Momen dan Momen Sentral
Secara garis besar pengertian momen dari variabel random x adalah harapan matematis x.
pengertian secara formal didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 1
Jika x merupakan variable random, maka momen ke r dari x (dinotasikan dengan m 'r)
didefinisikan :
m 'r=E(xr) bila E(xr) ada
Contoh 1 : Buktikan momen pertama dari variable random x merupakan mean x
Penyelesaian : Notasi dari momen pertama x adalah m1
Berdasarkan definisi m '1 = E(x)
= μx
Jadi terbukti bahwa momen pertama dari x adalah mean x.
Contoh 2 : Suatu percobaan dilakukan dengan melambungkan sebuah mata uang sebanyak tiga
kali. Jika x menyatakan kali. Jika x menyatakan banyaknya muka yang muncul,
maka tentukan momen pertama, kedua dan ketiga dari x.
Penyelesaian : Distribusi probabilitasnya adalah sebagai berikut :
x 0 1 2 3
f(x)18
38
38
18
m '1 = E(x) 3
= ∑x=0
x . f ( x ) (karena ditribusinya diskrit)
= 0.f(0) + 1.f(1) + 2.f(2) + 3.f(3)
= 0.18+1.
38+2.
38+3.
18
= 128
= 112
m '2 = E(x2) 3
= ∑x=0
x2 . f ( x ) (karena ditribusinya diskrit)
= 0.f(0) + 1.f(1) + 4.f(2) + 9.f(3)
= 0+ 38+4.
38+9.
18
= 38+ 12
8+ 9
8
= 248
= 3
m '3 = E(x3) 3
= ∑x=0
x3 . f ( x ) (karena ditribusinya diskrit)
= 0.18+1.
38+8.
38+27.
38
= 38+ 24
8+ 81
8
= 1312
Contoh 3 : Jika variable random x mempunyai fungsi densitas
f(x) = 2(1-x) , 0 < x < 1
= 0 , untuk x yang lain
Tentukan momen kedua dari x
Penyelesaian :
m '2 = E(x2)
= ∫ x2 . f ( x )dx (karena distribusinya kontinu)
= ∫0
1
x2 .2 (1−x )dx
= ∫0
1
(x¿¿2−x3)dx ¿
= 2¿
= 2( 13−1
4)
= 2( 112
)
= 16
Contoh 4 : Misalkan variable random x mempunyai fungsi probabilias
f(x) = x6
, x = 1, 2, 3
= 0 , x yang lain
Tentukan momen keempat dari x
Penyelesaian :
m '4 = E(x4) 3
= ∑x=1
x4 . f ( x ) (karena ditribusinya diskrit)
3
= ∑x=1
x4 .x6
3
= ∑x=1
.x5
6
= 16+ 25
6+35
8
= 16+ 32
6+243
6
= 276
6
= 46
Contoh 5 : Jika f ( x )= x+218
untuk -2 < x < 4 dan f(x) = 0 untuk x yang lain merupakan fungsi
densitas dari variable random x. maka tentukan momen kedua dari x.
Penyelesaian : karena distribusinya kontinu, makka :
m '2 = E(x2)
= ∫ x2 . f ( x )dx
= ∫−2
4
x2 .x+218
dx
= 1
18∫−2
4
x3+2 x2dx
= 1
18¿
= 1
18¿
= 1
18( 1
4(256−16)+ 2
3(64+8 ))
= 1
18( 240
4+ 144
3)
= 1
18(60+48)
= 6
Definisi 2 :
Jika x merupakan variable random, maka momen sentral ke r (dinotasikan dengan m r)
didefinisikan sebagai berikut :
mr=E[ (x−μx)r]
Catatan : 1. Momen sentral pertama adalah nol
2. Varians dari x = Var(x) = m2
Contoh 6 : Buktikan a) m1 = 0, untuk setiap variable random x
b) jika x merupakan variable random, maka m2 = Var(x)
Penyelesaian :
a) m1 = E(x−μx )
= E(x )−μx
= μx−μx
= 0
b) m2 = E [( X−μx)r]
= E [X 2−2 X μx+μx2]
= E(X2)−E(2 X μx)+E(μx2)
= E(X2)−2μxE (2 X )+μx2
= E (X 2)−2 E (X ) .E ( X )+[E (X )]2
= E (X 2)−[E (X )]2
= Var(X)
Contoh 7 : Dengan menggunakan pendekatan momen sentral, tentukan varians variabel
random x yang mempunyai fungsi densitas f ( x )=3(1−x2)4
untuk -1 < x < 1 dan
f(x) = 0 untuk x yang lain.
Penyelesaian :
Var(X) = m2
= E [( X−μx)2]
μx = E(X)
= ∫ x . f ( x )dx
= ∫−1
1
x .3(1−x2)
4dx
= 34∫−1
1
(x−x¿¿3)dx ¿
= 34
¿
= 34(( 1
2−1
2)−( 1
4−1
4))
= 0
Var(X) = E [( X−μx)2] = E(X2)
= ∫ x2 . f ( x )dx
= ∫−1
1
x2 .3(1−x2)
4dx
= 34∫−1
1
(x3−x¿¿4)dx¿
= 34
¿
= 34(( 1
3+ 1
3)−( 1
5+ 1
5))
= 34( 2
3−2
5)
= 34( 4
15)
= 15
Recommended
