Peluruhan Pion Berdasarkan Teori PerturbasiChiral
Skripsi
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains
Nofirwan0398020493
Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
Depok2004
Lembar Persetujuan
Judul Skripsi : Peluruhan Pion Berdasarkan Teori Perturbasi Chiral
Nama : Nofirwan
NPM : 0398020493
Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui
Depok, 7 Juni 2004
Mengesahkan
Pembimbing I Pembimbing II
Dr. Terry Mart
Penguji I Penguji II
Dr. L.T. Handoko Dr. Anto Sulaksono
Gambar 1: Foto Tunangan
iii
Kata Pengantar
Alhamdulillah, puji syukur ke hadirat Allah SWT, atas selesainya penyusunan skrip-
si ini sebagai syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains.
Skripsi ini merupakan rangkaian terakhir dari sekian banyak tugas yang penulis
harus jalani ketika menempuh pendidikan di Departemen Fisika UI. Topik penelitian
yang penulis angkat pada kesempatan kali ini adalah mengenai neutrino. Topik ini
cukup menarik karena beberapa tahun belakangan ini banyak dibicarakan mengenai
neutrino bermassa yang tentu berlawanan dengan konsep dalam Standard Model.
Pada kesempatan kali ini penulis tak lupa mengucapkan terima kasih kepada Dr.
L. T. Handoko dan Dr. Terry Mart yang telah dengan sabar membimbing penulis
dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis menyampaikan apresiasi yang setinggi-
tingginya kepada mereka berdua. Juga kepada penguji penulis, Dr. Na Peng Bo dan
Dr. Muhammad Hikam atas masukannya, dan kepada Dr. Anto Sulaksono dan Dr.
Chairul Bahri untuk diskusi-diskusi yang menarik dan juga untuk bantuan literatur.
Penulis menyadari bahwa tidak ada kesuksesan yang diraih tanpa dukungan
dari rekan-rekan penulis. Oleh karena itu penulis tak lupa mengucapkan terima
kasih kepada para kolega penulis di grup fisika nuklir dan partikel dan teman-teman
penulis lainnya di Departemen Fisika UI, khususnya angkatan ’99 untuk saat-saat
menyenangkan selama kuliah.
Pada akhirnya, penulis mengucapkan terima kasih kepada kedua orang tua dan
adik-adik penulis atas dukungan dan doanya selama ini. Semoga Allah SWT mem-
balas kebaikan kalian semua.
Tiada diskusi melainkan pengayaan pemikiran dan perenungan. Terus berpikir
berarti terus hidup. Sedangkan terus berpikir dan berbuat berarti hidup dalam ke-
sejatian.
iii
Nofirwan
iv
Abstrak
Diberikan elemen-elemen utama dan metode-metode dari teori perturbasi chiral
(ChPT), teori medan efektif dari Standard Model menurut skala kerusakan simetri
chiral secara spontan. Dasar teori ini adalah simetri global SU(3)L×SU(3)R×U(1)V
dari Lagrangian QCD dalam batas quark u, d, dan s tak bermassa, diasumsikan se-
cara spontan rusak ke SU(3)V×U(1)V yang menghasilkan delapan boson Goldstone
tak bermassa. Teori medan efektif memperkenalkan Lagrangian efektif dengan orde
terendah yang akan digunakan untuk menerangkan proses pada peluruhan pion.
Kata kunci: chiral.
Abstract
The main elements and methods of chiral perturbation theory, the effective field
theory of the Standard Model below the scale of sponaneous chiral symmetry break-
ing, are summarized. The basis of ChPT is the global SU(3)L×SU(3)R×U(1)V
symmetry of the QCD Lagrangian in the limit of massless u, d, and s quarks, is
assumed to be spontaneously broken down to SU(3)V×U(1)V giving rise to eight
massless Goldstone bosons. The effective field theory, introducing to the effective
Lagrangian at lowest order is used to describe pion decay processes.
Keywords: chiral.
v
Daftar Isi
Kata Pengantar iii
Abstrak v
Daftar Isi vi
Daftar Tabel viii
Daftar Gambar ix
1 Pendahuluan 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Tinjauan Pustaka 5
2.1 Quantum Electrodynamics (QED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Quantum Chromodynamics (QCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Beberapa Sifat pada SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Lagrangian QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Simetri Chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Medan quark Left-Handed dan Right-Handed . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Teorema Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 Arus Simetri Global dari Sektor Quark Ringan . . . . . . . . . 19
2.3.4 Aljabar Chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.5 QCD Dalam Kehadiran Medan-medan Eksternal . . . . . . . . 24
vi
3 Kerusakan Simetri Spontan dan Lagrangian Efektif 30
3.1 Kerusakan Simetri Chiral Karena Suku Massa Quark . . . . . . . . . 30
3.2 Kerusakan Spontan Dari Simetri Global, Kontinu, Non-Abelian . . . 33
3.3 Teorema Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Kerusakan Simetri Spontan Dalam QCD . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.1 Spektrum Hadron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.2 Condensate Quark skalar 〈qq〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Lagrangian Efektif Orde Terendah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 Konstruksi Lagrangian Efektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Hasil dan Pembahasan 57
4.1 Peluruhan Pion π+ → µ+νµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Kesimpulan dan Saran 61
A Mekanika Kuantum Relativistik 62
A.1 Notasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.2 Aljabar Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B Transformasi Grup U(1),U(3) dan SU(3) 66
Daftar Acuan 67
vii
Daftar Tabel
2.1 Konstanta struktur anti-simetrik dari SU(3) yang seluruhnya tidak nol. 8
2.2 Simbol d dari simetri SU(3) yang seluruhnya tidak nol. . . . . . . . . 9
2.3 Flavor-flavor quark, muatan dan massa-massanya. Besar mutlak ms
ditentukan menggunakan aturan jumlah QCD. Hasil tersebut diberikan
untuk massa berlari MS pada skala µ = 1 GeV. Massa quark-quark
ringan dihasilkan dari rasio massa yang ditemukan menggunakan teori
perturbasi chiral, menggunakan massa quark strange sebagai ma-
sukan. Massa quark-quark berat mc dan mb masing -masing diten-
tukan oleh massa charmonium dan D, dan massa bottomium dan B. . 10
2.4 Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac Γ terhadap paritas. 25
2.5 Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac terhadap konju-
gasi muatan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1 Perbandingan kerusakan simetri spontan. . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Sifat-sifat transformasi terhadap grup (G), konjugasi muatan (C),
dan paritas (P ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
viii
Daftar Gambar
1 Foto Tunangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
3.1 Potential dua dimensi yang invarian terhadap rotasi: V(x, y) = −(x2+
y2) + (x2+y2)2
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 Peluruhan Pion π+ → µ+νµ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
ix
Bab 1
Pendahuluan
Sampai sekarang orang masih mencari tahu apa yang menjadi penyusun alam semes-
ta ini. Secara garis besar, partikel yang menyusun alam semesta dibagi menjadi dua
golongan, yaitu quark dan lepton. Quark dibedakan menjadi enam citarasa (fla-
vor) yaitu, u (up), d (down), s (strange), c (charm), t (top), dan b (bottom) yang
datang dengan tiga derajat kebebasan warna (color) dan bertransformasi sebagai
triplet menurut transformasi fundamental SU(3). Lepton terdiri atas elektron (νe, e),
muon (νµ, µ), dan tau (ντ , τ). Lepton terbagi menjadi dua kelas menurut muatan
listriknya, neutrino netral νe, νµ, ντ dan yang bermuatan negatif e−, µ−, τ−. Selain
lepton ada juga yang dinamakan meson dan baryon. Meson memiliki massa yang
terletak di antara massa lepton dan massa baryon. Partikel-partikel di atas dapat
saling berinteraksi melalui empat interaksi dasar, yaitu interaksi elektromagnetik,
lemah, kuat, dan gravitasi. Meson memiliki spin nol atau satu sedangkan baryon
memiliki spin kelipatan 1/2. Meson dan baryon dapat mengalami interaksi kuat,
karena itu mereka termasuk dalam golongan hadronik. Saat ini hanya interaksi elek-
tromagnetik yang benar-benar dapat dimengerti, yang tercantum dalam Quantum
Electrodynamics (QED). Interaksi elektromagnetik dan interaksi lemah tergabung
dalam interaksi elektro lemah (electroweak). Sedangkan untuk interaksi kuat terda-
pat dalam Quantum Chromodynamics (QCD). Keseluruhan teori mengenai partikel
dan interaksinya di atas (tidak termasuk gravitasi), merupakan kesatuan teori yang
disebut Standard Model (SM). SM adalah teori yang mampu menjelaskan hampir
sebagian besar fenomena interaksi dalam fisika energi tinggi.
1
1.1 Latar Belakang
Pada tahun 1950-an, gambaran tentang interaksi kuat dalam kerangka teori medan
kuantum nampaknya gagal karena menimbulkan konstanta kopling yang terlalu be-
sar pada energi tingkat rendah. Spektrum hadron yang kaya bersama dengan uku-
rannya merupakan petunjuk awal terhadap substruktur dalam unsur-unsur pokok
yang lebih fundamental.
Saat ini, hadron adalah obyek-obyek kompleks yang dibangun dari banyak dera-
jat kebebasan yang fundamental. Banyak hasil-hasil empiris dari fisika medium dan
fisika energi tinggi seperti produksi hadron dalam pemusnahan elektron-positron,
berhasil diterangkan menggunakan metode gangguan dalam kerangka kerja dari
teori gauge SU(3) yang mengacu pada Quantum Chromodynamics (QCD). Masih
belum ada metode analitik yang menjelaskan QCD pada jarak yang jauh, yaitu pa-
da energi-energi rendah. Sebagai contoh, bagaimana hadron-hadron diamati secara
asimtotik, termasuk spektrum resonansinya yang kaya, yang diciptakan oleh QCD
masih belum secukupnya dipahami. Ada tiga masalah QCD pada level kuantum,
yaitu, ”masalah gap”,”quark confinement”, dan ”kerusakan simetri chiral secara
spontan”.
Pada energi sangat rendah (cenderung ke nol), konstanta kopling QCD akan
sangat besar. Namun pada energi tinggi, didapat konstanta kopling yang rendah
dan lebih rendah lagi. Inilah yang biasanya dikenal sebagai asymptotic freedom.
Hanya terhadap masalah asymptotic freedom teori perturbasi dapat dilakukan.
Masih ada usaha lain dalam mengatasi hal ini, yakni dengan teori simetri, yang
terdiri dari simetri chiral SU(3)L×SU(3)R dan realisasinya, yaitu kerusakan simetri
spontan ke SU(3)V pada apa yang dinamakan kerapatan Lagrangian efektif. Hal ini
kemudian ditulis dalam suku-suku dari medan boson Goldstone pseudoskalar yang
diamati secara asimtotik dan menjelaskan sifat energi rendah dari QCD. Sekarang
boleh dilakukan perturbasi non-konvensional, yaitu perturbasi bukan lagi dalam
pangkat konstanta kopling tapi dalam pangkat momentum boson Goldstone ekster-
nal (rendah) dan massa quark (kecil). Metode ini yang dikenal sebagai mesonic
chiral perturbation theory (teori perturbasi chiral sektor meson).
2
1.2 Perumusan Masalah
Pada energi rendah, perturbasi tidak dapat dilakukan karena adanya konstanta ko-
pling yang besar sehingga dibutuhkan suatu teori dimana perturbasi masih dapat
dilakukan. Teori tersebut dikenal sebagai teori perturbasi chiral. Spektrum hadron
yang diamati dalam percobaan masih belum dapat dimengerti. Ternyata derajat
kebebasan hadronik pada energi rendah muncul sebagai keadaan asimtotik yang
dapat diamati. Timbul pertanyaan bagaimana keadaan ini dapat dijelaskan secara
teoritik? Keadaan ini hanya dapat diperiksa melalui teori perturbasi chiral yang
diperkenalkan oleh Gasser dan Leutwyler [16, 17]. Karena dasar teori ini memeriksa
proses-proses interaksi kuat QCD pada tingkat energi rendah atau keadaan dengan
suku massa quark sama dengan nol yang biasa disebut sebagai batas chiral. Pa-
da batas ini, medan quark left- dan right-handed dipisahkan satu sama lain dalam
Lagrangian efektif QCD. Pada tingkat klasik, Lagrangian efektif memperlihatkan
simetri global SU(3)L × SU(3)R. Namun, pada tingkat kuantum arus aksial vektor
singlet mengembangkan suatu anomali [1, 2, 3, 4, 5] sehingga perbedaan bilangan
quark left- dan right-handed bukanlah suatu konstanta gerak. Dengan kata lain,
dalam batas chiral, Hamiltonian QCD mempunyai simetri SU(3)L×SU(3)R×U(1)V .
Dengan ini orang dapat mempelajari lebih dalam tentang struktur hadron yang sam-
pai saat ini masih hangat dibicarakan.
1.3 Metode Penelitian
Penelitian yang dilakukan di sini sifatnya hanya teoritik. Karena itu diperlukan
suatu kerangka kerja yang sistematis dalam menerangkan proses-proses fisika yang
terjadi. Kerangka kerja teoritik yang digunakan adalah teori Medan Kuantum Efek-
tif (Effective Quantum Field Theory) yang di dalamnya tercakup teori perturbasi
chiral. Teori ini dikembangkan oleh Gasser dan Leutwyler [16, 17] yang menganalisis
konsekuensi simetri SU(3)L × SU(3)R dari LQCD dengan memperkenalkan kopling
dari sembilan arus vektor dan delapan arus aksial vektor dan juga kerapatan quark
skalar dan pseudoskalar ke dalam Lagrangian QCD dan mempromosikan simetri
global ke simetri lokal.
3
1.4 Tujuan
Pada energi rendah QCD terdapat konstanta kopling yang besar sehingga tidak
memungkinkan untuk dilakukannya teori gangguan. Sementara itu pada energi
tinggi terdapat kopling yang kecil dan makin kecil yang biasa dikenal sebagai asymp-
totic freedom (kebebasan asimtotik). Hanya pada daerah asimtotik teori perturbasi
(gangguan) dapat dilakukan. Namun, agar teori perturbasi dapat dilakukan pada
energi rendah, maka ekspansi pangkat dalam perturbasi bukan dilakukan terhadap
kopling melainkan terhadap momentum boson Goldstone dan massa quark. Metode
ini yang dikenal sebagai chiral perturbation theory (teori perturbasi chiral). Dengan
teori ini akan dilihat bagaimana menjelaskan dinamika boson Goldstone (termasuk
pion) pada tingkat energi rendah dalam kerangka kerja teori medan efektif.
4
Bab 2
Tinjauan Pustaka
Teori perturbasi chiral memberikan suatu kerangka kerja yang sistematis untuk
memeriksa proses-proses interaksi kuat pada energi rendah. Dasar teori perturbasi
chiral adalah simetri global SU(3)L × SU(3)R ×U(1)V dari Lagrangian QCD dalam
batas quark tak bermasa u, d, dan s yang diasumsikan rusak ke SU(3)V ×U(1)V se-
cara spontan dan menimbulkan delapan boson Goldstone. Sebelumnya akan diperke-
nalkan prinsip gauge. Prinsip gauge adalah metode yang amat sukses dalam fisi-
ka partikel elementer untuk membangkitkan interaksi antara medan-medan materi
melalui pertukaran boson-boson gauge (tera) tak bermassa.
2.1 Quantum Electrodynamics (QED)
Quantum Electrodynamics (QED) adalah teori gauge yang menerangkan interaksi-
interaksi elektromagnetik antar partikel, dihasilkan dari promosi simetri global U(1)
dari Lagrangian yang menggambarkan elektron bebas ke dalam bentuk simetri
lokal.1
Ψ 7→ exp (−iΘ) Ψ : Lfree = Ψ (iγµ∂µ −m) Ψ 7→ Lfree, (2.1)
Dalam proses ini parameter 0 ≤ Θ ≤ 2π menggambarkan sebuah elemen dari U(1)
yang diperbolehkan untuk bervariasi secara mulus dalam ruang-waktu, Θ → Θ(x),
yang menunjuk kepada menterakan grup U(1). Untuk menjaga keinvarianan La-
grangian menurut transformasi lokal, diperkenalkan potensial-empat Aµ ke dalam
teori yang bertransformasi menurut transformasi gauge Aµ 7→ Aµ − ∂µΘ/e. Agar
1Penulis menggunakan representasi matriks-matriks Dirac.
