Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
Parte 7. Derivacion e integracion numerica
Gustavo Montero
Escuela Tecnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad de Las Palmas de Gran Canaria
Curso 2004-2005
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
1 Introduccion a la derivacion e integracion numerica
2 Derivacion numerica
3 Integracion numerica
4 Formulas de Newton-Cotes
5 Formulas de cuadratura de Gauss
6 Formulas de cuadratura de compuestas
7 Resumen
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
Los problemas de derivacion e integracion numericaComentarios sobre diferencias divididas
1 Introduccion a la derivacion e integracion numerica
2 Derivacion numerica
3 Integracion numerica
4 Formulas de Newton-Cotes
5 Formulas de cuadratura de Gauss
6 Formulas de cuadratura de compuestas
7 Resumen
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
Los problemas de derivacion e integracion numericaComentarios sobre diferencias divididas
Los problemas de derivacion e integracion numerica
El problema de derivacion numericaSe trata de aproximar el valor de la derivada de una funcion f en un punto a,
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h; Casos particulares
8>>><>>>:
f ′(a) ≈1
hf (a + h)−
1
hf (a)
f ′(a) ≈1
2hf (a + h)−
1
2hf (a − h)
En general, f ′(a) =nX
i=1
αi f (xi ) + R(f )
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Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
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Los problemas de derivacion e integracion numericaComentarios sobre diferencias divididas
Los problemas de derivacion e integracion numerica
El problema de derivacion numericaSe trata de aproximar el valor de la derivada de una funcion f en un punto a,
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h; Casos particulares
8>>><>>>:
f ′(a) ≈1
hf (a + h)−
1
hf (a)
f ′(a) ≈1
2hf (a + h)−
1
2hf (a − h)
En general, f ′(a) =nX
i=1
αi f (xi ) + R(f )
El problema de integracion numericaSe trata de aproximar el valor de la integral de f (x) definida en [a, b],
Z b
af (x) dx =
Z c
af (x) dx +
Z b
cf (x) dx ≈ (c − a)f (a) + (b − c)f (b)
En general,Z b
af (x)dx =
nXi=1
αi f (xi ) + R(f )
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Los problemas de derivacion e integracion numericaComentarios sobre diferencias divididas
Comentarios sobre diferencias divididas
Calculo de derivadasSea x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn ,
Si x0 6= xn : f [x0, . . . , xn ] =f [x0, . . . , xn−1]− f [x1, . . . , xn ]
x0 − xn
Si x0 = xn : f [x0, . . . , xn ] =f (n(x0)
n!
Entonces si,g(x) = f [x0, . . . , xn, x]
segun lo anterior,
g′(x) = f [x0, . . . , xn, x, x]
g′′(x) = 2!f [x0, . . . , xn, x, x, x]
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·g (n(x) = n!f [x0, . . . , xn, x, x, . . . , x| {z }
n+1
]
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Formulas de tipo interpolatorioResolucion del problemaEstudio del errorFormulas usuales de derivacion numerica
1 Introduccion a la derivacion e integracion numerica
2 Derivacion numerica
3 Integracion numerica
4 Formulas de Newton-Cotes
5 Formulas de cuadratura de Gauss
6 Formulas de cuadratura de compuestas
7 Resumen
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
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Formulas de tipo interpolatorioResolucion del problemaEstudio del errorFormulas usuales de derivacion numerica
Formulas de tipo interpolatorio
Construccion de los polinomios de LagrangeSea f definida en [a, b], derivable en c ∈ [a, b]. Entonces si,
f (x) = p(x) + e(x) ⇒ f ′(c) = p′(c) + e′(c)
Si p(x) es el polinomio de Lagrange,
f ′(c) =nX
i=0
l′i (c)|{z}αi
f (xi ) + e′(c)| {z }R(f )
(exacta si e′(c) = 0)
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Formulas de tipo interpolatorioResolucion del problemaEstudio del errorFormulas usuales de derivacion numerica
Formulas de tipo interpolatorio
Construccion de los polinomios de LagrangeSea f definida en [a, b], derivable en c ∈ [a, b]. Entonces si,
f (x) = p(x) + e(x) ⇒ f ′(c) = p′(c) + e′(c)
Si p(x) es el polinomio de Lagrange,
f ′(c) =nX
i=0
l′i (c)|{z}αi
f (xi ) + e′(c)| {z }R(f )
(exacta si e′(c) = 0)
TeoremaEsta formula de tipo interpolatorio es exacta para todo polinomio de grado no mayor que n.
