OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
1 /20
16. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKŁADÓW SLS 16.1. SPLOT FUNKCJI
A) DEFINICJA
Niech dane będą dwie funkcje f1(t) i f2(t) całkowalne w każdym prze-dziale (t1,t2), 0≤t1≤t2<∞, wówczas splotem tych funkcji nazywać będziemy funkcję q(t) określoną dla t≥0 w sposób następujący
( ) ( ) ( ) ( ) τττ dtfftftftqt
∫ −==0
2121 *)( (16.1)
Operację tworzenia splotu nazywamy splataniem funkcji f1(t) i f2(t) lub ich mnożeniem splotowym.
Interpretacja graficzna splotu Rozpatrzmy funkcje f1(t) i f2(t)
- w pierwszym etapie wykreśla-my funkcje f1(τ) i f2(τ) przyjmu-jąc τ za zmienną całkowania 1 2
1f (t)1
t1 2
1f (t)2
3 4
f ( )1 τ f ( )2 τ
τ t τ
W etapie drugim tworzymy lustrzane odbicie f2(-τ) funkcji f2(τ) 1 2
1f ( )1 τ
τ
f (- )2 τ
-1-2-3-4
1 2
1f ( )1 τ
τ
f (t - )2 1 τ
-1-2 t1
Następnie przesuwamy funk-cję f2(-τ) wzdłuż osi τ o pewną wartość, przyjmijmy t1 – w efek-cie uzyskujemy funkcję f2(t1-τ).
Całkujemy iloczyn funkcji f1(τ)⋅f2(t1-τ) ze względu na τ - jest to pole pod krzywą wypadkową funkcji f1(τ) i f2(t1-τ). Wartość splotu f1(t)∗f2(t) w chwili t=t1 jest równa temu polu powierzchni. 1 2
1
f (t)*f (t)1 2
t3 4t1
5 6
1,5
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
2 /20
B) WŁASNOŚCI SPLOTU
własność 1 - splatanie funkcji jest przemienne:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττττττ dftfdtfftf*tftf*tft
021
t
0211221 ∫∫ −=−== (16.2)
własność 2 - splatanie funkcji jest łączne:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )tf*tf*tftf*tf*tftf*tf*tf 321321321 == (16.3)
własność 3 - splatanie funkcji jest rozdzielne względem dodawania:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tf*tftf*tftf*tftf 3231321 +=+ (16.4)
splot funkcji f(t) z funkcją jednostkową 1(t)
( ) ( ) ττ df1*tft
0∫= (16.5)
Zatem mnożenie splotowe funkcji f(t) przez funkcję jednostkową 1(t) jest równoznacz-ne z całkowaniem funkcji f(t) w przedziale (0,t)
splot funkcji f(t) z funkcją impulsową Diraca δ(t)
Na podstawie definicji ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττδδδ dtftf*tt*tf ∫∞
∞−
−==
Ponieważ δ(t) istnieje tylko przy τ=0 - co oznacza, że należy brać pod uwagę wartość funkcji f(t-τ) tylko w punkcie τ=0, a więc f(t-τ) może być zastąpiona przez f(t). Za-tem
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1tfdtfdtft*tf ⋅=== ∫∫∞
∞−
∞
∞−
ττδττδδ
stąd ( ) ( ) ( )tft*tf =δ (16.6a)
Ponadto ( ) ( ) ( )00 ttftt*tf −=−δ (16.6b)
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
3 /20
C) TWIERDZENIE BORELA O SPLOCIE
Jedną z najważniejszych właściwości przekształcenia Laplace’a jest
twierdzenie o splocie tzw. twierdzenie Borela:
( ) ( )[ ] ( ) ( )sFsFtftf 2121 * ⋅=L (16.7a)
lub ( ) ( )[ ] ( ) ( )tftfsFsF 21211 *=⋅−L (16.7b)
gdzie: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tfsF,tfsF 2211 LL ==
D) TWIERDZENIE O TRANSFORMACIE POCHODNEJ SPLOTU
Transformata Laplace’a pochodnej splotu
( ) ( )[ ] ( ) ( )sFsFstf*tftd
d2121 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡L (16.8a)
czyli ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tf*tftd
dsFsFs 21211 =−L (16.8b)
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
4 /20
E) CAŁKA DUHAMELA
( ) ( )[ ] ( ) ( ) τττ dtfftd
dtftftd
dt
∫ −=0
2121 * (16.9)
wyrażenie to nazywamy całką Duhamela (całką superpozycji)
Zgodnie z twierdzeniem o różniczkowaniu całki względem parametru (jeśli obie funkcje f1(t) i f2(t) mają ciągłe pochodne dla t>0) napiszemy
( ) ( )[ ]=tftftd
d21 *
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττττττ dtffftfdtfftd
dtt
∫∫ −+=−= +
0
'2121
021 0 (16.10a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττττττ dftftffdftftd
dtt
∫∫ −+=−= +
02
'121
021 0 (16.10b)
a korzystając z przemienności splotu otrzymamy pozostałe postacie całki Duhamela
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dftf0ftftf*tftd
d t
0
'212121 ∫ −+= + (16.10c)
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dtfftf0ftf*tftd
d t
02
'12121 ∫ −+= + (16.10d)
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
5 /20
16.2. OPERATOROWE FUNKCJE UKŁADU
Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie przyczy-nowe f(t) (napięciowe lub prądowe) i dla którego poszukiwaną funkcją jest odpowiedź r(t) (prądowa lub napięciowa).
