O Método de Hartree-Fock
CF740 – Tópicos Especiais de Física Atômica e MolecularCálculos de Estrutura Eletrônica Utilizando Funcionais de Densidade
Departamento de Física
Universidade Federal do Paraná
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Método Variacional
E0 = 〈Ψ0|H|Ψ0〉, onde |Ψ0〉 = |χ1χ2 . . . χaχb . . . χN 〉H é o hamiltoniano eletrônico (na aproximação de Born-Oppenheimer), dado por:
H = −N
∑
i=1
1
2∇2
i −N
∑
i=1
M∑
A=1
ZA
|ri − RA| +N
∑
i=1
∑
j>i
1
|ri − rj |
A energia total é então escrita na forma de um funcional dos spin-orbitais:
E0[{χa}] =N
∑
a=1
[a|h|a] + 1
2
N∑
a=1
N∑
b=1
[aa|bb] − [ab|ba]
onde∫
dx1χ∗a(x1)χb(x1) = [a|b] = 〈a|b〉 = δab
Vamos minimizar E0[χ∗a, χa] = E0[{χa}] em relação aos spin orbitais {χa} , mantendo o
vínculo acima, ou seja [a|b] = δab. Para isso vamos construir o funcional
L[{χa}] = E0[{χa}] −N
∑
a=1
N∑
b=1
εba([a|b] − δab)
onde εba são os multiplicadores de Lagrange.
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Método Variacional
L[{χa}] é real e portanto εba = ε∗ab ([a|b] = [b|a]∗).
Vamos fazer
χa → χa + δχa
e impor que L[{χa}] seja estacionário, ou seja
δL[{χa}] = δE0[{χa}] −N
∑
a=1
N∑
b=1
εbaδ[a|b] = 0
Como resultado obtemos
δL[{χa}] =N
∑
a=1
[δχa|h|χa] +N
∑
a=1
N∑
b=1
[δχaχa|χbχb] − [δχaχb|χbχa] −
−N
∑
a=1
N∑
b=1
εba[δχa|χb] + complexo conjugado = 0
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Método Variacional
Os operadores de Coulomb Jb(1) e de troca (exchange) Kb(1) são definidos como
Jb(1)χa(1) =
[∫
dx2χ∗b (2)
1
r12χb(2)
]
χa(1)
Kb(1)χa(1) =
[∫
dx2χ∗b (2)
1
r12χa(2)
]
χb(1)
tal que
〈χa(1)|Jb(1)|χa(1)〉 = [aa|bb]; 〈χa(1)|Kb(1)|χa(1)〉 = [ab|ba]Assim δL[{χa}] = 0 resulta em
δL[{χa}] =N
∑
a=1
∫
dx1δχ∗a(1)
{
h(1)χa(1) +N
∑
b=1
[Jb(1) −Kb(1)] χa(1) −N
∑
b=1
εbaχb(1)
}
+
+complexo conjugado = 0
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Método Variacional
Como as variações δχ∗a(1) (e δχa(1)) são arbitrárias o termo entre chaves se anula (o
mesmo acontence com o c.c.), resultando em
{
h(1) +N
∑
b=1
[Jb(1) −Kb(1)]
}
χa(1) =N
∑
b=1
εbaχb(1); a = 1, 2, . . . , N
Definimos o operador de Fock f(1) como
f(1) = h(1) +N
∑
b=1
[Jb(1) −Kb(1)]
tal que
f |χa〉 =N
∑
b=1
εba|χb〉
A expressão acima representa uma equação de autovalores, mas que não está na formapadrão.
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Equações de Hartree-Fock
Vamos “rodar” os spin-orbitais através de uma transformação unitária U(U† = U−1)
χ′a =
∑
b
χbUba
Neste caso
|Ψ′0〉 = det(U)|Ψ0〉 = exp(iθ)|Ψ0〉, f ′(1) = f(1)
o que resulta em
f |χ′a〉 = ε′a|χ′
a〉Vamos considerar as equações de Hartree-Fock na forma canônica como
f |χa〉 = εa|χa〉, f† = f
ou
{
h(1) +N
∑
b=1
[Jb(1) −Kb(1)]
}
χa(1) = εaχa(1); a = 1, 2, . . . , N
que é um conjunto de equações íntegro-diferenciais acopladas.