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Formulas de tipo interpolatorioResolucion del problemaEstudio del errorFormulas usuales de derivacion numerica
Resolucion del problema
Derivacion del polinomio de Lagrange
Calcular los li (x) y entonces hacer αi = l′i (c)
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Formulas de tipo interpolatorioResolucion del problemaEstudio del errorFormulas usuales de derivacion numerica
Resolucion del problema
Derivacion del polinomio de Lagrange
Calcular los li (x) y entonces hacer αi = l′i (c)
Formula exacta para 1, x , x2, . . . , xn
Resolver,
0 = α0 + α1 + · · · + αn
1 = α0x0 + α1x1 + · · · + αnxn
2c = α0x20 + α1x2
1 + · · · + αnx2n
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·ncn−1 = α0xn
0 + α1xn1 + · · · + αnxn
n
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Formulas de tipo interpolatorioResolucion del problemaEstudio del errorFormulas usuales de derivacion numerica
Estudio del error
En la derivacion de primer orden
Si e(x) es de clase Cn+1 en [a, b],
e(x) = f [x0, . . . , xn, x]nY
i=0
(x − xi )
| {z }Q
(x)
=f (n+1(ξ)
(n + 1)!
Y(x)
entonces,
e′(c) = f [x0, . . . , xn, c, c]Y
(x) + f [x0, . . . , xn, c]Y ′(c) =
f (n+2(ξ)
(n + 2)!
Y(c) +
f (n+1(η)
(n + 1)!
Y ′(c)
ξ, η ∈ [a, b]
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Formulas de tipo interpolatorioResolucion del problemaEstudio del errorFormulas usuales de derivacion numerica
Estudio del error
En la derivacion de primer orden
Si e(x) es de clase Cn+1 en [a, b],
e(x) = f [x0, . . . , xn, x]nY
i=0
(x − xi )
| {z }Q
(x)
=f (n+1(ξ)
(n + 1)!
Y(x)
entonces,
e′(c) = f [x0, . . . , xn, c, c]Y
(x) + f [x0, . . . , xn, c]Y ′(c) =
f (n+2(ξ)
(n + 2)!
Y(c) +
f (n+1(η)
(n + 1)!
Y ′(c)
ξ, η ∈ [a, b]
En derivadas de orden superiorSe utiliza en mismo procedimiento, derivando hasta el orden necesario
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Formulas de tipo interpolatorioResolucion del problemaEstudio del errorFormulas usuales de derivacion numerica
Derivadas de primer orden
Formulas de 2 puntos
c, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c)
hR(f ) = −
h
2f ′′(ξ)
c − h, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c − h)
2hR(f ) = −
h2
6f ′′′(ξ)
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Formulas de tipo interpolatorioResolucion del problemaEstudio del errorFormulas usuales de derivacion numerica
Derivadas de primer orden
Formulas de 2 puntos
c, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c)
hR(f ) = −
h
2f ′′(ξ)
c − h, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c − h)
2hR(f ) = −
h2
6f ′′′(ξ)
Formulas de 3 puntos
c, c + h, c + 2h f ′(c) =−f (c + 2h) + 4f (c + h)− 3f (c)
2hR(f ) =
h2
3f ′′′(ξ)
c − h, c, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c − h)
2hR(f ) = −
h2
6f ′′′(ξ),
(igual que con dos puntos)
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Formulas de tipo interpolatorioResolucion del problemaEstudio del errorFormulas usuales de derivacion numerica
Derivadas de primer orden
Formulas de 2 puntos
c, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c)
hR(f ) = −
h
2f ′′(ξ)
c − h, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c − h)
2hR(f ) = −
h2
6f ′′′(ξ)
Formulas de 3 puntos
c, c + h, c + 2h f ′(c) =−f (c + 2h) + 4f (c + h)− 3f (c)
2hR(f ) =
h2
3f ′′′(ξ)
c − h, c, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c − h)
2hR(f ) = −
h2
6f ′′′(ξ),
(igual que con dos puntos)
Formula de 4 puntos
c − 2h, c − h, c + h, c + 2h f ′(c) =−f (c + 2h) + 8f (c + h)− 8f (c − h) + f (c − 2h)
12hR(f ) =
h4
30f v (ξ)