f t ( ) r t ( )układSLS
Jeśli wielkości f(t) i r(t) występują na tych samych zaciskach to rozpa-trywany układ staje się dwójnikiem. Jego stan opisany jest parą funkcji: prądu wejściowego i napięcia
I (s)Z
i (t)=f(t)Z
U(s)
u(t)=r(t)
Z(s)
a)
b) u (t)=f(t)0
U (s)0
I(s)
i(t)=r(t)
Y(s)
W zależności od wymuszenia odpowiedź wyznaczamy ze wzoru
( ) ( ) ( )sIsZsU Z= (16.11a) ( ) ( ) ( )sUsYsI 0= (16.11b)
gdzie:
Z(s) – operatorowa IMpedancja Y(s) – operatorowa adMITANCJA
Dla obu tych funkcji układu spełniających związek ( ) ( ) 1sZsY = (16.12)
stosujemy określenie : operatorowa IMMITANCJA
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
6 /20
W przypadku wyodrębnienia dwóch par zacisków mamy do czynienia z czwórnikiem. Jeśli wymuszenie jest związane z jedną bramą a odpo-wiedź z drugą to relacje pomiędzy nimi - stosunek odpowiedzi do wymu-szenia nazywamy TRANSMITANCJĄ operatorową.
F s( ) R(s)K(s)
( ) ( )( ) .P.WzerowychprzysFsRsK = (16.13)
czyli ( ) ( ) ( )sFsKsR = (16.14)
Wyróżniamy operatorową:
K (s)uI (s)=02
U (s)2
U (s)1
transmitancję napięciową
( ) ( )( ) ( ) 0sI1
2u
2sUsUsK
=
= (16.15a)
K (s)iuI (s)=02
U (s)=02
U (s)1
transmitancję prądowo-napięciową
( ) ( )( ) ( ) 0sU1
2ui
2sUsIsK
=
= (16.15b)
K (s)iI (s)2 I (s)1
U (s)=02
transmitancję prądową
( ) ( )( ) ( ) 0sU1
2i
2sIsIsK
=
= (16.15c)
K (s)uiI (s)=02
U (s)2
I (s)1
transmitancję napięciowo-prądową
( ) ( )( ) ( ) 0sI1
2iu
2sIsUsK
=
= (16.15d)
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
7 /20
Rozpatrzmy dwa szczególne przypadki funkcji wymuszającej f(t)
① Gdy funkcją wymuszającą jest funkcja impulsowa Diraca δ(t) Czyli ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 1==→= sFtttf δδ L
wówczas ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sKsKsFsKsR === 1 (16.16)
F s( )=1 R(s)=K(s)K(s)
Oznacza to, że funkcja transmitancji K(s) jest tożsama z operatorową
odpowiedzią układu na wymuszenie impulsowe. Można zatem nazwać ją operatorową funkcją impulsową układu.
② Gdy funkcją wymuszającą jest funkcja skoku jednostkowego 1(t)
Czyli ( ) ( ) ( )[ ] ( )s
sFtttf 111 ==→= L
wówczas ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sHs
sKsFsKsR ===1
(16.17)
F s( )=1/s R(s)=K(s)/s=H(s)K(s)
Tę szczególną odpowiedź H(s) nazywamy operatorową odpowie-
dzią układu na wymuszenie skokiem jednostkowym.
