Modul ke.2
Tunjukan bahwa
Nyatakan produk titik itu dalam bentuk komponen.
Tapi karena cos dalam produk scalar 1 kalau sudut itu 0 dan
untuk =90o, cos adalah 0, sehingga produk titik lainnya antara sesame vector
satuan itu adalah 0. maka :
1.5. Diberikan A = 2ax + 4ay – 3ay dan B = ax – ay , tentukan dab A x B
1.6. Tunjukan bahwa A = 4ax – 2ay – ax dam B = ax + 4ay – 4az tegaklurus sesamanya.
Karena titik mengandung cos produk titik bernilai 0 dari dua vector bukan 0
berarti . = 90o.
1.7. Diberikan A = 2ax + 4ay dan B = 6ay – 4az, dapatkan sudur terkecil antara kedua
vector itu memakai (a) . produk silang, (b) produk titik.
1.8. Diberikan F = ( y – 1 ) ax + 2xay, carilah vector F tersebut di (2,2,1) dan
proyeksinya ada pada vector B di mana B = 5ax – ay + 2az.
F(2,2,1) = ( 2 – 1 ) ax + (2) ay
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTROMAGNETIK 1
= ax + 4ay
Gambar ditunjukan di gamabar 1.9 proyeksi dari suatu vector terhadap vector
lainnya diperoleh dengan jalan mengambil produk scalar dengan vector satuan
dalam arah vector terakhir.
Proyeksi A pada B =
Sehingga pada (2,2,1)
Proyeksi F pada B =
B aB
Proy. A pada B
Gambar 1.9
1.9 Diberikan A = ax + ay +, B = ax + 2az dan C = 2ay + az, carilah (A x B) C dan
dibandingkan dengan A x ( B x C)
Maka :
Suatu perhitungan serupa menghasilkan Ax (B x C) = 2ax – 2ay + 3az. Sebab itu letak
kurung yang menunjukan produk silang mana yang harus diambil lebih dulu, adalah
penting dalam suatu produk silang tiga vector.
Memakai vector-vektor A,B dan C dari soal 1.9, carilah A B x C dan bandingkanlah
dengan A x B C
Dari soal 1.9, B x C = - 4ay – ay + 2az, sehingga
A B x C = (1)( – 4)+(1)(-1) + (0)(2) = - 5
Juga dari soal 1.9. A x B = 2ax – 2ay – az . Maka
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTROMAGNETIK 2
A x B c = (2)(0)+(-2)(2)+(2)+(-1)(1)= - 5
Kurung – kurung tidak perlu disini, karena perkalian scalar tiga vector hanya
mempunyai makna kalau produk silang disana dihitung lebih dahlu. Pada umumnya
dapat ditunjukan bahwa ;
Sepanjang vector – vector itu muncul dalam urutan siklus yang sama, hasilnya akan
sama pula. Dalam hal ini ia keluar dari urutan siklus tersebut, hasilnya akan berubah
dalam suatu pergantian tanda.
1.11 Nyatakan vector satuan yang mengarah dari titik z = h pada sumbu z ke
dalam koordinat silindris lihat gambar 1.10.
Z
h
R
(r,,0) X
Gambar 1.10
Vektor R adalah selisih dari dua vector ;
Sudut tak tampak secara ekplisit dalam ungkapan – ingkapan ini. Walapun
demikian, baik R maupun aR berubah dengan melalui ar.
1.12. Nyatakan vector satuan yang mengarah ke titik asal dari suatu titik sembarang
pada bidang datar z = - 5 , seperti ditunjukan di gambar 1.11
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTROMAGNETIK 3
z
(0,0,0) y
x R
(x,y, - 5)
Gambar 1.11
Karena soal ini dalam koordinat kartesian, rumus bagi dua titik pada soal 1.1
berlaku di sini.
1.13 Gunakan system koodinat bola untuk menetapkan luas pada
permukaan bola dengan jari – jari ( gambar 1.12) apa hasilnya bila = 0 dan
= ?
Elemen permukaan deferensi ( lihat gambar 1.5 (c)
Maka
Kalau = 0 dan = , A = 4a2,, yakni seluruh permukaan bola itu.
1.13. Turunkan persamaan volume suatu bola dengan jari a dari ungkapan volume
diferensial.
Dari gambar 1.5 ( c ) , dv = r2 sin dr d d maka
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTROMAGNETIK 4
1.14. Gunakan system koordinat silindris untuk memperoleh luas permukaan
melengkung dari suatu silinder tegak di mana r = 2m, h = 5 m, dan 30o
(lihat gambar 1.13).