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Formulas de tipo interpolatorioResolucion del problemaEstudio del errorFormulas usuales de derivacion numerica
Derivadas de orden superior
Formulas de 3 puntos
c, c + h, c + 2h f ′′(c) =f (c + 2h)− 2f (c + h) + f (c)
h2R(f ) = −hf ′′′(ξ)
c − h, c, c + h f ′′(c) =f (c + h)− 2f (c) + f (c − h)
h2R(f ) = −
h2
12f iv (ξ)
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Formulas de tipo interpolatorioFormulas usuales de integracion numerica
1 Introduccion a la derivacion e integracion numerica
2 Derivacion numerica
3 Integracion numerica
4 Formulas de Newton-Cotes
5 Formulas de cuadratura de Gauss
6 Formulas de cuadratura de compuestas
7 Resumen
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
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Formulas de tipo interpolatorioFormulas usuales de integracion numerica
Formulas de tipo interpolatorio
Construccion de los polinomios de LagrangeSea f (x) definida en [a, b]. Entonces si
f (x) = p(x) + e(x)
se tiene que, Z b
af (x) dx =
Z b
ap(x) dx +
Z b
ae(x) dx =
nXi=0
f (xi )
Z b
ali (x) dx
| {z }αi
+
Z b
ae(x) dx
| {z }R(f )
siendo p(x) el polinomio de Lagrange.Esta formula se denomina cuadratura de tipo interpolatorio.
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Formulas de tipo interpolatorioFormulas usuales de integracion numerica
Formulas de tipo interpolatorio
Construccion de los polinomios de LagrangeSea f (x) definida en [a, b]. Entonces si
f (x) = p(x) + e(x)
se tiene que, Z b
af (x) dx =
Z b
ap(x) dx +
Z b
ae(x) dx =
nXi=0
f (xi )
Z b
ali (x) dx
| {z }αi
+
Z b
ae(x) dx
| {z }R(f )
siendo p(x) el polinomio de Lagrange.Esta formula se denomina cuadratura de tipo interpolatorio.
Estudio del error
R(f ) =
Z b
ae(x) dx =
Z b
af [x0, x1, . . . , xn, x]
Y(x) dx
Aplicando el segundo teorema de la media del Calculo Integral:Sea g integrable y no cambia de signo en [a, b], y sea f continua en [a, b]. Entonces,
Z b
af (x)g(x) dx = f (ξ)
Z b
ag(x) dx, ξ ∈ [a, b]
resulta
R(f ) = f [x0, x1, . . . , xn, ξ]
Z b
a
Y(x) dx =
f (n+1(η)
(n + 1)!
Z b
a
Y(x) dx η ∈ [a, b]
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Formulas de tipo interpolatorioFormulas usuales de integracion numerica
Formulas usuales de integracion numerica
Formulas de 1 punto
x0 = aR ba f (x) dx = (b − a)f (a) R(f ) =
(b − a)2
2f ′(ξ)
x0 = bR ba f (x) dx = (b − a)f (b) R(f ) = −
(b − a)2
2f ′(ξ)
x0 =a + b
2
R ba f (x) dx = (b − a)f (
a + b
2) R(f ) =
(b − a)3
24f ′′(ξ)
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Formulas de tipo interpolatorioFormulas usuales de integracion numerica
Formulas usuales de integracion numerica
Formulas de 1 punto
x0 = aR ba f (x) dx = (b − a)f (a) R(f ) =
(b − a)2
2f ′(ξ)
x0 = bR ba f (x) dx = (b − a)f (b) R(f ) = −
(b − a)2
2f ′(ξ)
x0 =a + b
2
R ba f (x) dx = (b − a)f (
a + b
2) R(f ) =
(b − a)3
24f ′′(ξ)
Formula de 2 puntos (Formula del trapecio)
x0 = a, x1 = bR ba f (x) dx =
(b − a)
2(f (b) + f (a)) R(f ) = −
(b − a)3
12f ′′(ξ)
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Obtencion de las formulas de Newton-Cotes
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4 Formulas de Newton-Cotes
5 Formulas de cuadratura de Gauss
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7 Resumen
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Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
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Obtencion de las formulas de Newton-Cotes
Obtencion de las formulas de Newton-Cotes
Formulas abiertas y formulas cerradasLas formulas de Newton-Cotes resultan de utilizar como puntos de integracion los xi que se obtienen dividiendo elintervalo [a, b] en partes iguales,