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Autovalores
Uma vez definido o operador de Fock f temos
f |χj〉 = εj |χj〉, j = 1, 2, . . . ,∞Qual o significado dos autovalores εj?Considere
〈χi|f |χj〉 = εj〈χi|χj〉 = εiδij
ou
〈χi|f |χi〉 = 〈χi|h+N
∑
b=1
[Jb −Kb] |χi〉 = 〈χi|h|χi〉 +N
∑
b=1
[
〈χi|J b|χi〉 − 〈χiKb|χi〉]
=
= 〈i|h|i〉 +N
∑
b=1
[〈ib|ib〉 − 〈ib|bi〉] = 〈i|h|i〉 +N
∑
b=1
〈ib||ib〉 = εi
Em particular
εa = 〈a|h|a〉 +N
∑
b6=a
[〈ab|ab〉 − 〈ab|ba〉], 〈aa||aa〉 = 0
εr = 〈r|h|r〉 +N
∑
b=1
[〈rb|rb〉 − 〈rb|br〉]
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Autovalores
Somando
N∑
a=1
εa =N
∑
a=1
〈a|h|a〉 +N
∑
a=1
N∑
b=1
[〈ab|ab〉 − 〈ab|ba〉]
que não é igual a E0
E0 =N
∑
a=1
〈a|h|a〉 +1
2
N∑
a=1
N∑
b=1
[〈ab|ab〉 − 〈ab|ba〉]
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Teorema de Koopmans
A interpretação dos autovalores do operador de Fock ǫi é dada pelo Teorema de Koopmans:
IP = EN−1a − EN
0 = −ǫa ; EA = EN0 − EN+1
r = −ǫronde EN−1
a e EN+1r são as energias totais da molécula com (N-1)-elétrons e (N+1)-elétrons
respectivamente, obtidas com os mesmos orbitais utilizados no cálculo de E0.
|N−1Ψa〉 = |χ1 χ2 . . . χa−1 χa+1, . . . χN 〉
|N+1Ψr〉 = |χ1 χ2 . . . χN χr〉
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Teorema de Brillouin
Teorema de BrillouinExcitações simples |Ψr
a〉 não interagem diretamente com o estado de referênciaHartree-Fock |Ψ0〉, isto é 〈Ψ0|H|Ψr
a〉 = 0.
〈Ψ0|H|Ψra〉 = 〈a|h|r〉 +
N∑
b=1
〈ab||rb〉 = 〈a|f |r〉 = 0
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Sistemas com Camada Fechada
Para sistemas com camada fechada, podemos somar as equações de Hartree-Fock sobre osspins, obtendo
f(r1)ψj(r1) = h(r1)ψj (r1) +
2
N/2∑
c=1
∫
d3r2ψ∗c (r2)
1
r12ψc(r2)
ψj(r1) −
−
N/2∑
c=1
∫
d3r2ψ∗c (r2)
1
r12ψj(r2)
ψc(r1) = εjψj(r1)
O operador de Fock neste caso fica
f(r1) = h(r1) +
N/2∑
a=1
[2Ja(r1) −Ka(r1)]
onde
Ja(r1) =
∫
d3r2ψ∗a(r2)
1
r12ψa(r2)
e
Ka(r1)ψi(r1) =
[∫
d3r2ψ∗a(r2)
1
r12ψi(r2)
]
ψa(r1)
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Sistemas com Camada Fechada
Ou, de forma simples
f(1)ψj (1) = εjψj(1)
E0 fica
E0 = 2
N/2∑
a=1
haa +
N/2∑
a=1
N/2∑
b=1
[2Jab −Kab]
εi fica
εi = hii +
N/2∑
b=1
[2Jib −Kib]
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Equações de Hartree-Fock-Roothaan
A solução das equações de Hartree-Fock é obtida expandindo-se os orbitais moleculares ψi
em termos de um conjunto (não completo) composto por K orbitais atômicos {φµ}:
ψi(~r) =K
∑
µ=1
Cµiφµ(~r); Sµν =
∫
d~r1φµ(1)φν (1)
Representação de φµ → funções Gaussianas Cartesianas:
λ(α ~A)lmn = Nlmn(x−Ax)l(y − Ay)m(z −Az)ne−α|~r− ~A|2
s : l+m+ n = 0; p : l +m+ n = 1; d : l+m+ n = 2
Equação de Hartree-Fock-Roothaan, onde as incógnitas passam a ser os coeficientes reaisCµi.
