Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
1
Oscilações Forçadas
Considere o caso de um corpo de massa m suspenso
por uma mola e submetido a uma força tsenFF m .
Na posição de equilíbrio, P = k est
Figura 1 – A figura mostra um oscilador na
posição vertical sujeito a uma força restauradora com uma
amplitude Fm e uma freqüência angular = f.
A equação de movimento, chamando de x o
deslocamento do corpo a partir de sua posição de
equilíbrio:
)( em xkPtsenFxmF
Ou
tsenFkxxm m
Essa é uma equação diferencial não homogênea,
cuja solução é uma soma da solução da equação
homogênea:
tsenCtCtxkxxm H 0201 cos)(0 com uma solução particular xp(t) que varia com a mesma
função da força aplicada. Também é chamada de solução
permanente pois durará com a aplicação da força externa.
Já a solução homogênea denomina-se termo
transiente, pois é de curta duração.
)()()( txtxtx pH
( )m p mm x k x F sen t x t x sen t
Lembramos aqui que m
k0 é a freqüência
natural do sistema.
Para encontrarmos xm substituímos na equação
não homogênea
( ) ( ) cosp m p mx t x sen t x t x t
2( )p mx t x sen t
Assim, teremos:
2 2
0( )
mm
Fx
m
1 0 2 0 2 2
0
( ) cos( )
mFx t C t C sen t sen t
m
Se introduzirmos uma força externa a um sistema,
variável periodicamente, o sistema vibrará com a mesma
freqüência que a da força. Esse movimento é chamado de
oscilação forçada. Em geral, a amplitude desse
movimento é relativamente pequena, mas se a freqüência
da força coincidir com a freqüência natural de oscilação
(dos modos normais) a amplitude poderá ficar muito
grande.
Sendo m a deflexão máxima produzida por uma
força Fm sobre uma viga, mostre que:
2
0
1
m
mx
Ocorrerá ressonância quando = 0 (A
freqüência da força externa é igual à freqüência natural do
sistema).
Figura 2 – Ilustração da ressonância em um
sistema forçado, quando a freqüência natural f0 coincide
com a freqüência da força aplicada f.
Ressonância
No caso em que a freqüência da força for
exatamente igual à de um modo normal, e supondo
inexistir atrito ou qualquer outra força dissipativa, a força
externa continuaria a fornecer energia ao sistema e a
amplitude cresceria indefinidamente. Em qualquer
sistema real, sempre há dissipação de energia, mas a
“resposta” (a amplitude da oscilação forçada) do sistema é
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
2
máxima quando a freqüência da força é igual a uma das
freqüências dos modos normais. Esse comportamento é
chamado de ressonância.
Sendo assim:
0 0f f
Exemplos de Ressonância em sistemas
Um exemplo muito comum é quando
empurramos o balanço de uma criança. Dá-se o nome de
ressonância mecânica. O balanço é um pêndulo cuja
única freqüência natural depende de seu comprimento.
Dando uma série de empurrões igualmente
espaçados, cuja freqüência é igual a do balanço, o
movimento torna-se muito grande.
O fenômeno de ressonância pode ser demonstrado
com o auxílio das ondas longitudinais criadas no ar por
um diapasão. Se dois diapasões idênticos forem colocados
a uma certa distância um do outro e um deles for ativado,
o outro começa a ser ouvido no momento em que o
primeiro é subitamente amortecido. Se colocarmos um
pedaço de cera ou massa de modelar em um dos
diapasões, a freqüência deste será alterada a ponto de
destruir a ressonância. Fenômeno semelhante pode ser
demonstrado com o piano. Com o pedal de
amortecimento puxado, de modo que os abafadores
deixem as cordas vibrarem livremente, canta-se uma nota
contínua junto ao piano. Quando se pára de cantar, o
piano parece continuar a tocar a mesma nota. As ondas
sonoras da voz excitam vibrações nas cordas cujas
freqüências naturais estão próximas (nos tons ou
sobretons) das da nota cantada inicialmente.
As cordas esticadas possuem muitas freqüências naturais
vibração. Analogamente, uma ponte é capaz de vibrar
com certas freqüências naturais, tornando-se perigoso
quando um agente externo provoque sobre ela força com
uma freqüência de oscilação igual à natural.
O corpo de um instrumento musical como um
violão é um exemplo de uma caixa de ressonância. As
vibrações da corda entram em ressonância com a estrutura
da caixa de madeira amplificando o som e acrescentando
vários harmônicos, fornecendo o timbre característico do
instrumento. Sem o corpo, o som da corda seria fraco e
insosso. Em uma guitarra a ressonância é substituída,
parcialmente, por efeitos eletrônicos.
Para uma corda de comprimento L, as
freqüências produzidas serão:
,...3,2,12
nL
nvf n
Denomina-se a frequência mais baixa de
fundamental:
L
vf
21
A freqüência fundamental denomina-se primeiro
harmônico. As outras são denominadas de sobretons
(2f1,3f1,4f1,...,). Sobretons cujas freqüências são números
inteiros da fundamental formam a chamada série
harmônica. A freqüência fundamental f1 é chamada de
primeiro harmônico. A freqüência 2f1 é o primeiro
sobretom ou segundo harmônico. A freqüência 3f1 é o
segundo sobretom ou o terceiro harmônico e assim por
diante.
