7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 1/46
RANTAI MARKOVRANTAI MARKOV
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 2/46
PendahuluanPendahuluan
Analisis Markov (disebut sebagaiAnalisis Markov (disebut sebagai ProsesProses
StokastikStokastik) merupakan suatu bentuk) merupakan suatu bentuk
khusus dari model probabilistik.khusus dari model probabilistik.
Proses Stokastik merupakan suatu prosesProses Stokastik merupakan suatu prosesperubahan probabilistik yang terjadiperubahan probabilistik yang terjadi
secara terus menerus, di manasecara terus menerus, di mana
perubahan-perubahan variabel di masaperubahan-perubahan variabel di masa
yang akan datang didasarkan atasyang akan datang didasarkan atas
perubahan-perubahan variabel di aktuperubahan-perubahan variabel di aktu
yang lalu.yang lalu.
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 3/46
PendahuluanPendahuluan
Pada aalnya, Analisis Markov digunakan sebagaiPada aalnya, Analisis Markov digunakan sebagaialat dalam analisis perubahan cuaca.alat dalam analisis perubahan cuaca.
Saat ini, Analisis Markov sering digunakan untukSaat ini, Analisis Markov sering digunakan untukmembantu pembuatan keputusan dalam duniamembantu pembuatan keputusan dalam duniabisnis atau industri.bisnis atau industri.
Misal, sebagai alat untuk menganalisis!Misal, sebagai alat untuk menganalisis!
" Perpindahan merek yang digunakan oleh konsumen.Perpindahan merek yang digunakan oleh konsumen." Masalah operasi dan pemeliharaan mesin produks.Masalah operasi dan pemeliharaan mesin produks.
" Perubahan harga di pasar saham.Perubahan harga di pasar saham.
" #an lain-lain#an lain-lain
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 4/46
Proses Analisis MarkovProses Analisis Markov
$erdapat % prosedur utama untuk$erdapat % prosedur utama untuk
dilakukan, yaitu !dilakukan, yaitu !
" Menyusun matriks probabilitas transisi.Menyusun matriks probabilitas transisi." Menghitung probabilitas suatu kejadianMenghitung probabilitas suatu kejadian
di aktu yang akan datang.di aktu yang akan datang.
" Menentukan kondisiMenentukan kondisi steady statesteady state..
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 5/46
Ciri-ciri Analisis Markov:Ciri-ciri Analisis Markov:
&ila diketahui status suatu kondisi aal,&ila diketahui status suatu kondisi aal,
maka pada kondisi periode berikutnyamaka pada kondisi periode berikutnya
merupakan suatu proses random yangmerupakan suatu proses random yang
dinyatakan dalam probabilitas, yangdinyatakan dalam probabilitas, yangdisebut dengan probabilitas transisi.disebut dengan probabilitas transisi.
Probabilitas transisi tidak akan berubahProbabilitas transisi tidak akan berubah
untuk selamanya.untuk selamanya.
Probabilitas transisi hanya tergantungProbabilitas transisi hanya tergantung
pada status aal.pada status aal.
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 6/46
Contoh 1:Contoh 1:
Masalah perubahan cuaca di 'ndonesia.Masalah perubahan cuaca di 'ndonesia. Misal hanya terdapat macam cuaca, yaitu hujanMisal hanya terdapat macam cuaca, yaitu hujan
dan cerah. #iketahui baha dalam masalah ini,dan cerah. #iketahui baha dalam masalah ini,cuaca di 'ndonesia selalu berada pada salah satucuaca di 'ndonesia selalu berada pada salah satu
dari duadari dua statestate (status) yang mungkin, yaitu cerah(status) yang mungkin, yaitu cerahatau hujan.atau hujan. Perubahan dari satuPerubahan dari satu statestate keke statestate yang lain padayang lain pada
periode berikutnya merupakan suatu prosesperiode berikutnya merupakan suatu prosesrandom yang dinyatakan dalam probabilitas, yangrandom yang dinyatakan dalam probabilitas, yang
disebut dengan probabilitas transisi.disebut dengan probabilitas transisi.
