 ti[ยฐC]
0,5
1,0
1,5
2,0
h[m]
16 20 24 28 ti[ยฐC]
0,5
1,0
1,5
2,0
h[m]
c. d e f.
23ยฐ
22ยฐ
21ยฐ
20ยฐ19ยฐ 20ยฐ
21ยฐ
22ยฐ23ยฐ
25ยฐ
a. b. 19
Distribuลฃia temperaturii aerului interior รฎntr-o incintฤ: a. cazul รฎncฤlzirii centrale; b. cazul รฎncฤlzirii prin plafon.
Se observฤ cฤ, รฎn centrul รฎncฤperilor, repartiลฃiile temperaturilor aerului sunt foarte apropiate, indiferent
de tipul de รฎncฤlzire, iar lรขngฤ pereลฃi (interiori sau exteriori) repartiลฃiile diferฤ foarte mult. Plaja de confort a temperaturilor de confort este รฎntre 20 si 24ยฐC, รฎn funcลฃie de activitatea depusฤ รฎn acea camera. Cu cรขt efortul depus de ocupanลฃi este mai mare, cu atรขt va scฤdea valoarea temperaturii de confort (pentru starea de repaus temperatura de confort este รฎn jurul valorii de 22-23ยฐC, pentru starea de activitate uลoarฤ, munca de birou, valoarea acesteia este de aproximativ 21ยฐC, pentru munca fizicฤ grea temperatura de confort este de cca 17-18ยฐC, iar รฎn cazurile de muncฤ fizicฤ grea valoarea poate fi chiar de 10ยฐC). Temperatura exterioara
O variatie importanta a temperaturii exterioare este variatia diurnal de-a lungul celor 24 de ore.In cursul zilei temperature variaza sinusoidal de o parte si de alta a unei temperature medii.
Variatia zilnica a temperaturii exterioare: 1 โ zi de iarnฤ; 2 โ zi de primavera/toamna; 3 โ zi de vara Daca temperatura exterioara variaza sinusoidal, aceasta variatie va ajunge in interior cu un anumit decalaj in timp si cu amplitudinea redusa datorita inertiei termice si a acumularilor de caldura din pereti.
Pentru a mentine temperatura din interior constanta intrucat trebuie indeplinita conditia de confort termic, sistemul de incalzire va fi determinat sa reactioneze de asemenea sinusoidal fata de variatia sesizata, cu un decalaj de timp si o amplitudine specifice.
Variaลฃiile zilnice corelate ale temperaturii exterioare, ale necesarului de cฤldurฤ
+12 +16 +20 +24
+32
te
0 4 8 12 16 20 ฯ [h]
-12 -8 -4 0
+4 +8
+28
-16
2
3
1
te
[ยฐC]
ti
qi
0
0
0 6 12 18 24
ฯ [h]
ฯ [h]
ฯ [h]
1
2
3
4
ฮต ฮต
2 Ate
2 Ati
20
pentru รฎncฤlzire ลi ale temperaturii interioare: 1 โ variaลฃia zilnicฤ a temperaturii exterioare in jurul unei valori medii; 2 โ variaลฃia zilnicฤ a fluxului termic din sistemul de รฎncฤlzire in jurul valorii medii fara efectul inerลฃiei termice a clฤdirii; 3 โ variaลฃia zilnicฤ a fluxului termic din sistemul de รฎncฤlzire in jurul aceleiasi valori medii pentru รฎncฤlzire plus efectul inerลฃiei termice a clฤdirii; 4 โ variaลฃia zilnicฤ a temperaturii interioare in jurul unei valori medii si intr-o
banda admisibila de confort. Daca se neglijeaza efectul inerลฃiei termice a clฤdirii, variaลฃia zilnicฤ a necesarului de cฤldurฤ pentru รฎncฤlzire este practic inversฤ variaลฃiei zilnice a temperaturii exterioare. Trebuie remarcat ca daca variatia temperaturii exterioare este permanenta, sistemul de incalzire se va adapta acestei variatii permanent incercand sa o anuleze in virtutea mentinerii in cladire a unei temperaturi constante. Dar intotdeauna va fi un decalaj in timp intre cele doua (sistemul de incalzire reactioneaza cu o anumita intarziere data atat de pragul de sensibilitate al senzorilor, cat si unul dat de reglarea regimurilor sale interne de functionare) cat si o diferenta de amplitudine. Cel mult cele doua temperaturi (exterioara si interioara) pot varia cu aceeasi pulsatie. Prin urmare echilibrul nu v-a fi atins in aceste conditii niciodata, in schimb putem vorbi de o banda de echilibru. Astfel, la o variatie sinusoidala a temperaturii din exterior, in urma raspunsului sistemului de incalzire va apare efectul ca temperatura interioara va varia numai intr-o banda limitata de valori care este de dorit sa fie in interiorul zonei de confort termic. Se poate face comparatia intre o incinta neincalzita si una incalzita, ca in figurile de mai jos.
Variaลฃiile temperaturii interioare รฎntr-o รฎncฤpere: a. รฎncฤpere neรฎncฤlzitฤ; b. รฎncฤpere รฎncฤlzitฤ (flux de cฤldurฤ constant).
Se observa ca incinta neincalzita are un comportament termic โdocilโ variatiilor din exterior, temperatura medie de echilibrul fiind apropiata celei din exterior. In cazul in care in incinta se asigura o incalzire in flux termic constant, temperatura medie de echilibru din aceasta incepe sa difere semnificativ de cea din exterior. Ca urmare:
โข diferenลฃele dintre temperaturile interioare ลi cele exterioare devin maxime รฎn cazul รฎncฤperilor รฎncฤlzite. Dacฤ รฎn cazul รฎncฤperilor neรฎncฤlzite cele douฤ temperaturi oscileazฤ zilnic practic รฎn jurul aceleaลi valori medii, รฎn cazul รฎncฤperilor รฎncฤlzite cele douฤ temperaturi oscileazฤ zilnic รฎn jurul unor valori medii foarte diferite;
โข รฎntre variaลฃiile temperaturilor interioare ลi celor exterioare apar diferenลฃe atรขt ca amplitudine, cรขt ลi ca alurฤ โ existรขnd decalaje รฎntre momentele atingerii extreme
In figura de mai jos se prezinta raspunsul unei constructii experimentale neincalzite la schimbarile de temperatura ale mediului exterior de-a lungul unui an.
Comportmentul termic al unei constructii experimentale neincalzite - Universitatea Tohoku (Japonia)
0 12 24
Ti, Te
[ยฐC]
ฯ
2Ati 2Ate
ฮต
ฮต Te
Ti
a.
Ti, Te
[ยฐC]
0 12 24 ฯ
2Ati
2Ate
ฮต
ฮต ti
Te
b.
21
Din figura de mai sus se observa ca oscilatiile externe de temperatura sunt urmate de oscilatii de temperatura la o amplitudine mai redusa a cladirii. De asemenea se observa si un anumit defazaj dat de inertia termica a cladirii. Anvelopa oscilatiilor externe se intersecteaza cu cea a oscilatiilor de temperatura interne in perioadele de tranzitie din an (primavara si toamna), practic in acele puncte temperatura exterioara si cea din cladire sunt in unda. Se mai constata de asemenea ca la inceputul sezonului cald, dupa o acumulare a caldurii in peretii cladirii, la un moment dat temperatura medie de oscilatie a cladirii urca brusc. Aceasta panta de crestere a temperaturii medii de oscilatie la inceputul sezonului cald este mai abrupta decat panta de descrestere de la inceputul sezonului rece. Se pare ca o influenta o are aici si temperatura solului. Cand in cladire este prezent un sistem de incalzire activ, comportamentul termic al acesteia se modifica semnificativ. Practic temperatura medie din aceasta oscileaza de-a lungul intregului an in jurul unei temperaturi medii de 20 0C.
Un alt exemplu este prezentat in figura de mai jos, in care cele sunt prezentate in paralel cele 2 situatii de incalzire a cladirii:
โข Cladirea cu sistem de incalzire fara termoreglare activa (la flux de caldura constant) โข Cladirea cu sistem de incalzire cu termoreglare activa
Se observa ca in cazul sistemului de incalzire fara termoreglare activa varfurile de oscilatie ale temperaturii din exterior tind sa fie urmate de temperatura interna din cladire. In cazul sistemului de incalzire cu termoreglare activa varfurile de oscilatie tind sa fie โtaiateโ. Datorita acelor variatii mari ale temperaturii din interiorul cladirii in cazul sistemului de incalzire fara termoreglare activa consecinta este un consum de combustibil mai mare, respectiv un confort termic mai scazut. Inertia termica a cladirii
Pentru caracterizarea unui element de construcลฃie sau a unei clฤdiri din punctul de vedere al inerลฃiei termice se foloseลte o mฤrime adimensionalฤ denumitฤ indice de inerลฃie termicฤ D.