x0 = a h =b − a
nxj = x0 + h j j = 0, 1, 2, . . . , n
Si consideramos xj , ∀j = 0, 1, . . . , n ⇒ Formulas de Newton-Cotes cerradas
Si consideramos xj , ∀j = 1, . . . , n − 1 ⇒ Formulas de Newton-Cotes abiertas
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Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
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Obtencion de las formulas de Newton-Cotes
Obtencion de las formulas de Newton-Cotes
Formulas abiertas y formulas cerradasLas formulas de Newton-Cotes resultan de utilizar como puntos de integracion los xi que se obtienen dividiendo elintervalo [a, b] en partes iguales,
x0 = a h =b − a
nxj = x0 + h j j = 0, 1, 2, . . . , n
Si consideramos xj , ∀j = 0, 1, . . . , n ⇒ Formulas de Newton-Cotes cerradas
Si consideramos xj , ∀j = 1, . . . , n − 1 ⇒ Formulas de Newton-Cotes abiertas
Formulas cerradas2 puntos (n = 1)⇒ Formula del trapecio
3 puntos (n = 2)⇒ F. de SimpsonR ba f (x) dx =
b − a
6[f0 + 4f1 + f2] R(f ) = −
h5
90f iv (ξ)
4 puntos (n = 3)R ba f (x) dx =
b − a
8[f0 + 3f1 + 3f2 + f3] R(f ) = −
3h5
80f iv (ξ)
5 puntos (n = 4)R ba f (x) dx =
b − a
90[7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4] R(f ) = −
8h7
945f vi (ξ)
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Obtencion de las formulas de Newton-Cotes
Obtencion de las formulas de Newton-Cotes
Formulas abiertas y formulas cerradasLas formulas de Newton-Cotes resultan de utilizar como puntos de integracion los xi que se obtienen dividiendo elintervalo [a, b] en partes iguales,
x0 = a h =b − a
nxj = x0 + h j j = 0, 1, 2, . . . , n
Si consideramos xj , ∀j = 0, 1, . . . , n ⇒ Formulas de Newton-Cotes cerradas
Si consideramos xj , ∀j = 1, . . . , n − 1 ⇒ Formulas de Newton-Cotes abiertas
Formulas cerradas2 puntos (n = 1)⇒ Formula del trapecio
3 puntos (n = 2)⇒ F. de SimpsonR ba f (x) dx =
b − a
6[f0 + 4f1 + f2] R(f ) = −
h5
90f iv (ξ)
4 puntos (n = 3)R ba f (x) dx =
b − a
8[f0 + 3f1 + 3f2 + f3] R(f ) = −
3h5
80f iv (ξ)
5 puntos (n = 4)R ba f (x) dx =
b − a
90[7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4] R(f ) = −
8h7
945f vi (ξ)
Formulas abiertas1 puntos (n = 2)⇒ Formula del punto medio
2 puntos (n = 3)R ba f (x) dx =
b − a
2[f1 + f2] R(f ) = −
3h3
4f ′′(ξ)
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IntroduccionFormulas de cuadratura de GaussFormulas de Gauss con funcion de peso
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2 Derivacion numerica
3 Integracion numerica
4 Formulas de Newton-Cotes
5 Formulas de cuadratura de Gauss
6 Formulas de cuadratura de compuestas
7 Resumen
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IntroduccionFormulas de cuadratura de GaussFormulas de Gauss con funcion de peso
Introduccion
DefinicionConsideremos, Z b
af (x) dx =
nXj=0
aj f (xj ) + R(f )
con aj =R ba lj (x) dx y lj (x) =
Qni=0i 6=j
x − xj
xi − xj
(formula exacta para 1, x, x2, . . . , xn).
Vamos a elegir convenientemente los puntos xi tal que la formula sea exacta para 1, x, x2, . . . , xm , con m > n,calculando asimismo cual es el mayor valor de m.
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IntroduccionFormulas de cuadratura de GaussFormulas de Gauss con funcion de peso
Introduccion
DefinicionConsideremos, Z b
af (x) dx =
nXj=0
aj f (xj ) + R(f )
con aj =R ba lj (x) dx y lj (x) =
Qni=0i 6=j
x − xj
xi − xj
(formula exacta para 1, x, x2, . . . , xn).
Vamos a elegir convenientemente los puntos xi tal que la formula sea exacta para 1, x, x2, . . . , xm , con m > n,calculando asimismo cual es el mayor valor de m.