FC = SCǫ→K
∑
ν=1
FµνCνi = ǫi
K∑
ν=1
SµνCνi, i = 1, 2 . . .K
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Equações de Hartree-Fock-Roothaan
Matriz de Fock Fµν
Fµν =
∫
d~r1φµ(1)f(1)φν (1) = Hcoreµν +Gµν
Termo do “core´´
Hcoreµν = Tµν + V core
µν
Energia cinética
Tµν =
∫
d~r1φµ(1)
[
−1
2∇2
1
]
φν(1)
Potencial nuclear
V coreµν =
∫
d~r1φµ(1)
[
M∑
α=1
− Zα
|~r1 − ~rα|
]
φν(1)
Matriz Gµν
Gµν =∑
λσ
Pλσ[(µν|σλ) − 1
2(µλ|σν)]
Integrais de dois elétrons
(µν|σλ) =
∫ ∫
d~r1d~r2φµ(1)φν (1)1
|~r1 − ~r2|φσ(2)φλ(2)
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Equações de Hartree-Fock-Roothaan
Matriz densidade
Pλσ = 2
N2
∑
i=1
CλiCσi
Energia eletrônica
E0 =1
2
∑
µ
∑
ν
Pµν(
Hcoreµν + Fµν
)
Energia total
Etot = E0 +∑
A
∑
B>A
ZAZB
RAB
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Etapas do processo SCF (cálculo ab initio)
1 Especificar a molécula, fornencendo {~RA}, {ZA}, N , e definir a base {φµ} a ser utilizada.2 Calcular todas as integrais primitivas: Sµν , Hcore
µν , (µν|λσ).
3 Diagonalizar S para obter a matriz de transformação X.
4 Fornecer um “chute” inicial para P (Pµν = 2∑N/2
a=1 CµaC∗νa).
5 Calcular G, usando P e (µν|λσ) (Gµν =∑K
λ=1
∑Kσ=1 Pλσ[(µν|σλ) − 1/2(µλ|σν)]).
6 Formar F a partir de G e Hcore (F = H
core + G).7 Calcular F′ = X†FX.8 Diagonalizar F′ para obter C′ e ǫ.9 Calcular C = XC′.
10 Formar nova P usando C (Pµν = 2∑N/2
a=1 CµaC∗νa).
11 Calcular E0 e Etot (E0 = 12
∑Kµ=1
∑Kν=1 Pνµ
(
Hcoreµν + Fµν
)
).
12 Determinar se o processo convergiu.
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Self-consistent field (SCF)
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Funções Gaussianas Cartesianas
“ The choice of a basis is more of an art than a science” (Szabo-Ostlund).
MO-LCAO
ψi(~r) =K
∑
µ=1
Cµiφµ(~r); Sµν =
∫
d~r1φ∗µ(1)φν (1)
Representação de φµ → funções Gaussianas Cartesianas:
λ(α ~A)lmn = Nlmn(x−Ax)l(y − Ay)m(z −Az)ne−α|~r− ~A|2
s : l+m+ n = 0; p : l +m+ n = 1; d : l+m+ n = 2
Bases contraídas:
φ(CGF )µ (~r − ~RA) =
L∑
p=1
dpµgp(αGFpµ , ~r − ~RA); gp(αGF
pµ , ~r − ~RA) −→ primitivas
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Bases contraídas
φ(CGF )µ (~r − ~RA) =
L∑
p=1
dpµgp(αpµ, ~r − ~RA)
g1s(α, ~r) =
(
8α3
π3
)1/4
exp(−αr2)
g1px(α, ~r) =
(
128α5
π3
)1/4
x exp(−αr2)
g1dxy(α, ~r) =
(
2048α7
π3
)1/4
xy exp(−αr2)
Conjuntos de base (internas ao pacote GAMESS): STO-3G, 3-21G, 4-31G, 6-31G, 6-31G∗,6-31G∗∗, 6-311G, 6-311G∗, 6-311G∗∗, DZV, TZV . . .