Pentru un element de construcลฃie omogen indicele de inerลฃie termicฤ D este:
22
24sRD โ = unde R este rezistenลฃa termicฤ a elementului de construcลฃie, รฎn m2K/W; iar s24 โ coeficientul de asimilare termicฤ a elementului de construcลฃie respectiv pentru oscilaลฃii ale fluxului termic cu perioade de 24 ore, รฎn W/m2K. Coeficientul de asimilare termicฤ a unui element de construcลฃie omogen se determinฤ cu relaลฃia:
pcs โ โ โ โ
= ฯฮปฯฯ
24
2
รฎn care ฯ24 este perioada oscilatiei diurne de temperatura, รฎn s; cp โ cฤldura specificฤ a materialului de construcลฃie, รฎn J/kg.K; ฮป โ coeficientul de conductivitate termicฤ, รฎn W/mK; iar ฯ densitatea materialului, รฎn kg/m3. Pentru un element de construcลฃie neomogen format din mai multe straturi, indicele de inerลฃie termicฤ D este:
โ=
=n
1iiDD
unde Di este indicele de inerลฃie termicฤ a stratului omogen โiโ. In cazul un element de construcลฃie neomogen format din mai multe zone distincte , indicele de inerลฃie termicฤ D se determinฤ cu relaลฃia:
โ
โ
=
=
โ =
n
1ii
n
1iii
S
DSD
รฎn care Di este indicele de inerลฃie termicฤ a zonei distincte โiโ omogene sau neomogene; iar Si โ suprafaลฃa zonei distincte โiโ. Se recomandฤ urmฤtoarele valori limitฤ ale necesare pentru realizarea confortului termic:
โข pentru รฎncฤlzirea cu sobe (รฎncฤlzire intermitentฤ): D โฅ 2,5 โข pentru รฎncฤlzirea centralฤ (centrale termice, cogenerare): 1.5 โค D โค 2.0
Stabilitatea termica a elementelor de construcลฃie este influentata de proprietฤลฃile termofizice ale materialelor de constructic ลi de alcatuirea lor. Stabilitatea termica a anvelopei cladirii este descrisa de parametrii:
โข Coeficientul ฮฝ de amortizare a amplitudinii oscilatiei temperaturii aerului exterior ca raport intre amplitudinea de oscilatie a temperaturii de calcul a aerului exterior si amplitudinea de oscilatie a temperaturii suprafetei interioare a anvelopei cladirii
โข Defazarea oscilatiilor temperaturilor mediului inconjurator reprezinta timpul pe care maximul unui front de unda de temperatura il parcurge de la o fata a peretelui la cealalta.
Amortizarea undei de temperatura din exterior Amortizarea undei de temperatura arata in ce raport scade amplitudinea de variatie temperatura exterioara cand tranziteaza peretele si ajunge atenuata la suprafata interioara a acestuia. Coeficientul de amortizare al undei de temperatura este
ฮฝ =๐ด๐ด๐๐๐ด๐ด๐๐
unde Ae ลi Ai sunt amplitudinile de oscilaลฃie ale temperaturii exterioare, respectiv interioare Clฤdirile de locuit sunt caracterizate de coefiecienลฃi de amorizare ฮฝ cu valori de circa 15 โ 30. Avรขnd รฎn vedere cฤ amplitudinea oscilaลฃiilor temperaturii exterioare este รฎn cursul iernii in medie de 6 โ 8 grd., oscilaลฃiile temperaturii interioare vor fi de aproximativ:
Cti0)53,0...20,0(
)30...15()8...6(
==โ
respectรขnd condiลฃia impusฤ de realizarea confortului termic care prevede cฤ valoarea acestei amplitudini nu trebuie sa depฤลeascฤ 1 grad.
23
Defazarea undei de temperatura din exterior Unda de temperatura din exterior cand strabate peretele pana la suprafata interioara a acestuia suporta si o defazare. Defazajul ฮต este de asemenea o consecinta a inerลฃiei termice si are o valoare de 4 รท 12 ore. O formula care aproximeaza acest defazaj al undei de temperatura la trecere printr-un perete este:
๐๐ =1
1540.5 ๐ท๐ท โ atan
๐ผ๐ผ๐๐๐ผ๐ผ๐๐ + ๐ฟ๐ฟโ2
โ atan๐ฟ๐ฟ
๐ฟ๐ฟ + ๐ผ๐ผ๐๐โ2
unde ๐ฟ๐ฟ este grosimea peretelui, D este inersia termica, iar ๐ผ๐ผ๐๐ ,๐ผ๐ผ๐๐coeficientii de convectie pe suprafata interioara si exterioara. Rezumand, la trecerea prin perete undele termice sufera un proces de atenuare ca amplitudine si un proces de defazare cu intarziere a oscilatiei, lungimea de unda pastrandu-se. In cazul incintelor, coeficientul de amortizate ฮฝ a undei de temperaturฤ ลi defazajul ฮต se pot determina prin calculul transferului termic รฎn regim nestaลฃionar folosind metode numerice (diferenลฃe sau elemente finite). Practic orice variatie externa de temperatura ce cauta sa influenteze temperatura din interior suporta urmatoarele transformari:
1. Este atenuata in amplitudine (deci aplatizata) si decalata in timp de inertia termica a peretilor externi ai cladirii
2. Este sesizata de senzorii sistemului de incalzire care va ridica temperatura aerului din interior suplimentar fata de momentul initial pentru a preintampina aceasta variatie
3. Sistemul de incalzire dupa ce ridica temperatura la un anumit prag se opreste, surplusul de temperatura transmis in interior va urma sa fie cedat catre exterior datorita variatiei sesizate de acolo
4. Va fi cedata caldura catre exterior pana cand sistemul sesizeaza ca temperatura din interior scade sub cea stabilita atingand pragul de toleranta
5. Sistemul de incalzire se va declansa din nou Astfel fluxul de caldura pentru รฎncฤlzire trebuie livrat la o valoare medie zilnicฤ, corespunzฤtoare temperaturii exterioare medii zilnice, fฤrฤ ca abaterile temperaturii interioare de la condiลฃiile de confort termic sฤ depฤลeascฤ limitele admisibile. Daca sistemul de incalzire nu functioneaza in virtutea acestor principii in acest caz nu este garantat nici confortul termic, si in plus sistemul poate duce la consumuri de energie nejustificate pentru incalzire. Viteza aer din interior Oamenii sunt sensibili in general la curentii de aer din ambient. Astfel, este de dorit sa existe o circulatie dar slaba a aerului in incinte. Daca aerul este prea stagnant in conditiile in care temperatura este destul de ridicata, apare senzatia de inabusire. Daca aerul circula cu viteza mare apare mai usor senzatia de frig deoarece fluxul convectiv corp-ambient creste. Activitatile fizice din cladiri au influenta in viteza generala a aerului din incinte. Daca viteza aerului in incinta distribuita si foarte eterogen, existand curenti de aer predominanti si care sunt sesizabili acest lucru poate genera nu doar disconfort termic, ba chiar si inbolnavire (raceli, dureri de cap, etc). Oamenii au sensibilitati destul de diferite la curentii de aer si de multe ori intr-un spatiu comun apar multe opinii divergente si la acest lucru (situatii de usi deschise, ferestre deschise, porniri ale aparatelor de ventilatie si aer conditionat, etc)
24
Gradientul de deplasare al aerului in incinta la diverse ore intr-o zi obisnuita de iarna
Sectiunea de masura din incinta
Se considera ca o viteza de 0.15 โ 0.25 m/s a aerului este optima pentru confortul termic. Viteza vantului de calcul Viteza vantului de calcul vas ta la baza stabilirii coeficientului de convective a suprafetei exterioare. Este stabilitฤ prin prelucrarea statisticฤ a vitezelor vรขntului, รฎnregistrate pe perioade lungi de timp (20 โ 30 de ani), simultane cu temperaturile exterioare cele mai coborรขte. De regula temperaturile exterioare cele mai scฤzute nu corespund cu vitezele cele mai ridicate ale vรขntului. Este adevarat de asemenea ca la o temperatura exterioara scazuta vantul detemina o amplificare a perceptiei de frig datorita intensificarii convectiei. Pe baze statistice, referitoare la concomitenลฃa vรขnt - temperaturฤ, s-au adoptat valori de calcul ale vitezei vรขntului, care determinฤ 4 zone eoliene pe teritoriul ลฃฤrii ( SR 1907-1). Zonarea climaticฤ fฤcutฤ dupฤ temperatura exterioarฤ de calcul nu este identicฤ cu zonarea eolianฤ. Valorile vitezelor de calcul ale vรขntului, รฎn m/s, valabile รฎn Romรขnia
Zona eolianฤ Amplasamentul clฤdirii รฎn localitฤลฃi รฎn afara localitฤลฃii
I 8,0 10,0 II 5,0 7,0 III 4,5 6,0 IV 4,0 4,0
25
Radiatia solara Energia radiaลฃiilor provine din energia internฤ a corpurilor ลi diferฤ de la o radiaลฃie la alta. Toate
corpurile emit ลi absorb radiaลฃii รฎn proporลฃii diferite ลi pe lungimi de undฤ caracteristice, sau pe toatฤ gama lungimilor de undฤ. Radiaลฃia diferฤ de conducลฃie ลi convective in principal prin urmฤtoarele:
โข nu necesitฤ prezenลฃa substanลฃei ca mediu de propagare โข puterea termicฤ transferatฤ prin radiaลฃie este proporลฃionalฤ cu puterea a patra a temperaturilor
corpurilor implicate รฎn schimbul termic. Radiaลฃia termicฤ reprezintฤ acea parte a radiaลฃiei electromagnetice care transferฤ cฤldurฤ. Aceasta este definitฤ de intervalul lungimilor de undฤ cuprins รฎntre 10-7 m ลi 10-4 m, adicฤ domeniul infraroลu ลi parลฃial cel ultraviolet, inclusiv spectrul รฎngust al radiaลฃiei vizibile, respectiv: (3,9.10-7......7,8. 10-7)
Spectrul radiatiei solare este divers, dar cea mai mare parte a energiei acesteia este concentrate in
jurul lungimii de unda de 0.5 ฮผm. De exemplu intregul spectru cuprinde de la raze X (<0.01 ฮผm) pana la unde radio (>100 m) dar 99.9% din energia totala este continuta inauntru intervalului 0.22 โ 10.94 ฮผm.
