Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n◦1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________
Equazioni differenziali
1. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + 6y′ + 9y = 5xe−2x.
1
2. Si consideri il problema di Cauchy:{y′ + x2y
1+x3 = x2
y (0) = 1
a. Prima di risolverlo, stabilire l’intervallo più ampio su cui sarà definita lasoluzione (in base alla teoria).b. Risolvere il problema di Cauchy.
Curve e integrali di linea3. Si consideri l’arco di ellisse γ di equazioni parametriche
r (t) =(√2 cos t, sin t
), per t ∈
[0,π
2
].
Si calcoli l’integrale di linea ∫γ
xyds.
2
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili4. Sia E ⊆ R2 l’insieme di definizione della funzione
f (x, y) =
√1− log (5− x2 − y2)
arctan yx
Dopo aver determinato analiticamente l’insieme E e averlo disegnato, direse:
E è aperto Sì � No � E è chiuso Sì � No �E è limitato Sì � No � E è connesso Sì � No �
5. Si consideri la funzione:
f (x, y) =
{sin(x2y4)−2y5
(x2+y2)2per (x, y) 6= (0, 0)
0 per (x, y) = (0, 0) .
a. Stabilire se f è continua in (0, 0) .b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta.
3
◦
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) =(x2 + y2
)(1 + x− y) .
4
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n◦2
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________
Equazioni differenziali
1. a. Risolvere il problema di Cauchy y′′ + 9y = 0y (0) = 1y′ (0) = −1
.
b. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + 9y = 4 sin (3x) .
5
2. Si consideri il problema di Cauchy:{y′ + y cotg x = xy(π2
)= 0
a. Prima di risolverlo, stabilire l’intervallo più ampio su cui sarà definita lasoluzione (in base alla teoria).b. Risolvere il problema di Cauchy.
Curve e integrali di linea3. Si consideri l’arco di curva γ di equazioni parametriche
r (t) =(et cos t, et sin t, 2t
)per t ∈ [0, log 2] .
Calcolare l’integrale di linea ∫γ
ezds.
6
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili4. Sia E ⊆ R2 l’insieme di definizione della funzione
f (x, y) =
√y − x2 + 3
√x− y2
log (x2 + y2 − 3)
Dopo aver determinato analiticamente l’insieme E e averlo disegnato, direse:
E è aperto Sì � No � E è chiuso Sì � No �E è limitato Sì � No � E è connesso Sì � No �
5. Si consideri la funzione:
f (x, y) =
{2x5−3y9(x2+y4)2
per (x, y) 6= (0, 0)0 per (x, y) = (0, 0) .
a. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .b. Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0), controllando se in questo
caso vale oppure no la formula del gradiente.c. Stabilire se f è differenziabile nell’origine.[Importante: occorre rispondere ai quesiti in quest’ordine]
7
◦
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) =(x2 − y2
)(1− x+ y) .
8
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A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n◦3
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________
Equazioni differenziali
1. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + y′ − 6y = 3e−x cos (3x) .
Nell’applicare il metodo di somiglianza, si richiede di usare il metodo dell’esponenzialecomplesso.
9
2. Risolvere il problema di Cauchy:{y′ = y2−1
x+1
y (0) = 35
precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema diCauchy è definita.
Curve e integrali di linea3. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche:
r (t) =(RCh3 t, R Sh3 t
), t ∈ [−1, 1]
con R > 0 fissato. Stabilire se è regolare o regolare a tratti, determinando glieventuali punti singolari sulla curva. Calcolare la lunghezza della curva.
10
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili4. Sia E ⊆ R2 l’insieme di definizione della funzione
f (x, y) =3√1− log (4− x2 − y)arcsin (x2 + y2)
Dopo aver determinato analiticamente l’insieme E e averlo disegnato, direse:
E è aperto Sì � No � E è chiuso Sì � No �E è limitato Sì � No � E è connesso Sì � No �
5. Si consideri la funzione:
f (x, y) =
{ex
3−y2−1+y2x2+y2 per (x, y) 6= (0, 0)
0 per (x, y) = (0, 0) .
a. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .b. Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0), controllando se in questo
caso vale oppure no la formula del gradiente.c. Stabilire se f è differenziabile nell’origine.[Importante: occorre rispondere ai quesiti in quest’ordine]
11
◦
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) =(x2 + y2
) (1 + x2 − y2
).