Conta-se que um regimento de Napoleão entrou
marchando em uma ponte e a freqüência do compasso da
marcha, por azar, coincidiu com a freqüência natural de
vibração da ponte. Ocorreu a ressonância e a ponte passou
a oscilar com grande amplitude e desabou. A partir desse
desastre os soldados passaram a quebrar o passo sempre
que atravessam alguma ponte.
Outro exemplo interessante, envolvendo
ressonância mecânica, aconteceu em uma ponte nos
Estados Unidos, configurando o maior incidente desse
porte. A ponte suspensa de Tacoma, localizada no estado
de Washington, caiu devido a força oscilante provocada
por uma ventania de 70km/h. Em 1º de julho de 1940, a
ponte foi aberta ao público e rapidamente ganhou o
apelido de "Galloping Gertie" (Gertie galopante) devido a
seu comportamento oscilante mesmo sob a ação de ventos
fracos. Em 7 de novembro, depois de quatro meses após
sua inauguração, o vão central (com 1,9 km de extensão)
começou a oscilar em modo transverso, com uma
freqüência de 36 Hz e uma amplitude de 1,5 pés. Nos
minutos seguintes, o aparecimento de um modo de
vibração torsional (de 14 Hz) em dois segmentos da
ponte, determinou o colapso final. A ponte foi construída
dentro das normas mais rígidas e com a melhor tecnologia
disponível na época. Cientistas do Instituto de Tecnologia
da Califórnia mostraram com a ajuda do túnel de vento
que o colapso aconteceu devido à ressonância causada
pelo vento através de um mecanismo de formação de
vórtices. Uma vez que a ponte começou a ondular, o
aparecimento dos vórtices laterais compôs o movimento
que partiu a estrutura.
Inicialmente, a ponte começou a vibrar em
modos longitudinais, isto é, ao longo de seu comprimento;
aí apareceram os chamados "modos torsionais", nos quais
a ponte balançava para os lados, se torcendo
simultaneamente. Na ressonância, a amplitude desses
modos torsionais aumentou e a ponte entrou em colapso.
A ressonância óptica também pode ocorrer entre
átomos de um gás a baixa pressão e ondas luminosas
emitidas por uma lâmpada que contém os mesmos
átomos. Assim, a luz de uma lâmpada de sódio pode fazer
com que os átomos de sódio de um recipiente de vidro
brilhem com a luz amarela característica dessa substância.
Figura 3 – Ponte de Tacoma Narrows, em
Tacoma, Washington, inaugurada em 1 de julho de 1940,
nos EUA e derrubada pelo vento, devido a entrar em
ressonância, em 1 de novembro de 1940. Veja só a
situação do carro do .
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
3
A sintonia de rádio é um exemplo de
ressonância elétrica. Quando giramos o dial faz-se com
que a freqüência natural de uma corrente alternada, no
circuito receptor, se torne igual à freqüência das ondas da
emissora que se deseja captar.
As ondas de rádio e TV que viajam no espaço
tem uma freqüência característica de vibração. E a onda
de cada emissora tem uma freqüência própria, diferente
da freqüência das demais emissoras. Os rádios antigos
tinham um botão - o dial - para "sintonizar" as emissoras.
Atualmente, com os sistemas digitais, os botões não são
de girar e sim de apertar. Sintonizar uma emissora
significa fazer seu receptor de rádio ou TV entrar em
ressonância com a onda da emissora. Modifica-se
freqüência natural de vibração do circuito eletrônico de
seu receptor mudando-a pelo toque. Essa vibração não é
mecânica, como nas molas, mas uma rápida variação nas
correntes elétricas que percorrem o circuito. Na
ressonância, o receptor "capta" energia da onda de rádio
ou TV com eficiência máxima e o sinal da emissora é
reproduzido pelo receptor. As ondas das outras emissoras,
com freqüências diferentes, não estão em ressonância com
o receptor e passam sem interagir com ele.
Algumas pessoas sentem enjôo ao viajar de carro
por causa da ressonância entre as vibrações de baixa
freqüência do carro e seus órgãos digestivos, estômago e
intestinos. O remédio para essas pessoas é beber ou comer
algo. Isso mudará a freqüência natural desses órgãos
internos e não causará a ressonância.
Termo de desbalanceamento
Muitas vezes, a força máxima é dada pela
equivalência em massa desbalanceada em relação a um
eixo de rotação de raio R.
Assim, se tivermos um motor girando
com uma freqüência f, teremos para freqüência angular:
2 f
A força centrípeta é dada por: 2
cp
vF m
R
Como:
v R 2
cpF m R
Na maioria dos casos, a vibração é um fenômeno
indesejável, sendo causa de quebra de peças, geração de
ruídos, transmissão de forças às fundações das máquinas,
etc. Nesse caso, procuramos minimizar os seus efeitos
através do isolamento de vibrações, que consiste na
colocação de uma suspensão (molas e amortecedores)
entre a máquina e o solo. Tal suspensão pode ser ativa ou
passiva. Dizemos que a suspensão é ativa quando a
vibração é gerada pelo próprio sistema mecânico e, nesse
caso, desejamos reduzir a vibração transmitida por ele
para a base (fundação). É o caso, por exemplo, de prensas
mecânicas que geram vibrações e as transmitem, através
do solo, para as demais máquinas nas proximidades. Por
outro lado, dizemos que a suspensão é passiva quando a
vibração é gerada no meio ambiente e desejamos reduzir a
vibração vinda da base para o sistema mecânico. É o caso,
por exemplo, das vibrações geradas pelas irregularidades
da estrada e que são transmitidas à carroceria de um
automóvel.
