1
5 DynamikAnimation follows the laws of physics — unless it is funnier otherwise.
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Zusammenfassung
Ein Körper, der sich auf einer Kreisbahn mit konstanter Bahngeschwindigkeit bewegt, erfährt eine Beschleunigung vom Betrag v²/r.
Die Zeit, die ein Teilchen für einen kompletten Umlauf benötigt heißt Periode T und beträgt T=2πr/v.
Definition Radian(Einrad 1 rad)
BAPBPA vvv +=
BAPBPA dtd
dtd
dtd vvv +=
PBPA aa =
Bewegte Bezugssysteme
Geschwindigkeiten addieren sichBeschleunigungen werden in allen Bezugssysteme gleich gemessen
°= 29.57rad 1
Drehbewegungen
BAr
y A
By
BAvr
x
PAr PBr
x
Die Richtung der Beschleunigungsvektors zeigt dabei stets in Richtung des Kreismittelpunkts. Man nennt diese Art der Beschleunigung Zentripedalbeschleunigung.
Zentripedalbeschleunigung des Mondes bei der Bewegung um die Erde ergibt sich auch aus dem Gravitationsgesetz
Zentripedalbeschleunigung des Elektrons bei der Bewegung um das Kern ergibt sich auch aus dem Coulombgesetz
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Kraftbild in der Antike
Gegenstände kommen zur Ruhe, wenn keine äußeren Kräfte mehr wirken.
Entspricht unserer alltägliche ErfahrungAutos halten an, wenn man den Fuß vom Gashebel nimmt
Aristoteles
Bewegung ist ein ProzessKraft proportional Geschwindigkeit
0v0v=⇒=
Allerdings ist die tatsächliche Ursache die Reibung
Was ist Reibung?
≈F
F
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Geistesblitz
5
Von Galilei zu NewtonEine Änderung der Fragestellung
Eine gradlinig gradförmige Bewegung einer Masse M mit konstanter Geschwindigkeit bedarf keiner Ursache, sondern geht aus sich heraus immer weiter
Trägheitsprinzip
Um die Geschwindigkeit einer Masse zu verändern, muss auf den Körper eine Kraft wirkenSchwerkraft, Federkraft, elektrische Kräfte, magnetische Kräfte, Muskelkraft
Fragestellung in der Dynamik
Was ist die Ursache der Beschleunigung?
:
Der Zustand der Ruhe ist ein Spezialfall der gradlinig gleichförmigen Bewegung.
Galileo Galilei1564-1642
Issac Newton1643-1724
Fragestellung in der KinematikWie bewegt sich ein Körper?Masse des Körpers spielt keine Rolle Beschleunigung vorgegeben
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Von Galilei zu Newton
Der Kraftbegriff ist eines der fundamentalen Konzepte der Physik
Beobachtungz.B. Verformung einer Federwaage oder
Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers (Beschleunigung)
Alltägliche ErfahrungKörper widersetzen sich einer solchen Änderung (Trägheit, träge Masse)
z.B. Abbremsen eines Kreuzfahrtschiffes
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Definition Masseaus dem Urkilogramm
Masse des unbekannten Körpers
?? v
v: Urkg
UrKgmm =
UrKgm?m
UrKgm?m
UrKgv?v
Feder
Wie kann man die Masse eines Körpers bestimmen?
