VEKTOR DAN NILAI EIGEN
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
TIM DOSEN
8
03/05/2017 09.391
Beberapa Aplikasi Ruang Eigen
Uji Kestabilan dalam sistem dinamik
Optimasi dengan SVD pada pengolahan Citra
Sistem Transmisi
dan lain-lain.
Definisi :
Misalkan Anxn matriks matriks bujur sangkar
adalah vektor tak nol di Rn dan λ adalah skalar Rill
sehingga memenuhi :
maka λ dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vektor eigen dari A
2 03/05/2017 09.39
v
vvA
v
03/05/2017 09.393
Contoh :
2
1
34
21
Vektor eigen
Nilai eigen
2
15
5
10
03/05/2017 09.394
Perhatikan !!!
Ingat….
merupakan vektor tak nol
Ini Berarti
vvA
0 vvA
0 vIvA
0 vIA
v
0det IA
Persamaan Karakteristik
03/05/2017 09.395
Contoh :
Tentukan nilai eigen dari matriks
Persamaan Karakteristik det (A – λI) = 0
0 0 1-
2 1 0
2- 0 1
A
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1-
2 1 0
2- 0 1
0
- 0 1-
2 -1 0
2- 0 -1
03/05/2017 09.396
Dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-2
(1− λ) ( (1−λ) (−λ) − 2 ) = 0
(1 − λ) ( λ² − λ − 2) = 0
(1 − λ) ( λ − 2) ( λ + 1) = 0
Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu :
λ = −1, λ = 1, dan λ = 2.
Contoh :
Tentukan basis ruang eigen dari :
2 1 1
1 2 1
1 1 2
A
03/05/2017 09.397
Jawab : Nilai eigen dari A diperoleh saat
(λ – 2){( λ – 2)2 –1} + (–λ +1) – (1+( λ–2)) = 0
(λ – 2){ λ2 – 4 λ + 3} – (λ – 1) – (λ – 1) = 0
(λ – 2){( λ – 3)( λ – 1 )} – 2 (λ – 1) = 0
(λ – 1)(( λ – 2)( λ – 3) – 2) = 0
(λ – 1)( λ2 – 5 λ + 4) = 0
(λ – 1)2( λ – 4) = 0
0det AI
0
2- 1- 1-
1- 2- 1-
1- 1- 2-
01- 1-
2- 1-
2- 1-
1- 1-
2- 1-
1- 2-2
03/05/2017 09.398
Nilai Eigen dari matriks tersebut adalah 1 dan 4.
Untuk λ = 1
Dengan OBE diperoleh
maka
0
0
0
z
y
1- 1- 1-
1- 1- 1-
1- 1- 1- x
0
0
0
000
000
111
t
s
ts
z
y
x
ts
1
0
1
0
1
1
dimana s, t adalah parameter
03/05/2017 09.399
Jadi, Basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =1 adalah
1
0
1
,
0
1
1
Ingat bahwa…
Vektor eigen merupakan kelipatan dari
unsur basis tersebut
03/05/2017 09.3910
Untuk λ = 4
dengan OBE diperoleh
maka
Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =4 adalah
0
0
0
2 1- 1-
1- 2 1-
1- 1- 2
z
y
x
s
z
y
x
1
1
1
0
0
0
000
110
101
1
1
1
03/05/2017 09.3911
Diagonalisasi
Definisi : Suatu matriks bujur sangkar Anxn dikatakan
dapat didiagonalkan (diagonalizable)
jika terdapat matriks P yang mempunyai invers sehingga P–1AP merupakan
matriks diagonal.
Matriks P dinamakan matriks yang mendiagonalkan (pendiagonal) dari A.
Vektor-vektor kolom dari matriks P adalah vektor-vektor eigen dari A.