Se o centro de massa de um corpo rígido em
rotação não coincidir com o centro de rotação, dizemos
que o sistema está desbalanceado.
Muitas vezes, a força máxima é dada pela
equivalência em massa desbalanceada em relação a um
eixo de rotação de raio R.
Assim, se tivermos um motor girando com uma
freqüência f, teremos para freqüência angular:
2 f
A força centrípeta é dada por: 2
cp
vF m
R
Como:
v R 2
cpF m R
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
4
Exercícios
1. Um cilindro de 5 kg está suspenso por uma
mola de constante igual a 320 N/m e está submetido a
uma força periódica vertical mF F sen t , onde
14mF N . Determine a amplitude do movimento do
cilindro para
(a) = 6 rad/s e
(b) = 12 rad/s.
2. Um cilindro de massa m suspenso de uma
mola de constante k está sob a ação de uma força
periódica vertical de módulo mF F sen t .
Determine a faixa de valores de para os quais a
amplitude de vibração excede duas vezes a deflexão
estática produzida por uma força de modulo mF .
3. No Problema 2 determine a faixa de valores
de para os quais a amplitude de vibração é menor que a
deflexão estática produzida por uma força de módulo
constante mF .
4. Um pêndulo simples de comprimento /está
preso a um cursor C, que é forçado a deslocar-se
horizontalmente de acordo com a relação
C mx sen t . Determine a faixa de valores de
para a qual a amplitude do movimento da massa exceda
2m. (Suponha que m é pequeno em comparação ao
comprimento l do pêndulo.)
5. No Problema 4, determine a faixa de valores
de para a qual a amplitude do movimento da massa
seja maior que 3 m .
6. Um motor de 125 kg é suportado por uma viga
leve horizontal. O desbalanceamento do rotor é
equivalente a uma massa de 25 g localizada a 200 mm do
eixo de rotação. Sabendo que a deflexão estática da viga
devida ao peso do motor é 6.9 mm, determine
(a) a velocidade (em rpm) em que ocorrerá a
ressonância
(b) a amplitude do estado estacionário do motor
na freqüência de 720 rpm.
7. Resolva o Problema 6 supondo que o motor de
125 kg seja suportado por um conjunto de molas tendo
uma constante total de 50 kN/m.
8. Quando se aumenta lentamente a velocidade
de um motor, suportado por molas, de 300 para 400 rpm,
a amplitude de vibração devida ao desbalanceamento do
rotor decresce continuamente de 1.95 mm para 1.02 mm.
Determine a velocidade para a qual ocorrerá ressonância.
9. Para o motor considerado no problema
anterior, determine a velocidade do motor a qual a
amplitude de vibração é 2.54 mm.
mF F sen t
.
10. Um motor de 9 kg é suportado por quatro
molas, cada uma de constante 20 kN/m. O motor é
forçado a mover-se verticalmente e a amplitude
observada de seu movimento é de 1.2 mm a uma
velocidade de 1 200 rpm. Sabendo que a massa do rotor
é 2.5 kg, determine a distância entre o centro de massa
do rotor e o eixo da árvore.
11. No Problema anterior, determine a
amplitude do movimento vertical do motor a uma
velocidade de
(a) 450 rpm,
(b) 1600 rpm
(c) 900 rpm.
12. A barra AB está rigidamente presa à
carcaça de um motor de velocidade constante. Quando um
cursor de massa m é colocado sobre a mola, observa-se
que vibra com amplitude de 10 mm. Quando dois
cursores, cada um de massa m, são colocados sobre a
mola, a amplitude observada é de 12 mm. Que amplitude
de vibração deve ser esperada quando três cursores, cada
um de massa m, forem colocados sobre a mola? (Obtenha
duas respostas.)
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
5
13. Resolva o Problema 12 supondo que a
velocidade do motor é mudada e um cursor tem amplitude
de 12 mm e dois cursores têm uma amplitude de 4 mm.
14. Três cilindros idênticos A, B e C estão
suspensos por meio de arranjos de molas idênticas que se
prendem numa barra DE, como ilustrado. A barra DE,
move-se verticalmente acordo com a relação
my sen t . Sabendo que as amplitudes da
vibração dos cilindros A e B são 0.0381 m e 0.0191 m,
respectivamente, determine a amplitude de vibração de C.
15. Resolva o Problema 15, supondo que as
amplitudes de vibração dos cilindros Ae B são 0.0203 m e
0.0305 m, respectivamente.
16. Um motor de velocidade variável está
rigidamente preso à viga BC. Quando a velocidade de
rotação do motor é menor que 750 rpm ou maior que 1
500 rpm um pequeno objeto colocado em A permanece
em contato com a viga. Para frequências entre 750 rpm e
1 500 rpm, observa-se que o objeto dança e efetivamente
perde contato com a viga. Determine a velocidade angular
guiar em que ocorrerá ressonância.
A
17. Um disco de massa m está preso ao ponto
médio de um eixo vertical que gira com uma velocidade
angular . Denotando por k a constante de elasticidade do
sistema para movimento horizontal do disco e por e a
excentricidade do disco em relação ao eixo, mostre que a
deflexão do centro do eixo pode ser escrita na forma:
2
21
e pr
p
18. Um disco de massa igual a 20 kg está preso,
com uma excentricidade e = 0.25 mm, no ponto médio de
um eixo vertical AB que gira com velocidade angular
constante. Sabendo que uma força estática de 150 N
deflete o eixo de 0.4 mm, determine
(a) a velocidade angular para a qual ocorre
ressonância e
(b) a deflexão r do eixo quando f = 1200 rpm.