Vergleich mit einem Standard (Urkilogramm)
Gespannte Feder setzt Massen in Bewegung
Messung der Geschwindigkeiten
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Erstes Newtonsches Axiom
Fr
Eine Kraft F, die auf ein Standardkilogramm eine Beschleunigung
von 1 m/s² ausübt, definieren wir als 1 Newton (N=kg*m/s²)
Die Einheit der Kraft ist das Newton
Kraft ist ein VEKTOR
Definition der Krafteinheit:Trial and Error Verfahren
Eine Kraft auf einen Körper verursacht eine Änderung des Bewegungszustandes
(Beschleunigung)
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Nah- und Fernwirkung
Kraftwirkung wird durch Kontakt hervorgerufen
Kraftwirkung wird durch die Schwerkraft hervorgerufen
ohne Kontakt von Körper und Verursacher
wirkt auch im leeren Raumanziehende bzwabstoßende Magnete
Kraft ist ebenfalls eine Vektorgröße
gKraftwirkung wird durch magnetische Eigenschaften des Eisenstabes hervorgerufen
ODER AUCH
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GrößenordnungenNavchtrag Kinematik: Beschleunigungen
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GrößenordnungenKräfte
12
GrößenordnungenKräfte
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Superposition von Kräften
Messinstrument um Betrag einer Kraft zu messen
Schub Zug
Darstellung der Kraft durch Vektor
Vektorpfeil gibt Richtung und Betrag an
Länge des Vektors gibt die Größenordnung der Kraft an
Je länger der Vektor desto größer die Kraft
Greifen zwei oder mehr Kräfte (F1, F2) an einen Köper an, so ist die Wirkung so, als
wenn eine Kraft R angreift, die der Vektorsumme von F1+F2 entspricht
SUPERPOSITIONSPRINZIP
21 FFRrrr
+=
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Vektorkomponenten
Zerlegung einer Kraft in Komponentenentlang senkrecht zueinander stehender Achsen
Θ=
Θ=
sin
cos
FF
FF
y
x
FFF yx
rrr=+
∑ ∑∑
∑
= ==
=
===
=++++=
N
i
N
izzyy
N
ixx
N
iiN
iiiFRFRFR
FFFFFR
1 11
1321
, ,
...
rrrrrr
rrrrrrAllgemein
resultierende Kraft R ist Summe aller Einzelkräfte Fi
gilt auch für die Komponenten Rx, Ry, Rz
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Eishockey Puck
Wirken auf einen Körper Kräfte, deren Vektorsumme NULL ist, verhält er sich so, als würden keine Kräfte wirken
Wirken auf einen ruhenden Körper ein einzelne Kraft, dann beschleunigt er in Richtung der angreifenden Kraft
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MotoraufhängungKräftegleichgewicht ΣF=0
Θ
3T
1T2T
VereinfachungGewicht der Seile wird vernachlässigt
klein gegenüber Gewicht des Motors
1T
w
Θsin3T
°45cos3T
Θ
( )( ) 0sin0
0cos0
13
23
=−+Θ⇒=
=−+Θ⇒=
∑∑
TTF
TTF
y
xKräftegleichgewicht
wgmT Motor ==1
x
wT
wwTT
wTT
=
Θ=ΘΘ
=Θ=
Θ=
Θ=
1
32
13
cotsincoscos
sinsinZugkräfte
Kräftediagramme
w: Gewicht des Motors
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Vektoraddition von Kräften
°43°37
N 351 =Fr
N 502 =Fr
x
y−
11,1
11,1
cos
sin
Θ=
Θ=
FF
FF
y
xr
r
22,2
22,2
cos
sin
Θ=
Θ=
FF
FF
y
xr
r
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Vektoraddition von Kräften
°43°37
N 351 =Fr
N 351 =Fr
x
y−
11,1
11,1
cos
sin
Θ=
Θ=
FF
FF
y
xr
r
22,2
22,2
cos
sin
Θ=
Θ=
FF
FF
y
xr
r
xF ,2
yF ,2
2Θ
2Fr
xF ,1
yF ,1
1Θ
1Fr
( )( ) N 5.2547-sin N 35
N 23.947-cos N 35
,1
,1
−=°=
=°=
y
x
F
Fr
r
( )( ) N 9.39127- sin N 50
N 1.30127- cos N 50
,2
,2
−=°=
−=°=
y
x
F
Fr
r
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Vektoraddition von Kräftenstatt vieler Einzelkräfte Reduzierung auf einen resultierenden Kraftvektor
°43°37
N 351 =Fr
N 502 =Fr
x
y−
11,1
11,1
cos
sin
Θ=
Θ=
FF
FF
y
xr
r
22,2
22,2
cos
sin
Θ=
Θ=
FF
FF
y
xr
r
N 5.25
N 23.9
,1
,1
−=
=
y
x
F
Fr
r
N 9.39
N 1.30
,2
,2
−=
−=
y
x
F
Fr
r
xF ,1
yF ,1
1Fr
yF ,2
2Fr
°−==Θ
=+=
−=−−=
−=−=
− 4.95tan
N 7.65
N 65.4N 39.9N 5.25N 2.6 N 1.30N9.23
,
,1res
2,
2,
,
,
resx
resy
resyresxres
resy
resx
FF
FFF
FF
resΘ
resxF ,
resyF ,
resFr
neuer resultierender
Kraftvektor, der die Bewegung
eindeutig beschreibt
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Newton Schaukel
Testmessung
Betrachtete physikalische Größen
