Modulhandbuch
Ruprecht-Karls-Universität HeidelbergFakultät für Mathematik und Informatik
Lehramtsstudiengang „Mathematik“ (GymPO I)
Fassung vom 23.6.2014 zur Prüfungsordnung vom 28.7.2010mit letzter Änderung vom 11.11.2011
Studienform: Vollzeit
Art des Studiengangs: grundständig
Regelstudienzeit: 10 Semester
Einführungsdatum: 28.7.2010
Studienstandort: Heidelberg
Anzahl der Studienplätze: derzeit keine Begrenzung
Gebühren/Beiträge: gemäß allgemeiner Regelung der Universität Heidelberg
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PräambelQualitätsziele der Universität Heidelberg in Studium und
Lehre
Anknüpfend an ihr Leitbild und ihre Grundordnung verfolgt die Universität Heidel-berg in ihren Studiengängen fachliche, fachübergreifende und berufsfeldbezogene Zielein der umfassenden akademischen Bildung und für eine spätere berufliche Tätigkeitihrer Studierenden. Das daraus folgende Kompetenzprofil wird als für alle Diszipli-nen gültiges Qualifikationsprofil in den Modulhandbüchern aufgenommen und in denspezifischen Qualifikationszielen sowie den Curricula und Modulen der einzelnen Stu-diengänge umgesetzt:
• Entwicklung von fachlichen Kompetenzen mit ausgeprägter Forschungsorientie-rung;
• Entwicklung transdisziplinärer Dialogkompetenz;
• Aufbau von praxisorientierter Problemlösungskompetenz;
• Entwicklung von personalen und Sozialkompetenzen;
• Förderung der Bereitschaft zur Wahrnehmung gesellschaftlicher Verantwortungauf der Grundlage der erworbenen Kompetenzen.
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Fachliche und überfachliche Qualifikationsziele desLehramtsstudiengangs „Mathematik“
Das Studium für das Lehramt an Gymnasien hat das Ziel, die Professionalität undQualität künftiger Lehrkräfte am Gymnasium zu sichern. AbsolventInnen haben diefachwissenschaftlichen, fachdidaktischen, bildungswissenschaftlichen und ethisch-phi-losophischen Kenntnisse und Kompetenzen, einschließlich personaler Kompetenzen,die für die Erziehungs- und Bildungsarbeit an Gymnasien und Gemeinschaftsschulensowie für die Übernahme in den Vorbereitungsdienst erforderlich sind. Die Absol-ventInnen des Lehramtsstudienganges Mathematik
• kennen die mathematischen Begriffe und Konstruktionen, die hinter der Schul-mathematik stehen und künnen diese analysieren und vom hüheren Standpunktaus rechtfertigen,
• können mathematische Gebiete durch Angabe treibender Fragestellungen struk-turieren, durch Querverbindungen vernetzen und Bezüge zur Schulmathematikherstellen,
• können mathematische Sachverhalte adäquat mündlich und schriftlich darstellenund sich selbststündig mathematische Inhalte aneignen,
• besitzen die Fähigkeit zu schlüssiger Argumentation und exakter Beweisführungund sind in der Lage, auf Einwände einzugehen,
• können Argumentationsketten auf ihre Stichhaltigkeit überprüfen, Fehler oderLücken in verstündlicher Weise offen legen und Hilfestellung bei der Korrekturund Präzisierung geben,
• kennen Praxisfelder der Mathematik und können außermathematische Frage-stellungen modellieren, angemessene mathematische Methoden zur Behandlungvon Modellen finden und anwenden sowie die Lösung verständlich vermitteln,
• können auf Grund ihrer mathematischen Allgemeinbildung wesentliche mathe-matische Bezüge im Alltag, in öffentlichen Texten und in der Alltagssprachebenennen, verstehen und erklären
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Modulbeschreibungen Lehramt Mathematik nach GymPO IPflichtmodule
Gesamtmodul AnalysisMA1 Analysis IMA2 Analysis II
Gesamtmodul Lineare AlgebraMA4 Lineare Algebra IMA5 Lineare Algebra II
MA7 Einführung in die NumerikMA8 Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und StatistikMB1 Algebra IMB3 Funktionentheorie IME1 Elementare ZahlentheorieME2 Einführung in die GeometrieSeminar
Wahlpflichtmodule
MA3 Höhere AnalysisMB2 Algebra IIMB4 Funktionentheorie IIMB5 Algebraische Topologie IMB6 Algebraische Topologie IIME3 Mathematische LogikMB10 Lie Algebren und Lie Gruppen IMB11 Lie Algebren und Lie Gruppen IIME4 Analysis auf MannigfaltigkeitenME5 Mengentheoretische TopologieME6 Einführung in die MengenlehreMC1 Gewöhnliche DifferentialgleichungenMC2 Partielle DifferentialgleichungenMC3 FunktionalanalysisMC4 WahrscheinlichkeitstheorieMD1 NumerikMD2 StatistikMD3 Lineare OptimierungMD4 Nichtlineare OptimierungMD5 Wissenschaftliches RechnenML1 Modellierung für Lehramtsstudierende
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ML2 Einführung in die Algorithmische Geometrie
sowie darüber hinaus alle Vorlesungen aus dem Angebot der MasterstudiengängeMathematik bzw. Scientific Computing.
Fachdidaktik
MF1 Mathematik-Didaktik für den SchulunterrichtMF2 Grundlagen der Mathematik-Didaktik
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Analysis I
Modul Code NameMA1 Analysis I
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester jedes
WSVerwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LA
Mathematik, LA Informatik jeweils ab dem 1. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über reelle und komplexe Zahlen und die Differential-
und Integralrechnung für Funktionen einer VeränderlichenInhalt I. Die Systeme der reellen Zahlen und komplexen Zahlen
II. Konvergenz von Folgen und Reihen, Potenzreihen, Exponenti-alfunktion (auch im Komplexen) und verwandte FunktionenIII. Stetigkeit und Differenzierbarkeit, monotone Funktionen, Um-kehrfunktion, gleichmäßige KonvergenzIV. Ein Integralbegriff (Regel- oder Riemann-Integral), Zusam-menhang zwischen Integration und Differentiation, Integrations-methodenV. Weiterer Ausbau der Theorie, z. B. Behandlung spezieller Funk-tionsklassen.