19. A amplitude do movimento da massa do
pêndulo mostrado na figura é 60 mm quando a amplitude
do movimento do cursor C é 15 mm. Sabendo que o
comprimento do pêndulo é l = 900 mm, determine os dois
valores possíveis da frequência do movimento horizontal
do cursor C. C mx sen t
C
l
x
20. Considere o sistema indicado na figura. A
amplitude do movimento da esferazinha é 12 mm para l =
750 mm e 17 mm para l = 500 mm. Determine a
frequência e a ampitude do movimento horizontal do
cursor C.
21. Um pequeno reboque com massa total de
272 kg é suportado por duas molas, cada uma de
constante 17,5 kN/m. O reboque é puxado sobre uma
estrada cuja superfície pode ser aproximada por uma
curva senoidal de 38.1 mm de amplitude e 4.88 m de
comprimento de onda (isto é, a distância vertical de uma
crista a um cavado é de 76.2 mm). Determine
(a) a velocidade em que ocorrerá ressonância, e
(b) a amplitude de vibração do reboque a uma
velocidade de 64.4 km/h.
- 4,88 m -
22. Sabendo que a amplitude de vibração do
reboque do Problema 20 não deve exceder 19.1 mm,
determine a menor velocidade com que o reboque pode
ser tracionado sobre a estrada.
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
6
Vibrações Livres de Corpos Rígidos
A análise das vibrações de um corpo rígido ou de
um sistema de corpos rígidos que possui um único grau de
liberdade é análoga à análise das vibrações de um ponto
material. Uma variável apropriada, como uma distância x
ou um ângulo , é escolhida para definir a posição do
corpo o sistema de corpos, e escreve-se uma equação
relacionando esta variável e sua derivada segunda em
relação ao tempo t. Se a equação obtida for da mesma
forma que: 2
2
020
d xx
dt
a vibração considerada será um movimento harmônico
simples. O período e a freqüência da vibração poderão,
então, ser obtidos identificando-se 0 e substituindo na
equação.
Em geral, um modo simples de se obter a
equação anterior é considerar que o sistema das forças
externas é equivalente ao sistema das forças efetivas,
traçando um diagrama do corpo para um valor arbitrário
da variável e escrevendo a equação do movimento
apropriada. Recordemos que nosso objetivo é a
determinação do coeficiente da variável x ou 2
0 , não a
determinação da variável em si ou das derivadas. Fazendo
este coeficiente igual a2
0 , obtemos a freqüência angular
da qual o período T e a freqüência f pode ser
determinados. O método que acabamos de delinear pode
ser utilizado para analisar vibrações que sejam de fato
representadas por um movimento harmônico simples, ou
vibrações de pequena amplitude que possam ser
aproximadas a um movimento harmônico simples. Como
um exemplo, determinemos o período de pequenas
oscilações da placa de lado L que está suspensa do ponto
médio O de um dos lados. Consideremos aplaca numa
posição arbitrária definida pelo ângulo que a linha OG
forma com a vertical e tracemos um diagrama para indicar
que o peso P da placa e as componentes Rx e Ry da reação
em O são equivalentes aos vetores maN e maT e ao
momento.
Como a velocidade angular e a aceleração
angular da placa são iguais, respectivamente, e , os
módulos dos dois vetores são, respectivamente, m b e 2m b , enquanto o momento é I Q. Em aplicações
anteriores deste método, tentamos sempre que possível
supor o sentido correio para a aceleração. Aqui, porém,
devemos supor o sentido positivo para e a
fim de obter uma equação da forma do oscilador
harmônico. Conseqüentemente, a aceleração angular
será suposta positiva no sentido anti-horário,
ainda que esta suposição não seja obviamente realística.
Igualando os momentos em relação a O,
escrevemos:
Aplicando o teorema dos eixos paralelos: 2_____
O GI I m OG
Lembrando que:
2 21
12G aseI m b h
2aseb b
2h b
2 212 2
12GI m b b
ou 2 21 28
12 3G GI m b I m b
Substituindo na equação
2_____
O GI I m OG
para
_____
OG b , teremos: 2 2
2 22 2 3
3 3O
m b m bI m b m b
25
3OI m b
Assim, se aplicarmos a equação do movimento,
relativa à translação e rotação de um corpo rígido:
Soma das forças externas é igual ao produto da
massa pela aceleração (2a Lei de Newton):
1
N
i R
i
F m a
Soma dos momentos das forças externas em
relação ao eixo de rotação O é igual ao produto do
momento de inércia IO em relação a esse ponto
multiplicado pela aceleração angular:
1iO
N
F O
i
I
OP b sen I
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
7
25
3m g b sen m b
250
3m b m g b sen
30
5
gsen
b
Para ângulos pequenos:
sen
30
5
g
b
2
2
30
5
d g
dt b
Comparando com: 2
2
020
d xx
dt
Vemos que a freqüência angular de vibração é
dada por:
2 3
5
g
b
3
5
g
b
E o período:
2 5
23
bT T
g
Assim, os passos para resolver um problema de
vibração de corpo rígido consistem em:
Identificar o centro de oscilação O e as forças
externas, juntamente com os pontos de aplicação de cada
força externa identificada no corpo rígido.