12
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A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n◦4
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________
Equazioni differenziali
1. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + y′ + 2y = 4x2.
13
2. Si risolva il problema di Cauchy:{y′ = y2 tanxy (0) = 1
precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema diCauchy è definita.
Curve e integrali di linea3. Si consideri la curva piana di equazione polare:
ρ = R sin2(θ
2
)per θ ∈ [−π, π] .
a. Stabilire se la curva è regolare, o regolare a tratti, determinando glieventuali punti singolari della curva (non i valori singolari del parametro).
b. Calcolarne quindi la lunghezza.
14
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili4. Sia E ⊆ R2 l’insieme di definizione della funzione
f (x, y) =
3
√1−
√log 1
(x2+y2−1)
x2 + y2 − 5
Dopo aver determinato analiticamente l’insieme E e averlo disegnato, direse:
E è aperto Sì � No � E è chiuso Sì � No �E è limitato Sì � No � E è connesso Sì � No �
5. Si consideri la funzione:
f (x, y) =
{x6−y9 cos x(x2+y4)2
per (x, y) 6= (0, 0)0 per (x, y) = (0, 0) .
a. Stabilire se f è continua in (0, 0) .b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta.
15
◦
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) = (x− y)(1 + x3 − y3
).
16
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n◦1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Equazioni differenziali
1. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + 6y′ + 9y = 5xe−2x.
α2 + 6α+ 9 = 0
α = −3
Integrale generale dell’omogenea:
z (x) = e−3x (c1 + c2x) .
Soluzione particolare dell’equazione completa. Metodo di somiglianza, cerco
y (x) = e−2x (Ax+B)
y′ (x) = e−2x (−2Ax− 2B +A)y′′ (x) = e−2x (4Ax+ 4B − 4A)
e−2x {(4Ax+ 4B − 4A) + 6 (−2Ax− 2B +A) + 9 (Ax+B)} = 5xe−2x
(4Ax+ 4B − 4A) + 6 (−2Ax− 2B +A) + 9 (Ax+B) = 5x
{4A− 12A+ 9A = 54B − 4A− 12B + 6A+ 9B = 0{A = 5B + 2A = 0
{A = 5B = −10
Una soluzione particolare dell’equazione completa è allora
y (x) = e−2x (5x− 10) = 5e−2x (x− 2)
e l’integrale generale della completa è:
y (x) = e−3x (c1 + c2x) + 5e−2x (x− 2) .
17
2. Si consideri il problema di Cauchy:{y′ + x2y
1+x3 = x2
y (0) = 1
a. Prima di risolverlo, stabilire l’intervallo più ampio su cui sarà definita lasoluzione (in base alla teoria).b. Risolvere il problema di Cauchy.
a. Equazione lineare del prim’ordine, il coeffi ciente a (x) = x2
1+x3 è continuoper x 6= −1, il più ampio intervallo contenente x = 0 in cui a (x) è continua è(−1,∞), e questo è l’intervallo in cui la soluzione del problema sarà definita eC1.
b. Risolviamo:a (x) = x2
1+x3
A (x) = 13 log
∣∣1 + x3∣∣ = 13 log
(1 + x3
)perché nell’intervallo considerato è
1 + x3 > 0.
y (x) = e−13 log(1+x
3){c+
∫e13 log(1+x
3)x2dx
}=
13√1 + x3
{c+
∫3√1 + x3x2dx
}=
13√1 + x3
{c+
1
4
(1 + x3
)4/3}.
Imponiamo ora la condizione iniziale
y (0) = c+1
4= 1
c =3
4
e la soluzione è
y (x) =1
3√1 + x3
{3
4+1
4
(1 + x3
)4/3}
3. Si consideri l’arco di ellisse γ di equazioni parametriche
r (t) =(√2 cos t, sin t
), per t ∈
[0,π
2
].
Si calcoli l’integrale di linea ∫γ
xyds.