VermittelteKompetenzen
Abstraktes und analytisches Denken, selbständiges Lösen von Auf-gaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Schulkenntnisse
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben, mit benoteten 2-stündigen Klausu-ren.Es werden zwei Klausuren angeboten (eine am Ende der Vorle-sungszeit, die zweite am Ende der vorlesungsfreien Zeit); das Mo-dul gilt als bestanden, wenn eine davon bestanden wurde. Sofernes kapazitativ möglich ist, soll eine Teilnahme an beiden Klausu-ren zur Notenverbesserung möglich sein. Wiederholungsmöglich-keit mit der Vorlesung im Folgejahr. Wiederholungsmöglichkeitmit der Vorlesung im Folgejahr.
NützlicheLiteratur
O. Forster: Analysis I (bzw. II, bzw. III)K. Königsberger: Analysis I (bzw. II)H. Amann, J. Escher: Analysis I (bzw. II, bzw. III)
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Analysis II
Modul Code NameMA2 Analysis II
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester jedes
SSVerwendbarkeit Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LA
Mathematik, LA Informatik, jeweils ab dem 2. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über gewöhnliche Differentialgleichungen sowie über
die Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen.Inhalt I. Metrische und normierte Räume, Stetigkeit
II. Existenz und Eindeutigkeitssatz für das AnfangswertproblemIII. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variabler, par-tielle und totale Differenzierbarkeit, Kettenregel, Taylor-Formel,lokale ExtremaIV. Lokaler Umkehrsatz und implizite Funktionen, Untermannig-faltigkeiten im Rn, Extremwerte mit NebenbedingungenV. Elementare Vektoranalysis, Kurvenintegrale, Integrabilitätsbe-dingungen, Existenz von PotentialenVI. Ein Integral im Rn, Transformationsformel, Volumina undOberflächen
VermittelteKompetenzen
Abstraktes und analytisches Denken, selbständiges Lösen von Auf-gaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben, mit benoteten 2-stündigen Klausu-ren.Es werden zwei Klausuren angeboten (eine am Ende der Vorle-sungszeit, die zweite am Ende der vorlesungsfreien Zeit); das Mo-dul gilt als bestanden, wenn eine davon bestanden wurde. Sofernes kapazitativ möglich ist, soll eine Teilnahme an beiden Klausu-ren zur Notenverbesserung möglich sein. Wiederholungsmöglich-keit mit der Vorlesung im Folgejahr. Wiederholungsmöglichkeitmit der Vorlesung im Folgejahr.
NützlicheLiteratur
O. Forster: Analysis I (bzw. II, bzw. III)K. Königsberger: Analysis I (bzw. II)H. Amann, J. Escher: Analysis I (bzw. II, bzw. III)
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Lineare Algebra I
Modul Code NameMA4 Lineare Algebra I
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester jedes
WSVerwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LA
Mathematik, LA Informatik jeweils ab dem 1. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über Vektorräume mit Anwendung in der GeometrieInhalt I. Grundlagen: Logische Operatoren, Mengen, Relationen, Abbil-
dungen, Gruppen, Homomorphismen, Permutationen.II. Vektorräume: (affine) Unterräume, Faktorräume, direkte Sum-men, Basis, Dimension, Koordinaten, lineare Abbildungen, Matri-zen, lineare Gleichungssysteme.III. Lineare Operatoren: Determinanten, charakteristisches Poly-nom und Minimalpolynom, Eigenwerte und Eigenräume, Normal-formen von Matrizen und Diagonalisierung.IV. Innenprodukträume: Bilinearformen, Orthogonalität und Or-thonormalbasen, normale Operatoren, selbstadjungierte Operato-ren und Isometrien, Spektralsatz über C und R.
VermittelteKompetenzen
Abstraktes und strukturelles Denken, selbständiges Lösen vonAufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übun-gen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Schulkenntnisse
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben, mit benoteten 2-stündigen Klausu-ren.Es werden zwei Klausuren angeboten (eine am Ende der Vorle-sungszeit, die zweite am Ende der vorlesungsfreien Zeit); das Mo-dul gilt als bestanden, wenn eine davon bestanden wurde. Sofernes kapazitativ möglich ist, soll eine Teilnahme an beiden Klausu-ren zur Notenverbesserung möglich sein. Wiederholungsmöglich-keit mit der Vorlesung im Folgejahr. Wiederholungsmöglichkeitmit der Vorlesung im Folgejahr.
NützlicheLiteratur
S. Bosch: Lineare AlgebraF. Lorenz: Lineare Algebra IG. Fischer: Lineare Algebra
8
Lineare Algebra II
Modul Code NameMA5 Lineare Algebra II
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester jedes
SSVerwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LA
Mathematik, LA Informatik jeweils ab dem 2. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Vertiefende Kenntnisse der Linearen AlgebraInhalt Inhalt: Ringe und Ideale, Moduln und Homomorphismen, Basis
und Rang, direkte Summen und Produkte, Tensorprodukt, äuße-re und symmetrische Potenzen und Determinanten, Moduln überHauptidealringen, Elementarteilertheorie, Normalformen von En-domorphismen, verallgemeinerte Eigenräume, Jordansche Normal-form, nilpotente und halbeinfache Endomorphismen.
VermittelteKompetenzen
Abstraktes Denken, selbständiges Lösen von Aufgaben aus demThemenbereich mit Präsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Lineare Algebra I (MA4)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben, mit benoteten 2-stündigen Klausu-ren.Es werden zwei Klausuren angeboten (eine am Ende der Vorle-sungszeit, die zweite am Ende der vorlesungsfreien Zeit); das Mo-dul gilt als bestanden, wenn eine davon bestanden wurde. Sofernes kapazitativ möglich ist, soll eine Teilnahme an beiden Klausu-ren zur Notenverbesserung möglich sein. Wiederholungsmöglich-keit mit der Vorlesung im Folgejahr. Wiederholungsmöglichkeitmit der Vorlesung im Folgejahr.
NützlicheLiteratur
S. Bosch: Lineare AlgebraF. Lorenz: Lineare Algebra II
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Einführung in die Numerik
Modul Code NameMA7 Einführung in die Numerik
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester mind. jedes
zweiteSemester
Verwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LAMathematik, LA Informatik jeweils ab dem 2. Studiensemester
Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWS (theoretisch und praktisch)Lernziel Prinzipien numerischer Algorithmen und ihrer praktischen Reali-
sierung für Grundaufgaben der numerischen Analysis und linearenAlgebra
Inhalt I. Rechnerarithmetik, Fehleranalyse, Konditionierung II. Inter-polation und Approximation, Numerische Integration III. Linea-re Gleichungssysteme und Ausgleichsprobleme (LR- und QR-Zerlegung) IV. Iterative Verfahren (Nullstellenberechnung, lineareGleichungssysteme, Eigenwertaufgaben)
VermittelteKompetenzen
Abstraktes und algorithmisches Denken, Anwendung von Techni-ken der Analysis und linearen Algebra, selbständiges Lösen vontheoretischen und praktischen Aufgaben aus dem Themenbereichmit Präsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I (MA1) und Lineare Algebra I (MA4)Programmierkenntnisse
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben, mit benoteten 2-stündigen Klausu-ren, Wiederholungsmöglichkeit mit der Vorlesung im Folgejahr.