5
diperoleh suku kinetik dalam Aµ harus juga dimasukkan suku interaksi berupa ten-
sor kuat medan Fµν . Oleh karena itu dengan merujuk pada menterakan Lagrangian
yang berkenaan dengan U(1) diperoleh Lagrangian QED:
LQED = Ψ [iγµ (∂µ − ieAµ)−m] Ψ− 1
4FµνFµν , (2.2)
dimana Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. Kemudian turunan kovarian ∂µ dari Ψ diganti dengan
Dµ,
Dµ ≡ (∂µ − ieAµ) Ψ,
didefinisikan sedemikian hingga menurut transformasi gauge jenis kedua
Ψ(x) 7→ exp [−iΘ(x)] Ψ(x), Aµ(x) 7→ Aµ(x)− ∂µΘ(x)/e, (2.3)
turunan kovarian bertransformasi dengan cara yang sama, yaitu hanya bekerja pada
Ψ sendiri:
DµΨ(x) 7→ D′µΨ
′(x)
=[∂µ − ieA′
µ(x)]exp [−iΘ(x)] Ψ
′(x)
= [∂µ − ie (Aµ(x)− ∂µΘ/e)] exp [−iΘ(x)] Ψ(x)
= exp[−iΘ(x)][∂µ − ieA(x)]Ψ(x)
= exp[−iΘ(x)]DµΨ(x) (2.4)
Suku massa M2A2/2 tidak dimasukkan ke dalam Lagrangian karena suku ini akan
melanggar invarian gauge dan oleh karena itu prinsip gauge membutuhkan boson-
boson gauge tak bermassa.2 Dalam hal ini dikenal Aµ sebagai potensial-empat
elektromagnetik dan Fµν sebagai tensor kuat medan yang mengandung medan listrik
dan medan magnet. Prinsip gauge ini (secara alami) telah mengembangkan interaksi
medan elektromagnetik dengan materi.
2.2 Quantum Chromodynamics (QCD)
2.2.1 Beberapa Sifat pada SU(3)
Grup SU(3) memainkan peranan penting dalam konteks interaksi kuat, karena SU(3)
adalah grup tera (gauge) dari QCD. Pada sisi lain flavor SU(3) kira-kira direalisa-
sikan sebagai simetri global dari spektrum hadron [6, 7, 8], supaya hadron-hadron
2Massa dari medan-medan gauge dimunculkan melalui kerusakan spontan dari simetri gauge.
6
(massa rendah) yang diamati dapat disusun kira-kira dalam multiplet-multiplet yang
terdegenerasi dengan mencocokkan dimensi dari representasi irredusibel SU(3). Pa-
da akhirnya, hasil kali langsung dari SU(3)L× SU(3)R adalah grup simetri chiral
untuk menghilangkan massa-massa quark u, d dan s. Grup SU(3) ditentukan seba-
gai himpunan matriks unitari, unimodular, 3× 3 U , yakni U †U = 1 dan det( U)=1.
Dalam hal matematika, SU(3) adalah delapan parameter yang secara sederhana
dihubungkan dengan grup Lie yang compact.
Elemen-elemen SU(3) dapat ditulis dalam bentuk
U(Θ) = exp
(−i
8∑a=1
Θaλa
2
), (2.5)
dengan Θa bilangan-bilangan riil, dan delapan matriks λa disebut matriks-matriks
Gell-Mann, yang memenuhi
λa
2= i
∂U
∂Θa
(0, . . . , 0), (2.6)
λa = λ†a, (2.7)
Tr(λaλb) = 2δab, (2.8)
Tr(λa) = 0. (2.9)
Representasi eksplisit dari matriks Gell-Mann adalah
λ1 =
0 1 01 0 00 0 0
, λ2 =
0 −i 0i 0 00 0 0
, λ3 =
1 0 00 −1 00 0 0
,
λ4 =
0 0 10 0 01 0 0
, λ5 =
0 0 −i0 0 0i 0 0
, λ6 =
0 0 00 0 10 1 0
,
λ7 =
0 0 00 0 −i0 i 0
, λ8 =
1√3
1 0 00 1 00 0 −2
(2.10)
Himpunan {iλa} merupakan basis aljabar Lie su(3) dari SU(3), yakni, himpunan
semua matriks skew Hermitian 3×3 yang tidak mempunyai trace. Hasil dari grup Lie
kemudian ditentukan dalam suku-suku perkalian matriks biasa sebagai komutator
dua elemen dari su(3). Definisi seperti itu secara alami memenuhi sifat-sifat anti-
komutatif Lie
[A,B] = −[B, A] (2.11)
7
abc 123 147 156 246 257 345 367 458 678
fabc 1 12
−12
12
12
12
−12
12
√3 1
2
√3
Tabel 2.1: Konstanta struktur anti-simetrik dari SU(3) yang seluruhnya tidak nol.
dan juga identitas Jacobi
[A, [B,C]] + [B, [C,A]] + [C, [A,B]] = 0. (2.12)
Struktur dari grup Lie diberi kode dalam hubungan komutasi dari matriks-
matriks Gell-Mann, [λa
2,λb
2
]= ifabc
λc
2, (2.13)
dimana fabc adalah konstanta struktur riil yang sepenuhnya anti-simetrik.
[λa, λb] = 2ifabcλc
[λa, λb] λc = 2ifabcλ2c
Tr ([λa, λb])(2.8)= 2ifabcTr
(λ2
c
)
Tr ([λa, λb]) = 4ifabc
fabc =1
4iTr ([λa, λb] λc) (2.14)
Lebih jelasnya, konstanta-konstanta stuktur ini adalah sebuah pengukuran non-
komutatif dari grup SU(3). Hubungan anti-komutasi memberikan
{λa, λb} =4
3δab + 2dabcλc, (2.15)
dimana simetri dabc sepenuhnya diberikan oleh
dabc =1
4Tr ({λa, λb}λc) (2.16)
Selain itu, ada baiknya memperkenalkan matriks ke-sembilan
λ0 =
√2
3diag(1, 1, 1),
agar persamaan (2.7) dan (2.8) masih dipenuhi oleh sembilan matriks λa. Khusus-
nya, kumpulan {iλa|a = 1, · · · , 8}merupakan basis aljabar Lie u(3) dari U(3), yakni,
8
abc 118 146 157 228 247 256 338 344dabc
1√3
12
12
1√3
−12
12
1√3
12
abc 355 366 377 448 558 668 778 888dabc
12
−12
−12
− 12√
3− 1
2√
3− 1
2√
3− 1
2√
3− 1√
3
Tabel 2.2: Simbol d dari simetri SU(3) yang seluruhnya tidak nol.
kumpulan dari semua matriks 3×3 skew Hermitian kompleks. Akhirnya, sebuah
matriks sembarang 3×3 dapat ditulis sebagai
M =8∑
a=0
λaMa, (2.17)
dimana Ma adalah bilangan-bilangan kompleks yang diberikan oleh
λbM =8∑
a=0
λbλaMa
Tr (λbM) =8∑
a=0
Tr (λbλa) Ma
Tr (λbM) =8∑
a=0
2δbaMa
Tr (λbM) = 2Mb
Mb =1
2Tr (λbM)
Ma =1
2Tr (λaM)
2.2.2 Lagrangian QCD
QCD adalah teori gauge dari interaksi-interaksi kuat [9, 10, 11] dengan color SU(3)
yang mendasari grup gauge. Medan materi QCD adalah quark-quark yang meru-
pakan fermion spin-1/2, dengan enam flavor berbeda untuk tiga warna yang mungkin
(lihat tabel 2.3). Karena quark tidak diamati sebagai keadaan bebas secara asim-
totik, pengertian massa quark dan nilai-nilai numeriknya sangat dekat dihubungkan
dengan metode dimana massa quark diekstrak dari sifat-sifat hadronik. Berke-
naan dengan apa yang dinamakan nilai-nilai massa current-quark dari quark-quark
ringan, seharusnyalah memandang suku-suku massa quark semata-mata hanya seba-
gai parameter-parameter symmetry breaking (kerusakan simetri) dengan besar massa
9
flavor u d smuatan[e] 2/3 −1/3 −1/3
massa[MeV] 5.1± 0.9 9.3± 1.4 175± 25
flavor c b tmuatan[e] 2/3 −1/3 2/3
massa[GeV] 1.15− 1.35 4.0− 4.4 174.3± 3.2± 4.0
Tabel 2.3: Flavor-flavor quark, muatan dan massa-massanya. Besar mutlak ms
ditentukan menggunakan aturan jumlah QCD. Hasil tersebut diberikan untuk massaberlari MS pada skala µ = 1 GeV. Massa quark-quark ringan dihasilkan dari rasiomassa yang ditemukan menggunakan teori perturbasi chiral, menggunakan massaquark strange sebagai masukan. Massa quark-quark berat mc dan mb masing -masing ditentukan oleh massa charmonium dan D, dan massa bottomium dan B.
tersebut memberikan pengukuran secara luas untuk simetri chiral yang telah rusak.
Sebagai contoh, rasio dari massa-massa quark ringan dapat diduga dari massa-massa
oktet psudoskalar ringan [12]. Perbandingan antara massa proton, mp = 938 MeV,
dengan jumlah dua massa current-quark up dan down (lihat tabel 2.3)
mp À 2mu + md, (2.18)
menunjukkan bahwa interpretasi massa proton dalam suku-suku parameter massa
current-quark harus sangat berbeda dari, katakan saja keadaan atom hidrogen, di-
mana massa secara esensial diberikan oleh jumlah massa proton dan elektron yang
dikoreksi oleh sejumlah kecil energi ikat.
Lagrangian QCD dihasilkan dari prinsip gauge yaitu [13, 14]
LQCD =∑
f=u,d,sc,b,t
qf (iD/−mf ) qf − 1
4Gµν,aGµν
a . (2.19)
Untuk setiap flavor quark f , medan quark qf terdiri dari triplet warna (indeks bawah
r, g, dan b untuk ”red”, ”green”, dan ”blue”),
qf =
qf,r
qf,g
qf,b
, (2.20)
yang bertransformasi menurut transformasi gauge g(x) yang digambarkan oleh him-
10
punan parameter-parameter Θ(x) = [Θ1(x), · · · , Θ8(x)] menurut3
qf 7→ q′f = exp
[−i
8∑a=1
Θa(x)λC
a
2
]qf = U [g(x)]qf . (2.21)
Secara teknis, setiap medan quark qf bertransformasi menurut representasi funda-
mental dari warna SU(3). Karena SU(3) adalah delapan parameter grup, turunan
kovarian persamaan (2.19) mengandung delapan parameter potensial gauge Aµ,a,
Dµ
qf,r
qf,g
qf,b
= ∂µ
qf,r
qf,g
qf,b
− ig
8∑a=1
λCa
2Aµ,a
qf,r
qf,g
qf,b
(2.22)
Perlu dicatat bahwa interaksi antara quark dan gluon tidak bergantung pada flavor
quark. Dengan menuntut adanya invarian gauge LQCD, memaksa sifat transformasi
berikut dari medan-medan gauge
λCa
2Aµ,a(x) 7→ U [g(x)]
λCa
2Aµ,a(x)U †[g(x)]− i
g∂µU [g(x)]U †[g(x)]. (2.23)
Sekali lagi, dengan syarat ini turunan kovarian Dµqf bertransformasi pada qf , yakni
Dµqf 7→ D′µq
′f = U(g)Dµqf .
D′µq
′f =
[∂µ − ig
8∑a=1
λCa
2Aµ,a
]q′f
=
[∂µ − igU
(8∑
a=1
λCa
2Aµ,a
)U † − (∂µU)U †
]Uqf
= (∂µU)qf + U(∂µqf )− igU
8∑a=1
λCa
2Aµ,aqf − (∂µU)qf
= U
(∂µ − ig
8∑a=1
λCa
2Aµ,a
)qf
= UDµqf
Menurut transformasi gauge jenis pertama, yakni transformasi global SU(3), suku
kedua pada sisi sebelah kanan pers. (2.23) akan menghilang dan medan-medan
gauge akan bertransformasi menurut representasi adjoint.
3Demi kejelasan, matriks-matriks Gell-Mann mengandung indeks atas C yang menjelaskanbekerja pada ruang warna.
11
Sejauh ini hanya bagian medan materi LQCD yang dipertimbangkan termasuk
interaksinya dengan medan-medan gauge. Persamaan (2.19) juga berisi generalisasi
dari tensor kuat medan untuk kasus non-Abelian,
Gµν,a = ∂µAν,a − ∂νAµ,a + gfabcAµ,bAν,c, (2.24)
dengan fabc konstanta struktur SU(3) yang diberikan dalam tabel 2.1. Seperti
pers. (2.23) tensor kuat medan bertransformasi menurut SU(3) sebagai
Gµν ≡ λCa
2Gµν,a 7→ U [g(x)]GµνU
†[g(x)]. (2.25)
Dengan menggunakan pers. (2.8) bagian gluonic murni LQCD dapat ditulis
Tr
(λC
a
2Gµν,a
λCb
2Gµν
b
)= Tr
(UGµνU
†UGµνU †)
Gµν,aGµνb Tr
(λC
a
2
λCb
2
)= Tr(GµνGµνU †U)
1
2Gµν,aδabGµν
b = Tr(GµνGµν)
Gµν,aGµνa = 2Tr(GµνGµν)
maka
−1
4Gµν,aGµν
a = −1
2TrC(GµνGµν)
yang diperoleh dengan menggunakan sifat trace, Tr(ABCD)=Tr(BCDA), bersama
dengan UU † = U †U = 1, dengan mudah dapat dilihat Lagrangian QCD invarian
terhadap transformasi pers. (2.25).
Perbedaannya terhadap kasus Abelian QED, tensor kuat medan yang dikuadrati
menimbulkan interaksi diri medan gauge yang melibatkan verteks dengan tiga dan
empat medan gauge masing-masing dengan kekuatan g dan g2. Suku-suku interak-
si seperti ini merupakan karakteristik dari teori gauge non-Abelian dan suku-suku
tersebut membuat non-Abelian lebih rumit daripada teori Abelian.
12
2.3 Simetri Chiral
Enam flavor quark secara umum dibagi menjadi tiga kuark ringan u, d, dan s, dan
tiga flavor berat c, b, dan t.
mu = 0.005 GeVmd = 0.009 GeVms = 0.175 GeV
¿ 1 GeV ≤
mc = (1.15− 1.35) GeVmb = (4.0− 4.4) GeV
mt = 174 GeV
, (2.26)
dimana skala ΛCSB = 1 GeV dikaitkan dengan massa-massa hadron paling ringan
yang berisi quark-quark ringan, contohnya mρ = 770 MeV, yang bukan merupakan
boson Goldstone yang diakibatkan dari kerusakan simetri spontan. Skala yang
dikaitkan dengan kerusakan simetri spontan, 4πFπ ≈ 1170 MeV, memiliki besar
orde yang sama. Berikutnya, akan diperkirakan Lagrangian QCD lengkap dengan
versi flavor quark ringan, yakni, mengabaikan efek pasangan quark-antiquark berat
hh. Secara khusus, persamaan (2.18) memberi kesan bahwa Lagrangian L0QCD hanya
mengandung flavor quark-quark ringan di dalam apa yang dinamakan batas chiral
mu,md, ms → 0, menjadi awal yang baik dalam membicarakan QCD energi-rendah:
L0QCD =
∑
l=u,d,s
qliD/ql − 1
4Gµν,aGµν
a (2.27)
Turunan kovarian D/ ql hanya bekerja pada color (warna) dan indeks Dirac, tetapi
tidak bergantung flavor.
2.3.1 Medan quark Left-Handed dan Right-Handed
Agar selengkapnya simetri-simetri global dari persamaan (2.27) terlihat, dipertim-
bangkanlah suatu matriks chirality γ5 = γ5 = iγ0γ1γ2γ3, {γµ, γ5} = 0, γ25 = 1, dan
memperkenalkan operator-operator proyeksi
PR =1
2(1 + γ5) = P †
R, PL =1
2(1− γ5) = P †
L (2.28)
dimana indeks R dan L mengacu pada right-handed dan left-handed, seperti akan
menjadi lebih jelas di bawah ini. Nampak jelas bahwa matriks 4×4 PR dan PL
memenuhi hubungan kelengkapan
PR + PL = 1 (2.29)
13
P 2R = PR, P 2
L = PL (2.30)
dan hubungan ortogonalitas
PRPL = PLPR =1
4(1− γ2
5) = 0 (2.31)
Sifat-sifat gabungan dari persamaan (2.28) - (2.31) menjamin bahwa PR dan PL
sungguh-sungguh operator proyeksi yang memproyeksikan variabel medan Dirac q
ke komponen-komponen chiral-nya qR dan qL.
qR = PRq, qL = PLq. (2.32)
Kita ingat dalam konteks ini variabel (medan) chiral adalah variabel yang terhadap
paritas ditransformasikan menjadi varabel asal maupun variabel negatifnya. Ter-
hadap paritas, medan quark ditransformasikan menjadi konjugate paritasnya,
P : q(t, ~x) 7→ γ0q(t,−~x),
maka
qR(t, ~x) = PRq(t, ~x) 7→ PRγ0q(t,−~x) = γ0PLq(t,−~x) = γ0qL 6= ±qR(t,−~x),
dan serupa untuk qL.
PRγ0 =1
2(1 + γ5)γ0 =
1
2(γ0 + γ5γ0)
=1
2(γ0 − γ0γ5) = γ0
1
2(1− γ5) = γ0PL
qL(t, ~x) = PLq(t, ~x) 7→ PLγ0q(t,−~x) = γ0PRq(t,−~x) = γ0qR 6= ±qL(t,−~x)
Istilah medan right-handed dan left-handed dengan mudah dapat divisualisasikan di
dalam suku-suku dari solusi untuk persamaan Dirac partikel bebas. Untuk mak-
sud tersebut, akan dipertimbangkan solusi energi-positif relativistik ekstrim dengan
momentum-tiga ~p 4
u(~p,±) =√
E + M
(χ±
~σ·~pE+M
χ±
)E À M→
√E
(χ±
±χ±
)≡ u±(~p ),
4Disini penulis mengadopsi normalisasi kovarian dari spinor-spinor, u(α)†(~p)u(β)†(~p) = 2Eδαβ ,dan sebagainya.