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Contrações
Exemplo: contração (4s)/[2s] para o hidrogênio de Huzinaga.primitivas (4s):
ψ1s = 0.50907g1s(0.123317, ~r)
+ 0.47449g1s(0.453757, ~r)
+ 0.13424g1s(2.0133, ~r)
+ 0.01906g1s(13.3615, ~r)
contraindo a (4s)/[2s]:
φ1(~r) = g1s(0.123317, ~r)
φ2(~r) = 0.817238g1s(0.453757, ~r)
+ 0.231208g1s(2.0133, ~r)
+ 0.032828g1s(13.3615, ~r)
ψ1s −→ ψ1s = φ1 + φ2
Átomos pesados: (9s5p)/[3s2p]
Átomos pesados + hidrogênio: (9s5p/4s)/[3s2p/2s]
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(8s4p/4s)/[3s2p/2s] - 4-31G
Hidrogênio:
φ′1s =3
∑
i=1
d′i,1sg1s(α′i,1s, ~r)
φ′ ′1s = g1s(α′ ′1s, ~r)
Para Li até F:
φ1s =4
∑
i=1
di,1sg1s(αi,1s, ~r)
φ′2s =3
∑
i=1
d′i,2sg2s(α′i,2s, ~r)
φ′ ′2s = g2s(α′ ′2s, ~r)
φ′2p =3
∑
i=1
d′i,2pg2p(α′i,2p, ~r)
φ′ ′2p = g2p(α′ ′2p, ~r)
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6-31G∗ e 6-31G∗∗
∗: função do tipo d no átomo pesado
∗∗: função do tipo d no átomo pesado e função do tipo p no hidrogênio.
Hierarquia das bases: STO-3G, 4-31G, 6-31G, 6-31G∗ e 6-31G∗∗Outras bases: DZV, TZV, 6-311G . . .
Notação: 6-311+G(1d), 6-311++G(1d)+: funções difusas do tipo s e do tipo p no átomo pesado.++: funções difusas do tipo s e do tipo p no átomo pesado e função difusa do tipo s nohidrogênio.
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Base mínima STO-3G
(µAνB |λCσD) =
∫
d~r1
∫
d~r2φA∗µ (1)φB
ν (1)1
|~r1 − ~r2|φC∗
λ (2)φDσ (2)
φGF1s (α, ~r − ~RA) =
(
2α
π
)3/4
exp[
−α|~r − ~RA|2]
φGF1s (α, ~r − ~RA)φGF
1s (β, ~r − ~RB) = KABφGF1s (p, ~r − ~RP )
KAB =
(
2αβ
(α+ β)π
)3/4
exp
[
− αβ
(α + β)|~RA − ~RB |2
]
p = α+ β, ~RP =α~RA + β ~RB
α+ β
(µAνB |λCσD) = KABKCD
∫
d~r1
∫
d~r2φGF1s (p, ~r1 − ~RP )
1
|~r1 − ~r2|φGF
1s (q, ~r2 − ~RQ)
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Base mínima STO-3G
φ(CGF )µ (~r − ~RA) =
L∑
p=1
dpµφp(αGFpµ , ~r − ~RA)
φCGF1s (ζ = 1.0, STO − 3G) = 0.444635φ1s(α = 0.109818)
+ 0.535328φ1s(α = 0.405771)
+ 0.154329φ1s(α = 2.22766)
Fator de escala dos expoentes: ζH = 1.24, ζHe = 2.0925
exp[−(ζr)] ↔ exp[−(√αr)2]
ζ′
ζ=
(
α′
α
)1/2
→ α = α(ζ = 1.0) × ζ2
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Base mínima STO-3G
H : φCGF1s (ζ = 1.24, STO − 3G) = 0.444635φ1s(α = 0.168856)
+ 0.535328φ1s(α = 0.623913)
+ 0.154329φ1s(α = 3.42525)
He : φCGF1s (ζ = 2.0925, STO − 3G) = 0.444635φ1s(α = 0.229794)
+ 0.535328φ1s(α = 0.849076)