Resolver a equação:
1iO
N
F O
i
I
Consiste em:
1) fazer a soma de todos os toques das forças
externas em relação ao centro de oscilação O.
2) Calcular o momento de inércia IO do corpo rígido
em relação ao ponto de oscilação O multiplicando pela
aceleração angular
Quando necessário, utilizar o teorema dos eixos
paralelos: 2_____
O GI I m OG
Escrever a equação na forma: 2
21
0iO
N
F O
i
dI A
dt
Ou 2 0
2
2
21
0iO
N
F O
i
dI
dt
Assim: 2
A T
Exemplo 1 – Um cilindro de peso P e raio r está
suspenso por um laço de corda, como mostra a figura.
Uma extremidade da corda está presa diretamente a um
suporte rígido, enquanto a outra extremidade está presa a
uma mola de constante elástica k. Determine o período e a
freqüência de vibração do cilindro.
B
r
B
T0 T
r
A
x B
P a
1iO
N
F O
i
I
Escolhendo o ponto O = A teremos:
1
2iA
N
F A A
i
I T r P r I
Aplicando o teorema dos eixos paralelos: 2_____
2
2A O A
M RI I M AO I M R
2
222
M RT R P R M R
23
22
M rT r P r
Antes da deformação:
0 0 02
PT T P T
Após a deformação:
0 22
PT T k k r
0 22
PT T k k r
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
8
23
2 22 2
P M rk r r P r
22 3
42
M rr P k r P r
22 3
42
M rk r
8
3
k
m
2 8 8
3 3
k k
m m
2 32
8
mT T
k
1 8
2 2 3
kf f
m
Exemplo 2 – Um disco cicular, pesando 100N e
de raio 0.2m, está suspenso por um arame como ilustrado.
O disco é girado (torcendo, portanto, o arame) e em
seguida liberado; o período de vibração de torção é de
1.93 s. Supondo que o momento do binário exercido pelo
arame é proporcional ao ângulo de torção, determine
(a) a constante de torção do arame,
(b) o momento de inércia baricêntrico da
engrenagem e
(c) a velocidade angular máxima alcançada pela
engrenagem quando é girada de 900 e liberada.
0.2m
Momento de torção:
oM K
K: constante de torção do arame.
1iO
N
F O
i
I
0o
K
I
2
2
2
o
K K
I m R
222
2
m RT T
K
2
1 2
2 2
Kf f
m R
Exemplo 3 – Determine o período de pequenas
oscilações de um cilindro de raio r que rola sem
escorregar no interior de uma superfície curva de raio R.
r R
(1) G
m
(2)
Energia potencial na posição (1):
1
( ) 1 cosp mE P h P R r
221 cos 2
2sen
Para pequenos ângulos, essa aproximação será
utilizada. Então:
1
2
2
mpE P R r
Quando a esfera estiver na posição mais baixa,
sua energia cinética será dada por:
2
2 21 1
2 2m mcE mv I
Como:
m mv R r
m m
R r
r
Exemplo 4 – Um fio homogêneo dobrado na forma
de um triângulo equilátero de lado l = 250 mm é posto a
oscilar com pequena amplitude. Determine o período das
pequenas oscilações
(a) quando o fio estiver suspenso por um vértice
e (b) pelo ponto médio de um dos seus lados.
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
9
30° 30°
θ + 30°
30°- θ
θ
1iO
N
F O
i
I
1 2 3
1iO O O O
N
F P P P
i
1
30 302 2iO
N
F
i
l lP sen P sen
P sen h
30 30 cos cos30sen sen sen
30 30 cos cos30sen sen sen
3
2h l
1
32 cos30
2 2iO
N
F
i
lP sen P sen l
1
3 3
2 2iO
N
F
i
P sen l P sen l
1
3iO
N
F
i
m g l sen
1 2 3O O O OI I I I
1 2
2
3O O
m lI I
3 3
22 2
12O G O
m lI I m OG I m h
3
22 3
12 2O
m l lI m
3
2 2 2 2 2103 9
12 4 12 12 12O
m l m l m l m l m lI
3
25
6O
m lI
1 2 3
2 2 25
3 3 6O O O O
m l m l m lI I I I
2 2 2 22 2 5 9
6 6 6 6O
m l m l m l m lI
23
2O
m lI
1iO
N
F O
i
I
23
32
m lm g l sen
2
30
3
2
m g lsen
m l
2 30
3
g
l
2 2 3 2 3
3 3
g g
l l
6.731 rad
s
20.933T s
Aplicação do Princípio da Conservação da
Energia. Quando um ponto material de massa m está em
movimento harmónico simples, a resultante F das forças
exercidas sobre o ponto material tem módulo
proporcional ao deslocamento x medido a partir da
posição de equilíbrio O e está dirigida sempre para O;
escrevemos F = - kx. Notamos que F é uma força
conservativa e que a correspondente energia potencial é
21
2V k x , onde V é suposto igual a zero na posição
de equilíbrio x=0. Como a velocidade do ponto material é
igual a dx
xdt
sua energia cinética é 21
2T m x e
podemos afirmar que a energia total do ponto material se
conserva escrevendo:
2 21 1constante
2 2T V k x m x
Colocando2 k
m onde é a frequência angular
de vibração, temos: 2 2 2 =constantex x
A equação acima é característica do movimento
harmónico simples e pode ser obtida diretamente de
multiplicando-se ambos os termos por 2x e integrando.