Spectrul radiatiei solare
Duratele medii de strฤlucire a soarelui, determinate prin prelucrarea statisticฤ a datelor meteorologice, diferฤ รฎn funcลฃie de localitate ลi de luna anului. รn tabelul urmฤtor se dau sumele medii ale duratelor de strฤlucire a soarelui, รฎn ore pe lunฤ, pentru unele localitฤลฃi din Romรขnia. Durate medii de strฤlucire a soarelui, รฎn ore/lunฤ
Localitatea Ianuarie
Mai
Iulie
Septembrie
Galaลฃi 76
250
307
230
Constanลฃa
78
254
330
243
Craiova 64
252
310
208
Cluj 83
219
236
201
Radiaลฃia solarฤ globalฤ [W/m2] se compune din:
26
โข Radiaลฃie directa โ depinde de orientarea suprafetei receptoare. Radiatia directa in unde scurte este cea mai importanta componenta a radiatiei globale si are aportul cel mai mare in bilantul energetic
โข Radiaลฃie difuzฤ (datoratฤ aerului atmosferic ลi norilor) โ nu depinde de orientarea suprafetei receptoare. Radiatia difuza este imprastiata din razele solare de catre aer si aerosoli (particule de praf, resturi de vegetatie, etc)
โข Radiatia reflectata este in principal datorita neregularitatilor din teren si are un aport mai mare in special in zonele muntoase
Pe cer senin radiaลฃia directฤ este maximฤ ลi cea difuzฤ minimฤ, iar pe cer รฎnnorat, invers.
Radiaลฃia solarฤ globalฤ este diferitฤ รฎn funcลฃie de ora zilei. La calculul radiatiei solare asupra unei clฤdiri trebuie avute รฎn vedere particularitฤลฃile amplasamentului referitoare la vecinฤtฤลฃi ลi la efectele umbririi cauzate de vegetaลฃie ลi alte clฤdiri.
Tipurile de radiatie solara: a) directa; b) difuza; c) reflectata
In general graficul de radiatie solara de-a lungul unui an este dupa caracteristica prezentata mai jos:
Radiatia solara (I) este rata de la care energia radiant este incidenta pe unitatea de suprafata. Daca cerul este senin se poate calcula de asemenea o component difuza a radiatiei care este si izotropica. In conditii de cer noros sau partial noros de asemenea exista o radiatie difuza dar care de data aceasta nu mai este izotropica. Daca intensitatea de radiatie soseste pe suprafata de pamant dintro directive data, atunci cantitatea de radiatie incident pe unitatea de suprafata de-a lungul directiei โzenithโ este:
๐ผ๐ผ๐ง๐ง = ๐ผ๐ผ ๐๐๐น๐น๐๐ ๐๐๐ง๐ง 27
unde ๐๐๐ง๐ง este unghiul azimuthal intre normal la suprafata si directia razei.
O formula de calcul a intensitatii radiatiei solare pentru o anumita data din an, este prezentata mai jos:
๐ผ๐ผ = ๐ผ๐ผ0 1 + 0.033 ๐๐๐น๐น๐๐ 360 ๐๐๐๐
365
unde ๐๐๐๐ este numarul de ordine al zilei din an.
Orbita Pamantului in jurul Soarelui
Unghiurile specifice radiatiei solare
28
3. Calculul termotehnic al componentelor cladirii Calculul termotehnic al componentelor cladirii are in principal urmatoarele ratiuni:
โข Asigurarea confortului interior al cladirii โข Reducerea consumului de energie โข Evitarea aparitiei condensului fie pe suprafetele elementelor de constructive fie in interiorul
acestora Transferul de caldura in interiorul unui perete din doua panouri radiante
Q๐๐ =๐ถ๐ถ๐๐ ๐๐100
(๐๐๐๐4 โ ๐๐๐๐4) = ๐ถ๐ถ๐๐ ๐๐1004
(๐๐๐๐ + ๐๐๐๐)(๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐2) (๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐) =(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐)
Rr
Prin urmare rezistenta termica in cazul radiatiei este:
Rr =0.1 โ 10โ3
๐ถ๐ถ๐๐ ๐๐ (๐๐๐๐ + ๐๐๐๐)(๐๐๐๐2 + ๐๐๐๐2)
In cazul convectiei rezistenta termica este:
Rconv =1
๐ผ๐ผ๐๐๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ ๐๐
Aplicand regulile circuitelor termice se obtine:
Rconv = Rconv1 + Rconv2 1R
=1
Rconv+
1Rr
R =Rr + Rconv
Rr Rconv
๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ1 ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ2
๐ ๐ ๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐
ฮด
๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๐ผ๐ผ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐
29
Calculul termotehnic al ferestrelor
Din punct de vedere al energiei, ferestrele sunt elementele prin care se poate pierde multa energie daca nu este adoptata o solutie constructiva satisfacatoare a acestora. Cu geamuri conventionale practic o mare cantitate de energie este pierduta in exterior. In case tipice cu astfel de ferestre conventionale pierderile de caldura pot ajunge pana la 1/3 din energia termica pentru incalzirea cladirii. Ferestrele prin constructia lor furnizeaza izolare termica dar si captare de energie din radiatia solara. In general geamurile transmit 75-80% din radiatia solara catre incapere, absorb 10-20% si reflecta inapoi in exterior 10-20%. Pentru intreaga fereastra se calculeaza un coeficient global de schimb de caldura echivalent incluzand pe cel al geamului, cadrului si tocului.
๐พ๐พ =๐พ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐พ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐พ๐พ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐
In care suprafata totala de calcul va fi ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ Pentru o intensitate de radiatie solara I incidenta pe geam, o parte ฯI este reflectata, o alta parte ฮฑI este absorbita in geam, si o alta parte ฯI este transmisa catre interior.
๐๐ + ๐ผ๐ผ + ๐๐ = 1 Radiatia transmisa spre interior se considera absorbita total prin efectul de cavitate, intrucat marea majoritate din razele radiante ce trec de geamuri parcurg mai departe drumul pana sunt absorbite de pereti, cantitatea rezultata din reflectia din suprafata interioara a geamului respectiv din peretii incaperii inapoi la geam fiind nesemnificativa.
