Cinemática
Principales conceptos de cinemática
Movimiento Rectilíneo Acelerado
Caída libre
Movimiento de Proyectiles
Movimiento parabólicoMov. Semiparabólico
Cinemática de la Partícula
• Rapidez media . Es el cociente de la distancia recorrida en un intervalo de tiempo
v = ( distancia/tiempo)
• Velocidad media. Es el cociente del desplazamiento descrito en un intervalo de tiempo
v = ( x/tiempo)
Cinemática de la Partícula
• Aceleración media. Es el cociente del cambio de velocidad en un intervalo de tiempo
aceleración media = (v/tiempo)
•Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Es aquel movimiento rectilíneo en el la magnitud de la aceleración es constante.
Cinemática de la Partícula
•Ecuaciones del MRUV
vf = v0 + at
xf = x0 + v0 t + 0,5at2
v2f = vo
2 + 2a(xf - x0 )
Cinemática de la Partícula
• Caída Libre
Características:
• La velocidad inicial del cuerpo en caída libre es cero
• Movimiento Rectilíneo ( Unidimensional)
• La aceleración es constante ( g = -9,81 m/s2 )
OBJETOS EN CAÍDA LIBRE
Un objeto en caída libre es cualquier objeto que se mueve libremente solo bajo la influencia de la gravedad, sin importar su movimiento inicial. Los objetos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo y los que se liberan desde el reposo están todosen caída libre una vez que se liberan. Cualquier objeto en caídalibre experimenta una aceleración dirigida hacia abajo, sin importar su movimiento inicial.
• La aceleración debida a la gravedad está dirigida siempre hacia el centro de la Tierra, Tiene un valor constante igual a g = -9,8 m/s2
•Se utilizan las ecuaciones del Movimiento Rectilíneo
( Unidimensional)
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Consideremos una pelota que cae como se muestra en la FiguraEn cualquier instante de tiempo el movimiento del objeto queda definido por : su posición, velocidad y aceleración
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Los datos obtenidos han sido hallados a través de las ecuaciones del movimiento unidimensional considerando ay = -g . Ademas y0 y v0 son la posición y lavelocidad correspondiente a t = 0 s.
1.- A una piedra que se lanza desde lo alto del edificio se le da una velocidad Inicial de 20m/s directo hacia arriba. El edificio tiene 50 m de alto y la piedra apenas libra el borde del techo en su camino hacia abajo, como se muestra en la .figura.
a) Use tA = 0 como el tiempo cuando la piedra deja la mano del lanzador en la posición A y determine el tiempo en que la piedra llega a su máxima altura.
)( iByyiyB ttavv
y
yiyBB a
vvt
Siendo ti = 0
b) Encuentre la altura máxima de la piedra
Usando la ecuación
2
21
tatvyyy yyAABmáx
my
ssmssmy
máx
máx
4,20
)04,2)(/8,9(21
)04,2)(/20(0 22
De la Figura yA = 0, vA = 20m/s , ay = -9,8 m/s2
c) Determine la velocidad de la piedra cuando regresa a la altura desde la que se lanzó
smv
smsmvyyavv
yC
yCACyyAyC
/20
)00)(/8,9(2)/20()(2 22222
d) Encuentre la velocidad y la posición de la piedra en t = 5 s.
msmssmytatvyy
smssmsmtavv
DyyAAD
yyAyD
5,22)5)(/8,9(21
)5)(/20(021
/29)5)(/8,9(/20
222
2
2
21
tatvyy yyiif
21
21
9,433
9,433
tty
ty
2.- Se deja caer un cuerpo desde una altura inicial de 33 m/s, y simultáneamente se lanza hacia abajo otro cuerpo con una rapidez inicial de 1 m/s. Encontrar el instante en que la distancia entre ellos es 18 m. Usando
Tenemos Para el primer cuerpo
Restando
sttyy
ty
1818
9,433
21
21
Para el segundo cuerpo
3.- Un estudiante lanza un conjunto de llaves verticalmente hacia arriba a su hermana de fraternidad, quien está en una ventana a 4 m arriba. Las llaves las atrapa 1,5 s despúes con la mano extendida. a) ¿ Con qué velocidad inicial se lanzaron las llaves ?
Tomando yi = 0 en la posición de lanzamiento, tenemos
2
21
tatvy yyif
sms
ssmmv
t
tayv yi
yf
yi /105,1
)5,1)(/8,9(21
421 222
Despejando la velocidad inicial
La velocidad en el instante t = 1,5 s es
smssmsmvttavv yfifyyiyf /68,4)5,1)(/8,9(/10)( 2
8.- Desde alturas distintas y al mismo tiempo se dejan caer dos cuerpos que llegan al suelo con un intervalo de 4 segundos; la relación de alturas es h2/h1 = 9/4. Calcular : a) El tiempo que tarda cada cuerpo en caer. b) La velocidad con que llega al suelo cada cuerpo. c) El valor de cada una de las alturas
a) La ecuación que nos da el espacio recorrido por cada uno de los cuerpos es :
y la relación entre ambos vale :
Por otro lado tenemos:
Reemplazando
Esta es una ecuación de segundo grado y por lo tanto obtenemos dos valoresreales.
Recordando la solucion de la ecuación
02 cbtates
aacbb
t2
42
En nuestro caso a = 4, b = 32 y c = 64, reemplazando los valores en la untimaecuación obtenemos el valor del tiempo igual a t1 = 8 s. Reemplazando elvalor de t2 = 12 s.