O princípio da conservação de energia fornece um
caminho conveniente para a determinação do período
de vibração de um corpo rígido ou de um sistema de
corpos rígidos que possuem um único grau de
liberdade, uma vez que tenha sido estabelecido que o
movimento é harmónico simples, ou que possa ser
aproximado por um movimento harmónico simples.
Escolhendo uma variável apropriada, tal como uma
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
10
distância x ou um ângulo θ, consideremos duas
posições particulares do sistema:
1. O deslocamento do sistema é máximo; temos T1 =
O e V1, pode ser expresso em função da amplitude xm ou
θm (escolhendo V = 0 na posição de equilíbrio).
2. O sistema passa por sua posição de equilíbrio;
temos V2 = 0 e T2, pode ser expresso em função da
velocidade máxima ou m mx .
Em seguida consideramos que a energia total
o sistema se conserva e escremos:
1 1 2 2T V T V
Lembrando que, para o movimento
harmónico simples:
m mx x
Exercícios
1. A barra homogênea de 3,00 kg mostrada na figura está
presa a uma mola de constante k = 900 N/m. Se a extremidade
da barra é abaixada de 25 mm e então solta, determine
(a) o período de vibração e
(b) a máxima velocidade da extremidade A.
0.75m
1.25m
2. A barra homogênea de 5,44 kg está presa a uma mola de
constante k = 525 N/m.A extremidade B da barra for abaixada
de 12,7 mm e, então, solta, determine
(a) o período de vibração e
(b) a máxima velocidade de B.
b = 0.533m
0.914m
3. Uma barra AB de 5.44 kg está rebitada a um disco
homogêneo de 4.35 kg. Uma Corrêa prende-se à borda do disco
e a uma mola que mantém a barra em repouso, horizontalmente.
0.762 m
A B
C
k = 4.38kN/m
D
Se a extremidade A da barra for abaixada de 38.1 mm e
então solta, determine:
(a) de quanto será o período.
(b) a máxima velocidade da extremidade A.
4. Um cilindro homogêneo de 5,00 kg pode rolar sem
escorregar num plano inclinado e está preso a uma mola AB,
como indica a figura.
Se o centro do cilindro for deslocado de 10 mm, plano
abaixo, a partir do seu ponto de equilíbrio e, então, solto,
determinar (a) qual será o período de vibração (b) a máxima
velocidade do centro do cilindro.
5. Uma correia, passando pela periferia de um disco de
12 kg, está presa a um cilindro de 4 kg e a uma mola de
constante k = 500 N/m, como indica a figura. O cilindro é
abaixado de 75 mm, a partir de sua posição de equilíbrio e,
então, é solto. Determine (a) o período de vibração e (b) a
máxima velocidade do cilindro. Suponha que o atrito é
suficiente para impedir o escorregamento da correia sobre o
disco.
6. No Problema 5, determine:
(a) a freqüência de vibração e
(b) a máxima tensão entre em S e C.
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
11
7. A barra homogênea de 5,44 kg está presa a uma
mola de constante k = 525 N/m. A extremidade A da barra for
abaixada de 12,7 mm e, então, solta, determine
(a) o período de vibração e
(b) a máxima velocidade de A.
8. No Problema 2, determine:
(a) o valor de b para o qual ocorre o máximo o de
vibração e
(b) o valor desse período.
9. Uma barra homogênea AB de 3,00 kg está presa a
uma mola de constante 900 N/m, como indica a figura. Coloca-
se em A um bloquinho C de 0,50 kg.
(a) Se a idade A for então abaixada de o (pequeno) e,
a seguir, for solta, determine o período de vibração.
(b) Determine o máximo valor permissível de o para
que bloco C não perca o contato com durante todo o movimento.
0.75m
1.25m
10. Uma barra de massa m e comprimento /está
suspensa por duas molas, cada uma de constante k. Determine a
freqüência de vibração se a barra for
(a) deslocada verticalmente e, solta e
(b) girada de um pequeno ângulo em torno de um eixo
horizontal passando por G e, abandonada
(c) Determine a razão b/l para a qual as freqüências
calculadas nos itens (a) e (b) são iguais.
G
B
12
b 12
b
12l 1
2l
11. Uma placa quadrada homogênea de massa m é
mantida num plano horizontal por um pino em B e está presa em
A a uma mola de constante k. Desloca-se ligeiramente o vértice
A e a seguir abandona-se a placa. Determine o período do
movimento subseqüente.
12. Um pêndulo composto e definido como uma placa
rígida que oscila em torno de um ponto fixo O, chamado centro
de suspensão. Mostre que o período de oscilação de um pêndulo
composto é igual ao período de um pêndulo simples de
comprimento OA, onde a distância de A ao centro de massa G é
2kGA
r . O ponto A é definido como o centro de oscilação e
coincide com o centro de percussão definido no Problema 17.66.
13. Mostre que, se o pêndulo composto considerado
no Problema 12, está suspenso em A ao invés de O, o período de
oscilação é o mesmo que antes e o novo centro de oscilação está
localizado em O.
14. Uma placa rígida oscila em torno de um ponto
fixo O. Mostre que o período mínimo de oscilação ocorre
quando a distância r do ponto O ao centro de massa G é igual a
k .