Exactitud de la formulaLa formula de cuadratura anterior es exacta para todo polinomio de grado no mayor que n + q (q ≥ 1) si y solo si,R b
a
Q(x) xk dx = 0, con k = 0, 1, . . . , q − 1 y
Q(x) =
Qni=0 (x − xi ).
La formula es de tipo interpolatorio.
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Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
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IntroduccionFormulas de cuadratura de GaussFormulas de Gauss con funcion de peso
Formulas de cuadratura de Gauss
TeoremasNo existe ninguna formula del tipo de la anterior exacta para todos los polinomios de grado 2n + 2
Existen n + 1 unicos puntos en la recta real tales que al formar con ellos una formula de cuadratura de tipointerpolatorio como la anterior, dicha formula es exacta para todos los polinomios de grado no mayor que2n + 1. Tales puntos pertenecen a [a, b].
Esta unica formula se denomina Formula de Cuadratura de Gauss o Gaussiana.
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IntroduccionFormulas de cuadratura de GaussFormulas de Gauss con funcion de peso
Formulas de cuadratura de Gauss
TeoremasNo existe ninguna formula del tipo de la anterior exacta para todos los polinomios de grado 2n + 2
Existen n + 1 unicos puntos en la recta real tales que al formar con ellos una formula de cuadratura de tipointerpolatorio como la anterior, dicha formula es exacta para todos los polinomios de grado no mayor que2n + 1. Tales puntos pertenecen a [a, b].
Esta unica formula se denomina Formula de Cuadratura de Gauss o Gaussiana.
ComentariosExisten tablas para las integrales definidas en [−1, 1]. En caso de integrales definidas en el intervalo
[a, b] 6= [−1, 1], se realiza el cambio de variables x =b − a
2t +
b + a
2, resultando
Z b
af (x) dx =
Z 1
−1g(t) dt
Las formulas de Gauss tienen la siguiente propiedad de la que carecen las de Newton-Cotes,
limn→∞
nXi=0
ainf (xin) =
Z b
af (x) dx
Cuando f ∈ C2n+2 ([a, b]),
R(f ) =f (2n+2(ξ)
(2n + 2)!
Z b
a
�Y(x)�2
dx ξ ∈ [a, b]
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IntroduccionFormulas de cuadratura de GaussFormulas de Gauss con funcion de peso
Formulas de Gauss con funcion de peso
DefinicionSupongamos una integral de la forma,Z b
aω(x) f (x) dx con ω(x) continua y estrictamente positiva en [a, b]
Todo el desarrollo anterior es valido excepto que,
aj =
Z b
aω(x) lj (x) dx y
Z b
aω(x)
Y(x) xk dx = 0
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Formulas de cuadratura de compuestasResumen
IntroduccionFormulas de cuadratura de GaussFormulas de Gauss con funcion de peso
Formulas de Gauss con funcion de peso
DefinicionSupongamos una integral de la forma,Z b
aω(x) f (x) dx con ω(x) continua y estrictamente positiva en [a, b]
Todo el desarrollo anterior es valido excepto que,
aj =
Z b
aω(x) lj (x) dx y
Z b
aω(x)
Y(x) xk dx = 0
Gauss-LegendreZ 1
−1f (x) dx (ω(x) = 1)
n xi ωi2 ±0.57735 1.0000003 0 0.888889
±0.774597 0.5555564 ±0.339981 0.652145
±0.861136 0.3478555 0 0.568889
±0.538469 0.478629±0.90618 0.236927
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
IntroduccionFormulas de cuadratura de GaussFormulas de Gauss con funcion de peso
Formulas de Gauss con funcion de peso
DefinicionSupongamos una integral de la forma,Z b
aω(x) f (x) dx con ω(x) continua y estrictamente positiva en [a, b]
Todo el desarrollo anterior es valido excepto que,
aj =
Z b
aω(x) lj (x) dx y
Z b
aω(x)
Y(x) xk dx = 0
Gauss-LegendreZ 1
−1f (x) dx (ω(x) = 1)
n xi ωi2 ±0.57735 1.0000003 0 0.888889
±0.774597 0.5555564 ±0.339981 0.652145
±0.861136 0.3478555 0 0.568889
±0.538469 0.478629±0.90618 0.236927
Gauss-ChebyshevZ 1
−1
f (x)p1− x2
dx (ω(x) =1p
1− x2)
n xi ωi2 ±0.707107 1.57083 0 1.0472
±0.866025 1.04724 ±0.382683 0.785398
±0.92388 0.7853985 0 0.628319
