Stránka 1 z 17
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum:
MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V.
14. ČERVENCE 2013
Název zpracovaného celku:
NAMÁHÁNÍ NA OHYB
D) VETKNUTÉ NOSNÍKY ZATÍŽENÉ SOUSTAVOU ROVNOBĚŽNÝCH SIL
ÚLOHA 1
Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţující síly F = 1 000 N a vzdálenost l = 0,5 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů.
ŘEŠENÍ:
RAy F
+
RAy F
MA
+y
l +x
–
+
–
+
Točivý účinek pro určení reakčních sil.
- M
+ M
Točivý účinek pro určení ohybových momentů.
- MoF
MoA
T
M
A
Stránka 2 z 17
∑
∑
Ohybové momenty budou řešeny u první úlohy v jednotlivých průřezech z obou stran průřezu:
L – levá strana průřezu, R – pravá strana průřezu.
Maximální ohybový moment je MoA.
Stránka 3 z 17
ÚLOHA 2
Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţujících sil F1 = 1 200 N, F2 = 600 N, F3 = 500 N a vzdálenosti a = c = 0,2 m a b = 0,15 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů.
ŘEŠENÍ:
+
+
RAy
F1
F2
F3
MA
RAy
F3
F1
F2
a b c
A
+x
+y
MoA
Mo1 Mo2
Mo3
T
M
–
+
–
+
- M
+ M
Stránka 4 z 17
∑
∑
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Maximální ohybový moment je MoA.
Stránka 5 z 17
ÚLOHA 3
Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţujících sil F1 = 1 100 N, F2 = F3 = 800 N, F4 = 600 N a vzdálenosti a = b = c = d = 0,15 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů.
ŘEŠENÍ:
F1
F4
F3 F2
RAy
MA
+y
+x
a b c d
- RAy
F1
F2
F3
F4
+
-
+
MoA
Mo1
Mo2
Mo3
Mo4
A
- M
+ M
–
+
–
+
T
M
Stránka 6 z 17
∑
∑
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Maximální ohybový moment je ƖMo1Ɩ = Mo3
Stránka 7 z 17
ÚLOHA 4
Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţujících sil F1 = 1 000 N, F2 = 800 N, F3 = 1 300 N, F4 = 1 100 N a vzdálenosti a = c = 0,2 m a b = d = 0,15 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů.
Výsledek: RAy = 400 N, MA = -135 Nm, Mo,max = Mo1 = 215 Nm
A
+y
F1
F2
F3
F4
a b c d
+x
- M
+ M
–
+
–
+
Stránka 8 z 17
E) VETKNUTÉ NOSNÍKY ZATÍŽENÉ PO CELÉ DÉLCE SPOJITÝM ZATÍŽENÍM Q Úlohu budeme řešit jen obecně. ŘEŠENÍ:
A
q x
MoQ
MoA = Mo,max
Tx x 2
Q
l
x
Qx
RAy
Mox
+y
l 2
+x
–
+
–
+
- M
+ M
-
T
M
RAy
-
MA
q
Stránka 9 z 17
Velikost reakce RAy určíme z podmínky rovnováhy
∑
Ve vzdálenosti x od volného konce nosníku bude platit:
a) Posouvající síla
.
Závislost je lineární.
Hodnoty Tx:
b) Ohybový moment bude
Závislost je parabolická.
Hodnoty Mox:
( )
Tento moment je maximální.
Stránka 10 z 17
F) NOSNÍKY VETKNUTÉ ZATÍŽENÉ KOMBINOVANÝM ZATÍŽENÍM
ÚLOHA 1 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţující síly F1 = 1 500 N, spojité zatíţení Q = 1 000 N a vzdálenost l = 0,4 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů. ŘEŠENÍ:
+
RAy
F1
l 4
Q 2
F1
𝑄 𝑞 𝑙
MA
A
q
MoQ
MoA
Q
l
RAy
+y
l 2
+x
–
+
–
+
- M
+ M
T
M Mo1
Q
-
Stránka 11 z 17
∑
∑
Maximální ohybový moment je MoA.
Stránka 12 z 17
ÚLOHA 2 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţující síly F1 = 1 300 N, spojité zatíţení Q = 1 200 N a vzdálenosti a = 0,3 m a b = 0,25 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů. ŘEŠENÍ:
T
M
MoA
MoQ
MoB
Mo1
–
+
–
+
Q
q
Q a 2
Q 2
a 4
A B
a ba
F1
+x
+y
𝑄 𝑞 𝑙 MA
RAy
-
RAy
F1
- M
+ M
+
Stránka 13 z 17
∑
∑
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
Maximální ohybový moment je MoA.