+ 0.154329φ1s(α = 4.661379)
No GAMESS ζHe = 1.69:
φCGF1s (ζ = 1.69, STO − 3G) = 0.444635φ1s(α = 0.0.313651)
+ 0.535328φ1s(α = 1.158922)
+ 0.154329φ1s(α = 6.362420)
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Base mínima: H2
Vimos em aula, que no modelo de base mínima para a molécula de H2 temos:
ψ1 =1
√
2(1 + S12)(φ1 + φ2); ψ2 =
1√
2(1 − S12)(φ1 − φ2)
C =
1√2(1+S12)
1√2(1−S12)
1√2(1+S12)
− 1√2(1−S12)
P =1
1 + S12
(
1 11 1
)
Sµν =
∫
d~rφCGF∗µ (~r − ~RA)φCGF
ν (~r − ~RB) =L
∑
p=1
L∑
q=1
d∗pµdqνSpq
CF740 (UFPR) PG Física 26 / 41
Base mínima: H2
S =
(
1 0.65930.6593 1
)
∣
∣
∣
∣
1 − s S12
S12 1 − s
∣
∣
∣
∣
= 0 → s = 1 ± S12
s1 = 1.6593, s2 = 0.3407
s−1/2 =
(
0.7763 00 1.7133
)
U =1√2
(
1 11 −1
)
CF740 (UFPR) PG Física 27 / 41
Base mínima: H2
Vamos utilizar a otogonalização canônica X = Us−1/2
X =
(
0.5489 1.21150.5489 −1.2115
)
C =
(
0.5489 1.21150.5489 −1.2115
)
P =
(
0.6027 0.60270.6027 0.6027
)
CF740 (UFPR) PG Física 28 / 41
H2
SCF CALCULATION FOR H2 MOLECULE
THE MAXIMUM NUMBER OF ITERATIONS IS EQUAL TO 10
THE CONVERGENCE CRITERION IS 0.10E-09
STO-3G FOR ATOMIC NUMBERS 1.00 AND 1.00
CF740 (UFPR) PG Física 29 / 41
H2
R ZETA1 ZETA2 S12 T11
1.400000 1.240000 1.240000 0.659319 0.760033
T12 T22 V11A V12A V22A
0.236455 0.760033 -1.226615 -0.597418 -0.653828
V11B V12B V22B V1111 V2111
-0.653828 -0.597418 -1.226615 0.774608 0.444109
V2121 V2211 V2221 V2222
0.297029 0.569678 0.444109 0.774608
CF740 (UFPR) PG Física 30 / 41
H2
THE S ARRAY1 2
1 0.1000000000E+01 0.6593189894E+002 0.6593189894E+00 0.1000000000E+01
THE X ARRAY1 2
1 0.5489339108E+00 0.1211465466E+012 0.5489339108E+00 -0.1211465466E+01
THE H ARRAY1 2
1 -0.1120410675E+01 -0.9583811907E+002 -0.9583811907E+00 -0.1120410675E+01
CF740 (UFPR) PG Física 31 / 41
H2
( 1 1 1 1 ) 0.774608( 1 1 1 2 ) 0.444109( 1 1 2 1 ) 0.444109( 1 1 2 2 ) 0.569678( 1 2 1 1 ) 0.444109( 1 2 1 2 ) 0.297029( 1 2 2 1 ) 0.297029( 1 2 2 2 ) 0.444109( 2 1 1 1 ) 0.444109( 2 1 1 2 ) 0.297029( 2 1 2 1 ) 0.297029( 2 1 2 2 ) 0.444109( 2 2 1 1 ) 0.569678( 2 2 1 2 ) 0.444109( 2 2 2 1 ) 0.444109( 2 2 2 2 ) 0.774608
THE P ARRAY1 2
1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+002 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00
CF740 (UFPR) PG Física 32 / 41
H2
START OF ITERATION NUMBER = 1
THE G ARRAY1 2
1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+002 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00