Misalnya saja diketahui !Misalnya saja diketahui !" P(hujan hujan ) * +,P(hujan hujan ) * +, P(hujan cerah ) * +,P(hujan cerah ) * +," P(cerah hujan ) * +,P(cerah hujan ) * +, P(cerah cerah ) * +,P(cerah cerah ) * +,
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 7/46
Matriks Probabilitas TransisiMatriks Probabilitas Transisi
Merupakan matriks (tabel) yang berisi nilaiMerupakan matriks (tabel) yang berisi nilaiprobabilitas perubahanprobabilitas perubahan statestate tersebut dapattersebut dapatdituliskan dalam bentuk matriks (tabel), yangdituliskan dalam bentuk matriks (tabel), yangdisebut dengan Matriks Probabilitas $ransisi,disebut dengan Matriks Probabilitas $ransisi,
yaitu!yaitu!
State State Besok
Hari ini Hujan Cerah
Hujan 0,6 0,4
Cerah 0,8 0,2
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 8/46
Menusun Matriks ProbabilitasMenusun Matriks Probabilitas
TransisiTransisi
/ontoh 0!/ontoh 0! Misal, diambil sampel sebanyak 0+++ konsumenMisal, diambil sampel sebanyak 0+++ konsumen
yang tersebar dalam merek sabun mandi yangyang tersebar dalam merek sabun mandi yang
digunakan, yaitu merek A, &, /, dan #.digunakan, yaitu merek A, &, /, dan #. #alam masalah ini, konsumen dapat berpindah#alam masalah ini, konsumen dapat berpindah
dari satu merek ke merek lain. Perpindahan inidari satu merek ke merek lain. Perpindahan ini
bisa disebabkan karena adanya promosi khusus,bisa disebabkan karena adanya promosi khusus,perbedaan harga, iklan yang terus menerus di $1,perbedaan harga, iklan yang terus menerus di $1,
dsb.dsb.
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 9/46
Menusun Matriks ProbabilitasMenusun Matriks Probabilitas
TransisiTransisi $abel di baah ini menunjukkan pola$abel di baah ini menunjukkan pola
perpindahan konsumen dalam penggunaanperpindahan konsumen dalam penggunaan
sabun mandi merek A, &, /, dan #.sabun mandi merek A, &, /, dan #.
Merek
Jml konsumenBulan ini
Perubahan selama periode Jmlkonsumen
Bulan depanMendapatkan ehilan!an
" 220 #0 4# 22#
B $00 60 %0 2&0
C 2$0 2# 2# 2$0
' 2#0 40 $# 2##
Jumlah (000 (%# (%# (000
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 10/46
Menusun Matriks ProbabilitasMenusun Matriks Probabilitas
TransisiTransisi
#ari tabel tersebut, tidak diketahui berapa#ari tabel tersebut, tidak diketahui berapadiantara 2 konsumen merek A yang berpindahdiantara 2 konsumen merek A yang berpindahke merek &, /, atau #.ke merek &, /, atau #.
#an sebaliknya, juga tidak diketahui berapa#an sebaliknya, juga tidak diketahui berapadiantara 2+ konsumen yang berpindah ke merekdiantara 2+ konsumen yang berpindah ke merekA berasal dari konsumen merek &, /, atau #.A berasal dari konsumen merek &, /, atau #.
3leh karena itu, dibutuhkan in4ormasi yang3leh karena itu, dibutuhkan in4ormasi yanglengkap tentang perpindahan konsumen dalamlengkap tentang perpindahan konsumen dalampenggunaan sabun mandipenggunaan sabun mandi
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 11/46
Menusun Matriks ProbabilitasMenusun Matriks Probabilitas
TransisiTransisi Atas dasar survey konsumen, diperoleh hasilAtas dasar survey konsumen, diperoleh hasil
yang dituliskan dalam tabel sbb.!yang dituliskan dalam tabel sbb.!
Merek
Jml konsumen
Bulan ini
Mendapatkan dari ehilan!an ke Jml konsumen
bulandepan" B C ' " B C '
" 220 0 40 0 (0 0 20 (0 (# 22#
B $00 20 0 2# (# 40 0 # 2# 2&0C 2$0 (0 # 0 (0 0 2# 0 0 2$0
' 2#0 (# 2# 0 0 (0 (# (0 0 2##
Jumlah (000 (000
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 12/46
Menusun Matriks ProbabilitasMenusun Matriks Probabilitas
TransisiTransisi #ari data pada tabel di atas dapat dibuat matriks#ari data pada tabel di atas dapat dibuat matriks
perpindahan5perubahan merek sabun mandi,perpindahan5perubahan merek sabun mandi,
yaitu!yaitu!