NützlicheLiteratur
J. Stoer, R. Bulirsch: Numerische MathematikG. Hämmerlin, K.-H. Hoffmann: Numerische MathematikP. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik
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Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Modul Code NameMA8 Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
und StatistikUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus
8 CP 240 h 1 Semester mind. jedeszweiteSemester
Verwendbarkeit für BA Mathematik, LA MathematikLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel In der Grundvorlesung Statistik werden statistische Methoden und
die ihnen zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt.Inhalt I. Wahrscheinlichkeitsräume: Ereignisse, diskrete Verteilungen,
Verteilungen mit Dichte, Dichtetransformation, bedingte Wahr-scheinlichkeiten, Unabhängigkeit, Formel von BayesII. Zufallsvariable: Erwartungswert, Varianz und Kovarianz, ge-meinsame Verteilungen von Zufallsvariablen, Faltung.III. Grenzwertsätze: Konvergenz von Zufallsvariablen und ih-ren Verteilungen, Schwaches Gesetz der großen Zahlen, zentralerGrenzwertsatz.IV. Testtheorie: Hypothesentest, Fehler erster und zweiter Art, Li-kelihood, Neyman-Pearson-Test, weitere Testmethoden.V. Schätztheorie: Konstruktionsprinzipien, Erwartungstreue,Bias-Varianz-Zerlegung, Konsistenz, Konfidenzbereiche.VI. Beispiele für statistische Methoden: wie lineare Regression,Varianzanalyse, Hauptkomponentenanalyse.
VermittelteKompetenzen
Mathematisches Modellieren zufälliger Phänomene, selbstständi-ges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentationin den Übungen.
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I und II (MA1, MA2), Lineare Algebra I und II (MA4,MA5)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben, mit benoteten 2-stündigen Klausu-ren, Wiederholungsmöglichkeit mit der Vorlesung im Folgejahr.
NützlicheLiteratur
Krengel, U.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie undStatistik, ViewegRice, J.: Mathematical statistics and Data AnalysisGeorgii, H.: Stochastik, de Gruyter
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Algebra I
Modul Code NameMB1 Algebra I
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester jedes
WSVerwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LA
Mathematik, LA Informatik jeweils ab dem 3. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über Gruppen, Ringe und Körper einschließlich der
Galoisschen Theorie.Inhalt I. Gruppen: Homomorphie- und Isomorphiesätze, Normalreihen
und auflösbare Gruppen, Konstruktion und Darstellung von Grup-pen, endlich erzeugte abelsche Gruppen, Operation von Gruppen,Sylowsätze, einfache Gruppen.II. Ringe: Homomorphismen und Ideale, Polynomringe, Haupt-idealringe und euklidische Ringe, faktorielle Ringe, simultane Kon-gruenzen, Quotientenringe, symmetrische Polynome.III. Körper: Algebraische und transzendente Körpererweiterungen,endliche Körper, separable und normale Körpererweiterungen, al-gebraisch abgeschlossene Hülle, Fundamentalsatz der Galoistheo-rie, Berechnung der Galoisgruppe, abelsche und Kummererweite-rungen, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
VermittelteKompetenzen
Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen einer begrifflichkomplexen mathematischen Theorie, selbständiges Lösen von Auf-gaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Lineare Algebra I (MA4) und Lineare Algebra II (MA5)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur.Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wird vom Dozen-ten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.
NützlicheLiteratur
S. Bosch: AlgebraS. Lang: AlgebraF. Lorenz, F. Lemmermeyer: Algebra
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Funktionentheorie IModul Code Name
MB3 Funktionentheorie IUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus
8 CP 240 h 1 Semester mind. jedeszweiteSemester
Verwendbarkeit BA Mathematik, BA + MA Physik, LA Mathematik ab dem 3.Studiensemester
Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in die komplexe AnalysisInhalt I. Differentialrechnung im Komplexen: Komplexe Ableitung, die
Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.II. Integralsätze: Der Cauchysche Integralsatz, die CauchyschenIntegralformeln.III. Singularitäten analytischer Funktionen, Residuensatz: Potenz-reihen, Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen, Funda-mentalsatz der Algebra, Singularitäten analytischer Funktionen,Laurentzerlegung, der Residuensatz.IV. Konforme Abbildungen.V. Topologische Ergänzungen: Die Homotopieversion des Cauchy-schen Integralsatzes, Charakterisierungen von einfach zusammen-hängenden Gebieten.
VermittelteKompetenzen
Selbstständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen; Fähigkeit der Anwendung auf an-dere Gebiete wie z. B. Mathematische und Theoretische Physik
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I, II (MA1, MA2) und Lineare Algebra I, II (MA4, MA5)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur.Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wird vom Dozen-ten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Freitag, Busam: Funktionentheorie IRemmert, Schumacher: Funktionentheorie IFischer, Lieb: Funktionentheorie
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Elementare ZahlentheorieModul Code Name
ME1 Elementare ZahlentheorieUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus
8 CP 240 h 1 Semester mind. jedesvierteSemester
Verwendbarkeit LA Mathematik, BA Mathematik ab dem 3. Studiensemester.Das Modul kann nicht zur Verbreiterung von Grundlagenkennt-nissen für das Master-Studium Mathematik angerechnet werden.
Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in die Zahlentheorie und ihre AnwendungenInhalt I. Teilbarkeitslehre: Teilbarkeit, Euklidischer Algorithmus, Prim-
faktorzerlegung, Gruppe der primen Restklassen, ChinesischerRestsatz, RSA-VerfahrenII. Primzahlen: Quadratische Reziprozität, Summen von Quadra-ten, Primzahltests, elementare Resultate zur PrimzahlverteilungIII. Quadratische Zahlkörper: Ganzheitsring, Einheitengruppe,Kettenbrüche, Idealklassengruppe, Zerlegungsgesetz, diophanti-sche Gleichungen.
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Lineare Algebra I (MA4)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur.Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wird vom Dozen-ten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Schmidt: Einführung in die algebraische Zahlentheorie
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Einführung in die Geometrie
Modul Code NameME2 Einführung in die Geometrie
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester mind. jedes
vierteSemester
Verwendbarkeit LA Mathematik, BA Mathematik ab dem 3. Studiensemester.Das Modul kann nicht zur Verbreiterung von Grundlagenkennt-nissen für das Master-Studium Mathematik angerechnet werden.
Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundbegriffe der Geometrie mit AnwendungenInhalt I. Euklidische Geometrie: Grundlagen der affinen und euklidi-
schen Geometrie, Isometriegruppen euklidischer Räume, Platoni-sche Körper, Kegelschnitte, Einblick in eine nicht-euklidische Geo-metrie.II. Projektive Geometrie: Projektive Räume und Koordinaten,projektive Abbildungen und Projektivitäten, Kollineationen, Dua-litätsprinzip, projektive Quadriken.III. Polyeder: Eulersche Polyederformel, Eulercharakteristik
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Lineare Algebra I und II (MA4, MA5)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur.Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wird vom Dozen-ten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Bekanntgabe in der Vorlesung
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SeminarModul Code Name
SeminarUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus
6 CP 180 h 1 SemesterVerwendbarkeit Mathematik Bachelor, Mathematik Master, Mathematik LehramtLehrform aktive und passive Teilnahme an Vorträgen 2 SWS + Tutorium 2
SWSLernziel Befähigung mathematische Literatur (in der Regel ein anspruchs-
vollerer Text) zu lesen, sich selbständig mit einer mathematischenFragestellung zu beschäftigen und hierüber vorzutragen. Dies bein-haltet insbesondere ein dem Vortrag vorausgehendes umfangrei-ches Beratungsgespräch.
Inhalt nach Absprache mit dem DozentenVermittelteKompetenzen
Die Befähigung, mathematische Argumente klar und verständlicheinem kleineren Kreis von Hörern mitzuteilen.
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
werden vom Dozenten bekanntgegeben
Prüfungs-modalitäten
ein ca. 45- bis 90-minütiger benoteter Vortrag
NützlicheLiteratur
wird vom Dozenten bekanntgegeben
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Höhere Analysis
Modul Code NameMA3 Höhere Analysis
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester jedes
WSVerwendbarkeit für BA Mathematik, LA Mathematik, ab dem 3. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Ausbau der Differential- und Integralrechnung mehrerer Veränder-
licher.Inhalt I. Lebesgue-Integral
II. Lp-RäumeIII. FouriertransformationIV. Differenzierbare MannigfaltigkeitenV. Differentialformen und der Satz von Stokes
VermittelteKompetenzen
Erlangung höherer Abstraktionsfähigkeit, selbstständiges Lösenvon Aufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in denÜbungen.
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
mindestens zwei der Module Analysis I, II (MA1, MA2) und Li-neare Algebra I, II (MA4, MA5)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben, mit benoteten 2-stündigen Klausu-ren, Wiederholungsmöglichkeit mit der Vorlesung im Folgejahr.
NützlicheLiteratur
Bekanntgabe in der Vorlesung
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Algebra II
Modul Code NameMB2 Algebra II
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester jedes
SSVerwendbarkeit für Studiengänge BA und MA Mathematik, LA Mathematik je-
weils ab dem 4. StudiensemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Aneignung vertiefter Kenntnisse im Bereich Algebra, z.B. Kommu-
tative Algebra, Homologische Algebra oder Darstellungstheorie,wobei die Stoffauswahl insbesondere die Bedürfnisse der algebrai-schen und arithmetischen Geometrie berücksichtigt.
Inhalt Der Dozent stellt eine Auswahl aus den folgenden Themenberei-chen vor:I. Kommutative Algebra: Noethersche und Artinsche Ringe undModuln, Hilbertscher Basissatz, Spektrum und Primärzerlegung,Komplettierung, weitere Themen aus dem Bereich kommutativeAlgebraII. Darstellungstheorie: Halbeinfache Algebren, Wedderburn-Theorie, Brauergruppe, Gruppencharaktere, induzierte Charak-tere und Darstellungen, weitere Themen aus dem Bereich Dar-stellungstheorie.III. Homologische Algebra: Universelle Konstruktionen, projektiveund injektive Moduln, Kategorien und Funktoren, abelsche Kate-gorien, abgeleitete Funktoren, Gruppenkohomologie, weitere The-men aus dem Bereich Homologische Algebra.IV. Unendliche Galoistheorie: unendliche Galoiserweiterungen, dieabsolute Galoisgruppe, Galoiskohomologie, Hilberts Satz 90, wei-tere Themen aus dem Bereich Unendliche Galoistheorie.V. Weitere Themenbereiche der Algebra.
VermittelteKompetenzen
Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen begrifflich komple-xer mathematischer Theorien, selbständiges Lösen von Aufgabenaus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Algebra I (MB1)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.
NützlicheLiteratur
C. W. Curtis, I. Reiner: Representation Theory of Finite Groupsand Associative AlgebrasD. Eisenbud: Commutative AlgebraH. Matsumura: Commutative Ring TheoryJ.-P. Serre: Linear Representations of Finite GroupsC. H. Weibel: An Introduction to Homological Algebra
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Funktionentheorie IIModul Code Name
MB4 Funktionentheorie IIUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus
8 CP 240 h 1 Semester mind. jedeszweiteSemester
Verwendbarkeit ür BA und MA Mathematik, BA + MA Physik, LA MathematikLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Fortsetzung der Vorlesung Funktionentheorie I (MB3)Inhalt I. Konstruktion analytischer Funktionen: Spezielle Funktionen
(z. B. Gammafunktion), der Weierstraßsche Produktsatz, derPartialbruchsatz von Mittag-LefflerII. Elliptische FunktionenIII. Modulformen
Mögliche Vertiefungen finden in den folgenden Gebieten statt:I. Riemannsche FlächenII. Funktionentheorie mehrerer VeränderlicherIII. Analytische ZahlentheorieIV. Wertverteilungstheorie, geometrische Funktionentheorie
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen.
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Funktionentheorie I(MB3)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur.Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wird vom Dozen-ten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Wird in der Vorlesung bekannt gegeben.
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Algebraische Topologie I
Modul Code NameMB5 Algebraische Topologie I
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester mind. jedes
vierteSemester
Verwendbarkeit BA und MA Mathematik, LA Mathematik, MA Physik ab dem 3.Semester
Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernzielInhalt Grundlagen der Punktmengentopologie,
Homotopie,Fundamentalgruppe, Satz von Seifert-Van Kampen,Theorie der Überlagerungen,Homologie,Grundlegende Begriffsbildungen aus der Kategorientheorie,Eilenberg-Steenrod Axiomatik,Mayer-Vietoris Sequenz,die Euler-Charakteristik,Anwendungen.
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen.