18
r′ (t) =(−√2 sin t, cos t,
)|r′ (t)|2 = 2 sin2 t+ cos2 t∫γ
xyds =
∫ π2
0
√2 cos t sin t
√2 sin2 t+ cos2 tdt
=
∫ π2
0
√2 cos t sin t
√1 + sin2 tdt
sin t = u; cos tdt = du;u ∈ [0, 1]
=√2
∫ 1
0
u√1 + u2du =
√2
[1
3
(1 + u2
)3/2]10
=
√2
3
(23/2 − 1
).
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili4. Sia E ⊆ R2 l’insieme di definizione della funzione
f (x, y) =
√1− log (5− x2 − y2)
arctan yx
Dopo aver determinato analiticamente l’insieme E e averlo disegnato, direse:
E è aperto Sì � No � E è chiuso Sì � No �E è limitato Sì � No � E è connesso Sì � No �
Dev’essere:
5− x2 − y2 > 01− log
(5− x2 − y2
)≥ 0
x 6= 0
arctany
x6= 0
Quindi:
5− e ≤ x2 + y2 < 5x 6= 0, y 6= 0
19
E ={(x, y) ∈ R2 : 5− e ≤ x2 + y2 < 5, x 6= 0, y 6= 0
}
E è aperto Sì � No � E è chiuso Sì � No �E è limitato Sì � No � E è connesso Sì � No �
5. Si consideri la funzione:
f (x, y) =
{sin(x2y4)−2y5
(x2+y2)2per (x, y) 6= (0, 0)
0 per (x, y) = (0, 0) .
a. Stabilire se f è continua in (0, 0) .b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta.
a.sin(x2y4
)− 2y5
(x2 + y2)2 =
sin(x2y4
)(x2 + y2)
2 −2y5
(x2 + y2)2 = f1 + f2.
La funzione f2 è positivamente omogenea di grado 1 e continua fuori dall’origine,perciò f2 (x, y)→ (0, 0) per (x, y)→ (0, 0) .Quanto a f1,
|f1 (x, y)| =∣∣∣∣∣ sin
(x2y4
)(x2 + y2)
2
∣∣∣∣∣ ≤ x2y4
(x2 + y2)2 = g1 (x, y) ,
dove la funzione g1 è positivamente omogenea di grado 2 e continua fuoridall’origine, perciò g1 (x, y)→ (0, 0) per (x, y)→ (0, 0) .
Di conseguenza anche f (x, y)→ (0, 0) per (x, y)→ (0, 0), perciò f è continuain (0, 0) .
20
b.f (x, 0) = 0,
quindi esiste ∂f∂x (0, 0) = 0;
f (0, y) =−2y5y4
= −2y,
quindi esiste ∂f∂y (0, 0) = −2. Perciò f è derivabile nell’origine con ∇f (0, 0) =
(0,−2) .c. La funzione è differenziabile nell’origine se
f (x, y) + 2y√x2 + y2
→ 0 per (x, y)→ (0, 0) .
f (x, y) + 2y√x2 + y2
=
sin(x2y4)−2y5
(x2+y2)2+ 2y√
x2 + y2=sin(x2y4
)− 2y5 + 2y
(x2 + y2
)2(x2 + y2)
5/2= g (x, y) .
Ora,
g (x, x) =sin(x6)− 2x5 + 2x
(2x2)2
(2x2)5/2
=sin(x6)+ 6x5
25/2 |x|5∼ 6x5
25/2 |x|5→ ± 6
25/2per x→ 0±,
in particolare g (x, y) non tende a zero per (x, y) → (0, 0), perciò f non è dif-ferenziabile nell’origine.
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) =(x2 + y2
)(1 + x− y) .
{fx = 2x (1 + x− y) +
(x2 + y2
)= 0
fy = 2y (1 + x− y)−(x2 + y2
)= 0
Sommando membro a membro
2 (x+ y) (1 + x− y) = 0 =⇒ y = −x o y = x+ 1.
Se y = −x, la prima equazione dà
2x (1 + 2x) + 2x2 = 0
2x (1 + 3x) = 0 =⇒ x = 0, x = −13
che dà i punti stazionari:
(0, 0) ,
(−13,1
3
).
