PENENTUAN NILAI EIGEN TAK DOMINAN
SUATU MATRIKS DEFINIT NEGATIF
MENGGUNAKAN METODE KUASA INVERS DENGAN SHIFT
Skripsi
untuk memenuhi sebagian persyaratan
mencapai derajat Sarjana S-1
Program Studi Matematika
diajukan oleh
Hanifah Nurlatifah
08610042
Kepada
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SUNAN KALIJAGA
YOGYAKARTA
2012
ii
iii
iv
v
KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat melaksanakan dan
menyusun skripsi ini dengan baik. Salawat dan salam semoga selalu tercurahkan
kepada pahlawan sepanjang masa, Nabi Muhammad Saw yang begitu banyak
berjasa bukan hanya untuk umatnya di zamannya, namun juga pengikutnya hingga
saat ini.
Penyusunan skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi sebagian persyaratan
guna memperoleh gelar Sarjana Program Studi Matematika. Skripsi ini berisi
mengenai pembahasan cara menentukan nilai eigen tak dominan suatu matriks
definit negatif menggunakan Metode Kuasa Invers dengan shift. Penulis
menyadari bahwa tanpa bantuan, bimbingan dan motivasi dari berbagai pihak,
laporan skripsi ini tidak dapat selesai dengan baik. Oleh karena itu ucapan terima
kasih disampaikan sebesar-besarnya kepada :
1. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan
Kalijaga Yogyakarta.
2. Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.
3. M.Wakhid Musthofa, M.Si selaku pembimbing yang telah meluangkan
waktu untuk membantu, memotivasi dan mengarahkan sehingga skripsi ini
dapat terselesaikan.
vi
4. Mochammad Farhan Qudratullah, M.Si selalu Penasihat Akademik yang
telah meluangkan waku untuk membantu dan mengarahkan selama
menempuh studi juga segenap dosen dan karyawan Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.
5. Teman-teman Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri
Sunan Kalijaga Yogyakarta terutama teman-teman seperjuangan
”Matematika 2008” yang selalu mmberikan semangat dan motivasi.
6. Kepada yang tak akan terlupakan Apa, Mamah (Almh.) dan kakak-kakak
sebagai sumber inspirasi serta menjadi menjaga agar tetap semangat.
7. Nabiel Karamy, yang tak bosan menemani dan menjadi alasan
terselesaikannya skripsi ini juga tak lelah membantu untuk bangkit
kembali, jangan pernah lelah dan putus asa.
Semoga Allah SWT berkenan membalas kebaikan dengan segala pahala
yang berlipat ganda. Hanya kepada Allah penulis menyembah dan memohon
ampunan atas segala kekurangan dan kekhilafan. Semoga skripsi ini bermanfaat
bagi pembaca pada umumnya dan penulis khususnya.
Yogyakarta, 7 Mei 2012
Penulis
vii
PERSEMBAHAN
Skripsi ini penulis persembahkan untuk :
1. Apa dan Mamah (Almh.) yang telah membesarkan,
mendidik dan selalu mendoakanku.
2. Kakak-kakakku yang selalu memberi motivasi dan
semangat.
3. Dosen-dosen yang telah memberikan ilmu dan
pengetahuan kepadaku.
4. Almamater seperjuangan Prodi Matematika Fakultas
Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan
Kalijaga Yogykarta.