State State Bln depanJumlah
Bulan ini " B C '
" (%# 20 (0 (# 220
B 40 2$0 # 2# $00
C 0 2# 20# 0 2$0
' (0 (# (0 2(# 2#0
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 13/46
Menusun Matriks ProbabilitasMenusun Matriks Probabilitas
TransisiTransisi
6adi, matriks probabilitas transisinya adalah !6adi, matriks probabilitas transisinya adalah !
State State Bln depan
Bulan ini " B C '
" 0,%&6 0,0&( 0,04# 0,068
B 0,($$ 0,%6% 0,0(% 0,08$
C 0 0,(0& 0,8&( 0
' 0,040 0,060 0,040 0,860
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 14/46
Menusun Matriks ProbabilitasMenusun Matriks Probabilitas
TransisiTransisi
/ontoh /ontoh Misal, sebuah perusahaan distributor beras yangMisal, sebuah perusahaan distributor beras yang
memasarkan beras jenis rojolele pada akhir-akhirmemasarkan beras jenis rojolele pada akhir-akhirini menyadari adanya penurunan penjualan.ini menyadari adanya penurunan penjualan.
Pihak manajemen mencurigai adanyaPihak manajemen mencurigai adanyaperpindahan jenis beras yang dikonsumsi olehperpindahan jenis beras yang dikonsumsi olehpelanggan.pelanggan.
7ntuk mengetahui sebab penurunan penjualan7ntuk mengetahui sebab penurunan penjualan
tersebut, perusahaan mengumpulkan data daritersebut, perusahaan mengumpulkan data daribeberapa keluarga dengan cara mengambilbeberapa keluarga dengan cara mengambilsampel dari daerah yang paling besar mengalamisampel dari daerah yang paling besar mengalamipenurunan.penurunan.
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 15/46
Menusun Matriks ProbabilitasMenusun Matriks Probabilitas
TransisiTransisi
#ata yang berhasil dikumpulkan adalah !#ata yang berhasil dikumpulkan adalah !
)o )ama
eluar!a
Status
Sebelumn*a Saat +ni
( " Cisedani Cisedani
2 B Cisedani Cisedani
$ C Cisedani Cisedani
4 ' Cisedani +- $6
# . Cisedani +- $6
6 / Cisedani +- $6
% Cisedani ojolele
8 H Cisedani ojolele
& + +- $6 Cisedani
)o )ama
eluar!a
Status
Sebelumn*a Saat +ni
(0 J +- $6 Cisedani
(( +- $6 +- $6
(2 1 +- $6 +- $6
($ M +- $6 ojolele
(4 ) +- $6 ojolele(# ojolele Cisedani
(6 P ojolele +- $6
(% 3 ojolele ojolele
(8 ojolele ojolele
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 16/46
Menusun Matriks ProbabilitasMenusun Matriks Probabilitas
TransisiTransisi &ila dituliskan dalam bentuk tabel perubahan&ila dituliskan dalam bentuk tabel perubahan
statestate (perpindahan konsumsi beras), diperoleh!(perpindahan konsumsi beras), diperoleh!
'ari statusSebelumn*a5
e status berikutn*a saat ini5
Jumlahojolele +- $6 Cisedani
ojolele 2 ( ( 4
+- $6 2 2 2 6Cisedani 2 $ $ 8
Jumlah 6 6 6 (8
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 17/46
Menusun Matriks ProbabilitasMenusun Matriks Probabilitas
TransisiTransisi #ianggap baha perpindahan konsumsi beras#ianggap baha perpindahan konsumsi beras
dianggap stabil, sehingga matriks probabilitasdianggap stabil, sehingga matriks probabilitas
transisinya adalah !transisinya adalah !
'ari statusSebelumn*a5
e status berikutn*a saat ini5ojolele +- $6 Cisedani
ojolele 0,#00 0,2#0 0,2#0
+- $6 0,$$$ 0,$$$ 0,$$4Cisedani 0,2#0 0,$%# 0,$%#
/atatan!Sel diagonal (arna lbh gelap), merupakan probabilitas konsumen
tetap setia (tetap dalam pemilikan atau retentions).