14
dimana telah diasumsikan bahwa spin dalam kerangka diam sejajar terhadap yang
lain atau antiparalel terhadap arah momentum
~σ · ~p χ± = ~σ · p |~p| χ± = |~p| ~σ · p χ±
jika momentum diambil arah ~z
p = k, ~σ · p = ~σ · k = σz =
(1 00 −1
)
χ+ =
(10
), χ−
(0
−1
)
~σ · k = σz
maka
σzχ+ =
(1 00 −1
)(10
)=
(10
)= +χ+
σzχ− =
(1 00 −1
)(10
)=
(0
−1
)= −χ−
∴ (~σ · p)χ± = ±χ±
(~σ · ~p)χ± = (~σ · p)|~p|χ± = |~p|(~σ · p)χ± =√
E2 −M2 (±χ±)
dan
u(~p,±) =√
E + M
(χ±
~σ·~pE+M
χ±
)=√
E + M
(χ±√
E2−M2
E+M± χ±
)E À M7→
√E
(χ±
±χ±
)≡ u±(~p)
u+ =√
E
(χ+
χ+
), u− =
√E
(χ−
−χ−
)
Dalam representasi standar matriks-matriks Dirac kita dapatkan
PR =1
2(1 + γ5) =
1
2
(12×2 12×2
12×2 12×2
), PL =
1
2
(12×2 −12×2
−12×2 12×2
)
sehingga
PR u+ =1
2
√E
(1 11 1
)(χ+
χ+
)=
1
2
√E
(2χ+
2χ+
)=√
E
(χ+
χ+
)= u+
15
PL u+ =1
2
√E
(1 −1
−1 1
) (χ+
χ+
)=
1
2
√E
(00
)= 0
PR u− =1
2
√E
(1 11 1
)(χ−
−χ−
)=
1
2
√E
(00
)= 0
PL u− =1
2
√E
(1 −1
−1 1
)(χ−
−χ−
)=
1
2
√E
(2χ−
−2χ−
)=√
E
(χ−
−χ−
)= u−
Dalam batas relativistik ekstrim (atau lebih baik, dalam batas massa nol), operator
PR dan PL melakukan proyeksi ke keadaan eigen dengan helisitas positif dan negatif,
yaitu dalam batas ini chirality sama dengan helicity.
Di sini tujuannya adalah untuk menganalisis simetri dari lagrangian QCD dengan
mematuhi sifat transformasi global yang independen dari medan left-handed dan
right-handed. Untuk mengkomposisikan 16 bentuk kuadratik menjadi proyeksinya
masing-masing terhadap medan left-handed dan right-handed, dibuatlah menggu-
nakan
qΓiq =
{qRΓ1qR + qLΓ1qL untuk Γ1 ∈ {γµ, γµγ5}qRΓ2qL + qLΓ2qR untuk Γ2 ∈ {1, γ5, σ
µν} , (2.33)
dimana
qR = q†Rγ0 = (PRq)†γ0 = q†P †Rγ0 = q†
1
2(1 + γ5)γ0 = q†γ0
1
2(1− γ5) = qPL
qL = q†Lγ0 = (PLq)†γ0 = q†P †Lγ0 = q†
1
2(1− γ5)γ0 = q†γ0
1
2(1 + γ5) = qPR
dengan
σµν =i
2(γµγν − γνγµ)
Persamaan (2.33) dengan mudah dibuktikan dengan memasukkan hubungan ke-
lengkapan dari persamaan (2.29) sekaligus ke sebelah kiri dan kanan dari Γi,
qΓiq = q(PR + PL)Γi(PR + PL)q = (qL + qL)Γi(qR + qL)
dan dengan catatan {Γ1, γ5} = 0 dan [Γ2, γ5] = 0. Untuk Γ1 = γµ :
qγµq = (qL + qL)γµ(qR + qL) = qLγµqR + qRγµqR + qLγµqL + qRγµqL
qLγµqR = qPRγµPRq =1
4q(1 + γ5)γ
µ(1 + γ5)q =1
4qγµ(1− γ5)(1 + γ5)q = 0
qRγµqL = qPLγµPLq =1
4q(1− γ5)γ
µ(1− γ5)q =1
4qγµ(1 + γ5)(1− γ5)q = 0
16
∴ qγµq = qRγµqR + qLγµqL
dengan cara yang sama dapat dibuktikan untuk Γi yang lain. Bersama dengan
hubungan orthogonalitas dari persamaan (2.31) kemudian dihasilkan
PRΓ1PR =1
4(1 + γ5)Γ1(1 + γ5) =
1
4(Γ1 + γ5Γ1)(1 + γ5)
=1
4Γ1(1− γ5)(1 + γ5) = Γ1PLPR = 0,
PLΓ1PL =1
4(1− γ5)Γ1(1− γ5) =
1
4(Γ1 − γ5Γ1)(1− γ5)
=1
4Γ1(1 + γ5)(1− γ5) = 0,
PRΓ2PL =1
4(1 + γ5)Γ2(1− γ5) =
1
4(Γ2 + γ5Γ2)(1 + γ5)
=1
4Γ2(1 + γ5)(1 + γ5) = 0,
PLΓ2PR =1
4(1− γ5)Γ2(1 + γ5) =
1
4(Γ2 − γ5Γ2)(1 + γ5)
=1
4Γ2(1− γ5)(1 + γ5) = 0.
Sekarang dengan menggunakan persamaan (2.33) untuk suku yang mengandung
kontraksi dari turunan kovarian dengan γµ, bentuk kuadratik quark ini memisah
menjadi jumlah dua suku yang hanya menghubungkan medan quark left-handed
dan right-handed. Maka lagrangian QCD dapat ditulis dalam batas chiral sebagai
berikut
L0QCD =
∑
l=u,d,s
(qR,liD/qR,l + qL,liD/qL,i)− 1
4Gµν,aGµν
a . (2.34)
Karena flavor tidak saling bergantung, turunan kovarian invarian terhadap
uL
dL
sL
→ UL
uL
dL
sL
= exp
(−i
8∑a=1
ΘLa
λa
2
)e−iΘL
uL
dL
sL
uR
dR
sR
→ UR
uR
dR
sR
= exp
(−i
8∑a=1
ΘRa
λa
2
)
︸ ︷︷ ︸SU (3)
e−iΘR
︸ ︷︷ ︸U(1)
uR
dR
sR
(2.35)
dimana UL dan UR adalah matriks-matriks unitari 3×3 yang saling bebas.
17
L0QCD mempunyai simetri global klasik U(3)L×U(3)R. Dengan mempergunakan
teorema Noether dari invarian semacam itu, diharapkan seluruhnya ada 2×(8+1) =
18 arus yang kekal.
2.3.2 Teorema Noether
Teorema Noether : Simetri-simetri kontinu ⇔ Kuantitas-kuantitas yang kekal.
Teorema Noether menentukan hubungan antara simetri-simetri kontinu dari sis-
tem yang dinamis dan kuantitas-kuantitas yang kekal (konstanta gerak). Untuk
memeriksa kekekalan arus yang diasosiasikan dengan invarian di atas, digunakan
metode dari acuan [15] dan mempertimbangkan variasi dari pers. (2.34). Agar
lebih sederhana hanya dipertimbangkan simetri-simetri internal dimulai dengan se-
buah lagrangian L yang bergantung pada n medan bebas Φi dan turunan-turunan
parsial pertamanya,
L = L(Φi, ∂µΦi), (2.36)
dimana akan dihasilkan n persamaan gerak
∂L∂Φi
− ∂µ∂L
∂∂µΦi
= 0, i = 1, · · · , n. (2.37)
Andaikata dipertimbangkan transformasi yang bergantung pada r parameter-
parameter lokal yang riil εa(x). Untuk masing-masing r generator dari transfor-
masi infinitesimal yang merepresentasikan dasar grup simetri, dipertimbangkan su-
atu transformasi infinitesimal lokal dari medan.
Φi(x) 7→ Φ′i(x) = Φi(x) + δΦi(x) = Φi(x)− iεa(x)F a
i [Φj(x)], (2.38)
dan dengan mengabaikan suku kedua (orde ε2), kita menghasilkan variasi lagrangian
δL = L(Φ′i, ∂µΦ′
i)− L(Φi, ∂µΦi)
=∂L∂φi
δΦi +∂L
∂∂µΦi
∂µδΦi
= εa(x)
(−i
∂L∂Φi
F ai − i
∂L∂∂µΦi
∂µFai
)+ ∂µεa(x)
(−i
∂L∂∂µΦi
F ai
)
≡ εa(x)∂µJµ,a + ∂µεa(x)Jµ,a. (2.39)
18
Teorema Noether: Untuk setiap transformasi simetri global kontinu, yangmemberikan Lagrangian dan persamaan gerak invarian akan menimbulkansuatu kekekalan arus Jµ,a dan suatu konstanta gerak Qa.
Di sini didefinisikan kerapatan arus-empat
Jµ,a = −i∂L
∂∂µΦi
F ai . (2.40)
Dengan menghitung divergensi ∂µJµ,a dari persamaan (2.40)
∂µJµ,a = −i
(∂µ
∂L∂∂µΦi
)F a
i − i∂L
∂∂µΦi
∂µFai
= −i∂L∂Φi
F ai − i
∂L∂∂µΦi
∂µFai ,
dimana telah digunakan persamaan gerak (2.37). Dari persamaan (2.39) dihasilkan
persamaan arus-empat dan divergensinya sebagai berikut
Jµ,a =∂δL∂∂µεa
, (2.41)
∂µJµ,a =
∂δL∂εa
. (2.42)
Untuk arus yang kekal, ∂µJµ,a = 0, muatan
Qa(t) =
∫d3xJa
0 (t, ~x) (2.43)
dandQa(t)
dt= 0
adalah tidak bergantung waktu, artinya sebuah konstanta gerak.
2.3.3 Arus Simetri Global dari Sektor Quark Ringan
Metode acuan [15] sekarang dapat dengan mudah dipergunakan pada Lagrangian
QCD untuk menghitung variasi menurut bentuk lokal yang infinitesimal. Lagrangian
dari persamaan (2.34) dapat ditulis
L0QCD = qRiγµ(∂µ − igAµ)qR + qLiγµ(∂µ − igAµ)qL − 1
4Gµν,aGµν
a .
19
Bentuk lokal infinitesimal persamaan (2.35)
q′L =
[1− i(
8∑a=1
ΘLa
λa
2+ ΘL)
]qL, q
′L = qL
[1 + i
(8∑
a=1
ΘLa
λa
2+ ΘL
)]
q′R =
[1− i
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)]qR, q
′R = qR
[1 + i
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)]
Untuk medan quark right-handed
δL0 RQCD =
∂L0QCD
∂qR
δqR +∂L0
QCD
∂∂µqR
∂µδqR + δqR
∂L0QCD
∂qR
+ ∂µδqR
∂L0QCD
∂∂µqR︸ ︷︷ ︸0
= qRiγµ(−igAµ)
[−i
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)]qR
+qRiγµ∂µ
[−i
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)]qR
+qR
[i
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)]iγµ (∂µ − igAµ) qR
= −iqRγµgAµ
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)qR + qRγµ
(8∑
a=1
∂µΘRa
λa
2+ ∂µΘR
)qR
+qRγµ
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)∂µqR − qR
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)γµ∂µqR
+iqR
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)γµgAµqR
= qRiγµ
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)qR
dengan cara yang sama untuk medan quark left-handed
δL0 LQCD = qLiγµ
(8∑
a=1
ΘLa
λa
2+ ΘL
)qL
Maka diperoleh
δL0QCD = δL0 R
QCD + δL0 LQCD
= qRiγµ
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)qR + qLiγµ
(8∑
a=1
ΘLa
λa
2+ ΘL
)qL (2.44)
20
dari sini dengan memakai sifat persamaan (2.41) dan (2.42) akan dihasilkan arus-
arus yang dikaitkan dengan transformasi quark left-handed dan right-handed
Lµ,a =∂δL0
QCD
∂∂µΘLa
= qLγµ λa
2qL, ∂µL
µ,a = 0,
Rµ,a =∂δL0
QCD
∂∂µΘRa
= qRγµ λa
2qR, ∂µR
µ,a = 0 (2.45)
Delapan arus Lµ,a bertransformasi menurut SU(3)L×SU(3)R sebagai multiplet
(8,1), yaitu masing-masing sebagai oktet dan singlet menurut transformasi medan
left-handed dan right-handed. Hal yang sama, arus right-handed bertransformasi
sebagai multiplet (1,8) menurut SU(3)L×SU(3)R. Sebagai pengganti arus chiral
lebih sering digunakan kombinasi linear,
V µ,a = Rµ,a + Lµ,a
= qRγµ λa
2qR + qLγµ λa
2qL
= qγµ(PR + PL)λa
2q
= qγµ λa
2q (2.46)
dan
Aµ,a = Rµ,a − Lµ,a
= qRγµ λa
2qR − qLγµ λa
2qL
= qγµ(PR − PL)λa
2q
= qγµγ5λa
2q (2.47)
masing-masing bertransformasi terhadap paritas sebagai kerapatan arus vektor dan
kerapatan arus aksial-vektor,
P : V µ,a(t, ~x) 7→ V aµ (t,−~x), (2.48)
P : Aµ,a(t, ~x) 7→ −Aaµ(t,−~x) (2.49)
Dari persamaan (2.41) dan (2.42) juga diperoleh arus vektor singlet yang diaki-
batkan oleh transformasi semua medan quark left-handed dan right-handed dengan
21
fase yang sama,
Lµ =∂δL
∂∂µΘL= qLγµqL
Rµ =∂δL
∂∂µΘR= qRγµqR
V µ = Rµ + Lµ
= qRγµqR + qLγµqL
= qγµ(PR + PL)q
= qγµq, ∂µVµ = ∂µR
µ + ∂µLµ = 0. (2.50)
karena
∂µRµ =
∂δL∂ΘR
= 0, ∂µLµ =
∂δL∂ΘL
= 0
Arus aksial-vektor singlet,
Aµ = Rµ − Lµ
= qRγµqR − qLγµqL
= qγµ(PR − PL)q
= qγµγ5q (2.51)
berasal dari transformasi semua medan quark left-handed dengan fase sama dan
semua medan right-handed dengan fase berlawanan. Bagaimanapun juga, arus
aksial-vektor singlet hanya kekal pada tingkatan klasik. Simetri ini tidak diperta-
hankan oleh kuantisasi dan akan ada suku-suku ekstra, yang merujuk pada keanehan
(anomali), yang menghasilkan
∂µAµ =
3g2
32π2εµνρσGµν
a Gρσa , ε0123 = 1, (2.52)
dimana faktor 3 berasal dari jumlah flavor.
2.3.4 Aljabar Chiral
Invarian L0QCD menurut transformasi global SU(3)L×SU(3)R×U(1)V juga menya-
takan secara tidak langsung bahwa operator Hamilton QCD, H0QCD, dalam batas
chiral, memperlihatkan simetri global SU(3)L×SU(3)R×U(1)V . Seperti biasanya,
22
”operator-operator muatan” didefinisikan sebagai integral ruang dari kerapatan mu-
atan,
QaL(t) =
∫d3xL0,a =
∫d3x qLγ0λa
2qL =
∫d3x q†Lγ0γ0λa
2qL
=
∫d3x q†L(t, ~x)
λa
2qL(t, ~x), a = 1, · · · , 8, (2.53)
QaR(t) =
∫d3xR0,a =
∫d3x qRγ0λa
2qR =
∫d3x q†Rγ0γ0λa
2qR
=
∫d3x q†R(t, ~x)
λa
2qR(t, ~x), a = 1, · · · , 8, (2.54)
QV (t) =
∫d3xV 0 =
∫d3x qRγ0qR + qLγ0qL =
∫d3x q†Rγ0γ0qR + q†Lγ0γ0qL
=
∫d3x q†R(t, ~x)qR(t, ~x) + q†L(t, ~x)qL(t, ~x). (2.55)
untuk arus simetri yang kekal, operator-operator ini tidak bergantung waktu, yaitu
operator-operator tersebut komutatif dengan Hamiltonian,
[QaL, H0
QCD] = [QaR, H0
QCD] = [QV , H0QCD] = 0. (2.56)
Hubungan komutasi dari operator muatan dengan yang lainnya dihasilkan dengan
menggunakan hubungan komutasi kesamaan waktu (equal-time) dari medan-medan
quark dalam gambaran Heisenberg,
{qα,r(~x, t), q†β,s(~y, t)} = δ3(~x− ~y)δαβδrs, (2.57)
{qα,r(~x, t), qβ,s(~y, t)} = 0, (2.58)
{q†α,r(~x, t), q†β,s(~y, t)} = 0, (2.59)
dimana α dan β adalah indeks-indeks Dirac dan r dan s indeks-indeks flavor. Ko-
mutator equal-time dari dua bentuk quark berbentuk
[q†(~x, t)Γ1F1q(~x, t), q†(~y, t)Γ2F2q(~y, t)] =
Γ1,αβΓ2,γδF1,rsF2,tu[q†α,r(~x, t)qβ,s(~x, t), q†γ,t(~y, t)qδ,u(~y, t)], (2.60)
dimana Γi dan Fi berturut-turut adalah matriks-matriks Dirac 4 × 4 dan matriks-
matriks flavor 3× 3. Dengan memakai
[ab, cd] = a{b, c}d− ac{b, d}+ {a, c}db− c{a, d}b, (2.61)
23
ekspresi komutator dari medan-medan Fermi dalam suku-suku anti-komutator dan
dengan memakai hubungan komutasi pers. (2.57)-(2.59) menjadi
[q†α,r(~x, t)qβ,s(~x, t), q†γ,t(~y, t)qδ,u(~y, t)] =
q†α,r(~x, t)qδ,u(~y, t)δ3(~x− ~y)δβγδst − q†γ,t(~y, t)qβ,s(~x, t)δ3(~x− ~y)δαδδru.