ÚLOHA 3 Určete maximální ohybový moment u nosníku, je-li velikost zatěţující síly F1 = 1 400 N, spojité zatíţení Q = 1 000 N a vzdálenosti a = b = 0,15 a c = 0,2 m. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů.
Výsledek: RAy = 2 400 N, Mo,max = MA = - 610 Nm
F1
A
Q
a b c
+y
+x
–
+
–
+
- M
+ M
Stránka 14 z 17
DEFORMACE PŘI OHYBU
Přímá osa nosníku se vlivem zatíţení deformuje. Zakřivená osa se nazývá ohybová čára. Pro potřebu praxe musíme umět zjistit průhyb, úhel natočení a poloměr zakřivení ohybové čáry. Při výpočtu nosníku nesmí nejen napětí překročit dovolenou hodnotu, ale i maximální průhyb musí být v předepsaných mezích. Například u ocelových konstrukcí se klade poţadavek, aby průhyb
nepřekročil (
) rozpětí. Poloměr zakřivení ohybové čáry potřebujeme znát např. při ohýbání
plechů, abychom mohli určit potřebný ohybový moment. Kromě toho potřebujeme znát průhyb nosníku i úhel natočení k řešení staticky neurčitých nosíků. Hodnoty úhlu natočení průřezu a průhybů jsou uvedeny ve strojnických tabulkách.
A) Deformační podmínky pro vetknuté nosníky
úhel natočení průřezu:
Průhyb:
kde xT je vzdálenost těţiště momentové plochy od volného konce nosníku.
Stránka 15 z 17
ÚLOHA 1 Ocelový válcovaný nosník tvaru I, pevně vetknutý ve zdi, je na volném konci ve vzdálenosti l = 2 m od zdi zatíţen elektrickým kladkostrojem o nosnosti F = 4 000 N. Vlastní tíha kladkostroje G = 800 N. Navrhněte velikost profilu I pro σDo = 120 MPa. Vypočtěte úhel natočení průřezu a průhyb na konci nosníku. ŘEŠENÍ:
( ) ( )
| |
Vypočtené velikosti Wo odpovídá profil I 140, jehoţ Wx = 81,9 cm
3
MA
RAy
+y
A
y
F+G
+x
l
–
+
–
+
T
xT
MoA
𝑥𝑇
𝑙
M
-
Stránka 16 z 17
Úhel natočení průřezu:
( )
( )
rozměrová rovnice
Hodnota ( ) je převzata ze strojnických tabulek
( )
Průhyb nosníku na konci:
( )
( )
rozměrová rovnice
( )
Dovolený průhyb je (
) ( )
Navrţený profil I 140 nevyhovuje deformační podmínce. Navrhneme profil I 160
( )
( )
Navrţený profil I 160 vyhovuje deformační podmínce.
Stránka 17 z 17
ÚLOHA 2 Ocelový válcovaný nosník tvaru I, pevně vetknutý ve zdi, je na volném konci ve vzdálenosti l = 3 m od zdi zatíţen elektrickým kladkostrojem o nosnosti F = 5 000 N. Vlastní tíha kladkostroje G = 1 000 N. Navrhněte velikost profilu I pro σDo = 120 MPa. Navrţený průřez musí vyhovovat i deformační podmínce. (Dovolený průhyb je (3÷12) mm).
Výsledek: I 220; y = 8,4 mm
NOSNÍKY STEJNÉHO NAPĚTÍ Nosníkem stejného napětí nazýváme takový nosník, který pro určité zatíţení má v okrajových vláknech všech průřezů stejné napětí. Při minimální spotřebě materiálu má maximální deformaci a má také nejlepší součinitel vyuţití materiálu. Nosník stejného napětí musí splňovat podmínku
Proto jsou průřezové moduly v ohybu u jednotlivých průřezech přímo úměrné ohybovým momentům v těchto průřezech. Výpočet nosníku stejného napětí je uveden ve strojnických tabulkách.
POUŢITÁ LITERATURA
[1] MRŇÁK, L. a DRDLA, A. Mechanika pruţnost a pevnost pro SPŠ strojnické. 3. opravené vyd. Praha: SNTL, 1980. 366 s. [2] SKÁLA, V. a STEJSKAL, V. Mechanika pro SPŠ nestrojnické. 3. vyd. Praha: SNTL, 1986. 207 s. [3] LEINVEBER, J., VÁVRA, P. Strojnické tabulky: Pomocná učebnice pro školy technického zaměření. Čtvrté doplněné vydání. Úvaly: Albra, 2008, 914 s. ISBN 978-80-7361-051-7.