THE F ARRAY1 2
1 -0.1120410675E+01 -0.9583811907E+002 -0.9583811907E+00 -0.1120410675E+01
ELECTRONIC ENERGY = 0.000000000000E+00
CF740 (UFPR) PG Física 33 / 41
H2
THE F’ ARRAY1 2
1 -0.1252798214E+01 0.2602085214E-172 -0.8044780120E-16 -0.4756046848E+00
THE C’ ARRAY1 2
1 0.1000000000E+01 -0.3348053113E-172 -0.3348053113E-17 -0.1000000000E+01
THE E ARRAY1 2
1 -0.1252798214E+01 0.0000000000E+002 0.0000000000E+00 -0.4756046848E+00
CF740 (UFPR) PG Física 34 / 41
H2
THE C ARRAY1 2
1 0.5489339108E+00 -0.1211465466E+012 0.5489339108E+00 0.1211465466E+01
THE P ARRAY1 2
1 0.6026568769E+00 0.6026568769E+002 0.6026568769E+00 0.6026568769E+00
DELTA(CONV OF DENSITY MATRIX) = 0.602656876933E+00
CF740 (UFPR) PG Física 35 / 41
H2
START OF ITERATION NUMBER = 2
THE G ARRAY1 2
1 0.7548735870E+00 0.3644955252E+002 0.3644955252E+00 0.7548735870E+00
THE F ARRAY1 2
1 -0.3655370883E+00 -0.5938856654E+002 -0.5938856654E+00 -0.3655370883E+00
ELECTRONIC ENERGY = -0.183100093420E+01
CF740 (UFPR) PG Física 36 / 41
H2
THE F’ ARRAY1 2
1 -0.5782027204E+00 0.1371515748E-162 0.1100465205E-16 0.6702709280E+00
THE C’ ARRAY1 2
1 0.1000000000E+01 -0.1098554022E-162 -0.1098554022E-16 -0.1000000000E+01
THE E ARRAY1 2
1 -0.5782027204E+00 0.0000000000E+002 0.0000000000E+00 0.6702709280E+00
CF740 (UFPR) PG Física 37 / 41
H2
THE C ARRAY1 2
1 0.5489339108E+00 -0.1211465466E+012 0.5489339108E+00 0.1211465466E+01
THE P ARRAY1 2
1 0.6026568769E+00 0.6026568769E+002 0.6026568769E+00 0.6026568769E+00
DELTA(CONV OF DENSITY MATRIX) = 0.000000000000E+00
CF740 (UFPR) PG Física 38 / 41
H2
CALCULATION CONVERGED
ELECTRONIC ENERGY = -0.183100093420E+01
TOTAL ENERGY = -0.111671521992E+01
THE PS ARRAY1 2
1 0.1000000000E+01 0.1000000000E+012 0.1000000000E+01 0.1000000000E+01
TRACO DE PS = 2.0000
CF740 (UFPR) PG Física 39 / 41
GAMESS
!...Exemplo de input para H2...$CONTRL SCFTYP=RHF COORD=CART UNITS=BOHR $END$SYSTEM MEMORY=10000000 TIMLIM=60000 $END$SCF DIRSCF=.TRUE. $END$BASIS GBASIS=STO NGAUSS=3 $END$DATA...H2-RHF/STO-3G...Dnh 2
H 1.0 0.0 0.0 0.7H 1.0 0.0 0.0 -0.7$END
CF740 (UFPR) PG Física 40 / 41
Resultados
1 2-0.5782 0.6703AG B1U
1 H 1 S 0.548934 1.2114642 H 2 S 0.548934 -1.211464
ONE ELECTRON ENERGY = -2.5055941252TWO ELECTRON ENERGY = 0.6745940858NUCLEAR REPULSION ENERGY = 0.7142857143TOTAL ENERGY = -1.1167143251
CF740 (UFPR) PG Física 41 / 41