21
Se y = x+ 1, la prima equazione dà:
x2 + y2 = 0,
che dà ancora (0, 0) .Calcoliamo la matrice hessiana.{
fx = 2x+ 3x2 − 2xy + y2
fy = 2y + 2xy − 3y2 − x2
fxx = 2 + 6x− 2yfxy = −2x+ 2yfyy = 2 + 2x− 6y
Hf (x, y) =
[2 + 6x− 2y −2x+ 2y−2x+ 2y 2 + 2x− 6y
]= 2
[1 + 3x− y −x+ y−x+ y 1 + x− 3y
].
Studiamo ora la natura dei punti stazionari:
Hf (0, 0) =
[2 00 2
]definita positiva,
(0, 0) è punto di minimo relativo.
Hf
(−13,1
3
)= 2
[− 13
23
23 − 13
]indefinita,(
−13,1
3
)punto di sella.
22
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n◦2
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Equazioni differenziali
1. a. Risolvere il problema di Cauchy y′′ + 9y = 0y (0) = 1y′ (0) = −1
.
b. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + 9y = 4 sin (3x) .
a.
α2 + 9 = 0
α = ±3i
Integrale generale dell’omogenea:
z (x) = c1 cos (3x) + c2 sin (3x) .
Risolviamo il problema di Cauchy:
z′ (x) = −3c1 sin (3x) + 3c2 cos (3x) .{z (0) = 1z′ (0) = −1 =⇒
{c1 = 13c2 = −1, c2 = − 13
z (x) = cos (3x)− 13sin (3x) .
b. Metodo di somiglianza. Poiché il termine noto 4 sin (3x) risolve l’equazioneomogenea, cerchiamo
y (x) = x (c1 cos (3x) + c2 sin (3x))
y′ (x) = c1 cos (3x) + c2 sin (3x) + x (−3c1 sin (3x) + 3c2 cos (3x))y′′ (x) = 2 (−3c1 sin (3x) + 3c2 cos (3x)) + x (−9c1 cos (3x)− 9c2 sin (3x))
2 (−3c1 sin (3x) + 3c2 cos (3x))+x (−9c1 cos (3x)− 9c2 sin (3x))+9x (c1 cos (3x) + c2 sin (3x)) = 4 sin (3x)
23
−3c1 sin (3x) + 3c2 cos (3x) = 2 sin (3x){−3c1 = 23c2 = 0
c1 = −2
3, c2 = 0
y (x) = −23x cos (3x)
Integrale generale dell’equazione completa:
y (x) = −23x cos (3x) + c1 cos (3x) + c2 sin (3x) .
2. Si consideri il problema di Cauchy:{y′ + y cotg x = xy(π2
)= 0
a. Prima di risolverlo, stabilire l’intervallo più ampio su cui sarà definita lasoluzione (in base alla teoria).b. Risolvere il problema di Cauchy.
Equazione lineare del prim’ordine. Il più ampio intervallo contenente x = π2
in cui cotg x è definita e continua è (0, π) .a (x) = cotg xA (x) =
∫a (x) dx =
∫cos xsin x dx = log |sinx| = log (sinx) perché nell’intervallo
considerato è sinx > 0.Integrale generale:
y (x) = e− log(sin x){c+
∫elog(sin x)xdx
}=
1
sinx
{c+
∫x sinxdx
}=
1
sinx{c+ sinx− x cosx} .
Imponiamo la condizione iniziale y(π2
)= 0 e abbiamo
0 = c+ 1,
c = −1,
y (x) =−1 + sinx− x cosx
sinx
Curve e integrali di linea3. Si consideri l’arco di curva γ di equazioni parametriche
r (t) =(et cos t, et sin t, 2t
)per t ∈ [0, log 2] .
24
Calcolare l’integrale di linea ∫γ
ezds.
r′ (t) =(et (cos t− sin t) , et (sin t+ cos t) , 2
).
|r′ (t)|2 = 2e2t + 4
ds =√2e2t + 4dt∫
γ
ezds =
∫ log 2
0
√2e2t + 4e2tdt =
[2
3· 14
(2e2t + 4
)3/2]log 20
=1
6
[(2e2t + 4
)3/2]log 20
=1
6
[(12)
3/2 − 63/2]=√6(23/2 − 1
).