03/05/2017 09.3912
Contoh : Tentukan matriks yang mendiagonalkan
110
110
001
A
0. AI
0
110
110
001
00
00
00
det
Jawab :Persamaan karakteristik dari matriks A adalah :
atau
03/05/2017 09.3913
0
110
110
001
det
131312121111.det cacacaAI
002 1
2 1
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor :Pilih Baris I
Sehingga diperoleh nilai eigen 2 ; 1 ; 0
03/05/2017 09.3914
0
~. AI
110
110
001
110
110
001
~
000
110
001
~
Untuk
Dengan OBE maka
0
t
x
x
x
1
1
0
3
2
1
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
, dimana t adalah parameter tak nol
1
1
0
1Padalah
03/05/2017 09.3915
1
~. AI
010
100
000
010
100
000
~
000
100
010
~
Untuk
Dengan OBE maka
1
t
x
x
x
0
0
1
3
2
1
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
, dimana t adalah parameter tak nol
0
0
1
2Padalah
03/05/2017 09.3916
Untuk
Dengan OBE maka
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
, dimana t adalah parameter tak nol
adalah
2
110
110
001
~. AI
000
110
001
~
t
x
x
x
1
1
0
3
2
1
1
1
0
3P
2
03/05/2017 09.3917
0332211 PkPkPk
0
0
0
101
101
010
3
2
1
k
k
k
101
010
101
~
101
101
010
200
010
101
~
100
010
101
~
100
010
001
~
321 ,, PPP
Perhatikan
Jadi
merupakan himpunan yang bebas linear
Dengan OBE
03/05/2017 09.3918
Jadi, Matriks yang mendiagonalkan A adalah :
Matriks diagonal yang dihasilkan adalah :
Hal yang perlu diperhatikan, matriks
Juga mendiagonalkan A.
Tapi matriks diagonal yang terbentuk adalah :
101
101
010
P
200
010
0001APPD
110
110
001
P
200
000
0011APPD
03/05/2017 09.3919
Bnxn dikatakan matriks ortogonal jika B–1 = Bt
Pernyataan berikut adalah ekivalen :
Bnxn adalah matriks ortogonal.
Vektor-vektor baris dari B membentuk himpunan ortonormal di Rn dalam RHD Euclides.
Vektor-vektor kolom dari B membentuk himpunan ortonormal di Rn dalam RHD Euclides.
xPx , untuk setiap x di Rn
Misalkan P merupakan matriks ortogonal maka berlaku :
• P t P = I
03/05/2017 09.3920
Contoh :
2
1
2
1
2
1
2
1
A
2
1
2
1
2
1
2
1
0
010
0
B
Berikut adalah contoh matriks ortogonal :
Terlihat bahwa setiap vektor baris/kolommerupakan vektor satuanDan hasilkali dalam antar vektor tersebut adalah nol
03/05/2017 09.3921
22x
t IAA 33x
t IBB
6
8
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
14
2
4
2
196
100
6
8
Perhatikan bahwa :
dan
Sementara itu,
03/05/2017 09.3922
Definisi :
Suatu matriks Anxn dikatakan dapat didiagonalkan secara ortogonal
jika terdapat matriks ortogonal P
sedemikian hingga
P–1AP (=PtAP) merupakan matriks diagonal.
03/05/2017 09.3923
Perhatikan bahwa :
D = P–1AP atau A =PDP–1
Misalkan P merupakan matriks ortogonal, maka
A = PDPt
Sehingga diperoleh hubungan
At = (PDPt)t
= (Pt )t DPt
= PDPt
= A
A dapat didiagonalkan secara ortogonal jika dan hanya jika A matriks simetri
03/05/2017 09.3924
Misal Anxn, cara menentukan matriks ortogonal P yang mendiagonalkan A :
Tentukan nilai eigen
Tentukan basis ruang eigen untuk setiap nilai eigen yang diperoleh
Ubah setiap basis pada (b) menjadi basis ruang eigen yang ortonormal.
Bentuk matriks P dimana vektor-vektor kolomnya berupa basis ruang eigen yang ortonormal.
Contoh :
Tentukan matriks yang mendiagonalkan secara ortogonal matriks
110
110
001
A
03/05/2017 09.3925
Jawab :
Basis ruang eigen :
Untuk adalah
Untuk adalah
Untuk adalah
0
1
2
1
1
0
0
0
1
1
1
0
2
1
21
0
0
0
1
21
21
0
03/05/2017 09.3926
Sehingga matriks ortogonal yang mendiagonalkan A adalah :
21
21
21
21
0
0
010
P
2
1
21
0
0
0
1
21
21
0
Dengan demikian, secara berurutanbasis ruang eigen yang ortonormal matriks tersebut
dan
03/05/2017 09.3927
Ingat Kembali Pers. Diferensial
Jika sekumpulan PD orde 1 ditulis :
Dengan mudah solusi sistem PD tersebut adalah :
)()(
tyadt
tdy
atcety )(
)()(
)(3)(
)(2)(
33
22
11
trdt
tdr
trdt
tdr
trdt
tdr
3
2
1
3
2
1
100
030
002
'
'
'
r
r
r
r
r
r
t
t
t
ec
ec
ec
r
r
r
3
32
21
3
2
1
03/05/2017 09.3928
Masalahnya, sistem persamaan diferensial tidak selalu memberikan matrikskoefisien yang berbentuk matriks diagonal.