±0.587785 0.628319±0.951057 0.628319
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
IntroduccionFormulas de cuadratura de GaussFormulas de Gauss con funcion de peso
Formulas de Gauss con funcion de peso
Gauss-LaguerreZ ∞
0e−x f (x) dx (ω(x) = e−x )
n xi ωi2 0.585786 0.853553
3.41421 0.1464473 0.415775 0.711093
2.29428 0.2785186.28995 0.0103893
4 0.322548 0.6031541.74576 0.3574194.53662 0.03888799.39507 0.000539295
5 0.26356 0.5217561.4134 0.3986673.59643 0.07594247.08581 0.0036117612.6408 0.00002337
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
IntroduccionFormulas de cuadratura de GaussFormulas de Gauss con funcion de peso
Formulas de Gauss con funcion de peso
Gauss-LaguerreZ ∞
0e−x f (x) dx (ω(x) = e−x )
n xi ωi2 0.585786 0.853553
3.41421 0.1464473 0.415775 0.711093
2.29428 0.2785186.28995 0.0103893
4 0.322548 0.6031541.74576 0.3574194.53662 0.03888799.39507 0.000539295
5 0.26356 0.5217561.4134 0.3986673.59643 0.07594247.08581 0.0036117612.6408 0.00002337
Gauss-HermiteZ ∞−∞
e−x2f (x) dx (ω(x) = e−x2
)
n xi ωi2 ±0.7071067812 0.886226933 0 1.1816359
±1.2247448714 0.295408984 ±0.5246476233 0.80491409
±1.6506801239 0.0813128355 0 0.94530872
±0.9585724646 0.39361932±2.0201828705 0.019953242
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
IntroduccionFormulas mas usualesError en las formulas de cuadratura compuestas
1 Introduccion a la derivacion e integracion numerica
2 Derivacion numerica
3 Integracion numerica
4 Formulas de Newton-Cotes
5 Formulas de cuadratura de Gauss
6 Formulas de cuadratura de compuestas
7 Resumen
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
IntroduccionFormulas mas usualesError en las formulas de cuadratura compuestas
Introduccion
MotivacionCuando el intervalo de integracion es grande,
Se comete un error considerable en las formulas de integracion.
Los coeficientes de la formula de Newton son tambien grandes y se producen grandes errores de redondeo.
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
IntroduccionFormulas mas usualesError en las formulas de cuadratura compuestas
Introduccion
MotivacionCuando el intervalo de integracion es grande,
Se comete un error considerable en las formulas de integracion.
Los coeficientes de la formula de Newton son tambien grandes y se producen grandes errores de redondeo.
EstrategiaVamos a dividir el intervalo de integracion en varios subintervalos y a aplicar a cada subintervalo una formula deintegracion sencilla.
La suma de resultados genera una Formula de Cuadratura Compuesta.
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
IntroduccionFormulas mas usualesError en las formulas de cuadratura compuestas
Formulas mas usuales
Descomposicion de una integral ensuma de integralesConsideremos una integral en [a, b] como suma de integralesen n subintervalos,
Z b
af (x) dx =
n−1Xj=0
Z xj+1
xj
f (x) dx
siendo x0 = a, xn = b, xj+1 − xj = h
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
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IntroduccionFormulas mas usualesError en las formulas de cuadratura compuestas
Formulas mas usuales
Descomposicion de una integral ensuma de integralesConsideremos una integral en [a, b] como suma de integralesen n subintervalos,
Z b
af (x) dx =
n−1Xj=0
Z xj+1
xj
f (x) dx
siendo x0 = a, xn = b, xj+1 − xj = h
Con la formula del trapecioZ xj+1
xj
f (x) dx ≈h
2
�fj + fj+1
�
Z b
af (x) dx ≈
h
2
24f0 + 2
n−1Xj=1
fj + fn
35
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
IntroduccionFormulas mas usualesError en las formulas de cuadratura compuestas
Formulas mas usuales
Descomposicion de una integral ensuma de integralesConsideremos una integral en [a, b] como suma de integralesen n subintervalos,
Z b
af (x) dx =
n−1Xj=0
Z xj+1
xj
f (x) dx
siendo x0 = a, xn = b, xj+1 − xj = h