4. Sia E ⊆ R2 l’insieme di definizione della funzione
f (x, y) =
√y − x2 + 3
√x− y2
log (x2 + y2 − 3)
Dopo aver determinato analiticamente l’insieme E e averlo disegnato, direse:
E è aperto Sì � No � E è chiuso Sì � No �E è limitato Sì � No � E è connesso Sì � No �
Dev’essere:
x2 + y2 − 3 > 0log(x2 + y2 − 3
)6= 0
y − x2 ≥ 0
25
Quindi:
E ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 3, x2 + y2 6= 4, y ≥ x2
}
E è aperto Sì � No � E è chiuso Sì � No �E è limitato Sì � No � E è connesso Sì � No �
5. Si consideri la funzione:
f (x, y) =
{2x5−3y9(x2+y4)2
per (x, y) 6= (0, 0)0 per (x, y) = (0, 0) .
a. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .b. Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0), controllando se in questo
caso vale oppure no la formula del gradiente.c. Stabilire se f è differenziabile nell’origine.[Importante: occorre rispondere ai quesiti in quest’ordine]
a.
f (x, 0) =2x5
(x2)2 = 2x
quindi
∂f
∂x(0, 0) = 2.
f (0, y) =−3y9
(y4)2 = −3y,
∂f
∂y(0, 0) = −3.
26
In particolare, f è derivabile in (0, 0) , con ∇f (0, 0) = (2,−3).b-c. Posto v= (cos θ, sin θ) , per calcolare Dvf (0, 0) consideriamo
g (t) = f (t cos θ, t sin θ) =2 (t cos θ)
5 − 3 (t sin θ)9((t cos θ)
2+ (t sin θ)
4)2 = 2 (t cos θ)
5 − 3 (t sin θ)9((t cos θ)
2+ (t sin θ)
4)2
=2t cos5 θ − 3t5 sin9 θ(cos2 θ + t2 sin4 θ
)2 .Se cos θ 6= 0, per t→ 0 è
g (t) ∼ 2t cos5 θ
cos4 θ= 2t cos θ,
Dvf (0, 0) = g′ (0) = 2 cos θ
Se cos θ = 0, per t→ 0 è
g (t) =−3t5 sin9 θt4 sin8 θ
= −3t sin θ
Dvf (0, 0) = g′ (0) = −3 sin θ = ±3 per θ = ∓π2.
Per confronto:
∇f (0, 0) · (cos θ, sin θ) = (2,−3) · (cos θ, sin θ) = 2 cos θ − 3 sin θ,
che non è uguale per ogni θ al valoreDvf (0, 0) . Pertanto la formula del gradientenon vale. In particolare, f non è differenziabile.
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) =(x2 − y2
)(1− x+ y) .
{fx = 2x (1− x+ y)−
(x2 − y2
)= 0
fy = −2y (1− x+ y) +(x2 − y2
)= 0
Sommando membro a membro si ha
2x (1− x+ y)− 2y (1− x+ y) = 02 (x− y) (1− x+ y) = 0
che dà y = x o y = x− 1. Sostituendo nella prima equazione y = x si ha
2x = 0, x = 0
che dà il punto stazionario(0, 0) .
27
Sostituendo nella prima equazione y = x− 1 si ha
x2 − (x− 1)2 = 02x− 1 = 0
x =1
2
che dà il punto stazionario (1
2,−12
).
Quindi i punti stazionari sono i due detti.
Calcoliamo la matrice hessiana.{fx = 2x− 3x2 + 2xy + y2fy = −2y + 2xy − 3y2 + x2
fxx = 2− 6x+ 2yfxy = 2x+ 2y
fyy = −2 + 2x− 6y
Hf (x, y) =
[2− 6x+ 2y 2x+ 2y2x+ 2y −2 + 2x− 6y
]= 2
[1− 3x+ y x+ yx+ y −1 + x− 3y
].
Studiamo ora la natura dei punti stazionari:
Hf (0, 0) = 2
[1 00 −1
]indefinita,
(0, 0) è punto di sella.