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
8 /20
Zatem relacje pomiędzy operatorową funkcją impulsową układu K(s) i operatorową odpowiedzią układu na wymuszenie skokiem jednostkowym H(s) są następujące:
( ) ( )
( ) ( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
sHssKssKsH
(16.18)
Znajomość jednej z tych funkcji pozwala łatwo określić drugą. 16.3. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE
Czasową charakterystykę układu o określonym wejściu i wyjściu - stanowi przebieg sygnału wyjściowego, gdy na wej-ściu działa wymuszenie będące sygnałem wzorcowym.
Najczęściej używanymi sygnałami wzorcowymi w procesach bada-nia układów są:
① sygnał impulsowy δ(t)
② sygnał skoku jednostkowego 1(t) ______________________________
Rozpatrzmy ponownie zależność (16.14)
( ) ( ) ( )sFsKsR = gdzie: F(s) = L[f(t)] – jest transformatą wymuszenia K(s) = L[k(t)] – jest transmitancją operatorową
Zatem zgodnie z twierdzeniem Borela (16.7b) oryginał odpowiedzi r(t) określony jest funkcją splotu
( ) ( ) ( )tftktr *= (16.19)
F s( ) R(s)K(s)
f(t) r(t)*k(t)L-1
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
9 /20
A) CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA
① Jeśli sygnałem wzorcowym jest funkcja impulsowa Diraca δ(t) to zgodnie z (16.19) i (16.16)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )tksKtr
tkttktr
==
==−1
*
Lδ
(16.20)
zatem k(t) – zwana CHARAKTERYSTYKĄ IMPULSOWĄ UKŁADU (funkcją/charakterystyką impulsową) jest tożsama z odpowiedzią układu na wymuszenie impulsem Diraca.
B) CHARAKTERYSTYKA SKOKOWA
② Jeśli sygnałem wzorcowym jest funkcja skoku jednostkowego 1(t) to zgodnie z (16.17)
( ) ( ) ( )[ ] ( )thsHsKs
tr ==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= −− 11 1 LL (16.21)
zatem h(t) – zwana CHARAKTERYSTYKĄ SKOKOWĄ UKŁADU (funkcją/charakterystyką przejściową) jest tożsama z odpowiedzią układu na wymuszenie skokiem jednostkowym.
C) ZWIĄZKI POMIĘDZY CHARAKTERYSTYKAMI
Z relacji (16.18)
wynikają następujące
związki
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=⎯⎯ →⎯=
=⎯⎯ →⎯=
−
−
∫
tdthdtksHssK
dkthssKsH
t
1
1
0
)(
L
L ττ (16.19)
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
10 /20
Znając charakterystykę czasową układu rs(t) jako odpowiedź na sygnał wzorcowy fs(t), możemy wyznaczyć odpowiedź układu na do-wolny sygnał przyczynowy, korzystając z zależności
( ) ( )( ) ( )⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= − sF
sFsRtr
s
s1L (16.23)
♦ Mając charakterystykę impulsową k(t) można wyznaczyć odpo-wiedź układu na dowolny sygnał przyczynowy f(t), korzystając z twier-dzenia Borela (16.7) oraz definicji splotu (16.1) i jego własności (16.2):
( ) ( ) τττ dtfktrt
∫ −=0
)( (16.24a)
( ) ( ) τττ dftktrt
∫ −=0
)( (16.24b)
♦ Mając charakterystykę skokową h(t) można wyznaczyć odpowiedź układu na dowolny sygnał przyczynowy f(t), korzystając z twierdzenia o transformacie pochodnej splotu (16.8) oraz całki Duhamela (16.10):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dtfhfthtrt
∫ −+=0
'0 (16.25a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dfthtfhtrt
∫ −+=0
'0 (16.25b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dfthfthtrt
∫ −+=0
'0 (16.25c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dtfhtfhtrt
∫ −+=0
'0 (16.25d)
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
11 /20
PRZYKŁAD 1: Znając charakterystykę przejściową układu
( ) ( )teR
tht
LR
111⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
−
Wyznaczyć odpowiedź tego układu (prąd w obwodzie i(t)) na wymuszenie przyczynowe liniowe f(t) = t1(t) w zależności od parametrów pierwotnych tego układu.