viii
MOTTO
“Nuun, demi pena dan apa yang mereka tuliskan”
(Q.S. Al-Qalam : 1)
“Anything is Possible if You Really Want to “
ix
DAFTAR ISI
Halaman Judul ……………………………………………………………. i
Halaman Pengesahan Skripsi/Tugas Akhir ……………………………….. ii
Surat Persetujuan Skripsi/Tugas Akhir …………………………………… iii
Surat Pernyataan Keaslian Skripsi ………………………………………... iv
Kata Pengantar ……………………………………………………….…… v
Persembahan ……………………………………………………………… vii
Motto ……………………………………………………………………… viii
Daftar Isi ………………………………………………………………….. ix
Daftar Bagan ……………………………………………………………… xiii
Daftar Lambang dan Singkatan …………………………………………... xiv
Abstraksi ………………………………………………………………….. xvi
BAB I Pendahuluan ………………………………………………………. 1
1.1. Latar Belakang ……………………………………………………. 1
1.2. Batasan Masalah …………………………………………………... 3
1.3. Rumusan Masalah ………………………………………………… 3
1.4. Tujuan Penelitian ………………………………………………….. 4
1.5. Manfaat Penelitian ………………………………………………… 4
1.6. Tinjauan Pustaka ………………………………………………….. 4
1.7. Metode Penelitian ……………………………………………….… 5
BAB II Dasar Teori ……………………………………………………….. 6
2.1. Matriks dan Operasi Matriks ……………………………………… 6
x
Definisi 1.1. Matriks ……………….…….………………………... 6
Definisi 1.2. Penjumlahan Matriks ..………………………………. 6
Definisi 1.3. Perkalian Matriks dengan Skalar …..……...……........ 6
Definisi 1.4. Perkalian Dua Matriks ……..……………………....... 7
Definisi 1.5. Transpose Suatu Matriks ……………………………. 8
Definisi 1.6. Matriks Persegi ………………...…….……………... 8
Definisi 1.7. Matriks Simetri …………….……...………………… 8
Definisi 1.8. Matriks Segitiga Atas ……………………………….. 9
Definisi 1.9. Matriks Segitiga Bawah …………………………….. 9
Definisi 1.10. Matriks Identitas …………………………………… 9
Definisi 1.11. Invers Suatu Matriks ……...……………………...... 9
Definisi 1.12. Matriks Kolom …………………..………………… 10
2.2. Operasi Baris Elementer …………………….…………………….. 11
2.3. Matriks Elementer dan Metode untuk Mencari A-1
……………….. 13
Definisi 3.1. Matriks Elementer ………….……………………...... 13
Metode 3.2. Mencari A-1
…………………………………………... 13
Teorema 3.3..…………………………...………………………….. 14
Teorema 3.4.…………………………...…………………….…….. 16
2.4. Vektor ……………………………………………………………... 16
Definisi 4.1. Vektor ………...……………..………………………. 16
Definisi 4.2. Vektor Kolom...……………………………………… 17
Definisi 4.3. Vektor Hampiran Awal …..…………………………. 17
2.5. Ruang Vektor ……………………………………………………... 17
xi
Definisi 5.1. Ruang Vektor .. ……………………………………... 17
2.6. Ruang-n Euclidis ………………………………………………….. 18
Definisi 6.1. Ruang-n Euclidis ……………………………………. 18
Definisi 6.2. Hasil Kali Dalam Euclidisn …………………………. 19
2.7. Ruang Hasil Kali Dalam ………………………………………….. 19
Definisi 7.1. Ruang Hasil Kali Dalam ….…………………………. 19
Definisi 7.2. Panjang Vektor di Ruang Hasil Kali Dalam ………… 21
2.8. Nilai Eigen dan Vektor Eigen …………………………………….. 21
Definisi 8.1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ……..………………... 21
2.9. Nilai Eigen Tak Dominan ………………………………………… 22
Definisi 9.1. Nilai Eigen Tak Dominan …………………………… 22
2.10. Bentuk Kuadrat …………………………………………………… 23
Definisi 10.1. Bentuk Kuadrat …………………………………….. 23
2.11. Matriks Definit Negatif …………………………………………… 24
Definisi 11.1. Matriks Definit Negatif ….………………………… 24
Teorema 11.2. ………………………..……………………………. 24
2.12. Dekomposisi-LU ………………………………………………….. 25
Definisi 12.1. Dekomposisi-LU ………..…………………………. 25
