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DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA
2da Semana
2Isaac NewtonIsaac Newton
16421642--17271727
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• PARTÍCULA LIBRE: Se llama así a una partícula que está AISLADA, es decir, es única en el universo.
Sistema de Referencia Inercial (SRI)
•• SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL (SRI):SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL (SRI):Es todo objeto que está en EQUILIBRIO con una PARTÍCULA LIBRE. Despreciando el efecto de la rotación alrededor del sol y de su propio eje LA TIERRA ES UN SRI.
• EQUILIBRIO: Ocurre cuando una partícula tiene ACELERACIÓN NULA respecto de una partícula libre.
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• FUERZA: Resulta de la interacción entre dos objetos.
• Es una cantidad vectorial.• En el SI la unidad es el newton, N.• 1 N = 1 kg·m·s-2
Fuerza
• Cumple con el principio de SUPERPOSICIÓN.
1F
2F
3F
4Fm
2 3 4 =∑1 iiF = F + F + F + F F
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Ejemplos de fuerzasFuerzas de contacto Fuerzas de campo
m M
q Q
Hierro N S
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FUERZAS BÁSICAS EN LA NATURALEZA
FUERZA
La fuerza gravitatoria
La fuerza electro débil
La fuerza nuclear fuerte
Se debe a la “carga eléctrica”.•Fuerzas: eléctricas, magnéticas, electromagnéticas (10-2); y•La nuclear débil (10-12).
•Tiene lugar entre partículas (protones y neutrones) en el interior del núcleo atómico.•Orden de magnitud: 100
Se debe a la “masa”.fuerza de largo alcance.Orden de magnitud: 10-39
Se clasifican según las propiedades intrínsecas de la materia
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Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, mientras no haya fuerza neta sobre él.
Primera ley de Newton(ley de inercia)
Se mueve a velocidad constante Se detiene bruscamente
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SEGUNDA LEY DE NEWTON
LA ACELERACIÓN ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL A LA FUERZA
VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN CON LA FUERZA
m
a
F m
2a
2F m
3a
3F
a
o
F
2Kg4Kg
6Kg
o
o
Masa cte
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LA ACELERACIÓN ES INVERSAMENTE PROPORCIONAL A LA MASA
VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN CON LA MASA
1 m
a1
F 2 m
a2
F
a3
3 mF
m (Kg)
a (m/s2)
F cte
SEGUNDA LEY DE NEWTON
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SEGUNDA LEY DE NEWTONLa aceleración de una partícula es directamente proporcional a la fuerza neta sobre ella, y es inversamente proporcional a su masa.
m
F2
F1
F3
m
FR
a
R2m
ms
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Fa
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SEGUNDA LEY DE NEWTONSobre una partícula (m = 1 kg) que se mueve sobre un plano inclinado liso y con velocidad inicial v(0) = -12ii-9jj m/s, se aplican las fuerzas F1 = 2,5t N (t es el tiempo) paralelo al plano inclinado y hacia arriba; y F2 = 10 N a lo largo del eje horizontal +x. Si gg = -10 jj m/s2 y la acción de la superficie es normal sobre el bloque, halle : a) El ángulo de inclinación del plano b) La fuerza neta y la aceleración del bloque c) La velocidad en t = 5 s
y
x
v -9 3a) tg α= = = α=37ºv -12 4
⇒
( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆb) m 2,5 0,8 0,6 10 10 10+2 -10+1,5 N+ + −1 2F = F + F g N = t i + j + i j = t i + t j
( ) ( ) 2
mˆ ˆ10+2 -10+1,5m sFa = = t i + t j
( ) ( ) ( )5 5
0 0
mˆ ˆ ˆ ˆc) d t dt 10+2t -10+1,5t dt 63 40,25s
⎡ ⎤⇒ ⇒ = −⎣ ⎦∫ ∫ ∫0
v
0vv = a v - v = i + j v i j
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1.La figura muestra los cuerpos m1, m2 y m3(m2<m3) inicialmente en reposo. Considerando las superficies lisas, las cuerdas y poleas ideales, halle:
a. La aceleración de cada bloque. b.La tensión en las cuerdas.c. La rapidez de m2 luego de haber recorrido
la distancia s.