Zal. (16.25c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dfthfthtrt
∫ −+=0
'0
( ) 00 =f ( ) ( )ττ 1' =f
( )ti ( )( )
( ) =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+⋅= ∫
−−ττ
τde
Rth
t tLR
00
1110321
( ) ( ) =−= ∫∫+−
τττττ
deR
dR
tLRt
LRt
001111
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
+−t
LRt
LRt
eRL
RR00
11 ττ
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−=
−+− tLRt
LRt
LR
eeRLt
R 21
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−=
− tLR
eeRLt
R0
21
( )teRLt
Rt
LR
1112 ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−=
−
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
12 /20
16.4. ZWIĄZKI MIĘDZY CHARAKTERYSTYKAMI CZASOWYMI I CZĘSTOTLIWOŚCIOWYMI
WPROWADZENIE Znajomość transmitancji bądź immitancji operatorowej układu pozwa-
la wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową stanu ustalonego dla układu klasy SLS, stabilnego, prawie we wszystkich punktach ω∈(0.∞), przez proste podstawienie s=jω. Zatem
( ) ( ) ωω jssKjK == (16.26)
Wykorzystując jednostronne przekształcenie Laplace’a (10.13) mo-
żemy powyższe równanie przekształcić w zależność słuszną dla ω∈(0.∞)
( ) ( ) ( )∫∫∞
−
=
∞− ==
00
tdetktdetkjK tj
js
ts ϖ
ω
ω (16.27)
Otrzymujemy zatem jednostronne przekształcenie Fouriera, które istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
( ) ∞<∫∞
dttk0
Jak wiemy K(jω), czyli charakterystyka amplitudowo-fazowa, jest
wielkością zespoloną, którą możemy przedstawić w postaci algebraicznej lub wykładniczej:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωω ωωω jKjjKj eKejKjK argarg ==
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
13 /20
ZWIĄZKI GRANICZNE CHARAKTERYSTYK
Twierdzenie o wartości początkowej i końcowej funkcji f(t):
- jeśli ( ) ( )[ ]tfsF L= oraz istnieje granica ( ) ( )+→
=+
0lim0
ftft
, to
( ) ( )+∞→
= 0lim fssFs
(16.28)
- jeśli ( ) ( )[ ]tfsF L= oraz istnieje granica ( ) ( )∞=
∞→ftf
tlim , to
( ) ( )∞=→
fssFs 0lim (16.29)
Zatem jeśli operatorową funkcją układu jest transmitancja K(s) a cha-
rakterystyka impulsowa posiada skończone granice zarówno dla t→0+ jak i t→∞, to słuszne są związki
( ) ( )
( ) ( ) ⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
∞=
+
∞→
→
0lim
lim0
ksKs
ksKs
s
s (16.30)
Jeśli weźmiemy pod uwagę charakterystykę skokową (przejściową)
układu, to możemy zapisać przy założeniu, że h(t) posiada granice zarów-no dla t→0+ jak i t→∞ oraz uwzględniając zależności (16.18)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
==
∞==
+
∞→∞→
→→
0limlim
limlim00
hsKsHs
hsKsHs
ss
ss (16.31)
następnie uwzględniając wzór (16.26) otrzymujemy:
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
14 /20
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
==
∞==
+
∞→=∞→
→=→
0limlim
limlim00
hKsK
hKsK
jss
jss
ω
ω
ωω
ωω (16.32)
Są to związki o bardzo dużym znaczeniu praktycznym. Wynika z nich
jednoznacznie, że jeśli znamy np. charakterystykę amplitudową K(ω), to jej graniczne wartości określają jednoznacznie graniczne wartości funkcji skokowej (przejściowej) h(t) i odwrotnie.