๐ผ๐ผ0 = (1 โ ๐๐)๐ผ๐ผ Daca ๐๐ este versorul radiatiei I0 care va parcurge peretele, atunci:
๐๐๐ผ๐ผ๐๐๐๐
= โ๐๐๐๐
๐ผ๐ผ = ๐ผ๐ผ0๐๐โ๐๐๐๐
๐ ๐
๐๐๐๐
๐ผ๐ผ
๐๐๐ผ๐ผ
๐๐๐๐
๐ผ๐ผ0 ๐ ๐ โฒ
๐ก๐ก
๐ผ๐ผ๐ก๐ก
๐๐๐ผ๐ผ๐ก๐ก
(1 โ ๐๐)๐ผ๐ผ๐ก๐ก
30
Atunci cand ๐๐ = ๐ก๐ก๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐โฒ
se obtine ca:
๐ผ๐ผ๐ก๐ก = ๐ผ๐ผ0๐๐โ ๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐โฒ
Deci cantitatea de caldura absorbita de geam este:
๐ผ๐ผ0 โ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก = ๐ผ๐ผ0 1 โ ๐๐โ๐๐๐ก๐ก
๐๐๐๐๐ ๐ ๐ผ๐ผโฒ Si fractiunea de absorbtie este deci:
๐๐ =๐ผ๐ผ0 โ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก๐ผ๐ผ0
= 1 โ ๐๐โ๐๐๐ก๐ก
๐๐๐๐๐ ๐ ๐ผ๐ผโฒ
๐ผ๐ผ๐ก๐ก = (1 โ ๐๐)๐ผ๐ผ0
Fluxul de radiatie transmisa prin geam va fi (1 โ ๐๐)๐ผ๐ผ๐ก๐ก In prezenta radiatiei solare, fluxul termic total prin geam este:
๐ = ๐พ๐พ(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐) + ๐๐๐ผ๐ผ๐๐ + ๐ผ๐ผ๐๐๐๐ โ๐๐ Unde โ๐๐ este diferenta cu care a crescut temperatura geamului. In situatie fara radiatie caldura transferata este:
๐ = ๐ผ๐ผ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ =๐๐๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ = ๐ผ๐ผ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = ๐พ๐พ(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐)
๐พ๐พ =1
1๐ผ๐ผ๐๐
+ ๐ฟ๐ฟ๐๐ + 1
๐ผ๐ผ๐๐
La existenta radiatiei mai apare un flux de caldura provenit radiatie convertita in caldura ๐๐๐๐๐ si un flux de radiatie ramasa ๐๐๐๐๐๐๐ astfel incat caldura schimbata este:
๐๐๐ก = ๐ โ ๐๐๐ = ๐ โ ๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ก = ๐พ๐พ๐๐(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐) โ ๐ผ๐ผ๐๐๐๐โ๐๐ โ ๐๐๐ผ๐ผ๐๐ Deci:
๐๐๐ก = ๐ผ๐ผ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ โ๐๐ โ ๐๐๐ผ๐ผ =๐๐๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐โ๐๐ = ๐ผ๐ผ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ + โ๐๐ โ ๐๐๐๐ โ (๐ผ๐ผ + ๐๐)๐๐๐ผ๐ผ
Rezulta ca
๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ = ๐ผ๐ผ๐๐โ๐๐ + ๐ผ๐ผ๐๐โ๐๐ = โ๐๐(๐ผ๐ผ๐๐ + ๐ผ๐ผ๐๐) Practic
(๐ผ๐ผ + ๐๐)๐ผ๐ผ = ๐ผ๐ผ๐๐โ๐๐ + ๐๐๐๐๐๐โ๐๐ = ๐ผ๐ผ๐๐โ๐๐ + ๐๐๐ผ๐ผ Deci
โ๐๐ =๐ผ๐ผ
(๐ผ๐ผ๐๐ + ๐ผ๐ผ๐๐) ๐ผ๐ผ
Se obtine o noua expresie a schimbului total de caldura:
๐๐๐ก = ๐พ๐พ๐๐(๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐) โ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐๐
(๐ผ๐ผ๐๐ + ๐ผ๐ผ๐๐) ๐๐ โ ๐๐๐ผ๐ผ๐๐
Deci castigul de caldura din radiatie este:
31
๐๐๐ =๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐๐
(๐ผ๐ผ๐๐ + ๐ผ๐ผ๐๐) ๐๐ + ๐๐๐ผ๐ผ๐๐
Mai departe vom explicita legatura dintre termenii ฯ, ฮฑ si ฯ.
๐ผ๐ผ = ๐ผ๐ผ๐๐ + ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ + ๐๐๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ = (1 โ ๐๐)๐๐๐ผ๐ผ + (1 โ ๐๐)๐๐๐๐(1 โ ๐๐) + (1 โ ๐๐)๐๐๐๐(1 โ ๐๐)๐๐(1 โ ๐๐) โฆ = ๐๐(1 โ ๐๐)๐ผ๐ผ + ๐๐๐๐(1 โ ๐๐)(1 โ ๐๐)๐ผ๐ผ + ๐๐๐๐(1 โ ๐๐)(1 โ ๐๐)2๐ผ๐ผ+. ..
= ๐๐(1 โ ๐๐)๐ผ๐ผ[1 + ๐๐(1 โ ๐๐) + ๐๐2(1 โ ๐๐)2+. . . ] = ๐๐(1 โ ๐๐)๐ผ๐ผlim๐๐โโ
1โ๐๐๐๐+1(1โ๐๐)๐๐+1
1โ๐๐(1โ๐๐)
= ๐๐(1โ๐๐)1โ๐๐(1โ๐๐)
๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ = ๐๐๐ผ๐ผ + ๐๐(1 โ ๐๐)2(1 โ ๐๐)2 + ๐๐3(1 โ ๐๐)2(1 โ ๐๐)4 + โฏ = ๐๐1 + (1 โ ๐๐)2(1 โ ๐๐)2[1 + ๐๐2(1 โ ๐๐)2 + โฏ ]
= ๐๐๐ผ๐ผ 1 + (1 โ ๐๐)2(1 โ ๐๐)2 lim๐๐โโ
1โ๐๐2๐๐+2(1โ๐๐)2๐๐+2
1โ๐๐2(1โ๐๐)2
= ๐๐๐ผ๐ผ 1 + (1โ๐๐)2(1โ๐๐)2
1โ๐๐2(1โ๐๐)2
๐๐๐ผ๐ผ = (1 โ ๐๐)2(1 โ ๐๐)๐ผ๐ผ + ๐๐2(1 โ ๐๐)2(1 โ ๐๐)3๐ผ๐ผ + ๐๐4(1 โ ๐๐)2(1 โ ๐๐)5๐ผ๐ผ+. .. = (1 โ ๐๐)2(1 โ ๐๐)๐ผ๐ผ[1 + ๐๐2(1 โ ๐๐)2 + ๐๐4(1 โ ๐๐)4+. . . ]
= (1 โ ๐๐)2(1 โ ๐๐)๐ผ๐ผlim๐๐โโ
1โ๐๐2๐๐+2(1โ๐๐)2๐๐+2
1โ๐๐2(1โ๐๐)2
= (1โ๐๐)2(1โ๐๐)1โ๐๐2(1โ๐๐)2
๐ผ๐ผ Elemente de calculul termotehnic al fundatiei cladirii La nivelul fundatiei cladirii are loc transfer de caldura ce are rolul practic de a diminua variatiile de temperatura din incinta. Se remarca urmatoarele situatii:
โข Iarna daca cladirea este neincalzita toate variatiile de temperatura din cladire sunt amortizate de schimbul de caldura cu pamantul de sub fundatie. Daca cladirea este neincalzita iarna, apar perioade de transfer de caldura de la cladire spre fundatie (incalzire brusca a vremii), dar pot fi si perioade cand fundatia cedeaza caldura catre cladire (racire brusca a vremii).
โข Iarna daca cladirea este incalzita se cedeaza permanent caldura catre pamantul de sub fundatie.
32
โข Vara datorita faptului ca cladirea are inertie termica mult mai mica decat pamantul,ea se incalzeste mai mult si apare un flux de caldura de la cladire spre pamantul de sub ea. Practic pamantul de sub cladire vara are un efect de racorire a acesteia.
La nivelul pamantului de sub fundatie transferul de caldura se produce dupa directii perpendiculare pe izotermele ce se stabilesc la nivelul solului.
Daca ne uitam la formaa izotermelor din pamantul fundatiei, vom vedea o diferentiere alurii curburii in perioada rece fata de cea calda de-a lungul anului, deci apare o diferenta a fluxurilor atat ca marime cat si ca directie.
33
O privire mai de ansamblu asupra profilului termic al solului functie de sezon este data in figura de mai jos:
Datorita inertiei termice mari, solul de sub fundatie si implicit fundatia vor avea un raspuns intarziat si cu atenuare la variatiile exterioare de temperatura.
34
In figura de mai jos se prezinta caracteristicile de temperatura ale solului la diferite adancimi. Cu cat adancimea este mai mare schimbarile de temperatura ale aerului de afara sunt resimtite mai putin. Practic la 5 m adancime variatiile de temperatura de la suprafata nu mai sunt resimtite.\
Pentru o fundatie pbisnuita se vor folosi materialele ca in tabelul de mai jos.