Elemen permukaan tersebut adalah dS = r d dz. Maka
z
A
y
z
Gambar. 1.14
z
x /6
2/3
Gambar 1.13
1.15. Tranformasikan
Dari koordinat kartesian ke koordinat silindris, dengan melihat Gambar 1.2 (b)
x = r cos y = r sin
dari mana
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTROMAGNETIK 5
5m
5/4
5
Dan
1.16. Suatu vector yang panjangnya 10 dari titik (5,5/4,0) dalam koordinat silindris
mengarah ke titik asal. Nyatakan vector itu dalam koodinat kartesian.
Dalam koordinat silindris, vector itu dapat dinyatkan sebagai 10ar, dengan =
/4. maka
Sehingga
Perhatikan bahwa nilai koordinat radiasi, 5, tak berpengaruh disini.
Soal – soal tambahan1.18. Diberikan A = Aay + 10az dan B = 2ax + 3ay, carilah proyeksi A dan B jawab.
12
1.19 Diberikan nyatakan proyeksi B
pada A sebagai suatu vektor yang searah dengan A. Jawan . 1,50 (ax + az)
1.20 Tetapkan sudut A = 1oay + 2az dan B = - 4ay + 0,5az, menggunakan produk
titik, maupun produk silang. Jawab. 161.50
1.21. Carilah sudut antara A = 8ay + 1,55az dan B = - 6,93ay + 4,0az menggunakan
produk titik, maupun produk silang.
1.22. Diberikan bidang datar 4x + 3y + 2z = 12, carilah vektor satuan yang normal
terhadap permukaan tersebut dan arahnya menjauhi titik asal. Jawab. (4ax
+ 3ay + 2az)
1.23. Tunjukan bahwa medan – medan vektor A dan B di mana – mana tegaklurus
antara sesamanya kalau AxBx + AyBy + AzBz = 0
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTROMAGNETIK 6
1.24. Carilah hubungan yang harus dipenuhi oleh komponen – komponen dari medan
– medan vektor A dan B agar kedua medan itu selalu paralel dimana – mana.
Jawab.
1.25. Tentukan vektor satuan yang mengarah ke titik asal yang mengarah ke titik asal
dari suatu titik sembarang pada garis lurus yang ditentukan oleh : x = 0, y = 3.
Jawab .
1.26. Tetapkan vektor satuan yang mengarah ke titik (x1, y1, z1) dari suatu titik
sembarang pada bidang datar y = - 5 Jawab.
1.27 Tentukan vektor satuan yang mengarah ke titik asal dari suatu titik sembarang
pada garis lurus yang ditentukan oleh x = 0, y = 3. Jawab.
1.28. Diberikan A = 5ax dan B = 4ax + byay, carilah harga By yang membuat sudut
antara A dan B 45o kalau B juga mengandung suku Bzaz, hubungan bagaimana
mesti berlaku antara By dan Bz?
1.29. Tunjukan bahwa harga absolut dari adalah sama dengan volume paralel
epipendum dengan sisi – sisi A,B dan C (petunjuk: pertama – tama tunjukan
bahwa luas basisnya adalah
1.30. Diberikan A = 2ax – az, B = 3ax + ay, dan C = - 2ax + 6ay – 4az, tunjukan bahwa
C tegaklurus pada A, maupun B
1.31. Diberikan A = ax – ay, B = 2az, dan C = - ax + 3ay, carilah periksalah
variasi – variasi lain dari produk tripel itu. Jawab. – 4
1.32. Memakai vektor – vektor dari soal 1.31 dapatkanlah ( A x B) x C. Jawab.
– 8az
1.33. Terapkan vektor satuan yang mengarah ke (14, - 5,3 ) dari (2, - 5, 2). Jawab.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTROMAGNETIK 7
1.34. Tunjukan mengapa cara pada soal 1.1 tak dapat dipakai dalam koordinat
silindris antara titik – titik (r1, ф1, z1)
1.35. Perlihatkanlah bahwa jarak d antara kedua titi pada soal 1.34 diberikan oleh
d2 + + - cos
1.36. Carilah vektor yang diarahkan dari (10,3π/4, π/6) ke (5π/4,π), dimana koordinat-
koordinat tersebut adalah koordinat silindris. Jawab. –96,66ax – 3,54ay +
10,61az
1.37. Carilah jarak antara (2,π/6, 0) dan (1, π,2) di mana titik-titik itu dinyatakan
dalam koordinat silindris . Jawab. 3,53.
1.38. Carilah jarak antara(1,3π/4, 0) dan (1,3π/4, π) di mana titik – titik itu dinyatakan
dalam koordinat bola. Jawab. 2,0
1.39. Pergunakan koordinat bola dan integrasi untuk memperoleh luas dari daerah 0 ≤
ф ≤ α pada permukaan bola r = α. Bagaimana hasilnya kalau α = 2π? Jawab.
2 αa2 A = 4πa2
1.40. Pergunakan kordinat silindris untuk memperoleh luas permukaan lengkungdari
suatu silindris tegak berpenampang lingkaran dengan jari – jari a dan tinggi h.
Jawab. 2πa
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTROMAGNETIK 8