Dengan hasil ini pers. (2.60)
[q†(~x, t)Γ1F1q(~x, t), q†(~y, t)Γ2F2q(~y, t)] =
δ3(~x− ~y)[q†(~x, t)Γ1Γ2F1F2q(~y, t)− q†(~y, t)Γ2Γ1F2F1q(~x, t)
]. (2.62)
Setelah memasukkan proyektor-proyektor yang cocok PL/R, pers.(2.62) dengan mu-
dah dipergunakan untuk operator-operator dari pers.(2.53), (2.54), dan (2.55), me-
nunjukkan bahwa operator-operator ini sungguh-sungguh memenuhi hubungan ko-
mutasi yang berkorenpondensi dengan aljabar Lie dari SU(3)L × SU(3)R × U(1)V ,
[Qa
L, QbL
]= ifabcQ
cL, (2.63)
[Qa
R, QbR
]= ifabcQ
cR, (2.64)
[Qa
L, QbR
]= 0, (2.65)
[QaL, QV ] = [Qa
R, QV ] = 0. (2.66)
Bukti (ingat P †L = PL dan P 2
L = PL)
[Qa
L, QbL
]=
∫d3xd3y
[q†L
λa
2qL, q†L
λb
2qL
]
=
∫d3xd3y
[(PLq)†
λa
2PLq, (PLq)†
λb
2PLq
]
=
∫d3xd3y
[q†(t, ~x)P †
L
λa
2PLq(t, ~x), q†(t, ~y)P †
L
λb
2PLq(t, ~y)
]
= ifabcQcL.
2.3.5 QCD Dalam Kehadiran Medan-medan Eksternal
Mengikuti prosedur dari Gasser dan Leutwyler [16, 17], diperkenalkan ke dalam
Lagrangian QCD kopling dari sembilan arus vektor dan delapan arus aksial-vektor
dan juga kerapatan quark skalar dan pseudoskalar untuk medan-medan eksternal
bilangan kompleks vµ(x), vµ(s), a
µ(x), s(x), dan p(x),
L = L0QCD + Lext = L0
QCD + qγµ
(vµ +
1
3vµ
(s) + γ5aµ
)q − q(s− iγ5p)q. (2.67)
24
Γ 1 γµ σµν γ5 γµγ5
γ0Γγ0 1 γµ σµν −γ5 −γµγ5
Tabel 2.4: Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac Γ terhadap paritas.
Medan-medan eksternal adalah color-netral, matriks Hermitian 3× 3, dimana
vµ =8∑
a=1
λa
2vµ
a , aµ =8∑
a=1
λa
2aµ
a , s =8∑
a=1
λasa, p =8∑
a=1
λapa, (2.68)
Biasanya tiga flavor lagrangian QCD diperoleh dengan memasang vµ = vµ(s) = aµ =
p = 0 dan s = diag(mu,md,ms) di dalam pers. (2.67).
Lagrangian yang dibutuhkan dari pers. (2.67) adalah Hermitian dan invari-
an terhadap P, C, dan T yang menimbulkan batasan-batasan pada sifat transfor-
masi dari medan-medan eksternal. Kenyataannya, keadaan ini hanya cukup dengan
memikirkan P dan C karena T kemudian secara otomatis memperlihatkan peng-
gabungan ke teorema CPT .
Terhadap paritas, medan-medan quark bertransformasi sebagai
qf (t, ~x)P7→ γ0qf (t,−~x), (2.69)
dan syarat kekekalan paritas
L(t, ~x)P7→ L(t,−~x), (2.70)
dengan memakai hasil-hasil dari tabel 2.4, medan-medan eksternal bertransformasi
terhadap paritas seperti
vµ P7→ vµ, vµ(s)
P7→ v(s)µ , aµ P7→ −aµ, s
P7→ s, pP7→ −p. (2.71)
Pada pers.(2.71) tersebut, dipahami bahwa argumen-argumen berubah dari (t, ~x) ke
(t,−~x). Hal yang sama, terhadap konjugasi muatan medan-medan quark bertrans-
formasi sebagai
qα,fC7→ Cαβ qβ,f , qα,f
C7→ −qβ,fC−1βα , (2.72)
dimana indeks bawah α dan β adalah indeks-indeks spinor Dirac,
C = iγ2γ0 = i
(0 σ2
−σ2 0
) (1 00 −1
)= i
(0 −σ2
−σ2 0
)
25
Γ 1 γµ σµν γ5 γµγ5
−CΓT C 1 −γµ −σµν γ5 γµγ5
Tabel 2.5: Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac terhadap konjugasimuatan.
=
0 0 0 −10 0 1 00 −1 0 01 0 0 0
= −C−1 = −C† = −CT
adalah matriks konjugasi muatan dan f merujuk pada flavor. Dengan menggunakan
qΓFq = qα,fΓαβFff′qβ,f
′
C7→ −qγ,fC−1γα ΓαβFff
′ qδ,f′
Statistik Fermi= qδ,f
′ Fff′︸︷︷︸
F T
ff′
C−1γα ΓαβCβδ︸ ︷︷ ︸(C−1ΓC)T
δγ
qγ,f
= qF T (C−1ΓC)T
︸ ︷︷ ︸CT ΓT C−1T
q
= −qCΓT CF T q
dengan kombinasi dalam tabel 2.5 secara langsung ditunjukkan bahwa invarian dari
Lext terhadap konjugasi muatan membutuhkan sifat-sifat transformasi
vµC→ −vT
µ , v(s)µ
C→ −v(s)Tµ , aµ
C→ aTµ , s, p
C→ sT , pT , (2.73)
Akhirnya, pers. (2.67) dapat ditulis dalam suku-suku medan quark left-handed
dan right-handed. Disamping sifat-sifat dari pers. (2.29) - (2.31) dan, menggunakan
formula pembantu
γ5PR = PRγ5 = PR, γ5PL = PLγ5 = −PL
dan
γµPR = PLγµ, γµPL = PRγµ
untuk menghasilkan
qγµ(vµ +1
3v(s)
µ + γ5aµ)q = qγµ
(vµ + aµ + vµ − aµ
2+
1
3v(s)
µ + γ5aµ
)q,
26
dan juga memisalkan
rµ = vµ + aµ, lµ = vµ − aµ ⇔ vµ =1
2(rµ + lµ), aµ =
1
2(rµ − lµ). (2.74)
sehingga
qγµ(vµ +1
3v(s)
µ + γ5aµ)q =1
2qγµ
[rµ + lµ +
2
3v(s)
µ + γ5(rµ − lµ)
]q
=1
2(qL + qR)γµ
[2rµqR +
2
3v(s)
µ qR + 2lµqL +2
3v(s)
µ qL
]
= qRγµ
(rµ +
1
3v(s)
µ
)qR + qLγµ
(lµ +
1
3v(s)
µ
)qL.
Hal yang sama, dapat ditulis kembali bagian kedua yang berisi medan skalar dan
pseudoskalar eksternal,
q(s− iγ5p)q = q(PR + PL)(s− iγ5p)(PR + PL)q
= qLsqR + qRsqL − iqLpqR + iqRpqL
= qL(s− ip)qR + qR(s + ip)qL,
yang Lagrangian (2.67) menjadi
L = LQCD0 + qγµ
(vµ +
1
3v(s)
µ + γ5aµ
)q − q(s− iγ5p)q
= L0QCD + qLγµ
(lµ +
1
3v(s)
µ
)qL + qRγµ
(rµ +
1
3v(s)
µ
)qR
−qR(s + ip)qL − qL(s− ip)qR. (2.75)
Persamaan (2.75) tetap invarian terhadap transformasi lokal
qR 7→ exp
(−i
Θ(x)
3
)VR(x)qR,
qL 7→ exp
(−i
Θ(x)
3
)VL(x)qL, (2.76)
dimana VR(x) and VL(x) adalah matriks-matriks SU(3) yang bergantung ruang-
waktu yang bebas, asalkan medan-medan eksternal tunduk pada transformasi
rµ 7→ VRrµV†R + iVR∂µV
†R,
lµ 7→ VLlµV†L + iVL∂µV
†L ,
v(s)µ 7→ v(s)
µ − ∂µΘ,
s + ip 7→ VR(s + ip)V †L ,
s− ip 7→ VL(s− ip)V †R. (2.77)
27
Suku-suku turunan di dalam pers. (2.77) menyajikan maksud yang sama seperti
dalam konstruksi teori gauge, yaitu, suku-suku tersebut membatalkan suku-suku
analog yang berasal dari bagian kinetik dari Lagrangian quark.
Pada penggambaran interaksi-interaksi semileptonik seperti π− → µ−νµ, π− →π0e−νe, atau peluruhan neutron n → pe−νe, diperlukan interaksi quark dengan
boson lemah bermuatan dan massive W±µ = (W1µ ∓ iW2µ)/
√2,
rµ = 0, lµ = − g√2(W+
µ T+ + h.c.), (2.78)
dimana h.c. mengacu pada konjugat Hermitian dan
T+ =
0 Vud Vus
0 0 00 0 0
.
Disini, Vij merupakan elemen-elemen matriks quark-mixing Cabibbo-Kobayashi-
Maskawa (CKM) yang menggambarkan transformasi antara keadaan eigen QCD
dan keadaan eigen lemah
|Vud| = 0.9735± 0.0008, |Vus| = 0.2196± 0.0023.
Pada orde paling rendah dalam teori perturbasi, konstanta Fermi dihubungkan ke
kopling gauge g dan massa W sebagai
GF =√
2g2
8M2W
= 1.16639(1)× 10−5 GeV−2.
Dengan menggunakan
qLγµW+µ T+qL = qPRγµW+
µ T+PLq
= W+µ (u d s) PRγµ
︸ ︷︷ ︸γµPL
0 Vud Vus
0 0 00 0 0
PL
uds
= W+µ (u d s)γµ 1
2(1− γ5)
Vudd + Vuss00
=1
2W+
µ [Vuduγµ(1− γ5)d + Vusuγµ(1− γ5)s],
dengan memasukkan pers. (2.78) ke dalam pers. (2.75) menimbulkan interaksi
lemah arus muatan standar dalam sektor quark ringan,
Lext = qLγµ
(lµ +
1
3v(s)
µ
)qL + qRγµ
(rµ +
1
3v(s)
µ
)qR
28
−qR(s + ip)qL − qL(s− ip)qR
= qLγµlµqL
= −qLγµ g√2
(W+T+ + h.c)qL
= − g
2√
2
{W+µ [Vuduγµ(1− γ5)d + Vusuγµ(1− γ5)s] + h.c.
}.
29
Bab 3
Kerusakan Simetri Spontan danLagrangian Efektif
3.1 Kerusakan Simetri Chiral Karena Suku Massa
Quark
Persamaan (2.42) memperbolehkan untuk mendiskusikan divergensi dalam kehadi-
ran massa-massa quark. Untuk mencapai maksud tersebut, sekarang dipertim-
bangkan matriks massa quark dari tiga quark ringan dan proyeksinya pada sembilan
matriks λ dari persamaan (2.17),
M =
mu 0 00 md 00 0 ms
=mu + md + ms√
6λ0 +
(mu + md)/2−ms√3
λ8 +mu −md
2λ3 (3.1)
Pada khususnya, menggunakan pers. (2.33) dapat dilihat bahwa suku massa quark
mencampur medan left-handed dan right-handed,
L = −qMq = −(qRMqL + qLMqR) (3.2)
Dari LM dihasilkan variasi δLM terhadap transformasi pers. (2.35)
δLM =∂LM
∂qR
δqR +∂LM
∂∂µqR
∂µδqR
︸ ︷︷ ︸0
+δqR∂LM
∂qR
+ ∂µδqR∂LM
∂∂µqR︸ ︷︷ ︸0
∂LM
∂qL
δqL +∂LM
∂∂µqL
∂µδqL
︸ ︷︷ ︸0
+δqL∂LM
∂qL
+ ∂µδqL∂LM
∂∂µqL︸ ︷︷ ︸0
30
= −qLM
[−i
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)qR
]− qRi
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)MqL
−qRM
[−i
(8∑
a=1
ΘLa
λa
2+ ΘL
)qL
]− qLi
(8∑
a=1
ΘLa
λa
2+ ΘL
)MqR
= −i
[qR
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)MqL − qRM
(8∑
a=1
ΘLa
λa
2+ ΘL
)qL
+qL
(8∑
a=1
ΘLa
λa
2+ ΘL
)MqR − qLM
(8∑
a=1
ΘRa
λa
2+ ΘR
)qR
]
= −i
[8∑
a=1
ΘRa
(qR
λa
2MqL − qLM
λa
2qR
)+ ΘR (qRMqL − qLMqR)
+8∑
a=1
ΘLa
(qL
λa
2MqR − qRM
λa
2qL
)+ ΘL (qLMqR − qRMqL)
](3.3)
yang menghasilkan divergensi-divergensi berikut
∂µLµ,a =
∂δLM
∂ΘLa
= −i
(qL
λa
2MqR − qRM
λa
2qL
),
∂µRµ,a =
∂δLM
∂ΘRa
= −i
(qR
λa
2MqL − qLM
λa
2qR
),
∂µLµ =
∂δLM
∂ΘL= −i (qLMqR − qRMqL) ,
∂µRµ =
∂δLM
∂ΘR= −i (qRMqL − qLMqR) . (3.4)
Anomali masih belum dipikirkan. Mempergunakan pers. (2.33) untuk masalah arus
vektor dan memasukkan operator-operator proyeksi dalam penurunan pers. (2.51)
untuk arus aksial-vektor, divergensi yang sesuai adalah
∂µVµ,a = ∂µR
µ,a + ∂µLµ,a
= −i
(qR
λa
2MqL − qLM
λa
2qR
)− i
(qL
λa
2MqR − qRM
λa
2qL
)
= iq
[M,
λa
2
]q,
∂µAµ,a = ∂µR
µ,a − ∂µLµ,a
= −i
(qR
λa
2MqL − qLM
λa
2qR
)+ i
(qL
λa
2MqR − qRM
λa
2qL
)
= i
(qLM
λa
2qR + qL
λa
2MqR
)− i
(qR
λa
2MqL + qRM
λa
2qL
)
31
= iq
{λa
2,M
}γ5q,
∂µVµ = ∂µR
µ + ∂µLµ
= −i (qRMqL − qLMqR)− i (qLMqR − qRMqL)
= 0
∂µAµ = ∂µR
µ − ∂µLµ
= −i (qRMqL − qLMqR) + i (qLMqR − qRMqL)
= 2iqM(PR − PL)q
= 2iqMγ5q +3g2
32πεµνρσGµν
a Gρσa , ε0123 = 1, (3.5)
dimana anomali aksial juga diambil ke dalam hitungan. Kesimpulan yang diperoleh
dalam variasi simetri dari interaksi kuat dalam kombinasi arus-arus terkait dan
divergensinya adalah sebagai berikut.
• Di dalam batas quark tak bermassa, 16 arus Lµ,a dan Rµ,a, atau dengan alter-
natif V µ,a dan Aµ,a adalah kekal. Hal yang sama juga benar untuk arus vektor
singlet V µ, sedangkan arus aksial-vektor Aµ mempunyai anomali.
• Untuk beberapa nilai dari massa-massa quark, arus flavor individu uγµu, dγµd,
dan sγµs selalu kekal dalam interaksi kuat yang mencerminkan kebebasan
flavor dari kopling kuat dan diagonalitas dari matriks massa quark. Tentunya,
arus vektor singlet V µ adalah jumlah dari tiga arus flavor, selalu kekal.
• Disamping anomali, arus aksial-vektor singlet mempunyai divergensi eksplisit
karena massa-massa quark.
• Untuk massa quark sama, mu = md = ms, delapan arus vektor V µ,a kekal,
karena [λa, 1] = 0. Skenario semacam itu adalah awal dari simetri SU(3)
yang mula-mula diajukan oleh Gell-Mann dan Ne’eman. Delapan arus aksial
Aµ,a tidak kekal. Divergensi dari arus aksial-vektor oktet dari pers. (3.5) se-
banding dengan bentuk kuadratik pseudoskalar. Ini dapat diartikan sebagai
asal mula mikroskopik dari hubungan PCAC (partially conserved axial-vector
current) yang menyatakan bahwa divergensi dari arus aksial-vektor sepadan
terhadap operator-operator medan ternormalisasi yang mewakili oktet pseu-
doskalar terendah.