) ( ) ( ) ( )2 1 3 1 1 2 3 1 2 3a De la fig: x -x + x -x =cte 2x +cte=x +x 2a =a +a 1⇒ ⇒
( )2 2 2m g-T=m a 2m2
T
2m gm3
T
3m g
( )3 3 3m g-T=m a 3
m11T
1m g
N ( )1 1 1T =m a 4
TT
1T
( )2 51T = T
1 2 1 2 1 2Resolviendo: Sea D=4m m +m m +m m
SEGUNDA LEY DE NEWTON
2 31
4m ma = gD
1 2 1 3 2 32
m m -m m +4m ma = gD
1 2 1 3 2 33
-m m +m m +4m ma = gD
13
SEGUNDA LEY DE NEWTON
) 1 2 3 1 2 311 1 1
1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3
4m m m 2m m mTb T =m a = g; T gm m +m m +4m m 2 m m +m m +4m m
= =
) 2 1 2 1 3 2 32 02 2
m m -m m +4m mc v v 2 sa = 2s gD
= +
NOTA.NOTA.-- Este procedimiento funciona muy bien cuando el movimiento de las partículas interconectadas es a lo largo de una dirección , como el ejemplo mostrado en la figura.
1 2 1 3 2 31
1 2 1 3 2 3
-m m -m m +4m ma = gm m +m m +4m m
Rpta:
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Siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce sobre el primero otra fuerza de igual magnitud en la misma dirección pero con sentido contrario.
2
1
FF
Tercera ley de Newton(ley de acción y reacción)
•Las fuerzas de (acción – reacción) actúan sobrecuerpos diferentes.
F = -F F
F
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F´
F
F’
F
Tercera ley de Newton(ley de acción y reacción)
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Caja sobre plano inclinado
w = mg
F
R
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
d
m
θ
F
Acción del plano
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A
B
superficie lisa
superficie rugosa
RA
RB
W
A B•
T
WRA
articulación
A
B
A B
cable
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
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• El sistema mostrado esta en equilibrio; el peso del bloque A es mayor que el peso de B.• Indique cuál es el diagrama de cuerpo libre más adecuado para el bloque B
B
A
B
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
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Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero (∑ F = 0), según la primera ley de Newton, la partícula está en reposo o con MRU, es decir en equilibrio.
FR=∑ F = 0 ⇒ Equilibrio ⇒ Reposo o MRU
Equilibrio de una partícula(Fuerzas Concurrentes)
N
w
N = - w
FR = 0
F2
F1
m
F3
F1 + F2 + F3 = 0
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Equilibrio de una partícula
Las cuerdas y las poleas de la figura son ideales. Si el bloque mostrado está en equilibrio, halle las tensiones en las cuerdas A y B
( )A BDCL polea B: F=0 T -2T 0 1⇒ =∑
( )A BDCL bloque: F=0 T +T -60=0 2⇒∑
( ) ( ) B ADe 1 y 2 : F=0 T =20 N; T =40 N⇒∑
ΑΤ
BΤBΤ ΑΤ BΤ
W
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FUERZAS DE FRICCIÓN
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f
El ladrillo después de ser lanzado se detiene ..
Superficie de contacto en el ladrillo
Superficie de contacto en el piso
FUERZAS DE FRICCIÓN
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FUERZAS DE FRICCIÓN
24fk =µk N
µk : Coeficiente de rozamiento cinéticoµs : Coeficiente de rozamiento estáticofk : Fuerza de rozamiento cinético
Fuerza de Fricción, f
fs(max) =µs N
Región Estática Región Cinética
fs = Ffk = µk N
Fuerza aplicada al cuerpo, F
FUERZAS DE FRICCIÓN
F
f
N
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FUERZAS DE FRICCIÓNUn patinador (m=70 kg) empieza a descender por un plano inclinado 30º respecto a la horizontal, desde una altura de 2 m. Al final del plano hay un corte vertical debajo del cual existe un foso de anchura 5 m y cuyo nivel superior está a 10 m por debajo del final del plano. Si el coeficiente de fricción es de µ = 0,024, calcule:a ) La velocidad al final del plano.b ) La distancia del corte vertical a la que caerá. Supera l foso?c ) Velocidad mínima que debe tener al final del plano para salvarlo.