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 18/46
Men!hitun! "robabilitas suatu ke#adianMen!hitun! "robabilitas suatu ke#adian
di $aktu an! akan datan!di $aktu an! akan datan! 'n4ormasi yang dihasilkan dari Analisis'n4ormasi yang dihasilkan dari Analisis
Markov adalah probabilitas suatu stateMarkov adalah probabilitas suatu state
pada periode ke depan.pada periode ke depan.
'n4ormasi ini dapat digunakan oleh'n4ormasi ini dapat digunakan olehmanajer untuk membantu pengambilanmanajer untuk membantu pengambilan
keputusan dengan cara memperkirakankeputusan dengan cara memperkirakan
perubahan-perubahan variabel di aktuperubahan-perubahan variabel di aktu
yang akan datang berdasar atasyang akan datang berdasar atasperubahan-perubahan variabel di aktuperubahan-perubahan variabel di aktu
yang lalu.yang lalu.
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 19/46
Men!hitun! "robabilitas suatu ke#adianMen!hitun! "robabilitas suatu ke#adian
di $aktu an! akan datan!di $aktu an! akan datan!
$erdapat cara untuk menemukan$erdapat cara untuk menemukan
in4ormasi tersebut, yaitu!in4ormasi tersebut, yaitu!
" Probabilitas treeProbabilitas tree" Perkalian matriksPerkalian matriks
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 20/46
Probabilitas TreeProbabilitas Tree
/ontoh!/ontoh!
#iketahui probabilitas transisi sebagai berikut!#iketahui probabilitas transisi sebagai berikut!
State State Besok
Hari ini Hujan Cerah
Hujan 0,6 0,4
Cerah 0,8 0,2
'ngin dihitung probabilitas cuaca akan berstatushujan pada hari ke-%, jika pada hari ini (haripertama) berstatus hujan.
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 21/46
Probabilitas TreeProbabilitas Tree
Penyelesaian!Penyelesaian!
+,+
+,
8ujan
8ujan
8ujan
8ujan
/erah
/erah
/erah
8ari ke-0 8ari ke- 8ari ke-%
+,
+,
+,
+,
+,
+,
+,
+,
+,%
+,%
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 22/46
Probabilitas TreeProbabilitas Tree
6adi,6adi, Probabilitas cuaca akan berstatus hujanProbabilitas cuaca akan berstatus hujan
pada hari ke-%, jika pada hari ini (haripada hari ke-%, jika pada hari ini (hari
pertama) berstatus hujan adalahpertama) berstatus hujan adalah8888(%) * +,% 9 +,% * +,(%) * +,% 9 +,% * +,
Probabilitas cuaca akan berstatus cerahProbabilitas cuaca akan berstatus cerah
pada hari ke-%, jika pada hari ini (haripada hari ke-%, jika pada hari ini (haripertama) berstatus hujan adalahpertama) berstatus hujan adalah//88(%) +, 9 +,+ * +,%(%) +, 9 +,+ * +,%
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 23/46
Perkalian MatriksPerkalian Matriks
Probabilitas tree akan sangat membantuProbabilitas tree akan sangat membantubila periode ke-t di masa depan cukupbila periode ke-t di masa depan cukupkecil.kecil.
&ila ingin diketahui probabilitas status&ila ingin diketahui probabilitas statuspada periode ke-t dimasa depan, dimana tpada periode ke-t dimasa depan, dimana tcukup besar, maka untuk menyelesaikancukup besar, maka untuk menyelesaikandengan probabilitas tree akan menjadidengan probabilitas tree akan menjaditidak e4isien karena membutuhkan lembartidak e4isien karena membutuhkan lembarkertas yang besar.kertas yang besar.
7ntuk itu, digunakan cara lain yaitu7ntuk itu, digunakan cara lain yaitudengan menggunakandengan menggunakan perkalian matriksperkalian matriks
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 24/46
Perkalian MatriksPerkalian Matriks
/ontoh masalah pengoperasian/ontoh masalah pengoperasian
kendaraan umum (angkota)!kendaraan umum (angkota)!