Material Grosime, ฮด [mm]
Densitatea, ฯ [Kg/m3]
Conductivitatea termica, ๐๐ [W/mK]
Caldura specifica, Cp [J/Kg K]
Pardoseala beton 10 2400 1.500 1000 Radier beton 200 2400 1.500 1000 Pietris 100 2000 2.000 812 Izolatie termica 50 40 0.029 1.21 Pamant - 1.000
In figura de mai jos este prezentata o schita a modelului de studiat
35
Intreaga fundatie se considera o placa asezata pe sol. Caldura pierduta prin suprafata planseului:
๐๐(๐๐) = โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐๐
Conditia de frontiera la interior: ๐๐๐๐ โ ๐๐๐ฟ๐ฟ/๐๐
= โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
Conditia de frontiera la exterior:
๐๐๐๐(๐๐) = ๐๐0 + ๐๐1๐๐๐ ๐ ๐ ๐ 2๐๐ ๐๐๐๐๐๐โ ๐๐1
Unde ฮe este temperatura externa, ฮ0 temperatura medie anuala, ฮ1 amplitudinea de temperatura, ๐๐๐๐ perioada de variatie de un an de zile, iar ๐๐1 este faza de timp in care se pozitioneaza datele initiale incat graficul de variatie sa se suprapuna pe variatia din realitate. Pentru rezolvarea distributiei temperaturilor si fluxurilor in sol, descrierea fenomenului de transfer de caldura este dupa ecuatia Laplace:
โข in flux stationar de caldura: ๐๐2๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ2
+๐๐2๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ2
+๐๐2๐๐๐๐๐ง๐ง2
= 0
โข in flux tranzitoriu de caldura: 1๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
=๐๐2๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ2
+๐๐2๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ2
+๐๐2๐๐๐๐๐ง๐ง2
Aceasta ecuatie diferentiala cu derivate partiale se va putea rezolva prin metoda diferentelor finite sau prin metoda elementului finit. Un exemplu relevant pentru cazul unidimensional de schimb de caldura il vom prezenta mai jos:
1๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
=๐๐2๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ2
Bazat pe aceasta ecuatie, se poate alege o functie care satisface atat aceasta ecuatie, dar care acopera in buna masura datele experimentale de variatie a temperaturii exterioare de-a lungul anului. O astfel de solutie este de exemplu pentru un caz particular:
๐๐(๐ฆ๐ฆ, ๐๐) = ๐๐0 โ ๐ด๐ด0๐๐โ๐ฆ๐ฆ ๐๐
365 ๐๐0.5
๐๐๐น๐น๐๐ 2๐๐
365๐๐ โ ๐๐0 โ
๐ฆ๐ฆ2
๐๐365 ๐๐
0.5
In ecuatie apare marimea ๐๐ care este difuzivitatea termica a solului, iar ๐๐0 este constanta de faza care ajusteaza fprmula la variatia reala a temperaturii. Daca modelul de fundatie se discretizeaza cu elemente finite, atunci in urma rularii modelului rezultatele vor arata ca in figura de mai jos.
36
Un model de simulare al pierderii de caldura prin radierul de fundatie in luna ianuarie este prezentat de asemenea mai jos.
37
4. Teoria circuitelor termice
Atat in transformari in regim stationar cat si nestationar procesele de transfer de caldura pot fi
asimilate cu procesele si relationarile din circuite electrice, in sensul ca se pot face unele analogii ce vor facilita studierea lor. Astfel, Marimea Termica Marmea Electrica Temperatura, T [K] Potentialul electric, U [V] Flux termic, Q [W/s] Intensitatea curentului, I [A] Rezistenta termica, ๐ ๐ = 1
๐พ๐พโ๐๐ [ K/W] Rezistenta Electrica, R [ฮฉ]
Capacitatea termica a fluidui, C [๐ฝ๐ฝ/๐พ๐พ๐พ๐พ โ ๐พ๐พ] Capacitatea electrica, C [F] Se pot face unele analogii in privinta aparatelor specifice domeniilor termic si electric Aparat termic Aparat Electric Perete Configuratie Rezistor+Condensator Suprafete radiante paralele Condensator electric Volum de gaz Condensator electric Schimbator de caldura Transformator electric
In forma Laplace generalizata in coordonata โsโ fiecare componenta are urmatoarele marimi omoloage corespunzatoare imaginii transformatei Laplace: Element Marime specifica Impedanta specifica Rezistor ๐ ๐ ๐ ๐ Condensator ๐ถ๐ถ 1
๐๐ โ ๐ถ๐ถ
Inductanta ๐ฟ๐ฟ 1๐๐ โ ๐ฟ๐ฟ
.Ca o observatie, inca nu s-a gasit un omolog pentru inductanta electrica in circuitele termice.
Impedanta este marimea ce poate ingloba si caracteristica de rezistor si e cea de condensator, deci este exact marimea ce poate exprima de una singura comportamentul unui perete sau al masei de aer dintr-un compartiment.
๐๐ = ๐ ๐ + ๐๐ โ ๐๐ Unde R este rezistenta componentei respectiv X este reactanta acesteia.
โ๐๐โ = ๐ ๐ 2 + ๐๐2 Unde ๐ ๐ = โ๐๐โ โ cos(๐๐) , ๐๐ = โ๐๐โ โ sin(๐๐) , ๐๐ = ๐๐๐ก๐ก๐๐๐ ๐ ๐๐
๐ ๐
Aplicand toate aceste analogii, vom studia mai departe cateva exemple tipice de transfer de caldura in analogie cu circuitele electrice. Circuitul termic al unui perete simplu
๐๐1 ๐๐2
๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐,1 ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐,2
๐ ๐ ๐๐,๐๐
๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ,๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ,๐๐
๐ ๐ ๐๐,๐๐
๐ถ๐ถ
๐๐๐๐
๐๐๐๐,๐๐
๐๐๐๐
๐๐๐๐,๐๐
38
Fiecare componenta din circuitul termic se calculeaza dupa formulele: Capacitatea: ๐ถ๐ถ = ๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ๐ฅ๐ฅ
Rezistenta convectiva: Rconv = 1๐ผ๐ผ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐
Rezistenta radiativa:
Rr = 0.1โ10โ3
๐ถ๐ถ๐๐ ๐๐ (๐๐๐๐+๐๐๐๐)๐๐๐๐2+๐๐๐๐2
Rezistenta conductiva: Rcond = 1๐๐๐ฟ๐ฟ ๐๐
Circuit RC cu constanta de timp al unei incinte
In aceasta situatie se considera incinta avand caldura stocata sub forma de energie interna in โcondensatorulโ sau de capacitate C. Lasand sistemul sa functioneze si interactioneze liber, din condensator incepe sa fie emis un flux de caldura Q prin peretele de โrezistentaโ termica globala R. Deci oricum pentru a modela inertia termica a unui element trebuie folosit modelul de condensator cu capacitatea sa de stocare.
๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
=๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐ ๐
+ ๐๐ Daca ๐๐๐๐ = ๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐ ๐ ๐๐ si ๐๐๐๐ = ๐ ๐ ๐ถ๐ถ atunci:
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+ ๐๐ = 0 Aceasta ecuatie are solutia generala:
๐๐(๐๐) = ๐๐(๐๐0) ๐๐โ๐๐๐๐๐๐
Se ia constanta de timp ๐๐๐๐ = ๐ ๐ ๐ถ๐ถ care este o constanta ce caracterizeaza modul in care sistemul filtreaza unda termica ce trece prin el. Astfel, sistemul are specifica si o frecventa de โtaiere:
๐๐๐๐ =1
2 ๐๐ ๐๐๐๐
Aceasta frecventa de taiere inseamna ca pana la o anumita frecventa sistemul atenueaza unda termica, si de la o frecventa in sus sistemul tinde sa amplifice semnalul.
Cu cat constanta de timp a unei cladiri este mai mare, cu atat aceasta are inertia termica mai mare, adicdureaza mai mult sa fie incalzita sau racita. Daca insa fluxul de caldura Q este unul variabil in timp, atunci solutia generala a ecuatiei este:
๐๐๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐(๐๐0)๐๐๐๐0โ๐๐๐๐๐๐ + ๐ข๐ข(๐๐โฒ) ๐๐
๐๐โฒโ๐๐๐๐๐๐
๐๐
๐๐0
๐๐๐๐โฒ
In care ๐ข๐ข(๐๐) = ๐๐0(๐๐)+๐ ๐ ๐๐(๐๐)๐๐๐๐
Din pacate circuitul RC nu este suficient pentru tot ceea ce este propus. El trateaza cladirea ca si cand
toate masele termice sunt in interior, intotdeauna la aceeasi temperatura ca aerul interior. In cladiri de fapt implicarea termica a maselor este mult mai complicata.
Pentru aplicatiile cu termostat modelul RC poate da rezultate acceptabile daca se alege o capacitate C corespunzatoare.