Hf
(1
2,−12
)= 2
[−1 00 1
]indefinita,(
1
2,−12
)punto di sella.
28
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n◦3
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Equazioni differenziali
1. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + y′ − 6y = 3e−x cos (3x) .
Nell’applicare il metodo di somiglianza, si richiede di usare il metodo dell’esponenzialecomplesso.
α2 + α− 6 = 0
α =−1± 52
=
{2−3 .
Integrale generale dell’omogenea:
z (x) = c1e2x + c2e
−3x.
Cerco una soluzione particolare dell’equazione completa col metodo di somiglianza:
3e−x cos (3x) = Re 3ex(−1+3i)
quindi cerco una soluzione particolare dell’equazione
w′′ + w′ − 6w = 3ex(−1+3i)
del tipo
w (x) = Aex(−1+3i)
w′ (x) = A (−1 + 3i) ex(−1+3i)
w′′ (x) = A (−1 + 3i)2 ex(−1+3i)
Aex(−1+3i){(−1 + 3i)2 + (−1 + 3i)− 6
}= 3ex(−1+3i)
A {−8− 6i− 1 + 3i− 6} = 3
A =3
−15− 3i = −1
5 + i
29
w (x) = − 1
5 + iex(−1+3i)
y (x) = Re
(− 1
5 + iex(−1+3i)
)= −e
−x
26Re (5− i) (cos (3x) + i sin (3x))
= −e−x
26(5 cos (3x) + sin (3x))
Integrale generale della completa:
y (x) = c1e2x + c2e
−3x − e−x
26(5 cos (3x) + sin (3x)) .
2. Risolvere il problema di Cauchy:{y′ = y2−1
x+1
y (0) = 35
precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema diCauchy è definita.
Equazione a variabili separabili. Soluzioni costanti y = ±1, che non soddis-fano la condizione iniziale. Integrale generale:∫
dy
y2 − 1 =∫
dx
x+ 1
1
2
∫ (1
y − 1 −1
y + 1
)dy = log |x+ 1|+ c
1
2log
∣∣∣∣y − 1y + 1
∣∣∣∣ = log |x+ 1|+ c,per c ∈ R. Discutiamo i moduli. Per x in un intorno di 0 e y in un intorno di 35si ha
1
2log
(1− yy + 1
)= log (x+ 1) + c
che richiede di porre le condizioni x > −1 e −1 < y < 1.Imponendo la condizione y (0) = 3
5 abbiamo
c =1
2log
( 2585
)= −1
2log 4 = − log 2
30
log
√1− yy + 1
= log(x+ 1)
2√1− yy + 1
=(x+ 1)
2
1− yy + 1
=(x+ 1)
2
4
y (x) =1− (x+1)2
4
1 + (x+1)2
4
,
che è soluzione nell’intervallo (−1,+∞) .
Curve e integrali di linea3. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche:
r (t) =(RCh3 t, R Sh3 t
), t ∈ [−1, 1]
con R > 0 fissato. Stabilire se è regolare o regolare a tratti, determinando glieventuali punti singolari sulla curva. Calcolare la lunghezza della curva.
r′ (t) =(R3Ch2 tSh t, R3 Sh2 tCh t
)= 3R Sh tCh t (Ch t,Sh t)
|r′ (t)| = |3R Sh tCh t|√Ch2 t+ Sh2 t.
Poiché |r′ (t)| = 0 per t = 0, r (0) = (R, 0) è un punto singolare della curva, cheè regolare a tratti.
