1

OBWODY FIGUR PŁASKICH

okrąg

𝐎𝐛𝐰 = 𝟔𝐚

sześciokąt foremny

𝒍 =𝜶

𝟑𝟔𝟎°∙ 𝟐𝝅𝒓

długość łuku

2

POLA FIGUR PŁASKICH

𝑷 =𝟏

𝟐 𝒂+ 𝒃 ∙ 𝒉

lub ten sam wzór tylko w innej postaci

okrąg

koło

𝑷𝒘 =𝜶

𝟑𝟔𝟎°∙ 𝝅𝒓𝟐

pole wycinka koła

sześciokąt foremny

𝑷 = 𝟔 ∙𝒂𝟐 𝟑

𝟒

𝒍 =𝜶

𝟑𝟔𝟎°∙ 𝟐𝝅𝒓

długość łuku

3

POLA I OBJĘTOŚCI FIGUR PRZESTRZENNYCH

GRANIASTOSŁUP

- pole powierzchni całkowitej i pole powierzchni bocznej

= +

= ∙

- objętośd graniastosłupa

= ∙

- pole podstawy, - obwód podstawy, - pole powierzchni bocznej

PROSTOPADŁOŚCIAN - szczególny przypadek graniastosłupa

- objętośd prostopadłościanu

= ∙ ∙

- przekątna prostopadłościanu

= + +

SZEŚCIAN

- pole powierzchni całkowitej i pole powierzchni bocznej

=

- objętośd sześcianu

=

- przekątna sześcianu

=

OSTROSŁUP

- pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

= +

- objętośd ostrosłupa

=

∙

4

CZWOROŚCIAN FOREMNY

- pole powierzchni całkowitej

=

- objętośd czworościanu foremnego

=

- wysokośd czworościanu foremnego

=

BRYŁY OBROTOWE

WALEC

pole powierzchni całkowitej

= +

= +

objętośd

=

STOŻEK

pole powierzchni całkowitej

= + lub = +

=

objętośd

=

- tworząca stożka, - promieo podstawy

KULA

pole powierzchni całkowitej (sfery)

=

objętośd

=

5

INNE PRZYDATNE WZORY I ZWIĄZKI

TWIERDZENIE PITAGORASA

= +

TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY

- wysokośd trójkąta równobocznego

- promieo okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny

=

czyli =

- promieo okręgu opisanego na trójkącie równobocznym

=

czyli =

Suma promieni okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym jest równa wysokości tego

trójkąta.

+ =

ZWIĄZKI MIAROWE W TRÓJKĄCIE 𝟑𝟎°,𝟔𝟎°,𝟗𝟎°

ZWIĄZKI MIAROWE W TRÓJKĄCIE 𝟒𝟓°,𝟒𝟓°,𝟗𝟎°

LUB

6

KWADRAT

=

- przekątna kwadratu

=

- promieo okręgu wpisanego w kwadrat - promieo okręgu opisanego na kwadracie

SZEŚCIOKĄT FOREMNY

- promieo okręgu wpisanego w sześciokąt foremny - promieo okręgu opisanego na sześciokącie foremnym

- przekątne w sześciokącie

=

=

czyli

=

𝜶 = 𝟏𝟖𝟎° −𝟑𝟔𝟎°

𝒏

𝜶 = 𝒏− 𝟐 ∙ 𝟏𝟖𝟎°

𝒅 =𝒏 𝒏− 𝟑

𝟐

Miara kąta wewnętrznego n-kąta foremnego

Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta

Liczba przekątnych n-kąta

7

INNE WŁASNOŚCI

Jeżeli kąty oparte są na tym samym łuku AB,

to kąt środkowy AOB jest dwa razy większy

od kąta wpisanego ACB.

Kąt wpisany oparty na średnicy (lub półokręgu)

jest kątem prostym.

Jeżeli w kąt wpiszemy okrąg, to suma przeciwległych

kątów powstałego czworokąta AOBS jest równa 180ᴼ.

+ = °

Odpowiednie odcinki trójkąta prostokątnego

utworzone po wpisaniu w niego okręgu mają

jednakową długośd.

Odcinki od punktów styczności do wierzchołków

trójkąta mają jednakową długośd.

| | = | | =

| | = | | =

| | = | | =