Teorema 12.2. ………………………...…………………………… 32
BAB III Pembahasan ……………………………………………………... 34
3.1. Teorema Gerschgorin …………………………………………….. 34
3.2. Kuosien Rayleigh …………………………………………………. 37
3.3. Analisis Galat ……………………………..………………………. 37
xii
3.4. Metode Kuasa Invers dengan Shift ……………………………….. 38
Definisi 4.1. Metode Kuasa Invers dengan Shift ……..…………… 38
Algoritma 4.2. Metode Kuasa Invers dengan Shift ……..………… 39
3.5. Penentuan Nilai Eigen Tak Dominan Matriks Definit Negatif
Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift ………………... 40
BAB IV Penutup… …………………………………………………..…… 76
4.1. Kesimpulan ……………………………………………………….. 76
4.2. Saran ………………………………………………………………. 77
Daftar Pustaka ……………………………………………………………. 78
xiii
DAFTAR BAGAN
Bagan 3.1 ………………………………………………............................... 42
xiv
DAFTAR LAMBANG DAN SINGKATAN
ija = entri dari matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j
iia = entri dari matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-i
ri = radius/jari-jari dari matriks A pada baris ke-i
n x n = ukuran atau orde dari suatu matriks, yaitu n baris dan n kolom
m x n = ukuran atau orde dari suatu matriks, yaitu m baris dan n kolom
m x r = ukuran atau orde dari suatu matriks, yaitu r baris dan n kolom
I = matriks identitas
AT = transpose dari matriks A
A-1
= invers dari matriks A
= = sama dengan
= tidak sama dengan
= lebih besar sama dengan
= kurang dari sama dengan
= harga mutlak
= panjang vektor
1 = panjang vektor-1
= himpunan bilangan real
n = himpunan semua bentuk 1 2, ,..., nx x x dengan ,ix
1,2,...,i n
xv
= himpunan bilangan kompleks
= himpunan bilangan bulat
= nilai eigen
,u v = hasil kali dalam vektor u dan v
xT = transpose dari vektor x
k = rho digunakan untuk pendekatan nilai eigen tak dominan pada
iterasi ke-k
V = ruang vektor V
L = matriks segitiga bawah
U = matriks segitiga atas
Ri = baris ke-i dari suatu matriks, 1,2,...,i n
P = matriks permutasi yang dihasilkan karena pertukaran baris pada
operasi baris elementer
Rowi(A) = baris ke-i pada matriks A
ei = basis ke-i dari ruang vektor V
D = disk/cakram
= notasi sigma
= notasi gabungan
s = nilai shift
TOL = toleransi maksimal nilai galat
= nilai galat/error relatif
xvi
PENENTUAN NILAI EIGEN TAK DOMINAN
SUATU MATRIKS DEFINIT NEGATIF
MENGGUNAKAN METODE KUASA INVERS DENGAN SHIFT
ABSTRAKSI
Hanifah Nurlatifah
NIM. 08610042
Dalam matriks definit negatif A yang berukuran n x n dikenal istilah nilai
eigen tak dominan. Nilai eigen dari sebuah matriks definit negatif A dikatakan
nilai eigen tak dominan A jika nilai mutlaknya paling kecil dibandingkan dengan
nilai mutlak nilai-nilai eigen yang selebihnya. Penelitian ini membahas mengenai
matriks definit negatif yang berbentuk persegi n x n dengan entri-entri bilangan
real.
Dalam mencari nilai eigen tak dominan dari suatu matriks definit negatif A
yang berukuran n x n dapat menggunakan Metode Kuasa Invers dengan shift.
Nilai shift tersebut dapat diperoleh dari penerapan teorema Gerschgorin. Diakhir
penyelesaian akan didapatkan juga vektor eigen tak dominan. Adapun untuk
pendekatan nilai eigen tak dominannya dapat digunakan Kuosien Rayleigh.
Kata kunci : nilai eigen tak dominan, vektor eigen tak dominan, matriks definit
negatif, Metode Kuasa Invers dengan shift, teorema Gerschgorin, Kuosien
Rayleigh.