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
12
15. Algumas dificuldades aparecem quando se usa um
pêndulo simples ou composto determinação experimental da
aceleração da gravidade g. No caso do pêndulo simples, o fio
verdadeiramente desprovido de massa, enquanto no caso do
pêndulo composto, torna-se localizar exatamente o centro de
massa. Neste último caso a dificuldade pode ser contornada se
um pêndulo reversível ou de Kater. Constróem-se dois pontos de
apoio A e B não-simétricos em relação ao centro de massa e
mede-se a distância l com grande precisão. Ajusta-se a do
contrapeso D de modo que o período de oscilação t quando se
usa o ponto de suspensão A é idêntico o período de oscilação
quando se usa B. Mostre que t é igual ao de pêndulo ideal de
comprimento l e que:
2
2
4 lg
.
16. Determine o período de pequenas oscilações
de uma placa homogênea semicircular de raio r quando
(a) suspensa por A.
(b) quando suspensa por B.
17. Uma barra homogênea de comprimento l
pode oscilar em torno de uma articulação A localizada a
uma distância c do seu centro de massa G.
(a) Determine a freqüência de pequenas
oscilações se c = l/2.
(b) Determine um segundo valor de c para o
qual a freqüência das pequenas oscilações é a mesma que
a encontrada na parte a.
18. Para a barra considerada no Problema 19.42,
determine
(a) a distância c para que a freqüência de
oscilação seja máxima e
(b) o correspondente período mínimo.
19. Um fio homogêneo dobrado na forma de um
triângulo equilátero de lado l = 250 mm é posto a oscilar
com pequena amplitude. Determine o período das
pequenas oscilações
(a) quando o fio estiver suspenso por um vértice
e (b) pelo ponto médio de um dos seus lados.
20. Duas barras delgadas e homogêneas, cada
uma de massa m estão soldadas na forma de um T, como
indica a figura. Determine a freqüência de pequenas
oscilaçóes do sistema.
A
l
B
C D
2l
2l
21. Remove-se temporariamente a pá AB do
gerador a vento mostrado na figura. Impede-se o gerador
de se mover em torno de y mas as três pás restantes,
rigidamente ligadas, podem oscilar em torno de x.
Supondo que cada pá seja equivalente a uma barra de 36.6
m de comprimento, determine o período das pequenas
oscilações, na ausência de vento.
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
13
22. Observou-se que o período de pequenas
oscilações em torno de A, da biela, é de 1.06 s. Sabendo
que a distância ra é 170mm. determine o raio de giração
baricêntrico da figura.
ra
rb
23. Uma biela é suportada por um gume no
ponto A; o período das pequenas oscilações, observado, é
de 0.895 s. A biela é então invertida e suportada pelo
gume no ponto B, e o período das pequenas oscilações,
observado, é de 0.805. Sabendo que ra + rb = 270 mm,
determine:
(a) a localização do centro de massa G,
(b) o raio de giração baricêntrico k.
24. e 25. Um disco de raio r pode oscilar em
torno do eixo AB a uma distância b do centro de massa G,
como indica a figura,
(a) Determine o período de pequenas oscilações
para b = r.
(b) Determine um segundo valor de b para o qual
o período de oscilação é igual ao obtido na parte (a).
26. Observa-se um período de 3.60 s para as
oscilações angulares do giroscópio de 750 g. suspenso por
um arame como ilustrado. Sabendo que o período obtido
quando uma esfera de aço de 60 mm de diâmetro é
suspensa da mesma forma, raio de giração baricêntrico do
rotor (massa específica do aço = 7.85 x 103 kg/m
3 ).
27. Suspende-se uma barra de 6 kg por meio de
um fio de aço que constante torsional k = 1,75 N • m/rad.
Dá-se à barra um giro de 180° em torno da vertical e,
então, solta-se o sistema. Determine
(a) o período de oscilação e
(b) a máxima velocidade da extremidade A da
barra.
28. Uma placa fina e circular de raio resta
suspensa por três arames comprimento h, igualmente
espaçados em torno do perímetro da placa. Determine o
oscilação quando
(a) a placa é girada de um pequeno ângulo em
torno de um eixo vertics por seu centro de massa e
liberada e
(b) é dada uma pequena translação horizontal à
seguida, é liberada.
29. Resolva o Problema 28 supondo que r = 750
mm e h = 600 mm.
30. Um disco uniforme de 0.254 m de raio e 8.16
kg de massa está preso a um eixo vertical que é
rigidamente preso em B. Sabe-se que o disco gira de 3°
quando um momento estático de 4,52 N • m é aplicado ao
mesmo. Se o disco é girado de 8° e em seguida liberado,
determine
(a) o período da vibração resultante e
(b) a velocidade máxima de um ponto na borda
do disco.
31. Uma peça de aço fundido é rigidamente
parafusada ao disco do Prob. 19.55. Sabendo que o
período da vibração de torção do disco e da peça é 0,90 s,
determine o momento de inércia da peça fundida em
relação ao eixo AB.
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
14
32. Determine o period do pêndulo simples de
comprimento l.
33. Observa-se que as molas de um automóvel
expandem-se 0.20 m a partir de uma posição de
relaxamento, quando o veículo é levantado por diversos
guinchos. Supondo que cada mola suporta uma parcela
igual do peso do automóvel, determine a frequência das
vibrações livres do veículo.
34. Utilizando o método da Seção 19.6, resolva o
Problema 19.3.
35. Utilizando o método da Seção 19.6, resolva o
Problema 19.4.
36. Um arame homogéneo de comprimento 2l,
dobrado conforme a ilustração, oscila em torno do pino B.