θ
d
h
L( )P 5,-10
AO
y
x 1N mgfDCL
A 1
θ=30º; h=2 m; d=10 m;L=5 m; v =0; = Nf µ
y' 1 1F 0 N -mgcosθ=0 N =35 3 N= ⇒ ⇒∑
( ) 2x'F ma mgsenθ- =ma a=g sen30º- cos30º =4,8 mf sµ= ⇒ ⇒∑
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FUERZAS DE FRICCIÓN
) ( )2 20 A 0 0 0
h ˆ ˆˆv = v +2as 2a 2·4,8·4=6,2 v v v 3,1 3 msen30º
a s= = ⇒ = = −i j
) ( ) ( )2 2 21p 0 0 02
ˆ ˆt t =3,1 3t - 3,1t+5t y =-10=- 3,1t +5t t 1,14sb ⇒ ⇒ ≈0 0r= r +v + g i j
( )p 0 px =3,1 3t 3,1 3 1,14 x =6,12 m= ⇒ salvael foso!
) ( ) ( )
( )
2
2 2m
2
m m2 2m
1 xc Ec. trayectoria: y=-tgθx- g ; x,y = L,-d2 v cos θ
1 L L g m-d=-tgθL- g v = v =4,84 s2 v cos θ cosθ 2 d-Ltgθ⇒ ⇒
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Ft : fuerza tangencial
FC : fuerza centrípeta
La fuerza centrípeta es perpendicular a la fuerza tangencial
FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR
ˆ2
CvF = m NR
dv ˆmdttF = T
+R t NF = F F
CF
RF
tF
m
R
T̂
N̂
28
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.
v ˆmR
2
CF = N
R NF = F
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FUERZAS EN MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
FUERZA CENTRÍPETAcc amF =
T TF = m a = c teFUERZA TANGENCIAL
FUERZA TOTAL
+R t NF = F F
ˆ2
CvF = m NR
d v ˆmdttF = T
Dirección centrípeta
R = Radio de la Circunferencia
taCa
aR
Dirección tangencial
El movimiento circular generalizado no restringe a la fuerza tangencial
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FUERZAS EN MOVIMIENTO CIRCULAR
Considere dos puntos –cada uno de masa 1 kg- sobre la superficie terrestre uno en el ecuador y otro en Lima (-12ºde latitud) . Para cada uno debido a la rotación de la Tierra (mT=5,96x1024 kg; RT = 6400 km), calcule:a) La velocidad y la aceleración.b) Fuerza normal.
) -5T
2π 2πa ω= = =7,27×10 rad s v=ωR =465,42 m sT 24·3600
⇒
-5 2a=ωv=7,27×10 ×465,42=0,034 m s
) ( )( ) N0,0340,0341maFFb NNTOTAL ====
31
Fuerza de Gravitación Universal
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Es la fuerza con la que los objetos en el universo se atraen debido a su masa.
G = 6,67 X 10-11 m3 kg-1 s-2
Ley de Gravitación Universal
( )1 22
m ·m ˆF=-G r Nr
Fr
r̂
1m
2m
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PESOEl peso es la fuerza de gravitación universal que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que hay sobre ella. Su magnitud es dependiente de la aceleración de gravedad g y de la masa m del cuerpo.
mgmg
T2T
M ·mF = G = mgR
m
2 2g=9,81 m s 10 m sEn la superficie terrestre
≈
T2T
Mg=GR
TRH
TM
( )T
2T
Mg=GR H+
NOTA
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•• BraheBrahe, a fines del siglo 16, fue el primer astrónomo que demostró la teoría heliocéntrica
• Hizo mediciones de la posición de los planetas con una precisión de 1 minuto de arco.
•• KeplerKepler, usó estos datos, los suyos y la geometría para determinar el movimiento de los planetas
Leyes de Kepler
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Las orbitas de los planetas son elípticas,con el Sol en uno de sus focos
•PRIMERA LEY
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Una línea que une el planeta con el Sol barre áreas Iguales en iguales intervalos de tiempo
constantedAd=
t
•SEGUNDA LEY
2d A 1 dθ 1 1r rv rvsenφd 2 d 2 2t t ⊥= = =
vr×=21
dAdt
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Descubierto en 1619, relaciona el periodo sideral con la longitud del semieje mayor.
El cuadrado del periodo de rotación de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor R1 ( ≈ radio medio ) de sus orbitas
3m
2 RkT =
Si T representa el periodo sideral en años y Rm el radio medio
Esta ley es válida para cualquier situación donde dos cuerpos orbitan entre sí.
•TERCERA LEY
( )1m 1 22R = R + R
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BIBLIOGRAFÍA
• SEARS F, ZEMANSKY M., et al, Física vol1, 9na ed., Addison Wesley Longman, Mexico, 1999.
• CEPREUNI, Apuntes de clase, 2004.• FIIS-UNI, prácticas y exámenes anteriores
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