32
3.2 Kerusakan Spontan Dari Simetri Global, Kon-
tinu, Non-Abelian
Sekarang akan dibahas masalah kerusakan simetri yang nantinya akan menimbulkan
massa boson Goldstone. Untuk tujuan tersebut akan diperhatikan sistem dengan
simetri SO(3) yang kontinu, non-Abelian dan mempertimbangkan suatu lagrangian
berikut
L(~Φ, ∂µ~Φ) = L(Φ1, Φ2, Φ3, ∂µΦ1, ∂µΦ2, ∂µΦ3)
=1
2∂µΦi∂
µΦi − m2
2ΦiΦi − λ
4(ΦiΦi)
2, (3.6)
dimana m2 < 0, λ > 0, dengan medan-medan Hermitian Φi. Lagrangian dari pers.
(3.6) adalah invarian terhadap rotasi ”isospin” global ,1
g ∈ SO(3) : Φi → Φ′i = Dij(g)Φj = (e−iαkTk)ijΦj. (3.7)
Untuk Φ′i juga Hermitian, Tk harus Hermitian yang murni imajiner dan anti-simetrik.
iTk memberikan basis dari sebuah representasi aljabar Lie so(3) dan yang memenuhi
hubungan komutasi [Ti, Tj] = iεijkTk.2 Di sini akan dipakai representasi dengan
elemen-elemen matriks yang diberikan oleh tijk = −iεijk. Potensial minimum yang
tidak bergantung pada x adalah
V(Φ) =m2
2Φ2 +
λ
4Φ4
∂V∂Φ
= m2Φ + λΦ3 = 0
Φ(m2 + λΦ2) = 0
Φ2 = −m2
λ
|~Φmin| =√−m2
λ≡ v, |~Φ| =
√Φ2
1 + Φ22 + Φ2
3. (3.8)
Perturbasi eksternal yang infinitesimal dan tidak invarian terhadap SO(3) akan dip-
ilih pada satu arah tertentu, dengan orientasi yang tepat dari kerangka koordinat
internal, yaitu arah-3,
~Φmin = ve3. (3.9)
1Tentunya, Lagrangian invarian terhadap grup lengkap O(3) yang dapat diuraikan menjadi duakomponennya : rotasi sebenarnya yang dihubungkan terhadap identitas, SO(3), dan rotasi-refleksi.Maksud kita adalah cukup membicarakan SO(3).
2Lihat apendiks
33
Jelas, ~Φmin dari pers. (3.8) tidak invarian menurut grup lengkap G = SO(3) karena
rotasi melalui sumbu-1 dan sumbu-2 mengubah ~Φmin. Untuk kasus tertentu, jika
~Φmin = v
001
,
diperoleh
T1~Φmin = v
0−i0
, T2
~Φmin = v
i00
, T3
~Φmin = 0. (3.10)
Catatan bahwa himpunan transformasi yang tidak membiarkan ~Φmin invarian tidak
membentuk sebuah grup, karena transformasi tidak berisi identitas. Pada sisi lain,
~Φmin invarian terhadap subgrup H dari G, yaitu, rotasi melalui sumbu-3 :
h ∈ H : ~Φ′ = D(h)~Φ = e−iα3T3~Φ, D(h)~Φmin = ~Φmin. (3.11)
Sekarang dengan menambahkan suatu medan disekitar Φmin yaitu v, maka
Φ3 = v + η, (3.12)
dan menghasilkan ekspresi baru untuk potensial
V =m2
2Φ2 +
λ
4Φ4
=m2
2
(Φ2
1 + Φ22 + (v + η)2
)+
λ
4
(Φ2
1 + Φ22 + (v + η)2
)2
=m2
2
(Φ2
1 + Φ22 + η2
)+
λ
4
(Φ2
1 + Φ22 + η2
)2+ (v2 + 2vη)
(m2
2+
λ
4(v2 + 2vη)
)
+λ
2
(Φ2
1 + Φ22 + η2
)(v2 + 2vη)
=(Φ2
1 + Φ22 + η2
)
m2
2︸︷︷︸m2=−λv2
+λ
2(v2 + 2vη)
+
λ
4
(Φ2
1 + Φ22 + η2
)2+ (v2 + 2vη)
(−λ
2v2 +
λ
4v2 +
λ
2vη
)
= λvη(Φ2
1 + Φ22 + η2
)+
λ
4
(Φ2
1 + Φ22 + η2
)2 − λ
4v4 − λ
2v3η +
λ
2v3η + λv2︸︷︷︸
−m2
η2
= −m2η2 + λvη(Φ2
1 + Φ22 + η2
)+
λ
4
(Φ2
1 + Φ22 + η2
)2 − λ
4v4
=1
2(−2m2)η2 + λvη
(Φ2
1 + Φ22 + η2
)+
λ
4
(Φ2
1 + Φ22 + η2
)2 − λ
4v4. (3.13)
34
-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2
0
2
4
-2
-1
0
1
2
Gambar 3.1: Potential dua dimensi yang invarian terhadap rotasi: V(x, y) = −(x2 +
y2) + (x2+y2)2
4.
Dengan memeriksa suku-suku kuadratik dalam medan-medan, setelah kerusakan
simetri spontan, diperoleh dua boson Goldstone tak bermassa dan satu boson yang
massive:
m2Φ1
= m2Φ2
= 0,
m2η = −2m2. (3.14)
Ciri-ciri model bebas dari contoh di atas diberikan oleh kenyataan bahwa untuk
setiap generator T1 dan T2 yang tidak memusnahkan keadaan dasar, dihasilkan bo-
son Goldstone tak bermassa. Dengan memakai penyederhanaan dua dimensi (li-
hat potensial “topi orang Meksiko” yang ditunjukkan Gb. 3.1) mekanisme yang
ada dapat dengan mudah dibayangkan. Variasi-variasi infinitesimal yang ortogonal
(tegak lurus) terhadap lingkaran dari potensial minimum menghasilkan suku-suku
kuadratik, yaitu, “gaya-gaya pemulih yang linear terhadap pergeseran,” mengingat
variasi-variasi tangensial mengalami gaya-gaya pemulih hanya pada orde-orde yang
lebih tinggi.
3.3 Teorema Goldstone
Diberikan sebuah operator Hamilton dengan grup simetri global G = SO(3), mis-
alkan ~Φ(x) = (Φ1(x), Φ2(x), Φ3(x)) merupakan triplet dari operator-operator Her-
35
mitian yang mengalami transformasi sebagai sebuah vektor pada G,
g ∈ G : ~Φ(x) 7→ ~Φ′(x) = eiP3
k=1 αkQk ~Φ(x)e−iP3
l=1 αlQl
= e−iP3
k=1 αkTk ~Φ(x) 6= ~Φ(x), (3.15)
dimana Qi adalah generator-generator dari SO(3) yang bertransformasi pada ruang
Hilbert yang memenuhi [Qi, Qj] = iεijkQk dan dan Ti = (tijk) adalah matriks-matriks
dari representasi tiga dimensi yang memenuhi tijk = −iεijk. Diasumsikan satu kom-
ponen dari multiplet memperoleh sebuah harga ekspektasi vakum yang tidak nol:
〈0|Φ1(x)|0〉 = 〈0|Φ2(x)|0〉 = 0, 〈0|Φ3(x)|0〉 = v 6= 0. (3.16)
Maka dua generator Q1 dan Q2 tidak memusnahkan keadaan dasar, dan untuk setiap
generator seperti itu berhubungan dengan sebuah boson Goldstone tak bermassa.
Untuk membuktikan dua pernyataan ini, diekspansikan pers. (3.15) untuk orde
pertama dalam αk:
~Φ′ = ~Φ + i
3∑
k=1
αk[Qk, ~Φ] = (1− i
3∑
k=1
αkTk)~Φ = ~Φ + ~α× ~Φ.
Dengan membandingkan suku-suku linear di dalam αk
i
3∑
k=1
αk[Qk, ~Φ] = ~α× ~Φ
i[αkQk, Φl] = εlkmαkΦm
dan dengan memperhatikan semua αk diperoleh
i[Qk, Φl] = εlkmΦm = −εklmΦm,
yang secara sederhana menyatakan fakta bahwa operator-operator medan Φi bertrans-
formasi sebagai sebuah vektor. Dengan memakai εklmεkln = 2δmn, didapatkan
iεkln[Qk, Φl] = −iεklmεklnΦm = −2δmnΦm
− i
2εkln[Qk, Φl] = δmnΦm = Φn.
Khususnya, untuk Φ3
Φ3 = − i
2ε123[Q1, Φ2]− i
2ε213[Q2, Φ1]
= − i
2([Q1, Φ2]− [Q2, Φ1]), (3.17)
36
Untuk membuktikan bahwa Q1 dan Q2 tidak memusnahkan keadaan dasar, pers.
(3.15) diaplikasikan untuk ~α = (0, π/2, 0),
e−iα2T2 = 1− iα2T2 − α22T
22
2!+
α32T
32
3!+ · · ·
=
(1− α22/2! + · · ·) 0 (α2 − α3
2/3! + · · ·)0 1 0
−(α2 − α32/3! + · · ·) 0 (1− α2
2/2! + · · ·)
=
cos α2 0 sin α2
0 1 0− sin α2 0 cos α2
maka
e−i π2T2~Φ =
cos(π/2) 0 sin(π/2)0 1 0
− sin(π/2) 0 cos(π/2)
Φ1
Φ2
Φ3
=
0 0 10 1 0−1 0 0
Φ1
Φ2
Φ3
=
Φ3
Φ2
−Φ1
= ei π2Q2
Φ1
Φ2
Φ3
e−i π
2Q2 .
Dari baris pertama diperoleh
Φ3 = ei π2Q2Φ1e
−i π2Q2 .
Dengan mengambil harga ekspektasi vakum
v = 〈0|Φ3|0〉 = 〈0|ei π2Q2Φ1e
−i π2Q2|0〉
dan dengan menggunakan pers. (3.16) jelas Q2|0〉 6= 0. Argumen yang serupa me-
nunjukkan Q1|0〉 6= 0.
Pada poin ini, ada dua rangkuman. ”Keadaan-keadaan” Q1(2)|0〉 tidak dapat
dinormalisasi. Dalam penurunan yang lebih tepat digunakan integral dengan bentuk
∫d3x〈0|[J0,b(~x, t), Φc(0)]|0〉,
dan mula-mula ditentukan dahulu komutator sebelum menghitung integral. Bebera-
pa penurunan dari teorema Goldstone mulai dengan anggapan Q1(2)|0〉 6= 0. Namun,
37
untuk membicarakan kerusakan simetri spontan dalam kerangka kerja QCD, adalah
menguntungkan untuk menetapkan hubungan antara keberadaan boson-boson Gold-
stone dan harga ekspektasinya yang tidak nol.
Kemudian dengan mengambil harga ekspektasi vakum dari pers. (3.17)
0 6= v = 〈0|Φ3(0)|0〉 = − i
2〈0| ([Q1, Φ2(0)]− [Q2, Φ1(0)]) |0〉 ≡ − i
2(A−B).
Mula-mula akan ditunjukkan A = −B. Untuk hal itu maka dilakukan sebuah rotasi
pada medan dan juga generator dengan π/2 melalui sumbu-3 [lihat pers. (3.15)
dengan ~α = (0, 0, π/2)]:
e−iα3T3 = 1− iα3T3 − α23T
23
2!+
α33T
33
3!+ · · ·
=
(1− α23/2! + · · ·) −(α3 − α3
3/3! + · · ·) 0(α3 − α3
3/3! + · · ·) (1− α23/2! + · · ·) 0
0 0 1
=
cos α3 − sin α3 0sin α3 cos α3 0
0 0 1
maka
e−i π2T3~Φ =
cos(π/2) − sin(π/2) 0sin(π/2) cos(π/2) 0
0 0 1
Φ1
Φ2
Φ3
=
0 −1 01 0 00 0 1
Φ1
Φ2
Φ3
=
−Φ2
Φ1
Φ3
= ei π
2Q3
Φ1
Φ2
Φ3
e−i π
2Q3 ,
dan analog untuk operator-operator muatan
e−i π2T3 ~Q =
cos(π/2) − sin(π/2) 0sin(π/2) cos(π/2) 0
0 0 1
Q1
Q2
Q3
=
0 −1 01 0 00 0 1
Q1
Q2
Q3
=
−Q2
Q1
Q3
= ei π
2Q3
Q1
Q2
Q3
e−i π
2Q3 .
38
maka diperoleh
B = 〈0|[Q2, Φ1(0)]|0〉 = 〈0 |Q2Φ1(0)− Φ1(0)Q2 |0〉= 〈0 | ei π
2Q3(−Q1)Φ(0)e−i π
2Q3 + ei π
2Q3Φ2(0)Q1e
−i π2Q3 |0〉
= −〈0|ei π2Q3 [Q1, Φ2(0)]e−i π
2Q3|0〉
= −〈0|[Q1, Φ2(0)] + iπ
2Q3[Q1, Φ2(0)]− i[Q1, Φ2(0)]
π
2Q3
+π2
4Q3[Q1, Φ2(0)]Q3|0〉
= −〈0|[Q1, Φ2(0)]〉0 = −A,
dimana telah dibuat menggunakan Q3|0〉 = 0, yaitu, vakum invarian terhadap rotasi
sumbu-3.
〈0 |Φ1 |0〉 = 〈0 | ei π2Q3Φ2(x)e−i π
2Q3 |0〉
= 〈0 |(1 + i
π
2Q3
)Φ2(x)
(1− i
π
2Q3
)|0〉
=
〈0 |Φ2(x) |0〉︸ ︷︷ ︸
0
+iπ
2〈0 |Q3Φ2 − Φ2Q3 |0〉 +
π2
4〈0 |Q2
3 |0〉
= 0
∴ Q3 |0〉 = 0.
Oleh karena itu, harga ekspektasi vakum v yang tidak nol dapat juga ditulis
seperti
0 6= v = 〈0|Φ3(0)|0〉 = −i(A−B) = −iA = −i〈0|[Q1, Φ2(0)]|0〉= −i
∫d3x〈0|[J1
0 (t, ~x), Φ2(0)]|0〉. (3.18)
Jika dimasukkan himpunan kelengkapan dari keadaan-keadaan 1 =∑
n
∫ |n〉〈n| ke
dalam komutator 3
v = −i∑
n
∫ ∫d3x
(〈0|J10 (t, ~x)|n〉〈n|Φ2(0)|0〉 − 〈0|Φ2(0)|n〉〈n|J1
0 (t, ~x)|0〉) ,
3Singkatan∑
n
∫ |n〉〈n| menunjukkan integral terhadap seluruh momentum total ~p dan juga bi-langan kuantum lain yang diperlukan untuk menentukan keadaan-keadaan secara lengkap.
39
dan dengan memakai invarian translasi
v = −i∑
n
∫ ∫d3x
(e−iPn·x〈0|J1
0 (0)|n〉〈n|Φ2(0)|0〉
− 〈0|Φ2(0)|n〉〈n|J10 (0)|0〉eiPn·x)
= −i∑
n
∫ ∫d3x
(e−iEnt+i ~Pn·~x〈0|J1
0 (0)|n〉〈n|Φ2(0)|0〉
− 〈0|Φ2(0)|n〉〈n|J10 (0)|0〉eiEnt−i ~Pn·~x
)
= −i∑
n
∫(2π)3δ3(~Pn)
(e−iEnt〈0|J1
0 (0)|n〉〈n|Φ2(0)|0〉
−eiEnt〈0|Φ2(0)|n〉〈n|J10 (0)|0〉) .
Integrasi terhadap momentum, menghasilkan ekspresi berbentuk
= −i(2π)3
′∑n
(e−iEnt · · · − eiEnt · · ·) ,
dimana menyatakan bahwa hanya keadaan dengan ~P = 0 yang perlu dipertim-
bangkan. Karena sifat Hermitian dari operator-operator arus simetri Jµ,a dan juga
Φl, terdapat
cn := 〈0|J10 (0)|n〉〈n|Φ2(0)|0〉 = 〈n|J1
0 (0)|0〉∗〈0|Φ2(0)|n〉∗
c∗n := 〈n|Φ2(0)|0〉∗〈0|J10 (0)|n〉∗ = 〈0|Φ2(0)|n〉〈n|J1
0 (0)|0〉
sehingga
v = −i(2π)3
′∑n
(cne
−iEnt − c∗neiEnt). (3.19)
Dari pers. (3.19) terdapat kesimpulan sebagai berikut:
1. Karena asumsi awal tidak menghilangkan harga ekspektasi vakum v, maka
harus ada keadaan |n〉 untuk 〈0|J01(2)(0)|n〉 dan 〈n|Φ1(2)(0)|0〉 yang keduanya
tidak menghilang (nol). Vakum sendiri tidak dapat memberikan kontribusi ke
pers. (3.19) sebab 〈0|Φ1(2)(0)|0〉 = 0.
2. Keadaan-keadaan dengan En > 0 memberikan kontribusi (ϕn adalah fase dari
cn)
(2π)3
i
(cne
−iEnt − c∗neiEnt
)=
(2π)3
i|cn|
(eiϕne−iEnt − e−iϕneiEnt
)︸ ︷︷ ︸
2i sin(ϕn − Ent)
= 2|cn| sin(ϕn − Ent)
40
ke dalam sumasi. Namun, v tidak bergantung pada waktu dan oleh karena itu
keadaan-keadaan dengan (En > 0,~0) harus hilang.