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I und II (MA1, MA2), Lineare Algebra I und II (MA4,MA5)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Glen E. Bredon: Topology and GeometryJames R. Munkres: Elements of Algebraic Topology
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Algebraische Topologie II
Modul Code NameMB6 Algebraische Topologie II
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester mind. jedes
vierteSemester
Verwendbarkeit BA und MA Mathematik, LA Mathematik, MA Physik ab dem 4.Semester
Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernzielInhalt Kohomologie,
Koeffizienten, universelles Koeffiziententheorem,Produkte in der Kohomologie,Künneth-Theorem,Topologische und glatte Mannigfaltigkeiten,Orientierung und Fundamentalklasse,Dualitätssätze für Mannigfaltigkeiten,Homotopietheorie: Satz von Hurewicz, Satz von Whitehead,Faserungen und Kofaserungen, Schleifenräume, Puppe-Sequenz,Eilenberg-MacLane Räume.
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen.
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Algebraische Topo-logie I (MB5)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Glen E. Bredon: Topology and Geometry,James R. Munkres: Elements of Algebraic Topology,Edwin H. Spanier: Algebraic Topology,James F. Davis, Paul Kirk: Lecture Notes in Algebraic Topology
21
Mathematische Logik
Modul Code NameME3 Mathematische Logik
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester mind. jedes
vierteSemester
Verwendbarkeit BA Mathematik, BA Informatik, LA Mathematik, LA Informatikab dem 3. Semester.Das Modul kann nicht zur Verbreiterung von Grundlagenkennt-nissen für das Master-Studium Mathematik angerechnet werden.
Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in die verschiedenen Teilgebiete der Mathematischen
Logik.Inhalt I. Prädikatenlogik: Untersuchung der in der Mathematik üblichen
logischen Schlussweisen.II. Mengenlehre: Grundlagentheorie der Mathematik sowie Theo-rie der Ordinal- und Kardinalzahlen.III. Modelltheorie: Zusammenhang zwischen axiomatischen Theo-rien und ihren Modellen mit Beispielen aus der Algebra.IV. Berechenbarkeitstheorie: Eigenschaften des Begriffes der bere-chenbaren Funktion.V. Beweistheorie: Grenzen der Formalisierbarkeit, Unvollständig-keit und Unentscheidbarkeit.
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Lineare Algebra I (MA4), Praktische Informatik I (MA6)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Bekanntgabe in der Vorlesung
22
Lie Algebren und Lie Gruppen I
Modul Code NameMB10 Lie Algebren und Lie Gruppen I
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester
Verwendbarkeit für Studiengänge BA/MA Mathematik, BA/MA Physik, LA Ma-thematik jeweils ab dem 3. Studiensemester
Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundwissen über Lie-Algebren und Lie-Gruppen.Inhalt I. Lie Gruppen, assoziierte Lie Algebra, Exponentialabbildung,
Beispiele (in der Physik)II. Abstrakte Lie-Algebren, Ideale, Homomorphismen, auflösbareund nilpotente Lie-Algebren.III. Halbeinfache Lie-Algebren: Theoreme von Lie und Cartan,Killing Form, Darstellungen (von sl2), Wurzelraumzerlegung
VermittelteKompetenzen
Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen einer begrifflichkomplexen mathematischen Theorie, selbständiges Lösen von Auf-gaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Lineare Algebra I (MA4) und Lineare Algebra II (MA5), evtl.Algebra I (MB1)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausurbzw. mit mündlicher Prüfung.
NützlicheLiteratur
J. P. Serre: Complex Semisimple Lie AlgebrasJ. P. Serre: Lie algebras and Lie groupsJ. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and RepresentationtheoryN. Jacobson: Lie algebrasV. S. Varadarajan: Lie Groups, Lie Algebras, and Their Represen-tations
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Lie Algebren und Lie Gruppen II
Modul Code NameMB11 Lie Algebren und Lie Gruppen II
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester
Verwendbarkeit für Studiengänge BA/MA Mathematik, BA/MA Physik, LA Ma-thematik jeweils ab dem 4. Studiensemester
Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Klassifikation von Lie-Algebren und Lie-GruppenInhalt I. Wurzelsysteme, Weyl Gruppe, Klassifikation, Gewichte
II. Isomorphie- und Konjugations-Teoreme, Existenzsatz, Univer-selle Einhüllende Algebra, Poincaré-Birkhoff-Witt TheoremIII. DarstellungstheorieIV. Komplexe und kompakte Gruppen
VermittelteKompetenzen
Abstraktes und strukturelles Denken, Erlernen begrifflich komple-xer mathematischer Theorien, selbständiges Lösen von Aufgabenaus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Lie Algebren und Lie Gruppen I
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. mündli-cher Prüfung.
NützlicheLiteratur
J. P. Serre: Complex Semisimple Lie AlgebrasJ. P. Serre: Lie algebras and Lie groupsJ. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and RepresentationtheoryN. Jacobson: Lie algebrasV. S. Varadarajan: Lie Groups, Lie Algebras, and Their Represen-tations
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Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Modul Code NameME4 Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester
Verwendbarkeit Mathematik Bachelor, Mathematik LehramtLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundkenntnisse über Analysis auf MannigfaltigkeitenInhalt Die Vorlesung Analysis auf Mannigfaltigkeiten gibt eine Einfüh-
rung in die Theorie der Differentialformen auf differenzierbaren,insbesondere Riemannschen Mannigfaltigkeiten.
Hauptthemen sind
I. Überblick über Integrationstheorie (Radonmaße)II. Einführung in differenzierbare MannigfaltigkeitenIII. Kalkül der alternierenden DifferentialformenIV. Tensoren, Riemann’sche MetrikenV. Hodgetheorie
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I und II, Lineare Algebra I und II
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Freitag, E.: Skript,Jänich, K.: VektoranalysisSpivak, M.: Calculus on Manifolds
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Mengentheoretische Topologie
Modul Code NameME5 Mengentheoretische Topologie
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240h 1 Semester
Verwendbarkeit Mathematik Bachelor, Mathematik LehramtLehrform Vorlesung 4SWS + Übung 2SWSLernziel Grundkenntnisse über mengentheoretische TopologieInhalt - Grundlagen (topologische Räume, Erzeugung topologischer
Räume, stetige Abbildungen, Trennungsaxiome, Eigenschaftentopologischer Räume)
Im Anschluß wird die Theorie in einem oder mehreren Themenvertieft:
- Konstruktion stetiger Funktionen auf topologischen Räumen- Uniforme Räume- Homotopietheorie- CW-Komplexe- Topologische Gruppen- Topologische Vektorräume
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Jänich: TopologieLaures, Szymik: Grundkurs TopologieSchubert: TopologieKelley: General TopologyWeitere Literatur wird gegebenenfalls in der Vorlesung bekannt-gegeben.