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian merupakan salah satu bagian
dari cabang ilmu matematika yaitu aljabar linear. Pembahasan nilai eigen dan
vektor eigen memegang peranan sangat penting dalam pengembangan teknologi
atau bahkan pengembangan teori dalam dunia keilmuan itu sendiri. Nilai eigen
dan vektor eigen banyak digunakan dalam permasalahan kehidupan. Namun
demikian, seringkali nilai eigen dan vektor eigen tersebut diabaikan dalam proses
pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Dengan demikian kualitas
pengembangan teknologi dan pengetahuan menjadi tidak dapat diperhitungkan
karena proses yang tidak memadai dalam pengembangan tersebut. Sehingga untuk
menemukan sebuah teori tanpa menyertakan nilai eigen dan vektor eigen
membutuhkan waktu yang lama yang membuat proses tersebut tidak efisien.
Dalam mencari nilai eigen dari suatu matriks n x n dapat digunakan
penyelesaian persamaan karakteristik. Penyelesaian persamaan karakteristik ini
akan menghasilkan nilai eigen dominan dengan vektor eigen yang bersesuaian dan
nilai eigen tak dominan dengan vektor eigen yang bersesuaian. Nilai eigen
dominan suatu matriks dapat ditentukan dengan menggunakan suatu metode yang
dikenal dengan metode pangkat atau metode kuasa, sedangkan untuk nilai eigen
tak dominan dapat ditentukan dengan menggunakan invers dari metode kuasa
2
tersebut, dimana matriks yang digunakan dicari inversnya. Metode ini disebut
Metode Kuasa Invers.
Selain Metode Kuasa Invers di atas, nilai eigen tak dominan dapat ditentukan
dengan menggunakan nilai shift yang diperoleh dari penerapan teorema
Gerschgorin. Nilai shift ini merupakan nilai pendekatan dari nilai eigen tak
dominan. Metode seperti ini disebut Metode Kuasa Invers dengan shift.
Perbedaan yang signifikan antara Metode Kuasa Invers dan Metode Kuasa
Invers dengan shift terletak pada banyaknya iterasi. Metode Kuasa Invers
memerlukan iterasi yang sangat banyak, seringkali enam atau tujuh iterasi atau
bahkan lebih dari tujuh iterasi, sedangkan Metode Kuasa Invers dengan shift
dikenal dengan metode yang sangat efisien, karena seringkali hanya tiga atau
empat iterasi. Terlepas dari perbedaan yang signifikan tersebut, antara Metode
Kuasa Invers dan Metode Kuasa Invers dengan shift sama-sama menghasilkan
hampiran nilai eigen tak dominan yang mendekati nilai eigen tak dominan eksak.
Metode Kuasa Invers dengan shift ini harus diketahui vektor eigen tak dominan
sehingga nilai eigen tak dominan dapat langsung ditentukan. Sedangkan dengan
perhitungan persamaan karakteristik nilai eigen tak dominan dan vektor eigen tak
dominan yang bersesuaian tidak dapat langsung ditentukan bersamaan, hanya nilai
eigen tak dominan yang dapat ditentukan. Oleh karena itu, maka untuk vektor
eigen tak dominan digunakan vektor hampiran awal. Melalui vektor hampiran
awal tersebut, pada akhir iterasi akan didapatkan nilai eigen tak dominan dan
vektor eigen tak dominan yang bersesuaian.
3
Meskipun dengan perhitungan persamaan karakteristik nilai eigen tak dominan
dan vektor eigen tak dominan yang bersesuaian tidak dapat langsung ditentukan
bersamaan, namun dengan adanya vektor hampiran awal, Metode Kuasa Invers
dengan shift ini dapat digunakan pada matriks definit positif. Dalam buku ”An
Introduction to Numerical Linear Algebra” (Charles G. Cullen, 1994) disajikan
beberapa contoh matriks definit positif beserta penggunaan Metode Kuasa Invers
dengan shift dalam menentukan nilai eigen tak dominan. Namun, tidak ada
satupun contoh matriks definit negatif. Hal ini membuat penulis tertarik untuk
menerapkan Metode Kuasa Invers dengan shift pada matriks definit negatif.
Bagaimana dengan matriks definit negatif, apakah masih dapat ditentukan nilai
eigennya bila menggunakan Metode Kuasa Invers dengan shift.