Angkota akan beroperasi (jalan) bilaAngkota akan beroperasi (jalan) bila
tidak sedang mogok, artinya bahatidak sedang mogok, artinya baha
dalam masalah ini angkota selaludalam masalah ini angkota selalu
berada di dalam salah satu dari duaberada di dalam salah satu dari dua
state (status) yang mungkin, yaitustate (status) yang mungkin, yaitu jalan jalan atauatau mogokmogok
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 25/46
Perkalian MatriksPerkalian Matriks
Perubahan dari satu state ke state yang lain pada periodePerubahan dari satu state ke state yang lain pada periode(hari) berikutnya dituliskan dalam matriks 5 tabel(hari) berikutnya dituliskan dalam matriks 5 tabelprobabilitas transisi sebagai berikut!probabilitas transisi sebagai berikut!
state sekaran!hari ini5
e status berikutn*a
besok5
Jalan Mo!ok
Jalan 0,6 0,4
Mo!ok 0,8 0,2Pemilik usaha angkota tersebut ingin mengetahui probabilitassebuah angkota berstatus jalan pada hari ke-%, jika angkotatersebut berstatus jalan pada hari ini (hari ke-0).
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 26/46
Perkalian MatriksPerkalian Matriks
Penyelesaian!Penyelesaian! Probabilitas sebuah angkota berstatus jalan padaProbabilitas sebuah angkota berstatus jalan pada
hari ke-%, jika angkota tersebut berstatus jalanhari ke-%, jika angkota tersebut berstatus jalanpada hari ini (hari ke-0), dapat dituliskan denganpada hari ini (hari ke-0), dapat dituliskan dengan
simbol 6simbol 666(%).(%).
Probabilitas sebuah angkota berstatus mogokProbabilitas sebuah angkota berstatus mogokpada hari ke-%, jika angkota tersebut berstatuspada hari ke-%, jika angkota tersebut berstatus
jalan pada hari ini (hari ke-0), dapat dituliskan jalan pada hari ini (hari ke-0), dapat dituliskandengan simbol Mdengan simbol M66(%).(%).
#an seterusnya dengan penalaran yang serupa.#an seterusnya dengan penalaran yang serupa.
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 27/46
Perkalian MatriksPerkalian Matriks
Probabilitas sebuah angkota berstatus jalanProbabilitas sebuah angkota berstatus jalanataupun mogok pada hari ke-0, ditulis dalamataupun mogok pada hari ke-0, ditulis dalamvektor baris sbb. !vektor baris sbb. !
[ ] [ ]0(5(5( = J J
M J
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 28/46
Perkalian MatriksPerkalian Matriks
Probabilitas sebuah angkota berstatus jalanProbabilitas sebuah angkota berstatus jalanataupun mogok pada hari ke-, bila angkotataupun mogok pada hari ke-, bila angkottersebut berstatus jalan pada hari ke-0, dapattersebut berstatus jalan pada hari ke-0, dapatdicari dengan mengalikan vektor baris dengandicari dengan mengalikan vektor baris dengan
matriks probabilitas transisi, diperoleh !matriks probabilitas transisi, diperoleh !
[ ] [ ] [ ] [ ]4,06,02,08,0
4,06,00(
2,08,0
4,06,05(5(5252 =
×=
×=
J J J J M J M J
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 29/46
Perkalian MatriksPerkalian Matriks
#an, probabilitas sebuah angkota berstatus jalan#an, probabilitas sebuah angkota berstatus jalanataupun mogok pada hari ke-%, bila angkotaataupun mogok pada hari ke-%, bila angkotatersebut berstatus jalan pada hari ke-0, dapattersebut berstatus jalan pada hari ke-0, dapatdicari dengan penalaran serupa, diperoleh !dicari dengan penalaran serupa, diperoleh !
[ ] [ ] [ ] [ ]$2,068,02,08,0
4,06,04,06,0
2,08,0
4,06,052525$5$ =
×=
×=
J J J J M J M J
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 30/46
Menentukan KondisiMenentukan Kondisi Steady StateSteady State
#alam banyak kasus, Analisis Markov akan#alam banyak kasus, Analisis Markov akanmenuju suatu kondisi keseimbangan (menuju suatu kondisi keseimbangan (SteadySteadyStateState), yaitu suatu kondisi di mana setelah), yaitu suatu kondisi di mana setelahproses markov berjalan selama beberapa periode,proses markov berjalan selama beberapa periode,
maka akan diperoleh nilai probabilitas suatumaka akan diperoleh nilai probabilitas suatu statestate akan bernilai tetap.akan bernilai tetap.