๐ ๐
๐ถ๐ถ
๐๐๐๐ ๐๐๐๐
39
Circuitul termic RC extins al unei incinte
In acest tip de circuit termic practic mai este introdus un parametru, anume pe langa capacitatea termica cu care participa anvelopa cladirii, mai este introdusa o capacitate termica a interiorului cladirii (in care sunt inclusi pereti, plansee, aer interior). Avand aceasta adaugire modelul de calcul este mult mai fidel realitatii fenomenelor. Ecuatiile sistemului termic sunt:
๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
=๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐
+ ๐
๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
=๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐
+๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐
Vom cauta sa scapam de variabila intermediara ๐๐๐๐ urmand sa obtinem modelul matematic doar in temperaturile ๐๐๐๐ si ๐๐๐๐ . In urma unor transformari se obtine ecuatia diferentiala de ordinul 2:
๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐๐๐๐๐๐๐๐2
+ ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ + ๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐= 0
Consideram cazul special in care ๐๐๐๐ si ๐๐๐๐ sunt constante. Atunci facand substitutia: ๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐(๐๐) โ ๐๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ ๐ ๐๐๐๐๐
Se obtine modelul simplificat al ecuatiei:
๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐๐๐๐๐๐2
+ ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+ ๐๐ = 0 Plecand de la solutia particulara a ecuatiei diferentiale:
๐๐(๐๐) = ๐๐(๐๐0) ๐๐โ๐๐๐๐๐๐
Vom obtine ecuatia de grad 2 pe care trebuie sa o satisfaca constanta de timp ๐๐๐๐: ๐๐๐๐2 โ ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ = 0
Solutiile sunt:
๐๐๐๐,1 =12๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ 1 + 1 โ
4 ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐
2
๐๐๐๐,2 =12๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ 1 โ1 โ
4 ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐
2
Succint, avand 2 constante de timp ale sistemului, solutia generala este:
๐๐๐๐(๐๐) = ๐ด๐ด1๐๐โ ๐๐๐๐๐๐,1 + ๐ด๐ด2๐๐
โ ๐๐๐๐๐๐,2
Unde coeficientii ๐ด๐ด1 si ๐ด๐ด2 sunt determinati din conditiile initiale pentru ๐๐๐๐(๐๐0) si ๐๐๐(๐๐0). Dupa cum se vede la inertia termica a sistemului participa doua constante de timp fapt care in regimurile dorite de functionare duce la aplatizarea variatiilor. Un model cu 2 noduri are doua constante de timp, iar un model cu n noduri va avea in consecinta n constante de timp. Pentruintreaga cladire este o constanta de timp care este rezultanta tuturor constantelor de timp date de fiecare nod. Aceasta constanta de timp globala a cladirii este mult mai mare decat toate celelalte. Aceasta constanta de timp globala determina raspunsul cladirii la variatii lente de temperatura.
๐ถ๐ถ๐๐
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๐ถ๐ถ๐๐
๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐
40
Elemente de teoria sistemelor aplicate transferului de caldura in cladiri Consideram ecuatia Fourier de transfer a caldurii unidimensionala si tranzitorie:
๐๐๐๐๐๐๐๐
= ๐๐ โ๐๐2๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ2
Transformata Laplace a functiei ๐๐(๐ฅ๐ฅ, ๐๐) este:
๐๐(๐ฅ๐ฅ, ๐๐) = ๐๐(๐ฅ๐ฅ, ๐๐) = ๐๐โ๐๐โ๐๐ โ ๐๐(๐ฅ๐ฅ, ๐๐) โ ๐๐๐๐โ
0
Aplicand proprietatile transformatei Laplace ecuatiei caldurii, se obtine ecuatia in p: ๐๐2๐๐(๐ฅ๐ฅ,๐๐)๐๐๐ฅ๐ฅ2
โ๐๐๐ผ๐ผ๐๐(๐ฅ๐ฅ,๐๐) +
1๐ผ๐ผ๐๐(๐ฅ๐ฅ, 0) = 0
Se foloseste apoi teorema de inversare a transformatei Laplace:
๐๐(๐ฅ๐ฅ, ๐๐) = โโ1[๐๐(๐ฅ๐ฅ,๐๐)] = ๐๐๐๐โ๐ก๐ก โ ๐๐(๐ฅ๐ฅ,๐๐) โ ๐๐๐๐๐๐+๐๐โโ
๐๐โ๐๐โโ
Solutia obtinuta va fi:
๐๐(๐ฅ๐ฅ,๐๐) = cosh ๐๐๐ผ๐ผ12 โ ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐(0,๐๐) โ
sinh ๐๐๐ผ๐ผ12 โ ๐ฅ๐ฅ
๐๐ โ ๐๐๐ผ๐ผ12
โ ๐๐(0,๐๐)
In acelasi timp ecuatia fluxului de caldura este:
๐๐(๐ฅ๐ฅ, ๐๐) = โ๐๐๐๐๐๐(๐ฅ๐ฅ, ๐๐)๐๐๐ฅ๐ฅ
Aplicand si aici teorema de inversare a transformatei Laplace:
๐๐๐๐(๐ฅ๐ฅ,๐๐)๐๐๐ฅ๐ฅ
+ ๐๐๐๐๐ถ๐ถ๐๐(๐ฅ๐ฅ,๐๐) โ ๐๐๐ถ๐ถ๐๐(0,๐๐) = 0 Se obtine:
๐๐(๐ฅ๐ฅ,๐๐) = โ๐๐ โ๐๐๐๐(๐ฅ๐ฅ, ๐๐)๐๐๐ฅ๐ฅ
= โ๐๐ โ ๐๐๐ผ๐ผ12 โ sinh
๐๐๐ผ๐ผ12 โ ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐(0,๐๐) + cosh
๐๐๐ผ๐ผ12 โ ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐(0,๐๐)
Se observa ca exista relatia matriceala pentru 0<x<l:
โฃโขโขโขโก๐๐(๐๐, ๐๐)
๐๐(๐๐,๐๐)โฆโฅโฅโฅโค
=
โฃโขโขโขโขโขโขโก
cosh ๐๐๐ผ๐ผ12 โ ๐๐ โ
sinh ๐๐๐ผ๐ผ12 โ ๐๐
๐๐ โ ๐๐๐ผ๐ผ12
โ๐๐ โ ๐๐๐ผ๐ผ12 โ sinh
๐๐๐ผ๐ผ12 โ ๐๐ cosh
๐๐๐ผ๐ผ12 โ ๐๐
โฆโฅโฅโฅโฅโฅโฅโค
โ
โฃโขโขโขโก๐๐(0,๐๐)
๐๐(0,๐๐)โฆโฅโฅโฅโค
Adica in forma generala:
๐๐(๐๐, ๐๐)๐๐(๐๐,๐๐) =
๐๐11 ๐๐12๐๐21 ๐๐22 โ
๐๐(0,๐๐)๐๐(0,๐๐)
In general, in reprezentarea matriceala a proceselor termice nestationare se ia grupat ca marimi de referinta temperatura ๐๐(๐ฅ๐ฅ, ๐ก๐ก) si fluxul termic q(x,t). Practic acest tip de relatie descrie in mod linear transformarea termica in timp a unui corp considerand ๐๐(๐ฅ๐ฅ, ๐ก๐ก) si q(x,t) doua marimi conjugate in care transformarea data de variatia in spatiu se face printr-o matrice [A] de ordin 2x2. Relatia matriceala obtinuta deschide calea abordarii circuitelor termice cu metode dezvoltate in teoria sistemelor.
41
Legarea in cascada a aparatelor termice Imprumutand modelul matematic al circuitelor electrice in configuratie de cuadripoli conectati in cascada, avem urmatoarea schema:
in care:
๐๐๐๐๐๐๐๐ = [๐ด๐ด๐๐] โ
๐๐๐๐+1๐๐๐๐+1
, โฏ , ๐๐๐๐+๐๐โ1๐๐๐๐+๐๐โ1 = [๐ด๐ด๐๐+๐๐โ1] โ ๐๐๐๐+๐๐๐๐๐๐+๐๐
Prin substitutii succesive obtinem:
๐๐๐๐๐๐๐๐ = [๐ด๐ด๐๐] โ [๐ด๐ด๐๐+1] โ โฆ โ [๐ด๐ด๐๐+๐๐โ1] โ ๐๐๐๐+๐๐๐๐๐๐+๐๐
sau
๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐ด๐ด๐๐,๐๐+๐๐ โ
๐๐๐๐+๐๐๐๐๐๐+๐๐
unde ๐ด๐ด๐๐,๐๐+๐๐ = [๐ด๐ด๐๐] โ [๐ด๐ด๐๐+1] โ โฆ โ [๐ด๐ด๐๐+๐๐โ1] este matricea de transformare globala in tre nodurile i si i+n. De remarcat ca fiecare bloc Ai, Ai+1, ...., Ai+n-1 se comporta pe principiul โcutiei negreโ, anume nu conteaza ce este in interiorul lor, ci doar marimile de input si de output. Element pur rezistiv ๐๐๐๐โ1 = ๐๐๐๐ + ๐ ๐ โ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐โ1 = ๐๐๐๐
๐๐๐๐โ1๐๐๐๐โ1 = 1 ๐ ๐
0 1 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐
Element pur capacitiv
๐๐๐๐โ1 = ๐๐๐๐
๐๐๐๐โ1 = ๐ถ๐ถ โ๐๐๐๐๐๐๐๐
+ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐โ1๐๐๐๐โ1
= 1 0
๐ถ๐ถ โ๐๐๐๐๐๐
( ) 1 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐
Se face o conventie matematica pentru exprimarea temperaturii, anume:
๐๐ = ๐๐0 โ ๐๐๐๐โ๐๐โ๐๐ Deci:
....