Con la formula del trapecioZ xj+1
xj
f (x) dx ≈h
2
�fj + fj+1
�
Z b
af (x) dx ≈
h
2
24f0 + 2
n−1Xj=1
fj + fn
35
Con la formula de SimpsonZ xj+1
xj
f (x) dx ≈h
6
hfj + 4fj+1/2 + fj+1
i
Z b
af (x) dx ≈
h
6
24f0 + 4
n−1Xj=0
fj+1/2 + 2
n−1Xj=1
fj + fn
35
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
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IntroduccionFormulas mas usualesError en las formulas de cuadratura compuestas
Formulas mas usuales
Descomposicion de una integral ensuma de integralesConsideremos una integral en [a, b] como suma de integralesen n subintervalos,
Z b
af (x) dx =
n−1Xj=0
Z xj+1
xj
f (x) dx
siendo x0 = a, xn = b, xj+1 − xj = h
Con la formula del trapecioZ xj+1
xj
f (x) dx ≈h
2
�fj + fj+1
�
Z b
af (x) dx ≈
h
2
24f0 + 2
n−1Xj=1
fj + fn
35
Con la formula de SimpsonZ xj+1
xj
f (x) dx ≈h
6
hfj + 4fj+1/2 + fj+1
i
Z b
af (x) dx ≈
h
6
24f0 + 4
n−1Xj=0
fj+1/2 + 2
n−1Xj=1
fj + fn
35
Con la formula del rectanguloZ xj+1
xj
f (x) dx ≈ h fj
Z b
af (x) dx ≈ h
n−1Xj=0
fj
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Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
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IntroduccionFormulas mas usualesError en las formulas de cuadratura compuestas
Error en las formulas de cuadratura compuestas
TeoremaSi f es continua en [a, b], ξi ∈ [a, b] parai = 1, 2, . . . , n, αi ∈ R, αi 6= 0 para i = 1, 2, . . . , n,y α =
Pni=1 αi , entonces ∃ξ ∈ [a, b] tal que
nXi=1
αi f (ξi ) = αf (ξ)
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Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
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IntroduccionFormulas mas usualesError en las formulas de cuadratura compuestas
Error en las formulas de cuadratura compuestas
TeoremaSi f es continua en [a, b], ξi ∈ [a, b] parai = 1, 2, . . . , n, αi ∈ R, αi 6= 0 para i = 1, 2, . . . , n,y α =
Pni=1 αi , entonces ∃ξ ∈ [a, b] tal que
nXi=1
αi f (ξi ) = αf (ξ)
Con la formula del trapecio
Rj (f ) = −h3
12f ′′(ξj )
R(f ) = −b − a
12h2f ′′(ξ)
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
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IntroduccionFormulas mas usualesError en las formulas de cuadratura compuestas
Error en las formulas de cuadratura compuestas
TeoremaSi f es continua en [a, b], ξi ∈ [a, b] parai = 1, 2, . . . , n, αi ∈ R, αi 6= 0 para i = 1, 2, . . . , n,y α =
Pni=1 αi , entonces ∃ξ ∈ [a, b] tal que
nXi=1
αi f (ξi ) = αf (ξ)
Con la formula del trapecio
Rj (f ) = −h3
12f ′′(ξj )
R(f ) = −b − a
12h2f ′′(ξ)
Con la formula de Simpson
Rj (f ) = −h5
90f iv (ξj )
R(f ) = −b − a
180h4f iv (ξ)
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
IntroduccionFormulas mas usualesError en las formulas de cuadratura compuestas
Error en las formulas de cuadratura compuestas
TeoremaSi f es continua en [a, b], ξi ∈ [a, b] parai = 1, 2, . . . , n, αi ∈ R, αi 6= 0 para i = 1, 2, . . . , n,y α =
Pni=1 αi , entonces ∃ξ ∈ [a, b] tal que
nXi=1
αi f (ξi ) = αf (ξ)
Con la formula del trapecio
Rj (f ) = −h3
12f ′′(ξj )
R(f ) = −b − a
12h2f ′′(ξ)
Con la formula de Simpson
Rj (f ) = −h5
90f iv (ξj )
R(f ) = −b − a
180h4f iv (ξ)
Con la formula del rectangulo
Rj (f ) =h2
2f ′(ξj )
R(f ) = −b − a
2h f ′(ξ)
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
1 Introduccion a la derivacion e integracion numerica
2 Derivacion numerica
3 Integracion numerica
4 Formulas de Newton-Cotes
5 Formulas de cuadratura de Gauss
6 Formulas de cuadratura de compuestas
7 Resumen
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
Resumen
Podemos encontrar una formula de tipo interpolatorio de derivacion numericatan precisa como se desee, si podemos emplear un numero de puntos tan grandecomo se quiera. El error cometido viene dado en funcion de la amplitud de lossubintervalos.