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Einführung in die Mengenlehre
Modul Code NameME6 Einführung in die Mengenlehre
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus3 SWS 4 CP 120 h 1 SemesterVerwendbarkeit Mathematik (Bachelor, Lehramt)Lehrform Vorlesung 2 SWS + Übungen 1 SWSLernziel Die Axiome von Zermelo - Fraenkel mit Auswahlaxiom, transfinite
Zahlen und Wohlordnungen, fundierte Relationen und Rekursion,Kontinuumhypothese und Unabhängigkeitsbeweise.
Inhalt Mannichfaltigkeitslehre wurde in der 2. Hälfte des 19. Jahr-hunderts von Georg Cantor ex nihilo als “ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen” entwickelt.Im Mittelpunkt der Vorlesung steht die Axiomatisierung der Can-torschen Mengenlehre sowie die elementare Theorie der transfini-ten Zahlen. Ein weiteres Thema sind die erkenntnistheoretischenAspekte dieser Theorie, welche David Hilbert als “die bewunderns-werteste Blüte mathematischen Geistes” gepriesen hat.
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Problemen aus dem Themenbereich
Teilnahme-voraussetzungen
Keine
NützlicheVorkenntnisse
Ein Grundverständnis von Mathematik, wie es beispielsweise inden Anfängervorlesungen der ersten beiden Semester vermitteltwird.
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben und benotete Abschlussprüfung. Artund Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfung werden vom Dozen-ten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.
NützlicheLiteratur
H. D. Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Wissenschaft-liche Buchgemeinschaft, Darmstadt.
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Gewöhnliche Differentialgleichungen
Modul Code NameMC1 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester mind. jedes
vierteSemester
Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 3. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in die Lösungstheorie gewöhnlicher Differentialglei-
chungenInhalt I. Elementare Lösungsmethoden: Trennung der Variablen, Varia-
tion der Konstanten, exakte DifferentialgleichungenII. Existenz- und Eindeutigkeitsätze: eindeutige Lösbarkeit vonAnfangswertproblemen, maximale Lösungen, Lemma von Gron-wallIII. Abhängigkeit von Parametern: stetige und differenzierbare Ab-hängigkeit von Anfangswerten und ParameternIV. Lineare Differentialgleichungen: Fundamentalsystem, Wrons-kideterminante, Evolutionsoperator, ExponentialfunktionV. Dynamische Systeme und Flüsse: Orbit, Phasenporträt, Satzvon Liouville, ebene lineare Flüsse, hyperbolische lineare Flüsse,Koordinatentransformation, FlussäquivalenzVI. Stabilität: Ljapunovstabilität, invariante Mengen, Ljapunov-funktionen
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I und II (MA1,MA2), Lineare Algebra I (MA4)
Prüfungs-modalitäten
Klausur (2-stündig)
NützlicheLiteratur
H. Amann: Gewöhnliche DifferentialgleichungenW. Walter: Gewöhnliche DifferentialgleichungenV.I. Arnold: Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Partielle Differentialgleichungen
Modul Code NameMC2 Partielle Differentialgleichungen
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester mind. jedes
vierteSemester
Verwendbarkeit BA, MA, LA Mathematik ab dem 4. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in das Gebiet der partiellen Differentialgleichungen an
Hand dreier klassischer Beispiele sowie Grundwissen über einenfunktionalanalytischen Zugang.
Inhalt I. Die Potentialgleichung: Fundamentallösung, Maximumprinzip,Perron-Verfahren, Newton-PotentialII. Die Wärmeflussgleichung: AnfangswertproblemIII. Die Wellengleichung: Wellengleichung in niederen Raumdi-mensionen, Cauchy-ProblemIV. Die Hilbertraummethode bei elliptischen Randwertproblemen
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I und II (MA1, MA2) , Lineare Algebra I und II (MA4,MA5), Höhere Analysis (MA3)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfungwierden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesungbekannt gegeben.
NützlicheLiteratur
J. Jost: Partielle Differentialgleichungen
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Funktionalanalysis
Modul Code NameMC3 Funktionalanalysis
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester mind. jedes
vierteSemester
Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik, BA und MA PhysikLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernzielInhalt I. Metrische Räume und ihre Abbildungen: u.a. Vervollständigung,
Satz von Baire, (relativ) kompakte Teilmengen und ihre Charak-terisierung, Fortsetzbarkeit gleichmässig stetiger AbbildungenII. Normierte Räume und ihre Abbildungen: inklusiv Banach-Räume, Dualräume, schwache Topologien, topologische Vektor-räume, Beispiele von Funktionenräumen, Spektraltheorie kompak-ter Operatoren, mit den üblichen Sätzen (inklusiv Spektralsatz)III. Hilbert-Räume und ihre Abbildungen
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I und II (MA1, MA2) , Lineare Algebra I und II (MA4,MA5), Höhere Analysis (MA3)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur.Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wird vom Dozen-ten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Bekanntgabe in der Vorlesung
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WahrscheinlichkeitstheorieModul Code Name
MC4 WahrscheinlichkeitstheorieUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus
8 CP 240 h 1 Semester mind. jedeszweiteSemester
Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 4. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundlagen für alle Gebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie und
StatistikInhalt I. Maß- und Integrationstheorie: σ-Algebren, Borel-σ-Algebra,
messbare Abbildungen, Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsma-ßen, Produkträume. Erwartungswert als Maßintegral, Sätze vonLebesgue, Beppo Levi, Fubini und Radon-Nikodym.II. Konvergenz von Zufallsvariablen: Lp-Räume, Zusammenhangzwischen fast sicherer, stochastischer und Lp-Konvergenz, StarkesGesetz der großen Zahlen, Konvergenz in Verteilung, charakteris-tische Funktionen, zentraler Grenzwertsatz.III. Bedingte Verteilungen: Bedingte Erwartungen, Markov-Kerne,Martingale in diskreter Zeit.IV. Stochastische Prozesse: Brownsche Bewegung, Poisson-Prozess, Empirischer Prozess.
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I und II (MA1, MA2) , Lineare Algebra I und II (MA4,MA5), Höhere Analysis (MA3), Einführung in die Wahrscheinlich-keitstheorie und Statistik (MA 8)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur.Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wird vom Dozen-ten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Bauer, H.: Wahrscheinlichkeitstheorie, de Gruyter.Billingsley, P.: Probability and Measure, Wiley.Dudley, R.N.: Real Analysis and ProbabilityDurrett, R.: Probability: Theory and Examples, Duxbury PressJacod, J. and Protter, P.: Probability Essentials, SpringerShiryaev, A.: Probability, Springer.