Bentuk Umum SPD orde 1 :
Langkah-langkah menyelesaikan SPD orde 1 linear :
Tentukan matriks P yang mendiagonalkan A.
Tulis SPD dummy dalam bentuk dimana
Tentukan solusi SPD dummy
Solusi SPD adalah
nnnnn
n
n
n x
x
x
aaa
aaa
aaa
x
x
x
2
1
21
22221
11211
2
1
'
'
'
DUU ' APPD 1
DUU '
PUX
03/05/2017 09.3929
Contoh 6 : Tentukan solusi dari sistem persamaan diferensial
Jawab :
Tulis SPD dalam bentuk :
Dengan PK
Nilai eigen dari matriks koefisien,
2
1
2
1
11
24
'
'
x
x
x
x
212
211 24
xxdt
dx
xxdt
dx
011
24
= 2 dan = 3
03/05/2017 09.3930
BRE yang bersesuaian dengan = 3
BRE yang bersesuaian dengan = 2
Sehingga diperoleh
Karena
maka SPD dummy berbentuk :
Solusi SPD dummy adalah
dan
1
2
1
1
11
12P
20
031APPD
2
1
2
1
20
03
'
'
u
u
u
u
tecu 3
11 tecu 2
22
03/05/2017 09.3931
Solusi dari SPD
atau
PUX
t
t
ec
ec
x
x2
2
3
1
2
1
11
12
tt ececx 2
2
3
11 2
tt ececx 2
2
3
12
03/05/2017 09.3932
)(2 tqtpdt
dp
)(2 tqtpdt
dq
10 p 30 q
Contoh 8.9 :
Tentukan solusi dari masalah nilai awal
dengan kondisi awal
dan.
03/05/2017 09.3933
21
12A
0 AI.det
21
120
1220
1440 2
340 2
310
3 ; 1diperoleh
Jawab : Kita punya
Maka Persamaan Karakteristiknya adalah
03/05/2017 09.3934
1
00
11~
11
11~. AI
tx
xx
xx
2
21
21 0
1
tx
x
1
1
2
1
1
1
11P
Untuk
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
adalah vektor tak nol yang berbentuk
, dimana t merupakan parameter.
adalah
Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan
03/05/2017 09.3935
3
00
11~
11
11~. AI
tx
xx
xx
2
21
21 0
3
tx
x
1
1
2
1
3
1
12P
Untuk
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
adalah vektor tak nol yang berbentuk
Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan
adalah
, dimana t merupakan parameter
03/05/2017 09.3936
t
t
e
eU
3
PUX
t
t
ec
ec
q
p3
2
1
11
11
tt ececp 3
21
tt ececq 3
21
Sehingga Solusi Umum SPD U’ = D U adalah
Dengan demikian solusi SPD kita adalah :
atau
sehingga
03/05/2017 09.3937
0t
21
21
3
1
CC
CC
2 ; 1 21 CC
tt eetp 32)(
tt eetq 32)(
Untuk
Dengan Eliminasi didapat
Jadi solusi masalah nilai awal tersebut adalah
10 p 30 qdan sehingga
03/05/2017 09.3938
Latihan
1. Tentukan basis ruang eigen dari
2. Diketahui :
Apakah matriks B dapat didiagonalkan, jelaskan!
3. Suatu Matriks A2x2 memiliki basis ruang eigen :
λ = – 3
λ = 1
Tentukan matriks A !
144
010
023
B
301
020
301
A
3
1
2
1
03/05/2017 09.3939
4. Tentukan solusi dari masalah nilai awal :
dengan kondisi awal
dan
)(2)(
)()(2
tqtpdt
dq
tqtpdt
dp
1)0( p 3)0( q
THANK YOU