Geschwindigkeit und Masse
Abhängigkeit des Stoßprozesses von diesen beiden Größen
21
Erstes Newtonsches AxiomGeschwindigkeit
a b
21
2211
22112211
vvvv
vvvv
′=
′=
′+′=+mm
mmmmAnsatz
Vermutung 1Geschwindigkeiten werden übertragen
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Erstes Newtonsches AxiomMasse
a b c
Impuls
vrr mp =Einheit [kg m/s]
Vermutung 2Übertrag ist proportional zur Masse
Wir definieren eine neue Größe
Definition Kraft auf einen Körper
pdtdF rr
=:1
21
2111
22112211
v2vv2v
vvvv
′=
′=
′+′=+mm
mmmm
12 2mAnnahme
=m
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Erstes Newtonsches AxiomTrägheitsprinzip
Erstes Newtonschen GesetzTrägheits-Formulierung
Ohne Krafteinwirkung von außen (F=0) verharrt ein Massenpunkt
im Zustand der Ruhe (v=0) oder der gleichförmige Bewegung (v=v0) und
wird nicht beschleunigt (a=0).
Trägheitsprinzip
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Erstes Newtonsches AxiomTrägheitsprinzip
Ruhender Körper auf ebener FlächeTut man nichts verharrt man im Zustand der Ruhe
Wird man aus einer Richtung gestoßen, bewegt man sich in diese Richtung
Körper in Bewegung auf ebener FlächeTut man nichts, bewegt man sich geradeaus
weiterWird man aus einer Richtung gestoßen,
verändert sich die Richtung der Bewegung
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Inertialsystem
Wichtiger Inhalt des Ersten Newtonschen Axioms ist die Existenz von Inertialsystemen
Beispiel Erde:Beschleunigter Beobachter würde eine Verletzung des ersten Newtonschen Gesetzes feststellen!
DefinitionEin Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem die
Newtons Gesetze gültig sind.
Für jeden Körper, der frei von externen Kräften ist, gibt es ein Bezugssystem, in dem er sich in Ruhe befindet. Dann
existiert auch ein Satz von Bezugssystemen in denen dieser Körper eine konstante Geschwindigkeit hat
oder Alle Körper auf die keine resultierenden Kräfte einwirken, befinden sich in Ruhe oder bewegen sich mit konstanter
Geschwindigkeit
Hinweis: Benzenberg Experiment am Hamburger Michel
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Zugfahrt eines Skaters
Ist der Skater in Ruhe, behält er seine Position ein, wenn der Zug beschleunigt
Zug und Skater zu Beginn in RuheZug und Skater bewegen sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit
Skater bewegt sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit weiter, wenn der Zug abbremst
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Zugfahrt eines Skaters
Der Skater behält seine Geschwindigkeit und auch seine Richtung bei, wenn der Zug in eine Kurve fährt
Geschwindigkeit des Zuges ändert sich nicht, aber die Richtung, d.h. hier liegt
eine Beschleunigung vor!siehe auch Kapitel über Drehbewegungen
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Anwendung von Newton 1
Motorrad so leicht wie möglich!Minimierung der Masse
Antrieb so stark wie möglichMaximierung der Vorwärtsbeschleunigung
Die Suzuki GSX-R 1000 ist stärker und schneller als die Konkurrenz, hat eine brillante Rennstrecken-Performance und keine Schwächen im Alltag. Jedes Detail der GSX-R 1000 demonstriert Leistung pur. Sie ist das stärkste, leichteste und kompakteste Motorrad der
1000cm³ Klasse, das je von Suzuki Motorrad auf die Straße losgelassen wurde.
amF rr=
29
Zweites Newtonsches AxiomAktionsprinzip
dtPdFr
r=
Äußere Kräfte auf einen Körper, die den Impuls P des Körpers ändern, nennen wir die resultierende
Kraft Fres. Betrag und Richtung ist gleich der zeitlichen
Änderung des Impulses
mdtd
dtdmm
dtdF vvv rrrr
+==
ammdtdF rrr
== v
Kraft ist Masse mal BeschleunigungDiese Gleichung gilt nur, wenn
die Masse nicht von der Geschwindigkeit des
Inertialsystems abhängt. Dies stimmt aber nur wenn v<<c. Das
genauere Ergebnis der Relativitätstheorie lautet c²
v²1v)( 0
−=
mm
Die Masse ändert sich nicht
mit der Zeit
Produktregel
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Zweites Newtonsches AxiomIst das nicht dasselbe wie das 1. Newtonsche Axiom?