3. Sisi kanan dari pers. (3.19) oleh karena itu harus berisi kontribusi dari keadaan-
keadaan dengan energi nol dan juga momentum nol, maka akibatnya timbul
suku massa nol. Keadaan-keadaan dengan massa nol inilah yang merupakan
boson-boson Goldstone.
3.4 Kerusakan Simetri Spontan Dalam QCD
Dari bagian 3.2, suatu model mainan dengan suatu konstruksi telah menimbulkan
kerusakan simetri spontan, namun hal ini tidak sepenuhnya dipahami secara teori
mengapa QCD seharusnya memperlihatkan fenomena ini. Di sini, mula-mula akan
diperhatikan mengapa suatu input eksperimen, yaitu spektrum hadron dari dunia
”nyata” mengindikasikan bahwa tidak menghilangnya singlet condensate quark skalar
adalah kondisi yang cukup untuk kerusakan simetri spontan dalam QCD.
3.4.1 Spektrum Hadron
Lagrangian QCD memiliki simetri SU(3)L× SU(3)R×U(1)V yang dalam batas chi-
ral massa-massa quark ringan menghilang (nol). Dari pemikiran simetri yang hanya
melibatkan Hamilton H0QCD, diharapkan bahwa hadron-hadron menyusun dirinya ke
dalam multiplet-multiplet terdegenerasi yang dimensinya cocok dari representasi ir-
redusibel dari grup SU(3)L×SU(3)R×U(1)V . Simetri U(1)V menghasilkan kekekalan
bilangan baryon 4 dan menimbulkan pengelompokan hadron menjadi meson (B = 0)
dan baryon (B = 1). Kombinasi linear QaV = Qa
R + QaL dan Qa
A = QaR − Qa
L dari
operator-operator muatan left- dan right-handed komutatif dengan H0QCD, mempun-
yai paritas yang berlawanan, dan oleh karena itu untuk beberapa keadaan dari
paritas positif diharapkan adanya keadaan terdegenerasi dari paritas negatif (pari-
tas ganda) yang dapat dilihat sebagai berikut. Misalkan |i, +〉 menunjukkan sebuah
4Lihat D.E Groom et al. [Particle Data Group Collaboration], Eur. Phys. J. C 15, (2000)untuk batas-batas empiris pada peluruhan pion seperti halnya bilangan baryon yang melanggarpeluruhan Z dan τ .
41
keadaan eigen dari H0QCD dengan harga eigen Ei,
H0QCD|i, +〉 = Ei|i, +〉,
mempunyai paritas positif,
P |i, +〉 = +|i, +〉,
seperti contohnya, anggota dari keadaan dasar baryon oktet (dalam batas chiral).
Dengan mendefinisikan |φ〉 = QaA|i, +〉, karena [H0
QCD, QaA] = 0, maka diperoleh
H0QCD|φ〉 = H0
QCDQaA|i, +〉 = Qa
AH0QCD|i, +〉 = EiQ
aA|i, +〉 = Ei|φ〉,
yaitu, keadaan baru |φ〉 juga merupakan keadaan eigen dari H0QCD dengan harga
eigen yang sama Ei tapi paritas berlawanan:
P |φ〉 = PQaAP−1P |i, +〉 = −Qa
A(+|i, +〉) = −|φ〉.
Keadaan |φ〉 dapat diekspansikan dalam suku-suku dari anggota multiplet dengan
paritas negatif,
|φ〉 = QaA|i, +〉 = −taij|j,−〉.
Akan tetapi, spektrum energi rendah dari baryon tidak berisi baryon oktet terdegen-
erasi dari paritas negatif. Secara alami timbul pertanyaan apakah rangkaian argu-
men di atas tidak lengkap. Sungguh, diam-diam telah diasumsikan bahwa keadaan
dasar QCD dimusnahkan oleh QaA.
Misalkan a†i secara simbolik menunjukkan sebuah operator yang mengkreasikan
kuanta dengan bilangan kuantum dari keadaan |i, +〉, sedangkan b†j mengkreasikan
kuanta terdegenerasi dari paritas yang berlawanan. Asumsi bahwa keadaan-keadaan
|i, +〉 dan |j,−〉 adalah anggota sebuah basis representasi irredusibel dari SU(3)L×SU(3)R. Diasumsikan bahwa terhadap SU(3)L × SU(3)R operator-operator kreasi
dihubungkan oleh
[QaA, a†i ] = −taijb
†j.
Jika QaA dikerjakan pada keadaan |i, +〉 maka didapat
QaA|i, +〉 = Qa
Aa†i |0〉 =([Qa
A, a†i ] + a†i QaA︸︷︷︸
↪→ 0
)|0〉 = −taijb
†j|0〉. (3.20)
42
Akan tetapi, jika kedaan dasar tidak dimusnahkan oleh QaA, alasan dari pers. (3.20)
tidak lagi dipergunakan.
Dua fakta empiris tentang spektrum hadron bahwa kerusakan simetri spontan
terjadi dalam batas chiral QCD. Pertama, SU(3) sebagai SU(3)L × SU(3)R kira-
kira disadari sebagai simetri dari hadron. Kedua, oktet dari meson pseudoskalar
adalah istimewa, dalam pengertian bahwa massa dari anggota-anggotanya lebih kecil
dibandingkan dengan meson vektor 1− yang terkait. Mereka adalah calon-calon
untuk boson Goldstone dari kerusakan simetri spontan.
Untuk mengerti asal mula dari simetri SU(3), dipertimbangkan muatan-muatan
vektor QaV = Qa
R + QaL [lihat pers. (2.46)]. Mereka memenuhi hubungan komutasi
dari aljabar Lie SU(3) [lihat pers. (2.63) - (2.66)],
[QaR + Qa
L, QbR + Qb
L] = [QaR, Qb
R] + [QaL, Qb
L] = ifabcQcR + ifabcQ
cL = ifabcQ
cV . (3.21)
Dalam acuan [18] telah ditunjukkan bahwa, dalam batas chiral, keadaan dasar perlu
invarian terhadap SU(3)V × U(1)V , yaitu, delapan muatan vektor QaV operator5
bilangan baryon QV /3 yang memusnahkan keadaan dasar,
QaV |0〉 = QV |0〉 = 0. (3.22)
Jika vakum invarian terhadap SU(3)V ×U(1)V , maka Hamiltonian juga [19] (tetapi
tidak sebaliknya). Selain itu invarian dari keadaan dasar dan Hamiltonian menya-
takan secara tidak langsung bahwa keadaan fisik dari spektrum H0QCD dapat dis-
usun menurut representasi irredusibel SU(3)V × U(1)V . Indeks V (untuk vektor)
mengindikasikan bahwa generator-generator berasal dari integral komponen ke nol
dari operator-operator arus vektor dan oleh karena itu mereka bertransformasi de-
ngan paritas negatif. Kombinasi linear QaA = Qa
R −QaL memenuhi hubungan komu-
tasi [lihat pers. (2.63) - (2.66)]
[QaA, Qb
A] = [QaR −Qa
L, QbR −Qb
L] = [QaR, Qb
R] + [QaL, Qb
L]
= ifabcQcR + ifabcQ
cL = ifabcQ
cV ,
[QaV , Qb
A] = [QaR + Qa
L, QbR −Qb
L] = [QaR, Qb
R]− [QaL, Qb
L]
= ifabcQcR − ifabcQ
cL = ifabcQ
cA. (3.23)
5Ingat bahwa setiap quark ditandai dengan bilangan baryona 1/3.
43
Catatan bahwa operator-operator muatan tidak membentuk aljabar tertutup, artinya
komutator dari dua operator muatan aksial tidak lagi sebuah operator muatan ak-
sial. Karena paritas ganda tidak diamati pada keadaan rendah, maka diasumsikan
bahwa QaA tidak memusnahkan keadaan dasar,
QaA|0〉 6= 0, (3.24)
yaitu, keadaan dasar QCD tidak invarian terhadap transformasi “aksial”. Menurut
teorema Goldstone [20, 21, 22, 23, 24], untuk setiap generator aksial QaA, yang tidak
memusnahkan keadaan dasar, terkait dengan sebuah medan boson Goldstone tak
bermassa φa(x) dengan spin 0, mempunyai sifat simetri yang sangat dekat generator
yang dibicarakan. Boson-boson Goldstone mempunyai sifat transformasi yang sama
terhadap paritas,
φa(~x, t)P7→ −φa(−~x, t), (3.25)
yaitu, mereka adalah pseudoskalar, dan bertransformasi terhadap subgrup H =
SU(3)V , yang membiarkan vakum invarian, sebagai suatu oktet [lihat pers. (3.23)]:
[QaV , φb(x)] = ifabcφ
c(x). (3.26)
Masalah saat ini, G = SU(3)L × SU(3)R dengan nG = 16 dan H = SU(3)V dengan
nH = 8, diharapkan ada n = nG − nH delapan boson Goldstone.
3.4.2 Condensate Quark skalar 〈qq〉Berikut ini akan ditunjukkan bahwa tidak menghilangnya condensate quark skalar
dalam batas chiral adalah kondisi yang cukup untuk kerusakan simetri spontan
dalam QCD.6
Sa(y) = q(y)λaq(y), a = 0, · · · , 8, (3.27)
Pa(y) = iq(y)γ5λaq(y), a = 0, · · · , 8. (3.28)
Relasi komutasi equal-time dari dua operator quark membentuk Ai(x) = q†(x)Aiq(x),
dimana Ai menunjukkan matriks Dirac- dan flavor, yang dapat ditulis sebagai [lihat
pers. (2.62)]
[A1(~x, t), A2(~y, t)] = δ3(~x− ~y)q†(x)[A1, A2]q(x). (3.29)
6Pada bagian ini semua kuantitas fisika seperti keadaan dasar, operator-operator quark dansebagainya dipertimbangkan dalam batas chiral.
44
Dengan definisi
QaV (t) =
∫d3xq†(~x, t)
λa
2q(~x, t),
dan menggunakan
[λa
2, γ0λ0] = 0,
[λa
2, γ0λb] = γ0ifabcλc,
setelah mengintegrasi pers. (3.29) terhadap ~x, kerapatan quark skalar dari pers.
(3.27) bertransformasi terhadap SU(3)V sebagai sebuah singlet dan sebagai oktet,
[QaV (t), S0(y)] = 0, a = 1, · · · , 8, (3.30)
[QaV (t), Sb(y)] = i
8∑c=1
fabcSc(y), a, b = 1, · · · , 8, (3.31)
hasil yang analog diperoleh untuk kerapatan quark pseudoskalar. Dengan menggu-
nakan8∑
a,b=1
fabcfabd = 3δcd (3.32)
untuk konstanta struktur SU(3), komponen oktet dari kerapatan quark skalar dapat
ditulis sebagai
Sa(y) = − i
3
8∑
b,c=1
fabc[QbV (t), Sc(y)], (3.33)
Dalam batas chiral, keadaan dasar perlu invarian terhadap SU(3)V [18], yaitu,
QaV |0〉 = 0, dan dari pers. (3.33) diperoleh
〈0|Sa(y)|0〉 = 〈0|Sa(0)|0〉 ≡ 〈Sa〉 = 0, a = 1, · · · , 8, (3.34)
diman telah digunakan invarian translasi dari keadaan dasar. Dengan kata lain,
komponen oktet dari condensate quark skalar harus hilang dalam batas chiral. Dari
pers. (3.34), untuk a = 3
〈uu〉 − 〈dd〉 = 0,
yaitu, 〈uu〉 = 〈dd〉 dan untuk a = 8
〈uu〉+ 〈dd〉 − 2〈ss〉 = 0,
45
yakni 〈uu〉 = 〈dd〉 = 〈ss〉. Pada pers. (3.30) argumen yang serupa tidak dap-
at digunakan untuk condensate singlet, dan jika diasumsikan tidak menghilangnya
condensate quark skalar singlet dalam batas chiral, maka dengan menggunakan pers.
(3.34) diperoleh
0 6= 〈qq〉 = 〈uu + dd + ss〉 = 3〈uu〉 = 3〈dd〉 = 3〈ss〉. (3.35)
Akhirnya, dengan memakai
(i)2[γ5λa
2, γ0γ5λa] = λ2
aγ0
dikombinasikan dengan
λ21 = λ2
2 = λ23 =
1 0 00 1 00 0 0
,
λ24 = λ2
5 =
1 0 00 0 00 0 1
,
λ26 = λ2
7 =
0 0 00 1 00 0 1
,
λ28 =
1
3
1 0 00 1 00 0 4
diperoleh
i[QAa (t), Pa(y)] =
uu + dd, a = 1, 2, 3uu + ss, a = 4, 5dd + ss, a = 6, 7
13(uu + dd + 4ss), a = 8.
(3.36)
Evaluasi pers. (3.36) untuk keadaan dasar yang invarian terhadap SU(3)V , dengan
asumsi tidak menghilangkan condensate singlet quark skalar,
〈0|i[QAa (t), Pa(y)]|0〉 =
2
3〈qq〉, a = 1, · · · , 8, (3.37)
dimana, karena invarian translasi, sebelah kanan tidak bergantung pada y. Kerap-
atan pseudoskalar Pa(y) dan juga operator-operator muatan aksial QaA harus mem-
punyai elemen matriks yang tidak nol antara vakum dan satu keadaan partikel tak
bermassa |φb〉. Khususnya, karena kovarian Lorentz, elemen matriks dari operator
46
Bagian 3.3 Model O(N) QCDsigma linier
Grup simetri G O(3) O(N) SU(3)L × SU(3)R
dari kerapatanLagrangian
Jumlah 3 N(N − 1)/2 16generator nG
Grup simetri H O(2) O(N − 1) SU(3)V
dari keadaandasar
Jumlah 1 (N − 1)(N − 2)/2 8generator nH
Jumlah boson 2 N − 1 8GoldstonenG − nH
Multiplet dari (Φ1(x), Φ2(x)) (Φ1(x), · · · , ΦN−1(x)) iq(x)γ5λaq(x)medan-medan
boson GoldstoneHarga v = 〈Φ3〉 v = 〈ΦN〉 v = 〈qq〉
ekspektasivakum
Tabel 3.1: Perbandingan kerusakan simetri spontan.
arus aksial vektor antara vakum dan keadaan tak bermassa ini, setelah dinormalisasi
dengan tepat, dapat ditulis seperti
〈0|Aaµ(0)|φb(p)〉 = ipµF0δ
ab, (3.38)
dimana F0 ≈ 93 MeV merupakan konstanta “peluruhan” boson Goldstone dalam
batas chiral. Dengan asumsi QaA|0〉 6= 0, sebuah nilai yang tidak nol dari F0 adalah
kriteria yang perlu dan cukup untuk kerusakan simetri chiral spontan. Pada sisi lain,
karena (3.37) tidak menghilangnya condensate quark skalar 〈qq〉 adalah kondisi yang
cukup (tapi tidak perlu) untuk kerusakan simetri spontan dalam QCD.
3.5 Lagrangian Efektif Orde Terendah
Pokok bahasan ini bertujuan untuk membangun teori paling umum yang men-
jelaskan dinamika boson Goldstone yang diasosiasikan dengan kerusakan simetri
47
spontan di dalam QCD. Dalam batas chiral, diharapkan Lagrangian efektif invarian
terhadap SU(3)L × SU(3)R × U(1)V . Lagrangian efektif seharusnya mengandung
delapan derajat kebebasan pseudoskalar yang bertransformasi sebagai sebuah oktet
terhadap subgrup H = SU(3)V . Selain itu, dengan menghitung kerusakan simetri
spontan, keadaan dasar seharusnya hanya invarian terhadap SU(3)V × U(1)V .
Variabel-variabel dinamis dalam matriks SU(3), U(x),
U(x) = exp
(iφ(x)
F0
),
φ(x) =8∑
a=1
λaφa(x) ≡
π0 + 1√3η
√2π+
√2K+
√2π− −π0 + 1√
3η
√2K0
√2K− √
2K0 − 2√3η
. (3.39)
Umumnya kerapatan Lagrangian efektif yang invarian secara chiral dengan jumlah
turunan minimal berbentuk
Leff =F 2
0
4Tr
(∂µU∂µU †) , (3.40)
dimana F0 ≈ 93 MeV parameter bebas yang kemudian akan dihubungkan ke pelu-
ruhan pion.π+ → µ+νµ.