Lo mismo se puede decir de las formulas de tipo interpolatorio de integracionnumerica.
Las formulas de Newton-Cotes de n + 1 puntos son exactas para polinomios degrado no mayor que n.
Las formulas de Cuadratura Gaussina de n + 1 puntos pueden integrar de formaexacta polinomios de grado no mayor que 2n + 1.
En intervalos grandes, las formulas de cuadratura compuestas reducenconsiderablemente el error cometido por las formulas simples.
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
Resumen
Podemos encontrar una formula de tipo interpolatorio de derivacion numericatan precisa como se desee, si podemos emplear un numero de puntos tan grandecomo se quiera. El error cometido viene dado en funcion de la amplitud de lossubintervalos.
Lo mismo se puede decir de las formulas de tipo interpolatorio de integracionnumerica.
Las formulas de Newton-Cotes de n + 1 puntos son exactas para polinomios degrado no mayor que n.
Las formulas de Cuadratura Gaussina de n + 1 puntos pueden integrar de formaexacta polinomios de grado no mayor que 2n + 1.
En intervalos grandes, las formulas de cuadratura compuestas reducenconsiderablemente el error cometido por las formulas simples.
Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica
Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
Formulas de cuadratura de compuestasResumen
Resumen
Podemos encontrar una formula de tipo interpolatorio de derivacion numericatan precisa como se desee, si podemos emplear un numero de puntos tan grandecomo se quiera. El error cometido viene dado en funcion de la amplitud de lossubintervalos.
Lo mismo se puede decir de las formulas de tipo interpolatorio de integracionnumerica.
Las formulas de Newton-Cotes de n + 1 puntos son exactas para polinomios degrado no mayor que n.
Las formulas de Cuadratura Gaussina de n + 1 puntos pueden integrar de formaexacta polinomios de grado no mayor que 2n + 1.
En intervalos grandes, las formulas de cuadratura compuestas reducenconsiderablemente el error cometido por las formulas simples.
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Resumen
Podemos encontrar una formula de tipo interpolatorio de derivacion numericatan precisa como se desee, si podemos emplear un numero de puntos tan grandecomo se quiera. El error cometido viene dado en funcion de la amplitud de lossubintervalos.
Lo mismo se puede decir de las formulas de tipo interpolatorio de integracionnumerica.
Las formulas de Newton-Cotes de n + 1 puntos son exactas para polinomios degrado no mayor que n.
Las formulas de Cuadratura Gaussina de n + 1 puntos pueden integrar de formaexacta polinomios de grado no mayor que 2n + 1.
En intervalos grandes, las formulas de cuadratura compuestas reducenconsiderablemente el error cometido por las formulas simples.
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Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
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Resumen
Podemos encontrar una formula de tipo interpolatorio de derivacion numericatan precisa como se desee, si podemos emplear un numero de puntos tan grandecomo se quiera. El error cometido viene dado en funcion de la amplitud de lossubintervalos.
Lo mismo se puede decir de las formulas de tipo interpolatorio de integracionnumerica.
Las formulas de Newton-Cotes de n + 1 puntos son exactas para polinomios degrado no mayor que n.
Las formulas de Cuadratura Gaussina de n + 1 puntos pueden integrar de formaexacta polinomios de grado no mayor que 2n + 1.
En intervalos grandes, las formulas de cuadratura compuestas reducenconsiderablemente el error cometido por las formulas simples.
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Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss
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Resumen
Podemos encontrar una formula de tipo interpolatorio de derivacion numericatan precisa como se desee, si podemos emplear un numero de puntos tan grandecomo se quiera. El error cometido viene dado en funcion de la amplitud de lossubintervalos.
Lo mismo se puede decir de las formulas de tipo interpolatorio de integracionnumerica.
Las formulas de Newton-Cotes de n + 1 puntos son exactas para polinomios degrado no mayor que n.
Las formulas de Cuadratura Gaussina de n + 1 puntos pueden integrar de formaexacta polinomios de grado no mayor que 2n + 1.
En intervalos grandes, las formulas de cuadratura compuestas reducenconsiderablemente el error cometido por las formulas simples.