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NumerikModul Code Name
MD1 NumerikUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus
8 CP 240 h 1 Semester mind. jedeszweiteSemester
Verwendbarkeit für Studiengänge BA Mathematik, BA Informatik, BA Physik, LAMathematik, LA Informatik jeweils ab dem 3. Studiensemester
Lehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Kenntnisse der numerischen Lösung von Anfangswert- und Rand-
wertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen und einfacherpartieller Differentialgleichungen
Inhalt I. Theorie von Anfangs- und RandwertaufgabenII. Einschrittmethoden: Konsistenz, Stabilität, Konvergenz.III. Numerische Stabilität und steife AnfangswertaufgabenIV. Andere Verfahrensklassen: Lineare Mehrschrittmethoden, Ex-trapolationsmethoden, Galerkin-Methoden (optional).V. Lösung von Differentiellalgebraischen AufgabenVI. Lösung von Randwertaufgaben: Schießverfahren, Differenzen-und Galerkin-Verfahren (optional).VII. Differenzenverfahren für elliptische partielle Differential-gleichungen, Laplace-Gleichung, 5-Punkte-Approximation.VIII. Iterative Lösungsverfahren für diskretisierte Probleme.
VermittelteKompetenzen
Abstraktes und algorithmisches Denken, Anwendung von Techni-ken der Analysis und linearen Algebra, selbständiges Lösen vonAufgaben aus dem Themenbereich mit Präsentation in den Übun-gen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Einführung in dieNumerik (MA7)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben, mit benoteten 2-stündigen Klausu-ren, Wiederholungsmöglichkeit mit der Vorlesung im Folgejahr.
NützlicheLiteratur
Bekanntgabe in der Vorlesung (Vorlesungsskripum)
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StatistikModul Code Name
MD2 StatistikUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus
8 CP 240 h 1 Semester mind. jedeszweiteSemester
Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 4. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Prinzipien der mathematischen StatistikInhalt I. Entscheidungstheorie: Dualität von Tests und Konfidenzberei-
chen, Neyman-Pearson-Theorie, allgemeine Entscheidungsverfah-ren, Risikofunktionen, Bayes- und MinimaxoptimalitätII. Asymptotische Statistik: Verteilungsapproximation, Fisher-Information, relative asymptotische Effizienz von Tests und Schät-zern, Likelihood-basierte Verfahren, nichtparametrische Verfah-ren.
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I (MA1), Lineare Algebra I (MA4), Einführung in dieWahrscheinlichkeitstheorie u. Statistik (MA8), Wahrscheinlich-keitstheorie (MC4)
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter 2-stündiger Klausur.Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfung wird vom Dozen-ten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Bickel, P. J. and Doksum, K. A.: Mathematical Statistics, PrenticeHallLehmann, E. L.: Testing Statistical Hypotheses, Springer VerlagVan der Vaart, A. W.: Asymptotic Statistics, Cambridge Univer-sity Press
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Lineare Optimierung
Modul Code NameMD3 Lineare Optimierung
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 270 h 1 Semester
Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 2. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Probleme, Theorie, Methoden und Algorithmen der Linearen Op-
timierungInhalt Die Vorlesung behandelt die folgenden Themen:
Formulierung von linearen OptimierungsproblemenDualitätstheorieStruktur von PolyedernDie Simplexmethode, Grundversion und VariantenDer duale Simplex-AlgorithmusPostoptimale Analyse und Re-OptimierungPolynomiale Algorithmen zur Linearen OptimierungInnere-Punkte-Methoden
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen, Bearbeiten von praktischen Pro-grammieraufgaben
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Lineare Algebra I, Programmierkenntnisse
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Padberg: Linear Optimization and ExtensionsChvátal: Linear ProgrammingWright: Primal-Dual Interior-Point Methods
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Nichtlineare Optimierung
Modul Code NameMD4 Nichtlineare Optimierung
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 270 h 1 Semester
Verwendbarkeit BA Mathematik, LA Mathematik ab dem 3. SemesterLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Probleme, Theorie, Methoden und Algorithmen der Nichtlinearen
OptimierungInhalt Die Vorlesung behandelt die folgenden Themen:
Endlich-dimensionale, glatte, kontinuierliche, nichtlineare Opti-mierungsprobleme, Optimalitätsbedingungen für unbeschränkteund beschränkte Optimierungsprobleme, Gradientenverfahren,Konjugierte Gradienten-(CG-)Verfahren, Line Search, Newton-und Quasi-Newton-SQP-Verfahren, Gauß-Newton-Verfahren,Behandlung von Ungleichungsbeschränkungen, Trust-Region-Verfahren, Automatische Differentiation
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen, Bearbeiten von praktischen Pro-grammieraufgaben
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Lineare Algebra I, Analysis I und II, Programmierkenntnisse
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben. Benotete Klausur bzw. mündlichePrüfung. Art und Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfung werdenvom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekanntgegeben.
NützlicheLiteratur
Nocedal, Wright: Numerical OptimizationGill, Murray, Saunders, Wright: Practical OptimizationGeiger, Kanzow: Numerik (un)restringierter OptimierungJarre, Stoer: Optimierung
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Wissenschaftliches RechnenModul Code Name
MD5 Wissenschaftliches RechnenUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus
8 CP 240 h 1 Semester mind. jedesvierteSemester
Verwendbarkeit BA und MA Mathematik, LA MathematikLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundlegende Methoden der Modellbildung und Simulation.
Schwerpunktmäßig werden die Prozesse betrachtet, die sich mitHilfe partieller Differentialgleichungen beschreiben lassen.
Inhalt Hauptthemen sind:I. Modellbildung: Modellierungssystematik, Diskrete Systeme,kontinuierliche Prozesse, Standardansätze zur Modellierung, Er-haltungsgleichung.II. Simulationsmethoden: Grundlegende Diskretisierungsverfah-ren, elementare Lösertechniken.III. Anwendungsbeispiele: Hier kommen einfache Anwendungenaus Biologie, Medizin, Physik u. a. zur Diskussion.
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Mathematische Grundvorlesungen MA1 bis MA8
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitpunkt einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Es wird ein Skriptum angeboten.
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Modellierung für Lehramtsstudierende
Modul Code NameML1 Modellierung für Lehramtsstudierende
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester
Verwendbarkeit Mathematik LehramtLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Einführung in deterministische und stochastische Methoden zur
Modellierung von Phänomenen im menschlichen Erfahrungsbe-reich. Anwendungen von Mathematik bei außermathematischenFragestellungen.