๐๐๐๐ ๐๐๐๐+1 ๐๐๐๐+2 ๐๐๐๐+n-1 ๐๐๐๐+๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐+1 ๐๐๐๐+2 ๐๐๐๐+n-1 ๐๐๐๐+n
๐ด๐ด๐๐ ๐ด๐ด๐๐+1 ๐ด๐ด๐๐+๐๐โ1
๐๐๐๐โ1 ๐๐๐๐ ๐๐๐๐โ1 ๐๐๐๐
๐ถ๐ถ
Element pur capacitiv
๐ถ๐ถ๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐โ1 ๐๐๐๐ ๐๐๐๐โ1 ๐๐๐๐
Element pur rezistiv
๐ ๐
42
๐๐๐๐๐๐๐๐
= ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐0 โ ๐๐๐๐โ๐๐โ๐๐ = ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ In acest caz
๐๐๐๐โ1 = ๐๐๐๐ ๐๐๐๐โ1 = ๐๐ โ ๐๐ โ ๐ถ๐ถ โ ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐
โ ๐๐๐๐โ1๐๐๐๐โ1 = 1 0
๐๐๐ค๐ค๐ถ๐ถ 1 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐
Circuit termic cu proprietati rezistive si capacitive (circuit RC)
Avand o legatura in cascada a 3 aparate termice, atunci va fi valabila relatia:
๐๐๐๐โ1๐๐๐๐โ1 = 1 ๐ ๐ 1
0 1 โ 1 0๐๐๐ค๐ค๐ถ๐ถ 1 โ
1 ๐ ๐ 20 1 โ
๐๐๐๐๐๐๐๐
Un astfel de circuit poate fi aplicat de exemplu pentru situatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu printr-un perete, ca in figura de mai jos. Reducerea unui model la unul echivalent
O configuratie de aparate termice poate fi reprezentata printr-un circuit termic. Prin intermediul acestui circuit termic se pot determina nu doar diversi parametri termici ai aparatelor, dar si proprietati ale
intregului ansamblu de aparate.
๐๐๐๐๐๐๐๐1 = 1 ๐ ๐ ๐๐1
0 1 โ 1 0๐๐๐ค๐ค๐ถ๐ถ1 1 โ
1 ๐ ๐ ๐๐10 1 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐1
๐๐๐๐๐๐๐๐2 = 1 ๐ ๐ ๐๐2
0 1 โ 1 0๐๐๐ค๐ค๐ถ๐ถ2 1 โ
1 ๐ ๐ ๐๐20 1 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐2
Sau
๐๐๐๐๐๐๐๐1 =
1 + ๐๐๐ค๐ค๐ ๐ ๐๐1๐ถ๐ถ1 ๐ ๐ ๐๐1 + ๐ ๐ ๐๐1 + ๐๐๐ค๐ค๐ ๐ ๐๐1๐ ๐ ๐๐1๐ถ๐ถ1๐๐๐ค๐ค๐ถ๐ถ1 1 + ๐๐๐ค๐ค๐ ๐ ๐๐1๐ถ๐ถ1
โ ๐๐๐๐๐๐๐๐1
๐๐๐๐๐๐๐๐2 =
1 + ๐๐๐ค๐ค๐ ๐ ๐๐2๐ถ๐ถ2 ๐ ๐ ๐๐2 + ๐ ๐ ๐๐2 + ๐๐๐ค๐ค๐ ๐ ๐๐2๐ ๐ ๐๐2๐ถ๐ถ2๐๐๐ค๐ค๐ถ๐ถ2 1 + ๐๐๐ค๐ค๐ ๐ ๐๐2๐ถ๐ถ2
โ ๐๐๐๐๐๐๐๐2
Astfel, daca pe fiecare ramura de circuit:
๐๐๐๐๐๐๐๐1 =
๐๐11 ๐๐12๐๐21 ๐๐22
โ ๐๐๐๐๐๐๐๐1
๐๐๐๐๐๐๐๐2 =
๐ ๐ 11 ๐ ๐ 12๐ ๐ 21 ๐ ๐ 22 โ
๐๐๐๐๐๐๐๐2
Atunci ecuatia de transformare pentru intregul ansamblu este:
๐ ๐ 2 ๐ ๐ 1 ๐๐๐๐โ1 ๐๐๐๐
๐ถ๐ถ
๐ ๐ ๐๐1 ๐ ๐ ๐๐1
๐ ๐ ๐๐2 ๐ ๐ ๐๐2
๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๐ถ๐ถ1
๐ถ๐ถ2
Circuit termic de baza
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐
๐ถ๐ถ
๐๐๐๐ ๐๐๐๐
Circuit termic echivalent
43
๐๐๐๐๐๐๐๐1 + ๐๐๐๐2
= ๐๐11 ๐๐12๐๐21 ๐๐22 โ
๐๐๐๐๐๐๐๐1 + ๐๐๐๐2
Unde:
๐๐11 =๐๐11๐ ๐ 12 + ๐ ๐ 11๐๐12
๐๐12 + ๐ ๐ 12
๐๐12 =๐๐12๐ ๐ 12๐๐12 + ๐ ๐ 12
๐๐21 = (๐๐21 + ๐ ๐ 21) โ(๐๐11 โ ๐ ๐ 11)(๐๐22 โ ๐ ๐ 22)
๐๐12 + ๐ ๐ 12
๐๐21 =๐๐12๐ ๐ 22 + ๐ ๐ 12๐๐22
๐๐12 + ๐ ๐ 12
Din matricea ansamblului se evidentiaza ca ๐๐12 reprezinta capacitatea termica a ansamblului, ๐๐21 rezistivitatea ansamblui, iar ๐๐11 si ๐๐22 sunt termeni ce reprezinta proprietati combinate capacitive si rezistive ale ansamblului cat si aspecte legate de configuratia circuitului termic. Perete supus unei variatii de temperatura pe una din fete
Procesul tranzitoriu din figura are descrierea:
โข La cresterea temperaturii pe fata โiโ in intervalul de timp โ๐๐0 โข Stratul limita de pe fata โiโ tinde sa expandeze โข In primele momente liniile de temperatura sunt concave deoarece peretele nu are timp sa
absoarba variatia de temperatura in prima faz. โข Ulterior pe masura ce unda de variatie strabate peretele incepand de la un anumit punct din
grosimea peretelui (punct de inflexiune) incepe sa isi piarda din intensitate, peretele incepe sa absoarba din aceasta variatie, iar liniile de temperatura devin convexe.
โข Dupa ce incepe sa se simta variatia de temperatura pe cealalta fata, si aici stratul limita tinde sa expandeze
โข La incetarea fenomenului tranzitoriu de crestere a temperaturii pe fata โiโ, curbele de temperatura din zona superioara vor tinde sa se stabilizeze luind forma unei drepte corespunzatoare regimului stationar de transfer de caldura.
Ecuatia dmatriceala de transfer de caldura specifica acestui perete va fi:
๐๐๐๐๐๐๐๐ = 1 ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ,๐๐
0 1 โ 1 ๐ ๐ /2
0 1 โ 1 0๐๐๐ค๐ค๐ถ๐ถ1 1 โ
1 ๐ ๐ /20 1 โ 1 ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ฃ๐ฃ,๐๐
0 1 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
๐๐0
๐๐1
๐๐0
๐๐1
โ๐๐0
๐๐2
๐๐๐๐ ๐๐๐๐
``
44
5. Sisteme de control automat al incalzirii cladirii La baza unui system de control al incalzirii sunt urmatoarele component:
โข Senzori de temperature โข Controller โ integreaza toate informatiile din sistemul termic si il controleaza โข Actuator โ este dispozitivul controlat (motor electric sau bobina) ce asigura inchiderea-
deschiderea totala sau partiala a unei valve reglandu-se astfel fie debitul de circulatie al fluidului de incalzire, fie debitul combustibilului
Sistemul sensor โ controller โ actuator este un system de reglare cu bucla inchisa sau feedback. Daca nu ar exista senzorul atunci sistemul controller โ actuator ar fi doar in bucla deschisa acest caz nefiind bineinteles de interes. Actiunile de reglare care le ia controller-ul sunt:
โข Pozitie dubla on-off โข Proportional โข Integral โข Derivative
Variabila s este variabila functiei imagine din transformata Laplace:
๐๐ = ๐๐๐๐๐ก๐ก O functie de transfer specifica unui aparat este functia ce defineste raportul dintre marimea globala de intrare si marimea globala de iesire din aparat.