Suatu Analisis Markov dapat saja tidak mencapaiSuatu Analisis Markov dapat saja tidak mencapaikondisikondisi Steady StateSteady State..
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 31/46
Contoh untuk %enentukan kondisiContoh untuk %enentukan kondisi
steady statesteady state
/ontoh pengoperasian kendaraan/ontoh pengoperasian kendaraan
umum (angkota).umum (angkota). Seandainya perhitungan dilanjutkan, makaSeandainya perhitungan dilanjutkan, maka
probabilitas sebuah angkota berstatus jalanprobabilitas sebuah angkota berstatus jalanataupun mogok pada hari ke-, bila angkotaataupun mogok pada hari ke-, bila angkota
tersebut berstatus jalan pada hari ke-0, adalah !tersebut berstatus jalan pada hari ke-0, adalah !
[ ] [ ] [ ] [ ]$$6,0664,02,08,0
4,06,0$2,068,0
2,08,0
4,06,05$5$5454 =
×=
×=
J J J J M J M J
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 32/46
Contoh untuk %enentukan kondisiContoh untuk %enentukan kondisi
steady statesteady state
Probabilitas status periode selanjutnya adalah !Probabilitas status periode selanjutnya adalah !
[ ] [ ]$$28,066%2,05#5# = J J
M J
[ ] [ ]$$$4,06666,05656 = J J
M J
[ ] [ ]$$$$,0666%,05%5% = J J
M J
[ ] [ ]$$$$,0666%,05858 = J J
M J
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 33/46
Contoh untuk %enentukan kondisiContoh untuk %enentukan kondisi
steady statesteady state #ari hasil tersebut terlihat baha perubahan#ari hasil tersebut terlihat baha perubahan
probabilitas status untuk periode selanjutnyaprobabilitas status untuk periode selanjutnyamakin kecil sampai akhirnya tidak tampak adanyamakin kecil sampai akhirnya tidak tampak adanyaperubahanperubahan tercapai mulai periode ke-:.tercapai mulai periode ke-:.
Sehingga, pemilik usaha angkota dapatSehingga, pemilik usaha angkota dapatmenyimpulkan baha jika pada aalnya angkotamenyimpulkan baha jika pada aalnya angkotaberstatus jalan, maka setelah beberapa periodeberstatus jalan, maka setelah beberapa periodedi masa depan probabilitas akan jalan adalahdi masa depan probabilitas akan jalan adalah+,: dan probabilitas mogok adalah +,%%%%.+,: dan probabilitas mogok adalah +,%%%%.
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 34/46
Contoh untuk %enentukan kondisiContoh untuk %enentukan kondisi
steady statesteady state Probabilitas status di masa depan, jika aalnyaProbabilitas status di masa depan, jika aalnya
mogok dapat dilakukan dengan cara serupa.mogok dapat dilakukan dengan cara serupa.#iperoleh!#iperoleh!
[ ] [ ](05(5( = M M M J
[ ] [ ] [ ] [ ]2,08,02,08,0
4,06,0(0
2,08,0
4,06,05(5(5252 =
×=
×=
M M M M M J M J
[ ] [ ] [ ] [ ]$6,064,02,08,04,06,02,08,0
2,08,04,06,052525$5$ =
×=
×=
M M M M M J M J
[ ] [ ] [ ] [ ]$28,06%2,02,08,0
4,06,0$6,064,0
2,08,0
4,06,05$5$5454 =
×=
×=
M M M M M J M J
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 35/46
Contoh untuk %enentukan kondisiContoh untuk %enentukan kondisi
steady statesteady state
Probabilitas status periode selanjutnya adalah !Probabilitas status periode selanjutnya adalah !
[ ] [ ]$$44,066#6,05#5# = M M
M J
[ ] [ ]$$$(,0666&,05656 = M M M J
[ ] [ ]$$$4,06666,05%5% = M M
M J
[ ] [ ]$$$$,0666%,05858 = M M
M J
[ ] [ ]$$$$,0666%,05&5& = M M
M J
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 36/46
Contoh untuk %enentukan kondisiContoh untuk %enentukan kondisi
steady statesteady state #ari hasil di atas terlihat baha perubahan#ari hasil di atas terlihat baha perubahan
probabilitas status untuk periode selanjutnyaprobabilitas status untuk periode selanjutnyamakin kecil sampai akhirnya tidak tampak adanyamakin kecil sampai akhirnya tidak tampak adanyaperubahanperubahan tercapai mulai periode ke-.tercapai mulai periode ke-.