Inhalt Deterministische und stochastische Modelle in verschiedenen An-wendungsgebieten wie Physik, Biologie oder Technik:Stochastische Prozesse. Markovketten, Markovprozesse in ste-tiger Zeit mit diskretem Zustandsraum, stationäre Prozesse.Gewöhnliche Differentialgleichungen. Lineare und nichtlinea-re Modelle, explizite Lösungen, qualitative und quantitative Un-tersuchung der Lösungen.Partielle Differentialgleichungen: klassische Beispiele.Numerische Methoden und Simulationsmethoden bei derUntersuchung spezieller Beispiele.
VermittelteKompetenzen
Kenntnisse bei der Anwendung mathematischer Methoden zurVerbesserung des Verständnisses des menschlichen Umfelds.
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis 1 (MA1), Analysis 2 (MA2), Lineare Algebra 1 (MA4),Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (MA8),Einführung in die Numerik (MA7).Bereitschaft zur Bearbeitung nichtmathematischer Probleme mitMethoden der Mathematik.
Prüfungs-modalitäten
Klausur (2-stündig)
NützlicheLiteratur
G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker: Probability and random processesJ.D. Murray: Mathematical BiologyC. Hesse: Angewandte WahrscheinlichkeitstheorieW. Strang: Introduction to Applied Mathematics
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Einführung in die Algorithmische Geometrie
Modul Code NameML2 Einführung in die Algorithmische Geometrie
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus8 CP 240 h 1 Semester
Verwendbarkeit Mathematik LehramtLehrform Vorlesung 4 SWS + Übung 2 SWSLernziel Grundkenntnisse in algorithmischer algebraischer GeometrieInhalt Die Vorlesung Algorithmische Geometrie stellt einen algorithmi-
schen Zugang zur algebraischen Geometrie bereit. Hauptthemensind:I. Affine Varietäten und Ideale in multivariaten PolynomringenII. Gröbnerbasen: Monomordnungen, Monomideale, multivariatePolynomdivision, Dicksons Lemma und Hilbertscher Basissatz,Gröbnerbasen, Buchbergeralgorithmus, reduzierte GröbnerbasenIII. Eliminationstheorie: Eliminations- und Fortsetzungssatz, Geo-metrie der Elimination, Implizitisierung, Faktorisierung, multiva-riate ResultantenIV. Beziehungen zwischen Algebra und Geometrie: HilbertscherNullstellensatz, Radikalideale, Operationen auf Idealen einschließ-lich Algorithmik, Zariski-Abschluss und Idealquotienten
VermittelteKompetenzen
Selbständiges Lösen von Aufgaben aus dem Themenbereich mitPräsentation in den Übungen
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Lineare Algebra II
Prüfungs-modalitäten
Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw. münd-licher Prüfung. Art und Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfungwerden vom Dozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung be-kannt gegeben.
NützlicheLiteratur
Cox, D., Little, J., O’Shea, D.: Ideals, Varieties and Algorithms
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Mathematikdidaktik für den SchulunterrichtModul Code Name
MF1 Mathematikdidaktik für den SchulunterrichtUmfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus
4 CP 120 h 1 Semester mind. jedesvierte Sem.
Verwendbarkeit Lehramt MathematikLehrform Vorlesung 2 SWSLernziel Grundkenntnisse für die Aufbereitung von Unterrichtsinhalten
und die alters- und schulgerechte Umsetzung an wesentlichen Bei-spielen der Schulmathematik
Inhalt I. Grundlagen mathematischen Denkens und mathematischerLernprozesseII. Methoden und Organisationsformen im MathematikunterrichtIII. Finden und Beweisen von SätzenIV. Aufgabenkultur und Problemlösenjeweils mit Unterrichtsbezug aus mindestens einem der folgendenTeilgebieteAnalysis: Funktionales Denken, Begriffsbildung,Geometrie: Grundlagen der Schulgeometrie, Gestaltung des Geo-metrieunterrichtsZahlentheorie und Algebra: Gestaltung von Arithmetik- und Al-gebraunterricht, fachliche GrundlagenStochastik: stochastisches Denken, Modelle, fachliche Grundlagen
VermittelteKompetenzen
Die StudierendenI. kennen Grundlagen des Mathematiklernens (Problemlösen, Mo-dellieren, Argumentieren) und sowie wichtige fachdidaktische Kon-zepte,II. kennen Verfahren, Inhalte der Grundvorlesungen auf ihre Be-deutung für die Schulmathematik zu untersuchen und alters- undschulgerecht aufzubereiten,III. kennen Möglichkeiten der Binnendifferenzierung
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Analysis I (MA1), Lineare Algebra I und II (MA4 und MA 5)
Prüfungs-modalitäten
Klausur oder zweistündige Übungen im zweiwöchigen Abstand
NützlicheLiteratur
A. Schmid, Verständnis lehren, Klett-VerlagTietze u.a. , Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, 3 Bän-de, Viewegwird entsprechend der Teilgebiete in der Vorlesung bekannt gege-ben
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Grundlagen der Mathematikdidaktik
Modul Code NameMF2 Grundlagen der Mathematikdidaktik
Umfang Leistungspunkte Workload Dauer Turnus4 CP 120 h 1 Semester mind. jedes
vierteSemester
Verwendbarkeit Lehramt MathematikLehrform Vorlesung 2 SWSLernziel Einführung in die Grundlagen der Mathematikdidaktik, Überblick
über zentrale Ideen des Mathematikunterrichts (MU)Inhalt I. Schulische Bedingungen des Lehren und Lernens von Mathema-
tikII. Inhalts- und prozessbezogene Ziele und Leitideen des MU, Bil-dungsplan konkret, zentrale Erkenntnisse mathematikdidaktischerForschungIII. Organisation von mathematischen Lernprozessen: Konzeptedes MU, Motivation, Differenzierung, Umgang mit Fehlern, Inte-gration des Computers im MUIV. Mathematiktreiben im MU: Aneignung mathematischer Be-griffe und Regeln, Problemlösen, Argumentieren und Beweisen,Arbeiten mit mathematischen DarstellungenV. Lernstandserhebung und Leistungsfeststellung im MUVI. Spannungsfelder des MU
VermittelteKompetenzen
Fähigkeit zur kritischen Reflexion von Mathematikunterricht
Teilnahme-voraussetzungen
keine
NützlicheVorkenntnisse
Schulkenntnisse
Prüfungs-modalitäten
Klausur oder Übungen
NützlicheLiteratur
Leuders, T. (2003): Mathematik Didaktik. Berlin: Cornelsen Scrip-torWittmann, E. Chr. (1981): Grundfragen des Mathematikunter-richts. Braunschweig: ViewegZech, F. (2002): Grundkurs Mathematikdidaktik. Weinheim: Beltz
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