๐๐๐น๐น =๐ ๐ ๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ (๐๐)๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ (๐๐)
O functie de transfer globala a unor aparate in cascada (in serie) este produsul functiilor de transfer al fiecarui aparat in parte. O astfel de functie de transfer mai este numita si functie de transfer de bucla deschisa.
๐๐๐น๐น = ๐๐๐น๐น1 โ ๐๐๐น๐น2 โ โฆ โ ๐๐๐น๐น๐๐ Eroarea de reglare ฮต este rezultatul compararii intre temperatura setata si temperatura citita si transmisa de senzor pentru un anumit ciclu de timp:
๐๐ = ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก Functia de transfer pentru camera
๐๐๐น๐น๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ =๐พ๐พ ๐๐โ๐ ๐ ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
1 + ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐
Functia de transfer pentru controller
๐๐๐น๐น๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ =๐๐(๐๐)๐ธ๐ธ(๐๐)
= ๐พ๐พ๐๐ +๐พ๐พ๐๐๐๐
+ ๐พ๐พ๐๐ ๐๐
Functia de transfer pentru termostat incluzand latenta sa specifica, este:
TFtermostat
TFcamera TFcontroller Tsetare Tcamera +
_
ฮต
45
๐๐๐น๐น๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก =๐๐โ๐ ๐ ๐ฟ๐ฟ๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
1 + ๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก ๐๐
In care de exemplu latenta de timp ๐ฟ๐ฟ๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก este de ordinul a 30 โ 40 secunde, iar constanta de timp ๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก este de ordinul a cateva minute. Ca urmare in schema noastra functia globala de transfer este:
๐๐๐น๐น = ๐๐๐น๐น๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐น๐น๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ Functia de transfer pentru bucla controllerului
๐๐๐น๐น๐๐๐ข๐ข๐๐๐๐๐๐ =๐๐๐น๐น(๐๐)
1 + ๐๐๐น๐น(๐๐) ๐๐๐น๐น๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก(๐๐)
Ecuatia caracteristica a intregului sistem de control este: 1 + ๐๐๐น๐น(๐๐) ๐๐๐น๐น๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก(๐๐) = 0
Avand toate aceste functii determinate, practic autoreglarea sistemului este rezolvata. Stabilitatea sistemelor de control La stabilitatea sistemelor de control ale incalzirii cladirilor se pune problema daca acestea sunt stabile pentru impune si mentine temperatura setata. In acest sens, se folosesc diverse criterii de verificare ale stabilitatii, cum ar fi criteriul Routh. Astfel, un sistem este stabil cand toate radacinile ecuatiei caracteristice au partea reala negativa a variabilei complexe s. Doua conditii necesare pentru stabilitate:
โข Toate puterile lui s trebuie sa fie prezente in ecuatia caracteristica de la 0 la cel mai inalt ordin โข Toti coeficientii ecuatiei caracteristice trebuie sa aiba acelasi semn
Acestea doua conditii sunt necesare dar nu suficiente. Criteriul lui Routh este o metoda algebrica pentru a investiga stabilitatea mai departe. Un algoritm simplu este utilizat pentru constructia matricei din coeficientii ecuatiei caracteristice. Apoi prima coloama este examinata pentru schimbarile de semn. Numarul de schimbari de semn din aceasta prima coloana este egala cu numarul de radacini pozitive. O singura parte reala pozitiva a vreunei radacini va insemna instabilitate.
46
6. Punti termice Punศile termice reprezintฤ zone ale unui perete cu rezistenta termica relativ redusa fata de imprejur. Puntile termice sunt practic zone de scurtcircuit pe care fluxul termic tinde sa le urmeze, deci au un efect de deviere convergenta spre ele. Practic liniile de flux termic devin mai dense in zonele de punte termica si se raresc in afara acestora. Sunt doua principale tipuri de punti termice:
โข punti termice rezultate din neomogenitati interioare ale peretilor, insertii de alte materiale, anizotropii
โข punti termice rezultate din configuratia geometrica a peretilor: zone de colt, zone de grosime diferita
Colลฃurile รฎncฤperilor sunt punลฃi termice (ale configuratiei geometrice) deoarece: โข forma geometricฤ a colลฃului face ca suprafata exterioara sa fie mai mare decat cea interioara ceea
ce face ca in masa peretelui sa prevaleze temperatura exterioara (temperatura peretelui la suprafaลฃa interioarฤ este mai redusฤ รฎn dreptul colลฃului decรขt pe restul suprafeลฃei);
โข datoritฤ faptului ca in dreptul coltului sunt blocate doua grade de libertate in miscarea aerului, acesta va deveni mai static, ca urmare coeficientul de convectie scade, deci in consecinta temperatura din interior influenteaza mai putin temperatura peretelui.
Exemple de punti termice detectate prin termografie sunt prezentate in figurile de mai jos.
Doua dificultati care le creeaza puntile termice:
โข Pierderi de caldura crescute โข Favorizare condens datorita diferentelor de temperatura aparute intre diverse zone
Punลฃi termice in situatii practice:
โข la pereลฃi: armatura, tencuiala, stรขlpi, grinzi, centuri, colลฃuri โข la planลeele: streลini, coลuri, ventilaลฃii; โข la radierul fundatiei: zona de racordare cu soclul
a) b) Exemple de punti termice: a) punte termica din neomogenitati interioare; b),c) punte termica din configuratie geometrica
c)
47
Bibliografie 1. Blumenfeld, Maty - Introducere in metoda elementelor finite (ET 1995) 2. Bratianu Constantin - Metode numerice (ET 1996) 3. Bratianu Constantin - Metode cu elemente finite in transferul de caldura (Icemenerg 1989) 4. Blumenfeld Maty - Metoda elementelor finite (IPB 1992) 5. Berbente C., etc - Metode numerice (ET 1998) 6. Calbureanu M - Metode numerice in transferul de caldura (2004) 7. Cook R D - Finite Element Modeling For Stress Analysis - Wiley 1995 8. Hoffman, K. - Computational fluid dynamics (4th edition) 9. Hatton D V - Mcgraw Hill-Fundamental Of Finite Element Analysis (2004) 10. Lelea Dorin - Metode numerice avansate in transferul de caldura (2007) 11. Pascu, Adrian - Metoda elementului finit (MEF) 12. Reddy - An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis 13. Abdullatif E. Nakhi - Adaptive construction modelling within whole building dynamic simulation (1995) 14. Ali M. Malkawi - Advanced Building Simulation (2004) 15. Bliuc I., Baran I. โ Calitatea mediului interior ลi eficienลฃa energeticฤ a clฤdirilor 16. Bratianu Constantin - Metode cu elemente finite in transferul de caldura (Icemenerg 1989) 17. Bruggen, van der, Reinerus J.A. - Energy consumption for heating and cooling in relation to building design (1978) 18. C.P. Underwood - Modelling Methods for Energy in Buildings (2004) 19. Clarke, J. A. - Energy Simulation in Building Design (2001, 2nd Ed) 20. Davies M G - Building Heat Transfer (2004) 21. Dimitriu Valcea E - Termotehnica in constructii (1970) 22. Energy Conscious Design - A Primer for Architects [Book on green building design] 23. Ery Djunaedy - External coupling between CFD and building energy simulation (2005) 24. Essam O Aasem - Practical simulation of buildings and air-conditioning... (1993) 25. Godfried Augenbroe - Energy modelling and simulation (2010) 26. Grigore Roxana - Energetica Cladirilor (curs) 27. International Energy Agency - Real Time Simulation HVAC Systems For Building Optimisation (1999) 28. Ion Sotir Dumitrescu - Energetica Cladirilor (curs) 29. Iordache F - Termotehnica constructiilor (2008 Ed. 2) 30. Kreider J F, Rabl Ari โ Heating and cooling of buildings (1994) 31 Leonachescu N - Transferul caldurii intre constructii si sol (ET 1989, vol. 2) 32. Mirza Carmen - Termotehnica Constructiilor 33. Moga I, Manea D - Termotehnica cladirilor_Indrumator (1998) 34. Part 2 Responsive Building Elements - Annex_44_Expert_Guide_RBE 35. Peter Weitzmann - Modelling building integrated heating and cooling systems (2004) 36. R. Judkoff - Methodology for Validating Building Energy Analysis Simulations (2008) 37. Standard ASHRAE 38. Standard EN-ISO 39. Standard STAS
48
Recommended