1.2. Batasan Masalah
Pembatasan masalah sangat penting dilakukan dalam suatu penelitian untuk
memfokuskan objek yang diteliti. Pembahasan penelitian ini dibatasi pada
masalah nilai eigen tak dominan pada matriks definit negatif dan menyediakan
metode untuk memecahkan masalah yang terkait, yaitu suatu metode yang
dinamakan metode kuasa invers dengan shift. Selain itu, pembahasan penelitian
ini juga mencakup definisi, pembuktian teorema-teorema dan sifat-sifat dari topik.
1.3. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah dijabarkan, maka
dirumuskan permasalahan sebagai berikut :
1) Bagaimana konsep dasar nilai eigen tak dominan dan nilai shift?
2) Bagaimana konsep dasar metode kuasa invers dengan shift?
4
3) Bagaimana cara menentukan nilai shift berdasarkan teorema Gerschgorin?
4) Bagaimana penggunaan metode kuasa invers dengan shift pada penentuan
nilai eigen tak dominan matriks definit negatif?
1.4. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah :
1) Mengetahui konsep dasar nilai eigen tak dominan dan nilai shift.
2) Mengetahui konsep dasar metode kuasa invers dengan shift.
3) Mengetahui cara menentukan nilai shift berdasarkan teorema Gerschgorin.
4) Menerapkan penggunaan metode kuasa invers dengan shift pada penentuan
nilai eigen tak dominan matriks definit negatif.
1.5. Manfaat Penelitian
Manfaat penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut :
a. Memberikan pengetahuan tentang nilai eigen tak dominan dan nilai shift.
b. Memberikan pengetahuan tentang metode kuasa invers dengan shift.
c. Memberikan pengetahuan tentang cara menentukan nilai shift berdasarkan
teorema Gerschgorin.
d. Memberikan pengetahuan tentang penggunaan metode kuasa invers
dengan shift pada penentuan nilai eigen tak dominan matriks definit
negatif.
1.6. Tinjauan Pustaka
Penulisan skripsi ini terinspirasi dari jurnal yang berjudul “Menentukan Nilai
Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa
Invers dengan Shift” (Yuli Andriani, Januari 2011). Jurnal ini menjelaskan
5
penggunaan metode kuasa invers dengan shift pada penentuan nilai eigen tak
dominan suatu matriks definit negatif. Jurnal yang ditulis Yuli Andriyani juga
menjabarkan tentang penerapan Kuesien Rayleigh yang memberikan nilai eigen
tak dominan perkiraan dan iterasi berhenti ketika nilai galat mendekati nilai eigen
tak dominan. Buku penunjang yang dijadikan referensi menyusun landasan teori
diantaranya ”An Introduction to Numerical Linear Algebra” (Charles G. Cullen,
1994), ”Linear Lgebra and It’s Application” (Gilbert Strang, 1988), serta buku-
buku lainnya sebagai penunjang landasan teori tentang topik ini.
1.7. Metode Penelitian
Penelitian skripsi dilakukan dengan cara studi literatur, yaitu penulis
mempelajari beberapa sumber tentang metode kuasa invers dengan shift dan
penggunaannya pada penentuan nilai eigen tak dominan matriks definit negatif.
Sumber data yang penulis gunakan dalam penulisan tugas akhir ini berupa buku,
makalah, catatan-catatan kuliah online, artikel, dan hasil penelitian lain yang
berhubungan. Tidak semua sumber data yang telah disebutkan, penulis jadikan
sebagai acuan secara langsung. Hanya sumber data berupa buku yang penulis
jadikan sebagai bahan acuan secara langsung, terutama yang berkaitan dengan
definisi dan contoh. Walaupun begitu, sumber-sumber data lain memberikan
warna tersendiri dalam penulisan tugas akhir ini.
76
BAB IV
KESIMPULAN
4.1. Kesimpulan
Berdasarkan hasil studi literatur tentang cara menentukan nilai eigen tak
dominan suatu matriks definit negatif dengan menggunakan Metode Kuasa Invers
dengan shift yang dilakukan penulis dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :
1. Nilai shift dan galat maksimal sangat berpengaruh terhadap nilai eigen tak
dominan yang dihasilkan. Semakin nilai shift mendekati nilai eigen tak
dominan dan galat awal kecil, maka hampiran nilai eigen tak dominan
semakin mendekati nilai eigen tak dominan yang eksak serta galat akhir
semakin kecil pula dan sebaliknya.