Los espacios recorridos serán :
Las velocidades finales de cada cuerpo vendrán dadas por:
Ecuaciones de la Caída libre
vf = v0 + 9,81t
yf = y0 + V0 t - 0,5(9,81t2 )
v2f = vo
2 -2(9,81)(yf - y0 )
Cinemática de la Partícula
Si un proyectil es lanzado horizontalmente desde cierta altura inicial, el movimiento es semi-parabólico. Cuyas características son los que se muestran a continuación
MOVIMIENTO TECTILINEO UNIFORME
Vx = cte
d = vt
Caída libre
Vy = 0
Vx
V de caída
Las ecuaciones del movimiento considerando Vi = 0 serían: X = Vx t y = ½ gt2
1)Desde la parte superior de un acantilado de 45m de altura se dispara horizontalmente un cuerpo a razón de 8m/s. calcular el tiempo que permanece en el aire y la distanciahorizontal alcanzada, también se pide calcular la velocidad final vertical y la Velocidad total cuando toca el piso. (g = 10m/s2)
PROBLEMAS
V = 8m/sx
45mt
V = 8m/sx
d
V = 8m /sx
V = 00
V x
V yV
2) Un avión que vuela horizontalmente a razón de 90m/s deja caer un proyectil desde una altura de 360m. ¿Con qué velocidad (aproximada) llega el proyectil a tierra? g = 10m/s2.
Lanzamiento de proyectiles formando un ángulo respecto a la horizontal
MOVIMIENTO PARABÓLICO
Observaciones:La componente horizontal de la velocidad permanececonstante durante todo el trayecto.La componente vertical de la velocidad varía uniformemente poracción de la aceleración de la gravedad.
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES
2
20
2
2
1
2
gtVoth
ghVV
gtVoV
F
F
HORIZONTAL: d = VH . t
VERTICAL:
ECUACIONES AUXILIARES
2Seng
VL
g2
Voh
2
2
MAX
PROPIEDADES:
* Al disparar un proyectil dos veces con la misma rapidez, pero conángulos de elevación complementarlos se logra igual alcance.
* Para una misma rapidez de disparo, se logra un máximo alcance con un ángulo de elevación de 45°.
Ecuaciones del movimiento de proyectiles formando un ángulo respecto a la horizontal
Eje x
xf = x0 - v0 cos t
Eje y
vf = v0 sen -9,81t
yf = y0 + v0 sent -9,81(0,5)t2
v2f = (v0 sen)2 -2(9,81)(yf - y0 )
Cinemática de la Partícula
3) Calcular “x”, si se dispara un proyectil con km/h
x
v
45°
Paso 01: Descomponer la velocidad usando el ángulo
Paso 02: Usar independientemente el eje X e Y para trabajar con el MRU ycaída libre respectivamente
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V
53°
4). Se dispara un proyectil a razón de 200m/s, formando un ángulo de 53° con la horizontal. Observa el gráfico y completa los datos de la tabla adjunta, usando el triángulo notable mostrado.
Ángulo de tiro
Vel. de tiro
Vox Voy T sub. T baj. V = (Vox i +Voy j)m/s
I.ANALIZA. Las expresiones respecto al movimiento parabólico relacionando las frases del lado izquierdo con las de la derecha, ubicando la letra correspondiente.
a.En el mov. Compuesto la velocidad horizontal es.( )Es igual a cerob.La altura máxima se logra cuando la velocidad final es:( )Ángulo de tiro 45ºc.La velocidad vertical en el eje Y está : ( )Es igual a (Voy/g)
d.El tiempo de de subida es : ( ) (Voy)2/2g.
e.La altura máxima se calcula a través de la fórmula:( ) MRUf.Si V = (10 i + 40 j)m/s, entonces: ( )Su VT =20 5
g. Si V = (20 i - 40 j)m/s, entonces: ( )Disminuyendoh.Se logra un máximo alcance : ( )Constantei.La distancia horizontal se calcula usando : ( )Partícula desciendej.En el movimiento compuesto ( )componen MRU Y MVCL.k. El movimiento vertical es ( ) independiente del horizontal
5). Si se dispara un proyectil con Vo = 250 m/s. calcular la altura máxima alcanzada. g = 10m/s2.
v
74°
Alcances obtenidos según diversos ángulos
OyV x
V F
qh máxh
V H
L
Vo
A
6). IDENTIFICA las características del movimiento compuesto en el siguiente gráfico, completando los espacios vacíos, según corresponda; la velocidad es Vo = 100 m/s y el ángulo
de lanzamiento es de 37º.
a.La velocidad horizontal es igual a :……………..b.La velocidad vertical es igual a:…………………c.El tiempo de subida es igual a:………………….d.El tiempo de vuelo es igual:……………………..e.Si el tiempo de A a B es de 3 s, entonces la distancia d es igual a:…………..f.La altura máxima es igual a hmáx……..
g.el tiempo de vuelo es igual a:……………….h.El alcance horizontal L es igual a:…………………i.La altura h a la que se encuentra el punto B es igual a:…………..j.La velocidad final VF es igual a:…………………..
k.La velocidad horizontal en el punto B es igual a:…………l.La velocidad total en el punto B es igual a:…………………….(usar teorema de Pitágoras)m.La velocidad de llegada al piso es igual a:……………………
B
d