#alam hal ini, pemilik usaha angkota dapat#alam hal ini, pemilik usaha angkota dapatmenyimpulkan baha jika pada aalnya angkotmenyimpulkan baha jika pada aalnya angkotberstatus mogok, maka setelah beberapa periodeberstatus mogok, maka setelah beberapa periodedi masa depan probabilitas akan jalan adalahdi masa depan probabilitas akan jalan adalah+,: dan probabilitas mogok adalah +,%%%%.+,: dan probabilitas mogok adalah +,%%%%.
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 37/46
Contoh untuk %enentukan kondisiContoh untuk %enentukan kondisi
steady statesteady state #ari kedua hasil tersebut, terlihat baha apapun#ari kedua hasil tersebut, terlihat baha apapun
status aalnya, maka nilai probabilitas status distatus aalnya, maka nilai probabilitas status dimasa depan akan konstan, yaitu probabilitasmasa depan akan konstan, yaitu probabilitasakan jalan adalah +,: dan probabilitas mogokakan jalan adalah +,: dan probabilitas mogok
adalah +,%%%%.adalah +,%%%%.
6adi, dapat disimpulkan jika kondisi6adi, dapat disimpulkan jika kondisi steady statesteady state tercapai, maka probabilitas status periode ke-itercapai, maka probabilitas status periode ke-iakan sama dengan probabilitas status periodeakan sama dengan probabilitas status periode
berikutnya, yaitu periode ke-(i 9 0), atau dapatberikutnya, yaitu periode ke-(i 9 0), atau dapatdituliskan sebagai !dituliskan sebagai !
6666(i90) * 66(i)(i90) * 66(i) dandan MM66(i90) * M6(i)(i90) * M6(i)
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 38/46
Probabilitas status "eriodeProbabilitas status "eriode
ke-&i ' 1(ke-&i ' 1(
7ntuk mencari probabilitas status7ntuk mencari probabilitas status
periode ke-(i 9 0), dilakukanperiode ke-(i 9 0), dilakukan
dengan cara! diketahui bahadengan cara! diketahui baha
dalam kondisidalam kondisi steady statesteady state berlaku !berlaku !
6666(i90) * 66(i)(i90) * 66(i)
dandan
MM66(i90) * M6(i),(i90) * M6(i),
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 39/46
7ntuk contoh pengoperasian kendaraan umum,7ntuk contoh pengoperasian kendaraan umum,nilai probabilitas status periode i90 adalah !nilai probabilitas status periode i90 adalah !
; 66(i90) M6(i90) < * ; 66(i) M6(i) <
2,08,04,06,0
Menjadi !Menjadi !
; 66(i) M6(i) < * ; 66(i) M6(i) <
2,08,0
4,06,0
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 40/46
#iketahui baha ! 6#iketahui baha ! 666(i) 9 M(i) 9 M66(i) * 0, maka !(i) * 0, maka !
6666(i) * 0 - M(i) * 0 - M66(i) sehingga!(i) sehingga!
))&i( * +, )
)&i( ' +,. M
)&i(
M)&i( * +,/ )
)&i( ' +,0 M
)&i(
en!an %ensubstitusi ))&i( * 1 - M
)&i( ke "ersa%aan
terakhir, di"eroleh :
M)&i( * +,/ &1 - M
)&i(( ' +,0 M
)&i(
M)
&i( * +,/ - +,/ M)
&i( ' +,0 M)
&i(
M)&i( ' +,/ M
)&i( - +,0 M
)&i( * +,/
1,0 M)&i( * +,/
M)&i( * +,2222
an ))&i( * 1 - M
)&i( * 1 3 +,2222 * +,45
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 41/46
6adi,6adi, =ondisi=ondisi steady statesteady state untuk permasalahan di atasuntuk permasalahan di atas
adalah!adalah!
66(i90) * 66(i) * +,:66(i90) * 66(i) * +,:M6(i90) * M6(i) * +,%%%%M6(i90) * M6(i) * +,%%%%
Artinya jika pada aalnya angkota berstatusArtinya jika pada aalnya angkota berstatus
jalan, maka setelah beberapa periode di masa jalan, maka setelah beberapa periode di masadepan probabilitas akan jalan adalah +,: dandepan probabilitas akan jalan adalah +,: dan
probabilitas mogok adalah +,%%%%.probabilitas mogok adalah +,%%%%.