Mula-mula Lagrangian invarian terhadap transformasi global SU(3)L × SU(3)R
U 7→ RUL†,
∂µU 7→ ∂µ(RUL†) = ∂µR︸︷︷︸0
UL† + R∂µUL† + RU ∂µL†
︸︷︷︸0
= R∂µUL†,
U † 7→ LU †R†,
∂µU† 7→ L∂µU
†R†,
oleh karena itu
Leff 7→ F 20
4Tr
(R∂µU L†L︸︷︷︸
1
∂µU †R†)
=F 2
0
4Tr
(R†R︸︷︷︸
1
∂µU∂µU †)
= Leff ,
dimana telah dibuat menggunakan sifat trace Tr(AB) = Tr(BA). Invarian global
U(1)V secara trivial dipenuhi, karena boson Goldstone mempunyai bilangan baryon
nol, maka bertransformasi sebagai φ 7→ φ menurut U(1)V yang juga menyatakan
U 7→ U . Maksud konstanta pengali F 20 /4 dalam pers. (3.40) adalah untuk meng-
hasilkan bentuk standar dari suku kuadratik 12∂µφa∂
µφa, yang dapat dilihat dengan
48
mengekspansikan eksponensial U = 1 + iφ/F0 + · · ·, ∂µU = i∂µφ/F0 + · · ·, meng-
hasilkan
Leff =F 2
0
4Tr
[i∂µφ
F0
(− i∂µφ
F0
)]+ · · · = 1
4Tr(λa∂µφaλb∂
µφb) + · · ·(2.8)=
1
4∂µφa∂
µφbTr(λaλb) + · · · = 1
2∂µφa∂
µφa + Lint,
Secara khusus,karena tidak ada suku-suku lain yang hanya dua medan (Lint dimulai
dengan suku interaksi yang mengandung sedikitnya empat medan), delapan medan
φa menggambarkan delapan partikel tak bermassa. Sebuah tipe Tr[(∂µ∂µU)U †] boleh
dinyatakan kembali sebagai7
Tr[(∂µ∂µU)U †] = ∂µ[Tr(∂µUU †)]− Tr(∂µU∂µU
†),
yakni, turunan totalnya adalah sebanding dengan Lagrangian dari pers. (3.30). Ben-
tuk umum medan SU(N)
U = exp
(iΛaφa(x)
F0
),
dengan N2 − 1 matiks Λa yang Hermitian, tidak mempunyai trace dan medan riil
φa(x). Dengan mendefinisikan Φ = Λaφa/F0, maka ekspansi eksponensialnya adalah
U = 1 + iΦ +1
2(iΦ)2 +
1
3!(iΦ)3 + · · ·
dan turunannya8
∂µU = i∂µΦ +1
2(i∂µΦiΦ + iΦi∂µΦ) +
1
3![i∂µΦ(iΦ)2 + iΦi∂µΦiΦ + (iΦ)2i∂µΦ] + · · · .
Maka diperoleh
Tr(∂µUU †) = Tr[i∂µΦU † +1
2(i∂µΦiΦ + iΦi∂µΦ)U † + · · ·]
= Tr[i∂µΦU † + i∂µΦiΦU † +1
2i∂µΦ(iΦ)2U † + · · ·]
= Tr(i∂µΦ UU †︸︷︷︸1
) = Tr(i∂µΦ) = iF0∂µφa Tr(Λa)︸ ︷︷ ︸0
= 0, (3.41)
dimana telah digunakan [Φ, U †] = 0. Kembali ke arus vektor dan aksial vektor yang
dikaitkan dengan simetri global SU(3)L × SU(3)R Lagrangian efektif pers. (3.40).
7Dalam hal ini Tr(∂µUU†) = 0.8Φ and ∂µΦ umumnya adalah matriks dan tidak komutatif.
49
Untuk maksud tersebut diparameterisasi
L = exp
(−iΘL
a
λa
2
), (3.42)
R = exp
(−iΘR
a
λa
2
). (3.43)
Untuk membangun Jµ,aL , dipasang ΘR
a = 0 dan dipilih ΘLa = ΘL
a (x). Maka untuk
orde pertama dalam ΘLa ,
U 7→ U ′ = RUL† = U
(1 + iΘL
a
λa
2
),
U † 7→ U ′† =
(1− iΘL
a
λa
2
)U †,
∂µU 7→ ∂µU′ = ∂µU
(1 + iΘL
a
λa
2
)+ Ui∂µΘL
a
λa
2,
∂µU† 7→ ∂µU
′† =
(1− iΘL
a
λa
2
)∂µU
† − i∂µΘLa
λa
2U †, (3.44)
dari sini diperoleh untuk δLeff :
δLeff =F 2
0
4Tr
[Ui∂µΘL
a
λa
2∂µU † + ∂µU
(−i∂µΘL
a
λa
2U †
)]
=F 2
0
4i∂µΘL
a Tr
[λa
2(∂µU †U − U †∂µU)
]
=F 2
0
4i∂µΘL
a Tr(λa∂
µU †U). (3.45)
(Langkah terakhir digunakan
∂µU †U = −U †∂µU,
yang didapat dengan mendiffrensialkan U †U = 1.) Maka diperoleh arus kiri (left-
currents)
Jµ,aL =
∂δLeff
∂∂µΘLa
= iF 2
0
4Tr
(λa∂
µU †U), (3.46)
dan analog dengan memilih ΘLa = 0 dan ΘR
a = ΘRa (x),
Jµ,aR =
∂δLeff
∂∂µΘRa
= −iF 2
0
4Tr
(λaU∂µU †) (3.47)
untuk arus kanan (right-currents). Kombinasi antara pers. (3.46) dan (3.47), arus
vektor dan aksial vektor menjadi
Jµ,aV = Jµ,a
R + Jµ,aL = −i
F 20
4Tr
(λa[U, ∂µU †]
), (3.48)
Jµ,aA = Jµ,a
R − Jµ,aL = −i
F 20
4Tr
(λa{U, ∂µU †}) . (3.49)
50
Selanjutnya, karena simetri dari Leff terhadap SU(3)L × SU(3)R, arus vektor dan
aksial vektor keduanya kekal. Kerapatan arus vektor Jµ,aV dari pers. (3.48) hanya
mengandung suku-suku dengan sejumlah genap boson Goldstone,
Jµ,aV
φ 7→ −φ7→ −iF 2
0
4Tr[λa(U
†∂µU − ∂µUU †)]
= −iF 2
0
4Tr[λa(−∂µU †U + U∂µU †)] = Jµ,a
V .
Pada sisi lain, ekspresi untuk arus aksial vektor memiliki jumlah boson Goldstone
ganjil,
Jµ,aA
φ 7→ −φ7→ −iF 2
0
4Tr[λa(U
†∂µU + ∂µUU †)]
= iF 2
0
4Tr[λa(∂
µU †U + U∂µU †)] = −Jµ,aA .
Untuk mendapatkan suku utama, medan dari pers. (3.49) diekspansikan ,
Jµ,aA = −i
F 20
4Tr
(λa
{1 + · · · ,−i
λb∂µφb
F0
+ · · ·})
= −F0∂µφa + · · ·
dari sini disimpulkan bahwa arsu aksial vektor tidak menghilangkan elemen ma-
triks saat dievaluasi diantara vakum dan satu keadaan boson Goldstone [lihat pers.
(3.38)]:
〈0|Jµ,aA (x)|φb(p)〉 = 〈0| − F0∂
µφa(x)|φb(p)〉= −F0∂
µ exp(−ip · x)δab = ipµF0 exp(−ip · x)δab.
F0 akan dihubungkan dengan konstanta peluruhan pion π+ → µ+νµ.
Suku massa dari QCD yang menghasilkan kerusakan simetri eksplisit adalah
LM = −qRMqL − qLM †qR, M =
mu 0 00 md 00 0 ms
. (3.50)
Meskipun M kenyataanya adalah matriks konstanta dan tidak bertransformasi de-
ngan medan quark, LM dari pers. (3.50) akan invarian jika M ditransformasikan
seperti ini
M 7→ RML†. (3.51)
Pada orde terendah dalam M diperoleh
Ls.b. =F 2
0 B0
2Tr(MU † + UM †), (3.52)
51
dimana indeks s.b. menunjuk pada kerusakan simetri (symmetry breaking). Untuk
menginterpretasikan parameter baru B0, diprtimbangkan suatu kerapatan energi
dari keadaan dasar (U = U0 = 1),
〈Heff〉 = −F 20 B0(mu + md + ms), (3.53)
dan membandingkan turunannya dengan massa quark ringan mq dengan kuantitas
yang terkait di dalam QCD,
∂〈0|HQCD|0〉∂mq
∣∣∣∣mu=md=ms=0
=1
3〈0|qq|0〉0 =
1
3〈qq〉,
dimana 〈qq〉 adalah condensate quark skalar dari pers. (3.35). Di dalam kerangka
kerja Lagrangian efektif orde terendah, konstanta B0 dihubungkan ke condencate
quark skalar
3F 20 B0 = −〈qq〉. (3.54)
Sedikit kesimpulan.
1. Suku Tr(M) terhadap M sendiri tidak invarian.
2. Kombinasi Tr(MU † − UM †) mempunyai sifat yang salah terhadap paritas
φ(~x, t) 7→ −φ(−~x, t), karena
Tr[MU †(~x, t)− U(~x, t)M †]P7→ Tr[MU(−~x, t)− U †(−~x, t)M †]
M=M†= −Tr[MU †(−~x, t)− U(−~x, t)M †].
3. Karena M = M †, Ls.b. hanya mengandung suku-suku genap di dalam φ.
Untuk menentukan massa-massa boson Goldstone, diperkenalkan suku kedua dalam
medan dari Ls.b.,
Ls.b = −B0
2Tr(φ2M) + · · · . (3.55)
Dengan menggunakan pers. (3.39) diperoleh
Tr(φ2M) = 2(mu + md)π+π− + 2(mu + ms)K
+K− + 2(md + ms)K0K0
+(mu + md)π0π0 +
2√3(mu −md)π
0η +mu + md + 4ms
3η2.
52
Demi penyederhanaan dipertimbangkanlah batas isospin-symmetric mu = md = m
supaya suku π0η menghilang dan tidak ada mixing π0-η. Maka dihasilkan massa
boson Goldstone, untuk orde terendah dalam massa quark,
M2π = 2B0m, (3.56)
M2K = B0(m + ms), (3.57)
M2η =
2
3B0 (m + 2ms) . (3.58)
Hasil-hasil ini dikombinasikan dengan pers. (3.54), B0 = −〈qq〉/(3F 20 ), dihasilkan
hubungan yang terkait dengan acuan [25] dan mengacu pada relasi Gell-Mann,
Oakes, dan Renner. Selanjutnya, massa-massa dari pers. (3.56) - (3.58) memenuhi
relasi Gell-Mann-Okubo
4M2K = 4B0(m + ms) = 2B0(m + 2ms) + 2B0m = 3M2
η + M2π (3.59)
yang tidak bergantung pada harga B0. Rasio massa quark dihasilkan dengan meng-
gunakan harga-harga empiris dari oktet psudoskalar,
M2K
M2π
=m + ms
2m⇒ ms
m= 25.9,
M2η
M2π
=2ms + m
3m⇒ ms
m= 24.3. (3.60)
3.6 Konstruksi Lagrangian Efektif
Di sini akan dibangun suatu Lagrangian efektif dengan mempromosikan simetri
global dari Lagrangian efektif ke simetri lokal dan memperkenalkan suatu kopling
yang sama terhadap terhadap medan-medan v, a, s, dan p seperti di dalam QCD.
Untuk lebih rinci mengenai pembentukan Lagrangian efektif untuk simetri lokal
G = SU(3)L × SU(3)R (lihat acuan. [26, 27, 28]).
Matrks U bertransformasi sepert U 7→ U ′ = VRUV †L , dimana VL(x) dan VR(x)
matriks-matriks SU(3) yang tidak bergantung ruang-waktu. Seperti dalam masalah
teori gauge, diperlukan medan-medan eksternal laµ(x) and raµ(x) [lihat pers. (2.68),
(2.74), (2.77), dan Tabel 3.2] berkorespondensi dengan parameter-parameter ΘLa (x)
dan ΘRa (x) dari VL(x) dan VR(x). Untuk setiap obyek A bertransformasi menjadi
53
VRAV †L , didefinisikan turunan kovarian DµA
DµA ≡ ∂µA− irµA + iAlµ
7→ ∂µ(VRAV †L)− i(VRrµV
†R + iVR∂µV
†R)VRAV †
L
+iVRAV †L(VLlµV
†L + iVL∂µV
†L)
= ∂µVRAV †L + VR∂µAV †
L + VRA∂µV†L − iVRrµAV †
L − ∂µVRAV †L
+iVRAlµV†L − VRA∂µV
†L
= VR(∂µA− irµA + iAlµ)V †L = VR(DµA)V †
L , (3.61)
dimana telah digunakan VR∂µV†R = −∂µVRV †
R. Karena Lagrangian efektif pada
akhirnya akan mengandung sembarang pangkat yang tinggi dari turunan, diperlukan
tensor kuat medan fLµν dan fR
µν yang terkait dengan medan-medan gauge.
fRµν ≡ ∂µrν − ∂νrµ − i[rµ, rν ], (3.62)
fLµν ≡ ∂µlν − ∂νlµ − i[lµ, lν ]. (3.63)
Tensor kuat medan adalah tidak mempunyai trace,
Tr(fLµν) = Tr(fR
µν) = 0, (3.64)
karena Tr(lµ) = Tr(rµ) = 0 dan trace dari setiap komutator juga nol. Akhirnya,
dengan mengikuti konvensi Gasser dan Leutwyler, diperkenalkanlah kombinasi linier
χ ≡ 2B0(s + ip) dengan medan eksternal skalar dan pseudoskalar dari pers. (2.68),
dimana B0 ditentukan dalam pers. (3.54). Tabel 3.2 berisi sifat-sifat transformasi
dari semua susunan dasar Lagrangian terhadap grup (G), konjugasi muatan (C),
dan paritas (P ).
Di dalam skema chiral counting, elemen-elemen teori perturbasi chiral dihitung
sebagai:
U = O(p0), DµU = O(p), rµ, lµ = O(p), fL/Rµν = O(p2), χ = O(p2). (3.65)
Pembentukan Lagrangian efektif dalam suku-suku susunan dasar dari pers. (3.65)
dihasilkan sebagai berikut. Obyek-obyek yang diberikan A,B, . . ., semuanya bertrans-
formasi menjadi A′ = VRAV †L , B′ = VRBV †
L , . . . , dapat dibentuk suatu invarian de-
ngan mengambil jenis AB†:
Tr(AB†) 7→ Tr[VRAV †L(VRBV †
L)†] = Tr(VRAV †LVLB†V †
R) = Tr(AB†V †RVR)
= Tr(AB†).
54
elemen G C P
U VRUV †L UT U †
Dλ1 · · ·DλnU VRDλ1 · · ·DλnUV †L (Dλ1 · · ·DλnU)T (Dλ1 · · ·DλnU)†
χ VRχV †L χT χ†
Dλ1 · · ·Dλnχ VRDλ1 · · ·DλnχV †L (Dλ1 · · ·Dλnχ)T (Dλ1 · · ·Dλnχ)†
rµ VRrµV†R + iVR∂µV
†R −lTµ lµ
lµ VLlµV†L + iVL∂µV
†L −rT
µ rµ
fRµν VRfR
µνV†R −(fL
µν)T fµν
L
fLµν VLfL
µνV†L −(fR
µν)T fµν
R
Tabel 3.2: Sifat-sifat transformasi terhadap grup (G), konjugasi muatan (C), danparitas (P ).
Generalisasi untuk suku-suku yang lebih banyak dan memiliki trace yang invarian
adalah:
Tr(AB†CD†), Tr(AB†)Tr(CD†), · · · . (3.66)
Daftar lengkap elemen-elemen yang termasuk orde O(p2) bertransformasi menjadi
VR · · ·V †L adalah
U,DµU,DµDνU, χ, UfLµν , f
RµνU. (3.67)
Bentuk invarian dari orde O(p0) hingga O(p2) adalah
O(p0) : Tr(UU †) = 3,
O(p) : Tr(DµUU †) ∗= −Tr[U(DµU)†] ∗
= 0,
O(p2) : Tr(DµDνUU †) ∗∗= −Tr[DνU(DµU)†] ∗∗= Tr[U(DνDµU)†],
Tr(χU †),
Tr(Uχ†),
Tr(UfLµνU
†) = Tr(fLµν) = 0,
Tr(fRµν) = 0. (3.68)
Tanda ∗ telah dibuat menggunakan dua sifat penting dari turunan kovarian DµU :
DµUU † = −U(DµU)†, (3.69)
Tr(DµUU †) = 0. (3.70)
55
Hubungan pertama berasal dari unitari U dikombinasikan dengan definisi dari tu-
runan kovarian, pers. (3.61).
DµUU † = ∂µUU †︸ ︷︷ ︸−U∂µU†
−irµ UU †︸︷︷︸1
+iUlµU†,
= −U∂µU† − irµ − U(−ilµU
†)
= −U(DµU)†
Persamaan (3.70) ditunjukkan menggunakan Tr(rµ) = Tr(lµ) = 0 bersama dengan
pers. (3.41), Tr(∂µUU †) = 0:
Tr(DµUU †) = Tr(∂µUU † − irµUU † + iUlµU†) = 0.
Hubungan ∗∗ dapat diperiksa dengan hitungan ekspilisit, atau lebih elegan menggu-
nakan aturan dari acuan [26] untuk turunan kovarian. Akhirnya dengan mengkon-
traksikan indeks Lorentz, menghasilkan tiga calon:
Tr[DµU(DµU)†], (3.71)
Tr(χU † ± Uχ†). (3.72)
Suku dalam pers. (3.72) dengan tanda negatif dikeluarkan karena suku ini mem-
punyai tanda yang salah terhadap paritas (lihat Tabel 3.2) dan dengan mengambil
invarian lokal, Lagrangian efektif pada orde terendah adalah
L2 =F 2
0
4Tr[DµU(DµU)†] +
F 20
4Tr(χU † + Uχ†). (3.73)
L2 mengandung dua parameter: konstanta peluruhan pion F0 dan B0 dari pers.