dtPdFr
r=
Eine äußere Kraft auf ein Objekt, die den Impuls P ändert, nennen wir Kraft F. Betrag und Richtung
ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses
Unterschied zur Definition der Kraft nach dem Ersten Newtonschen Axiom:
Hier wird nicht eine einzelne Krafteinwirkung auf einen Körper betrachte, sondern eine
resultierende Kraft !
∑∑ ==i
iii
ires mdtdp
dtdF v: rrr
Superpositionsprinzip
DeshalbDie resultierende Kraft ist die Summe aller
äußeren auf einen Körper wirkenden Kräfte
Wichtige neue Information im Vergleich zum Ersten Newtonschen Axiom
Addition von Massen und Vektoraddition von Kräften
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Impuls-Formulierung des 2. Newtonschen AxiomsOhne Einwirkung von außen bleibt in einem abgeschlossenen
System von Massenpunkten der Gesamtimpuls, das ist die Summe aller Einzelimpulse, konstant
Das ist die Aussage des Impulserhaltungssatz
constmpPii
=== ∑∑ ii vrrr
Der Impulserhaltungssatz ist einer der wichtigsten Erhaltungssätze in der Physik .
Man kennt keinen physikalischen Vorgang, bei dem der Impulssatz verletzt wäre!!!
Zweites Newtonsches Axiom
Das unterscheidet unter anderem
N1 von N2
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GewichtsproblemeUrkilogramm auf Erde und Mond
Buzz Aldrin, Men from Earth (1969)Our protable life-support backpacks looked simple but they were hard to put on and trickey to operate. On earth the portable life support system and space suit combination weighted 190 pounds, but on the moon itwas ony 30. Combined with my own body weight, that brought me to a total lunar-gravity weight of around60 pounds. One of my tests was to jog away from the lunar module to see how maneuverable an astronaut was on thesurface. I remembered what Issac Newton had taught us two centuries before: Mass and weight are not thesame. I weighted only 60 pounds, but my mass was the same as it was on earth. Inertia was a problem. I hadto plan ahead several steps to bring myself to a stop or to turn without falling
Wichtige UnterscheidungMasse ist nicht gleich dem
Gewicht eines Körpers!
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Masse vs Gewicht
gmF LgLrr
= gmF RgRrr
=
Vergleich zu Referenz
Balkenwaage
Referenzsystem ist der Boden auf
dem man stehtw
gF
g
g
yynet
Fw
mFw
maF
=
⋅=−
=
0,
Allgemein Kräftegleichgewicht
Masse m eines KörpersMaß für den Impuls eines Objektes
Gewicht w eines KörpersGröße der Gravitationskraft Fg auf den Körper
Federwaage
Eg gmFE
rr=
Skala
y
Bei gleicher Masse ist das Gewicht auf der Erde im Vergleich zum Mond unterschiedlich
Mg gmFM
rr=
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You can have it in any color as long as it's black (Henry Ford)
1350 kg
Kraft pro Person 300 Newton
²89.0
kg 1350s²
m kg30044aPKW s
mm
F
PKW
M ===
35
Atwoodsche Fallmaschine
1m
2mgm1
gm2
T
T
Beschleunigte Bewegung in diese Richtung
21 mm <
Bestimmung der Zugkraft
36
Atwoodsche Fallmaschine
1m
2mgm1
gm2
T
T
Beschleunigte Bewegung in diese Richtung
TgmamFgmTamF
res
res
−==
−==
22,2
11,1
gmmmma
gmgmamam
12
12
1221
+−
=
−=+
21 mm <
( )
gmmmmT
gmmmmmgmT
gmTgmmmmmam
21
21
12
1211
112
1211
2+
=
+−
+=
−=+−
=
Fahrstuhl
Bestimmung der Zugkraft
gmgm
mmF
mm
res 11.0 8.18.02
54:Beispiel
22
22
2,2
21
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−=
=