2. Penggunaan Metode Kuasa Invers dengan shift untuk menentukan nilai
eigen tak dominan suatu matriks definit negatif akan lebih baik jika nilai
shift yang diperkirakan sangat mendekati nilai eigen tak dominan eksak.
Hal ini pun mempengaruhi jumlah iterasi yang dilakukan.
3. Berdasarkan teorema Gerschgorin diketahui bahwa nilai eigen tak
dominan harus berada pada cakram Di, dengan menggunakan definisi
11
: ( )n
i ii i ik i ii i
kk i
D z z a r a Row A a e dapat ditentukan
daerah nilai eigen tak dominan dari suatu matriks A, sehingga dapat
diperoleh nilai shift(s).
77
4. Metode Kuasa Invers dengan shift tidak hanya bisa digunakan pada
matriks definit negatif yang simetri, namun juga bisa digunakan pada
matriks definit negatif yang non-simetri.
4.2. Saran
Berdasarkan pada proses penelitian yang dilakukan tentang cara menentukan
nilai eigen tak dominan suatu matriks definit negatif dengan menggunakan
Metode Kuasa Invers dengan shift, maka saran-saran yang ingin disampaikan
penulis adalah :
1. Pembahasan tentang matriks definit negatif dapat dikembangkan kembali
misalkan dengan entri-entrinya adalah bilangan kompleks.
2. Penelitian ini dapat dikembangkan kembali misalkan dengan sasaran objek
adalah matriks semidefinit positif, semidefinit negatif atau bahkan
indefinit.
3. Penelitian ini dapat dikembangkan pula dengan penyelesaian
menggunakan program komputer, misalkan dengan software MATLAB,
MathChad, dsb.
Demikian saran-saran yang dapat disampaikan penulis. Semoga skripsi ini
dapat menjadi inspirasi bagi pembaca untuk mengembangkan lebih lanjut tentang
menentukan nilai eigen tak dominan dengan menggunakan Metode Kuasa Invers
dengan shift.
78
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. dan Pantur Silaban, 1987, Aljabar Linear Elementer, Edisi kelima,
Erlangga, Jakarta.
Anton, H., Elementary Linear Algebra, 2000, Anton Textbook Inc, Ottawa.
Antoh, H., Dasar-dasar Aljabar Linear, 2000, Interaksara, Batam.
Cullen, C.G., 1994, An Introduction Numerical Linear Algebra, PWS Publishing
Company, Boston.
Demmel, James W., Applied Numerical Linear Algebra, 1996, University of
California, Berkeley California.
Strang, G, 1988, Linear Algebra and It’s Applications, Harcourt Brace Jovanovich
Inc., New Jersey.
Hadley, G., 1983, Aljabar Linear, Erlangga, Jakarta.
Hager, W., 1988, Applied Numerical Linear Algebra, Prentice Hall International
Inc., Pennsylvania.
http://jpsmipaunsri.files.wordpress.com/2011/03/0308-12-a-yuli.pdf, diakses pada
tanggal 16 Oktober 2011 pukul 16:04 WIB.
Lipschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson, 2005, Aljabar Linear , Erlangga,
Jakarta.
Lipschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson, 2009, Linear Algebra , The McGraw-
Hill Companies, United States of America.
N. Trefethen, Lloyd dan David Bau, III, 1997, Numerical Linear Algebra, Society
for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia.
79
O’Nan, M., 1976, Linear Algebra, Harcourt Brace Jovanovich Inc., San Francisco.
Setiadji, 2008, Aljabar Linear, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Soemantri, R., 1994, Fungsi Variabel Kompleks, Yogyakarta.
Susatio, Yerri., Metode Numerik Berbasis MathCad, 2005, Penerbit ANDI,
Yogyakarta.