(3.54) yang tersembunyi di dalam χ.
56
Bab 4
Hasil dan Pembahasan
4.1 Peluruhan Pion π+ → µ+νµ
Setelah mempelajari tantang Lagrangian efektif, kini tiba saatnya untuk membahas
aplikasinya pada peluruhan lemah π+ → µ+νµ yang akan menghubungkan parameter
bebas F0 of L2 ke konstanta peluruhan pion. Pada tingkat derajat kebebasan dari
Standard Model (SM), peluruhan pion digambarkan dengan pemusnahan sebuah
quark u dan sebuah anti-quark d, yang membentuk π+, menjadi sebuah boson W+,
yang kemudian W+ merambat, dan menciptakan lepton µ+ dan νµ dalam keadaan
akhir (lihat Gambar 4.1). Kopling boson W terhadap lepton diberikan oleh
L = − g
2√
2
[W+µ νµγ
µ(1− γ5)µ +W−µ µγµ(1− γ5)νµ
], (4.1)
sedangkan interaksinya dengan quark yang membentuk boson Goldstone secara efek-
tif diambil ke dalam hitungan dengan memasukkan pers. (2.78) ke Lagrangian dari
pers. (3.73). Dengan memandang suku pertama pers. (3.73) dan memasang rµ = 0
serta lµ masih sembarang. Dengan menggunakan DµU = ∂µU + iUlµ didapat
F 20
4Tr[DµU(DµU)†] =
F 20
4Tr[(∂µU + iUlµ)(∂µU † − ilµU †)]
u
+
d W
νµ
µ+ +_π
Gambar 4.1: Peluruhan Pion π+ → µ+νµ.
57
= · · ·+ iF 2
0
4Tr(Ulµ∂
µU † − lµ U †∂µU︸ ︷︷ ︸−∂µU
†U
) + · · ·
= iF 2
0
2Tr(lµ∂
µU †U) + · · · ,
dimana hanya suku-suku linier dalam lµ yang ditunjukkan. Jika
lµ =8∑
a=1
λa
2laµ,
suku interaksi linier dalam lµ adalah
Lint =8∑
a=1
laµ
[iF 2
0
4Tr(λa∂
µU †U)
]=
8∑a=1
laµJµ,aL , (4.2)
dimana telah digunakan pers. (3.46) Jµ,aL . Sekali lagi, Jµ,a
L diekspansikan dengan
menggunakan pers. (3.39) untuk orde pertama dalam φ,
Jµ,aL =
F0
2∂µφa + O(φ2), (4.3)
dari sini diperoleh elemen matriks
〈0|Jµ,aL (0)|φb(p)〉 =
F0
2〈0|∂µφa(0)|φb(p)〉 = −ipµ F0
2δab. (4.4)
Dengan memasukkan lµ dari pers. (2.78) didapatkan untuk suku interaksi dari boson
Goldstone tunggal dengan sebuah W
LWφ =F0
2Tr(lµ∂
µφ) = − g√2
F0
2Tr[(W+
µ T+ +W−µ T−)∂µφ].
Maka perlu dihitung1
Tr(T+∂µφ)
= Tr
0 Vud Vus
0 0 00 0 0
∂µ
π0 + 1√3η
√2π+
√2K+
√2π− −π0 + 1√
3η
√2K0
√2K− √
2K0 − 2√3η
= Vud
√2∂µπ− + Vus
√2∂µK−,
Tr(T−∂µφ)
= Tr
0 0 0Vud 0 0Vus 0 0
∂µ
π0 + 1√3η
√2π+
√2K+
√2π− −π0 + 1√
3η
√2K0
√2K− √
2K0 − 2√3η
= Vud
√2∂µπ+ + Vus
√2∂µK+.
1Vud dan Vus adalah matriks Cabibbo-Kobayashi-Maskawa yang riil.
58
Maka diperoleh suku interaksi
LWφ = −gF0
2[W+
µ (Vud∂µπ− + Vus∂
µK−) +W−µ (Vud∂
µπ+ + Vus∂µK+)]. (4.5)
Dikombinasikan dengan propagator Feynman untuk boson W ,
−gµν + kµkν
M2W
k2 −M2W
=gµν
M2W
+ O(kk
M4W
), (4.6)
aturan Feynman untuk inavariant amplitude pada peluruhan pion lemah adalah
M = i
[− g
2√
2uνµγν(1− γ5)vµ+
]igνµ
M2W
i
[−g
F0
2Vud(−ipµ)
]
= −GF VudF0uνµp/(1− γ5)vµ+ , (4.7)
dimana p menunjukkan momentum-empat pion dan
GF =g2
4√
2M2W
= 1.16639(1)× 10−5 GeV−2
adalah konstanta Fermi. Nilai dari |M|2 adalah
|M|2 = 4G2F |Vud|2F 2
0 m2π+m2
µ
(1− m2
µ
m2π+
)
Maka diperoleh laju peluruhan
dΓ =|M|2
64π2mπ+
(1− m2
µ
m2π+
)dφ d cos θ
Γ =G2
F |Vud|2F 20
16π2mπ+m2
µ
(1− m2
µ
m2π+
)2
dφ d cos θ︸ ︷︷ ︸4π
Γ =1
τ=
G2F |Vud|24π
F 20 mπ+m2
µ
(1− m2
µ
m2π+
)2
. (4.8)
4.2 Pembahasan
Seperti telah dibahas di atas dengan rinci, simetri chiral QCD SU(3)L × SU(3)R ×U(1)V dalam batas menghilangkan massa quark u, d, dan s bersama dengan asumsi
kerusakan spontannya ke SU(3)V × U(1)V dalam keadaan dasar, adalah salah satu
kunci untuk mengerti interaksi kuat pada daerah energi rendah. Dari sudut pan-
dang saat ini, simetri eksplisit rusak karena massa quark berhingga u, d, dan s yang
59
menimbulkan divergensi dari arus simetri yang tidak nol. Rusaknya simetri chiral ke
SU(3)V×U(1)V menghasilkan delapan boson Goldstone (π+, π0, π−, K+, K0, K−, K0, η)
yang semuanya dikumpulkan dalam sebuah matriks SU(3), U(x). s
Dengan mengikuti metode yang dilakukan Gasser dan Leutwyler [16, 17] un-
tuk Lagrangian efektif orde terendah, dapat diaplikasikan ke peluruhan pion. Dari
perhitungan di atas telah didapat invarian amplitude dari peluruhan pion dan laju
peluruhannya. Konstanta F0 mengacu pada konstanta peluruhan pion dalam batas
chiral. Konstanta ini mengukur kuat elemen matriks dari operator arus aksial vektor
diantara satu keadaan boson Goldstone dan sebuah vakum (3.38). Karena interaksi
boson W dengan quark memiliki tipe laµLµ,a = laµ(V µ,a − Aµ,a)/2 [lihat pers. (2.78)]
dan operator arus quark tidak memberikan kontribusi terhadap elemen matriks an-
tara pion tunggal dan vakum, maka peluruhan pion sepenuhnya ditentukan oleh
arus aksial vektor.
Dengan mengambil harga Vud dan data dari eksperimen, bahwa Γ(eksp)
π+→µ+νµ=
3, 841× 107 s−1, didapatkan harga konstanta peluruhan pion sebesar
F0 = 92, 4± 0, 2 MeV (4.9)
Terlihat bahwa harga ini cukup kecil yang menunjukkan proses tersebut terjadi pada
energi rendah.
60
Bab 5
Kesimpulan dan Saran
Teori perturbasi chiral merupakan teori yang sangat baik menerangkan fenomena
QCD pada tingkat energi rendah. Dengan rusaknya simetri chiral QCD SU(3)L ×SU(3)R × U(1)V ke SU(3)V × U(1)V ternyata menghasilkan delapan boson Gold-
stone. Karena pion adalah salah satu partikel elementer maka peluruhannya akan
menghasilkan partikel lain.
Lagrangian efektif yang telah diperkenalkan disini hanya sampai pada orde teren-
dah, yaitu mengandung dua turunan kovarian terhadap medan-medan boson, namun
sudah dapat menjelaskan fenomena peluruhan pion. Untuk orde yang lebih tinggi
lagi mungkin akan dapat menjelaskan fenomena yang lebih rumit lagi. Dengan hasil
yang kecil dari konstanta peluruhan pion maka disimpulkan interaksi ini terjadi pada
energi rendah.
Suatu hasil yang menarik mungkin akan muncul pada perhitungan orde yang
lebih tinggi. Di sini hanya disampaikan mengenai teori perturbasi chiral pada sektor
meson. Suatu pelajaran yang menarik untuk mempelajari ke dalam sektor baryon
yang terdiri dari tiga quark dengan melibatkan loop dalam perhitungan.
61
Lampiran A
Mekanika Kuantum Relativistik
A.1 Notasi
Sistem satuan yang digunakan penulis adalah sistem satuan alami (natural system
of units), di mana didefinisikan ~ = c = 1 dan tidak berdimensi. Energi, massa,
dan momentum, seluruhnya berdimensi energi, yakni dengan satuan MeV. Dengan
demikian, dimensi panjang dan luas masing-masing menjadi energi−1 dan energi−2.
Untuk mendapatkan nilai dan mengembalikan dimensi besaran yang ingin diketahui,
digunakan konversi berikut [29]:
~ = 6.58212233(49)× 10−22 MeV s (A.1)
~c = 197.327053(59) MeV fm (A.2)
(~c)2 = 0.38937966(23) GeV2 mbarn (A.3)
A.2 Aljabar Dirac
Dalam mekanika kuantum relativistik, ruang dan waktu dinyatakan dalam vektor
empat sebagai berikut
xµ ≡ (x0, x1, x2, x3) ≡ (t,x) ≡ (t, x, y, z), (A.4)
disebut vektor empat kontravarian, dan vektor empat kovariannya berbentuk
xµ ≡ (x0, x1, x2, x3) ≡ (t,−x) ≡ (t,−x,−y,−z).
= gµνxν , (A.5)
62
dimana gµν adalah matriks transformasi
gµν =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
(A.6)
Operator differensial
∂µ =∂
∂xµ= (∂0, ∂1, ∂2, ∂3) =
(∂
∂t,
∂
∂x,
∂
∂y,
∂
∂z
)=
(∂
∂t,∇
)(A.7)
∂µ = gµν∂ν =
(∂
∂t,−∇
)(A.8)
Vektor-4 energi-momentum
pµ ≡ (p0, p1, p2, p3) ≡ (E,p), pµ ≡ (p0, p1, p2, p3) ≡ (E,p) (A.9)
di mana berlaku relasi
pµpµ ≡ p2 = pµgµνpν = E2 − p · p = m2. (A.10)
Matriks Dirac yang digunakan adalah:
γµ ≡ (γ0, γi), γ0† = γ0 γµ = γ0㵆γ0. (A.11)
memiliki representasi matriks
γ0 = γ0 =
1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
, γi =
(0 σi
−σi 0
). (A.12)
di mana ketiga matriks Pauli, σi dinyatakan oleh
σ1 =
(0 11 0
), σ2 =
(0 −ii 0
), σ3 =
(1 00 −1
), (A.13)
yang memenuhi hubungan antikomutatif
{σi, σj
} ≡ σiσj + σjσi = 2δij , (A.14)
dan hubungan komutatif
[σi, σj
] ≡ σiσj − σjσi = 2iεijkσk , (A.15)
63
di mana εijk merupakan bentuk nonkovarian tensor antisimetrik Levi-Civita yang
didefinisikan kemudian pada Pers. (A.21).
Matriks Dirac γ memunuhi hubungan antikomutatif berikut
{γµ, γν} ≡ γµγν + γνγµ = 2gµν , (A.16)
dan hubungan komutatif
[γµ, γν ] ≡ γµγν − γνγµ ≡ −2iσµν , (A.17)
Pada hubungan ini
σij =
(σk 00 σk
)dan σ0i = i
(0 σi
σi 0
). (A.18)
Kombinasi lainnya yang berguna adalah
γ5 ≡ iγ0γ1γ2γ3 = γ5 = 124
iεµνρσγµγνγργσ =
(0 11 0
), (A.19)
γ5γσ = −γσγ5 = 16iεµνρσγ
µγνγρ, (A.20)
tensor antisimetrik Levi-Civita didefinisikan sebagai
εµνρσ =
+1 untuk permutasi siklik−1 untuk permutasi anti− siklik
0 jika ada dua atau lebih indeks yang sama. (A.21)
Persamaan Klein-Gordon:
(¤ + m2)Φ = 0, ¤ ≡ ∂µ∂ν . (A.22)
Persamaan Dirac:
(i∂/−m)Ψ = 0 dimana a/ = aµγµ. (A.23)
Di dalam ruang momentum
(p/−m)u(p, s) = 0 , (A.24)
(p+ m)v(p, s) = 0 , (A.25)
dimana u(p, s) dan v(p, s) adalah spinor-spinor Dirac. Hubungan kelengkapan spinor
Dirac
∑s=1,2
= u(s)(p, s)u(s)(p, s) = (p/ + m) (A.26)
∑s=1,2
= v(s)(p, s)v(s)(p, s) = (p/−m) (A.27)
64
Representasi Matriks Adjoint Ti = tijk = −iεijk
Ti =
ti11 tti12 ti13
ti21 tti22 ti23
ti31 tti32 ti33
, T1 =
t111 tt112 t113
t121 tt122 t123
t131 tt132 t133
=
0 0 00 0 −i0 i 0
,
T2 =
t211 tt212 t213
t221 tt222 t223
t231 tt232 t233
=
0 0 i0 0 0−i 0 0
,
T3 =
t311 tt312 t313
t321 tt322 t323
t331 tt332 t333
=
0 −i 0i 0 00 0 0
.
65
Lampiran B
Transformasi Grup U(1),U(3) danSU(3)
Transformasi U(1) (transformasi fase)
Ψ → exp(−iΘ)Ψ (B.1)
Transformasi U(3)L×U(3)R
qL → ULqL = exp
(−i
8∑a=1
ΘLa
)e−iΘL
qL (B.2)
qR → URqL = exp
(−i
8∑a=1
ΘRa
)e−iΘR
qR (B.3)
Transformasi SU(3)L×SU(3)R
qL → ULqL = exp
(−i
8∑a=1
ΘLa
)qL (B.4)
qR → ULqR = exp
(−i
8∑a=1
ΘRa
)qR (B.5)
66
Daftar Acuan
[1] S. L. Adler, Phys. Rev. 139, B1638 (1965).
[2] S. L. Adler dan W. A. Bardeen, Phys. Rev. 182, 1517 (1969).
[3] W. A. Bardeen, Phys. Rev. 184 (1969)
[4] J. S. Bell dan R. Kackiw, Nuovo Cim. A 60, 47 (1969).
[5] S. L. Adler, dalam Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theo-
ry, 1970 Brandies University Summer Institute in Theoretical Physics, Volume
1, diedit oleh S. Deser, M. Grisaru, dan H. Pendleton (M.I.T. Press, Cambridge,
Massachusetts, 1970).
[6] Y. Ne’eman, Nucl. Phys. Rev. 26, 222 (1961).
[7] M. Gell-Mann, Phys. Rev. 125, 1067 (1962).
[8] M. Gell-Mann dan Y. Ne’eman, The Eightfold Way (Benjamin, New York,
1964).
[9] D. J. Gross. dan F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30, 1343 (1973).
[10] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 31, 494 (1973)
[11] H. Fritzsch, M. Gell-Mann, dan H. Leutwyler, Phys. Lett. B 47, 365 (1973).
[12] H. Leutwyler, Phys. Lett. B 378, 313 (1996).
[13] W. J. Marciano dan H. Pagels, Phys. Rept. 36, 137 (1978).
[14] G. Altarelli, Phys. Rept. 81, 1 (1982).
67
[15] M. Gell-Mann dan M. Levy, Nuovo Cim. 16, 705 (1960).
[16] J. Gasser dan H. Leutwyler, Annals Phys. 158, 142 (1984).
[17] J. Gasser dan H. Leutwyler, Nucl. Phys. B250, 465 (1985).
[18] C. Vafa dan E. Witten, Nucl. Phys. B234, 173 (1984).
[19] S. Coleman, J. Math. Pyhs. 7, 787 (1966).
[20] Y. Nambu, Phys. Rev. Lett. 4, 380 (1960).
[21] Y. Nambu dan G. jona-Lasinio, Phys. Rev. Lett. 122, 345 (1961).
[22] Y. Nambu dan G. jona-Lasinio, Phys. Rev. Lett. 124, 246 (1961)
[23] J. Goldstone, Nuovo Cim. 19, 154 (1961).
[24] J. Goldstone, A. Salam, dan S. Weinberg, Phys. Rev. 127, 965 (1962).
[25] M. Gell-Mann, R. J. Oakes, dan B. Renner, Phys. Rev. 175, 2195 (1999).
[26] H. W. Fearing dan S. Scherer, Phys. Rev. D 53, 315 (1996).
[27] J. Bijnens, G. Colangelo, dan P. Talavera, JHEP 9805, 014 (1998).
[28] T. Ebertshauser, H. W. Fearing, dan S. Scherer, Phys. Rev. D 65, 054033
(2002).
[29] Particle Data Group, Eur Phys. J. 3 (1998) 1.
68