t
1
0
h(t)
ω
1
0
K( )ω
ZWIĄZKI PARAMETRÓW CHARAKTERYSTYK
Jako podstawowe parametry charakterystyk czasowych przyjmuje się między innymi:
tn – czas narastania, to – czas opóźnienia, Z - zwis
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
15 /20
Czas narastania tn - układu dolnoprzepustowego definiujemy jako czas wzrostu charakterystyki skokowej (przejściowej) układu od 0,1 do 0,9 wartości ustalonej
1,09,0 tttn −= (16.33) Czas opóźnienia to - układu dolnoprzepustowego definiujemy jako czas
wzrostu charakterystyki skokowej (przejściowej) układu od 0 do 0,5 wartości ustalonej
05,0 ttto −= (16.34)
t
h =1ust
0
h(t)
to
tn
0,1
0,5
0,9
gn f
t 45,035,0 ÷= (16.35)
go f
t 1,0= (16.36)
Funkcję zwisu Z(t) - układu górnoprzepustowego definiujemy:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )thhththtZ ust −=−= 0 (16.37)
lub funkcję zwisu w procentach ( ) ( ) ( )( ) %1000
0% ⋅−
=h
thhtZ (16.38)
t
h(0)
0
h(t)
ti
Z(ti)
Dla małych wartości t
( ) tftZ gπ200% ≈ (16.39)
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
16 /20
PRZYKŁAD 2: Dla układu przedstawionego na rysunku, mając dane R1=9kΩ, R2=1kΩ, C=1mF, wyznaczyć:
C
R1
u1(t) R2 u2(t)
1. charakterystykę skokową, 2. czas narastania i opóźnienia, 3. charakterystykę impulsową.
Ad.1.
• Podajemy skok jednostkowy na wejście układu i przedstawiamy schemat operatorowy układu
1/sC
R1
U1(s) R2 U2(s)
R1
U1(s) Z2(s) U2(s)
gdzie: ( )CsR
R
RsC
RsCsZ
2
2
2
2
2 11
1
+=
+=
• Korzystając z dzielnika napięcia wyznaczamy operatorową funkcję
układu
( )sK ( )( ) ( )CsRRR
R
RCsR
RCsR
R
RsZsZ
212
2
12
2
2
2
12
2
11
1++
=+
+
+=
+=
CRsRRRR
2112
2
++=
s9101+
=
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
17 /20
• Wyznaczamy operatorową odpowiedź układu na wymuszenie sko-kiem jednostkowym (zależność 16.17)
( ) ( )( )sss
sssKsH
9101910
1
+=+==
UWAGA: znając H(s) możemy wyznaczyć (zal.16.31)
( ) ( ) ( ) 0910
1lim910
1limlim0 =+
=+
==∞→∞→∞→
+
sssssHsh
sss
( ) ( ) 1,0910
1limlim00
=+
==∞→→ s
sHshss
• Wyznaczamy charakterystykę czasową skokową układu (zal.16.21)
( ) ( )[ ] ( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+
== −−
sssHth
910111 LL
( )ass1+
1−L
→ ( )tae1a1 −−
Lp.9.
( ) ( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
= −−−
910
191
910
91
1091 111
ssssssth LLL
( ) ( )111
9101
91 9
10
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
− teth
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
18 /20
( ) ( )tetht
11,01,0 910
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=
−
Ad.2. Czas narastania tn - 1,09,0 tttn −= Czas opóźnienia to - 05,0 ttto −= Wiemy już, że
( ) 000 == +ht ( ) 1,0=∞= htustal
0.12
0
h t( )
50 t0 1 2 3 4 5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
19 /20
( ) 09,01,09,09,0 =⋅=th
09,01,01,0 910
=−− t
e
1,009,01,0 910
−=−− t
e
01,01,0 910
−=−− t
e
1,0910
=− t
e
( )1,0ln9
10=− t
303,29
10−=− t
stąd: 073,29,0 =t
( ) 01,01,01,01,0 =⋅=th
stąd: 095,01,0 =t
czyli: 977,1095,0073,21,09,0 =−=−= tttn
( ) 05,01,05,05,0 =⋅=th
stąd: 624,05,0 =t
czyli: 624,00624,005,0 =−=−= ttto
OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 16 : Charakterystyki czasowe układów SLS
dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]
20 /20
Ad.3. Sposób 1
Znając charakterystykę skokową, można wykorzystać zal. 16.22.
( ) ( ) ( ) ( )tetedtd
tdthdtk
tt1
9101,011,01,0 9
109
10
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−==
−−
( ) ( )tetkt
191 9
10
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
−
Sposób 2
Znając operatorową funkcję układu
( )s
sK910
1+
=
wykorzystujemy zal.16.20:
( ) ( )[ ] ( )tes
sKtkt
191
9101 9
1011
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+==
−−− LL
as1+
1−L
→ tae −
Lp.5.
0.12
0
k t( )
50 t0 1 2 3 4 5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1