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 42/46
Pen!!unaan ProbabilitasPen!!unaan Probabilitas SteadySteady
StateState Misal perusahaan angkota mempunyai 0++Misal perusahaan angkota mempunyai 0++
kendaraan, maka jumlah angkota yangkendaraan, maka jumlah angkota yang
setiap hari diharapkan dapat berjalansetiap hari diharapkan dapat berjalan
adalah !adalah !6666(i) > 0++ * +,: > 0++ * ,: ? :(i) > 0++ * +,: > 0++ * ,: ? :
#an yang mogok adalah !#an yang mogok adalah !
MM66(i) > 0++ * +,%%%% > 0++ * %%,%% ? %%.(i) > 0++ * +,%%%% > 0++ * %%,%% ? %%.
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 43/46
Pen!!unaan ProbabilitasPen!!unaan Probabilitas SteadySteady
StateState
&ila pemilik angkota merasa tidak puas dengan&ila pemilik angkota merasa tidak puas dengankondisi tersebut dan ingin meningkatkan kondisikondisi tersebut dan ingin meningkatkan kondisitersebut, maka pemilik angkota berusaha untuktersebut, maka pemilik angkota berusaha untukmenggunakan suku cadang asli dalam setiapmenggunakan suku cadang asli dalam setiap
peraatan kendaraan, sehingga diperoleh matriksperaatan kendaraan, sehingga diperoleh matrikstransisi yang baru yaitu !transisi yang baru yaitu !
2,08,0
$,0%,0
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 44/46
Pen!!unaan ProbabilitasPen!!unaan Probabilitas SteadySteady
StateState ProbabilitasProbabilitas steady statesteady state berdasar matriks transisiberdasar matriks transisi
yang baru, bila aalnya angkota berstatus jalanyang baru, bila aalnya angkota berstatus jalan
adalah!adalah!
M)
&i( * +,04 dan ))
&i( * 1 - M)
&i( * 1 3 +,04 * +,425
jika pada aalnya angkota berstatus mogok,maka akan diperoleh hasil !
6M(i) * +,:% dan MM(i) * +,:
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 45/46
Pen!!unaan ProbabilitasPen!!unaan Probabilitas SteadySteady
StateState #ari kedua hasil di atas, diperoleh hasil baha#ari kedua hasil di atas, diperoleh hasil baha
apapun status aalnya, maka probabilitas akanapapun status aalnya, maka probabilitas akan
jalan adalah +,:% dan probabilitas mogok adalah jalan adalah +,:% dan probabilitas mogok adalah
+,:.+,:.
Sehingga dengan menggunakan matriks transisiSehingga dengan menggunakan matriks transisiyang baru, maka jumlah angkot yang setiap hariyang baru, maka jumlah angkot yang setiap hari
diharapkan dapat berjalan adalah !diharapkan dapat berjalan adalah !
6666(i) > 0++ * +,:% > 0++ * :%(i) > 0++ * +,:% > 0++ * :%
#an yang mogok adalah#an yang mogok adalah
MM66(i) > 0++ * +,: > 0++ * :.(i) > 0++ * +,: > 0++ * :.
7/21/2019 P-2 Rantai Markov
http://slidepdf.com/reader/full/p-2-rantai-markov 46/46
Pen!!unaan ProbabilitasPen!!unaan Probabilitas SteadySteady
StateState 6adi, terdapat pertambahan jumlah angkota yang6adi, terdapat pertambahan jumlah angkota yang
dapat beroperasi pada hari ini yaitu sebanyak dapat beroperasi pada hari ini yaitu sebanyak
angkot per hari (dari : kendaraan menjadi :%angkot per hari (dari : kendaraan menjadi :%
kendaraan).kendaraan).
#alam hal ini, manajemen perlu#alam hal ini, manajemen perlu
mempertimbangkan apakah pertambahan biayamempertimbangkan apakah pertambahan biaya
karena membeli suku cadang asli dengankarena membeli suku cadang asli dengan
kenaikan penerimaan sebagai akibatkenaikan penerimaan sebagai akibatbertambahnya jumlah angkot yang jalan telahbertambahnya jumlah angkot yang jalan telah
sesuai.sesuai.