Denotando por τ0 o período de pequenas oscilações
quando β = 0, determine o ângulo β para que o período de
pequenas oscilações seja 2τ0.
B
l l
β β
A C
37. Sabendo que l = 750 mm e β = 40°, determine
o período de oscilação do arame dobrado.
38. Um fio homogêneo foi dobrado na forma de
um quadrado de lado l está preso em A por uma junta
esférica. Determine o período de pequenas oscilações do
quadrado,
(a) no plano
(b) numa direção perpendicular ao quadrado.
39. Resolva o problema anterior supondo o
quadrado suspenso por um de seus vértices.
40. Um disco homogéneo de raio C está preso em
A por meio de uma junta esférica. Determine a frequência
das oscilações de pequena amplitude
(a) no plano do disco e
(b) numa direção perpendicular ao disco.
41. Observa-se que quando um peso de 35.6 N
está preso à borda de um volante de 1.83 m de diâmetro, o
período das pequenas oscilações do volante é 22 s.
Despreze o atrito no eixo e determine o momento de
inércia baricêntrico do volante.
42. Usando o método da Seção 19.6, resolva o
Problema 19.45.
43. A barra homogénea ABC de 2.27 kg está
preso a duas molas como indica a figura. Dá-se um
pequeno deslocamento à extremidade Ce se libera o
sistema. Determine a frequência de vibração da barra.
44. Resolva o problema anterior considerando-se
que as molas foram permutadas, de modo que kB = 700
N/m e kC = 525 N/m.
45. Solda-se a barra AB de 5 kg a um disco
homogéneo de 8 kg. Uma mola de nstante 450 N/m
encontra-se presa ao disco, mantendo a barra na posição
mostrada na figura. Desloca-se ligeiramente a
extremidade B e libera-se o sistema. Determine o período
de vibração da barra.
0.120 mm 0.500 mm
C A B
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
15
46. Para o sistema considerado no Problema 45,
determine a constante da mola para a qual o período de
vibração da barra é 1.5 s.
47. A barra delgada AB de massa m está presa a
dois cursores de massas desprezíveis. Sabendo que o
sistema repousa num plano horizontal e está em
equilíbrio na posição ilustada determine o período de
vibração se se deslocar ligeiramente o cursor A e,
então, se liberar o sistema.
48. Os discos A e fitem massas de 3 kg e 8 kg,
respectivamente. Um pequeno bloco C de massa igual
a 750 g está preso à borda do disco B. Supondo que
não haja escorregamento entre os discos, determine o
período das pequenas oscilações do sistema.
90 mm
150 mm
49. Dois discos homogéneos de 5 kg estão
ligados a unia barra AB de 8 kg, como indica a figura.
Sabendo que a constante da mola é 4 kN/m e que os
discos rolam sem escorregar, determine a frequência de
vibração do sistema.
50. A barra AB de Q kg está parafusada ao
disco de 12 kg. Sabendo que o disco rola sem escorregar,
determine o período de pequenas oscilações do sistema.
51. A barra AB de 1.81 kg está parafusada ao
disco de 0.127 m de raio, como indica a figura. Sabendo
que o disco rola sem escorregar, determine o peso do
disco para o qual o período das pequenas oscilações do
sistema é 1.5 s.
Q
52. Três barras idênticas estão ligadas como
ilustrado. Se 34lb determine a freqüència das pequenas
oscilações do sistema.
53. Para o sistema considerado no problema
anterior, determine
(a) a distância b para a qual a frequência de
oscilação é máxima e
(b) o valor dessa freqüência.
54. Uma barra homogênea de comprimento L é
sustentada em A por uma junta e por um fio vertical CD.
Deduza uma expressão para o período de oscilação da
barra se se desloca ligeiramente a extremidade B e então
se libera o sistema.
55. Resolva o Problema 54 considerando L = 3.00
m. b = 2.50 m e h = 2.00.
56. Uma semi-seção de um tubo encontra-se sobre
um plano horizontal. Gira-se a peça de um pequeno
ângulo e então se libera o sistema. Supondo rolamento
sem escorregar. Determine o período de oscilação.
57. Uma barra delgada de comprimento l está
suspensa por dois arames verticais de comprimento h cada
um, localizado a uma distância 1/2b do centro de massa
G. Determine o período de oscilação quando
(a) a barra é girada de um pequeno ângulo em
torno de um eixo vertical que passa por G e liberada e
(b) é dada uma pequena translação horizontal à
barra ao longo de AB e liberada.
Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
16
58. Quando um corpo submerso se desloca
através de um fluido, o fluido move-se torno do corpo e
assim, adquire energia cinética. No caso de uma esfera em
movimento num fio ideal, a energia cinética total
adquirida pelo fluido e21
4V ; onde é a massa
específica do fluído V o volume da esfera e a
velocidade. Considere uma superfície esférica
oca de 5 N e raio 0.075 m. que é mantida submersa num
tanque de água por uma mola de constante 600 N/m.
(a) Desprezando o atrito do fluido, determine o
período de vibração da superfície esférica quando
deslocada verticalmente e em seguida liberada,
(b) Resolva o item a, supondo que o tanque é
acelerado para cima com uma aceleração constante de 3
m/s2 .
59. Uma fina placa de comprimento l repousa
sobre um semicilindro de raio r. Deduza uma relação para
o período de pequenas oscilações da placa.
60. Faça uma pesquisa sobre a vibração
equivalente que destrui a ponte abaixo, indicando os
modos vibracionais que causaram a destruição da ponte.