L =
∫ 1
−1|r′ (t)| dt =
∫ 1
−1|3R Sh tCh t|
√Ch2 t+ Sh2 tdt
= 6R
∫ 1
0
Sh tCh t√1 + 2Sh2 tdt = 6R
[2
3· 14
(1 + 2Sh2 t
)3/2]10
= R[(1 + 2Sh2 1
)3/2 − 1] .Calcolo differenziale per funzioni di più variabili4. Sia E ⊆ R2 l’insieme di definizione della funzione
f (x, y) =3√1− log (4− x2 − y)arcsin (x2 + y2)
Dopo aver determinato analiticamente l’insieme E e averlo disegnato, direse:
E è aperto Sì � No � E è chiuso Sì � No �E è limitato Sì � No � E è connesso Sì � No �
31
Dev’essere:
4− x2 − y > 0x2 + y2 ≤ 1
arcsin(x2 + y2
)6= 0
Quindi (poiché la parabola y = 4− x2 sta tutta sopra la circonferenza):
E ={(x, y) ∈ R2 : 0 < x2 + y2 ≤ 1
}
E è aperto Sì � No � E è chiuso Sì � No �E è limitato Sì � No � E è connesso Sì � No �
5. Si consideri la funzione:
f (x, y) =
{ex
3−y2−1+y2x2+y2 per (x, y) 6= (0, 0)
0 per (x, y) = (0, 0) .
a. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .b. Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0), controllando se in questo
caso vale oppure no la formula del gradiente.c. Stabilire se f è differenziabile nell’origine.[Importante: occorre rispondere ai quesiti in quest’ordine]
f (x, 0) =ex
3 − 1x2
∼ x per x→ 0,
32
quindi
∂f
∂x(0, 0) = 1.
f (0, y) =e−y
2 − 1 + y2y2
=1− y2 + 1
2y4 + o
(y4)− 1 + y2
y2
=12y4 + o
(y4)
y2=1
2y2 + o
(y2)∼ 12y2 per y → 0,
∂f
∂y(0, 0) = 0.
In particolare, f è derivabile in (0, 0) , con ∇f (0, 0) = (1, 0).b-c. Posto v= (cos θ, sin θ) , per calcolare Dvf (0, 0) consideriamo
g (t) = f (t cos θ, t sin θ) =e(t cos θ)
3−(t sin θ)2 − 1 + (t sin θ)2
t2
=1 + (t cos θ)
3 − (t sin θ)2 + 12 (t sin θ)
4+ o
(t4)− 1 + (t sin θ)2
t2
=(t cos θ)
3+ 1
2 (t sin θ)4+ o
(t4)
t2
Se cos θ 6= 0, per t→ 0 è
g (t) ∼ t cos3 θDvf (0, 0) = g′ (0) = cos3 θ
Se cos θ = 0, per t→ 0 è
g (t) =12 (t sin θ)
4+ o
(t4)
t2∼ 12t2 sin4 θ
Dvf (0, 0) = g′ (0) = 0 per θ = ±π2.
Per confronto:
∇f (0, 0) · (cos θ, sin θ) = (1, 0) · (cos θ, sin θ) = cos θ,
che non è uguale per ogni θ al valoreDvf (0, 0) . Pertanto la formula del gradientenon vale (in particolare, f non è differenziabile).
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) =(x2 + y2
) (1 + x2 − y2
).
{fx = 2x
(1 + x2 − y2
)+ 2x
(x2 + y2
)= 2x
(1 + 2x2
)= 0
fy = 2y(1 + x2 − y2
)− 2y
(x2 + y2
)= 2y
(1− 2y2
)= 0
33
La prima equazione dà x = 0, mentre la seconda dà y = 0 o y = ± 1√2. Punti
stazionari:
(0, 0) ,
(0,± 1√
2
).
Calcoliamo la matrice hessiana.{fx = 2x+ 4x
3
fy = 2y − 4y3
fxx = 2 + 12x2
fxy = 0
fyy = 2− 12y2
Hf (x, y) =
[2 + 12x2 0
0 2− 12y2]= 2
[1 + 6x2 00 1− 6y2
].
Studiamo ora la natura dei punti stazionari:
Hf (0, 0) = 2
[1 00 1
]definita positiva,
(0, 0) è punto di minimo relativo.
Hf
(0,± 1√
2
)= 2
[1 00 −2
]indefinita,(
0,± 1√2
)punti di sella.
34
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n◦4
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Equazioni differenziali
1. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + y′ + 2y = 4x2.
α2 + α+ 2 = 0
α =−1± i
√7
2
Integrale generale dell’omogenea:
z (x) = e−x2
(c1 cos
(√7
2x
)+ c2 sin
(√7
2x
)).
Metodo di somiglianza, cerco
y (x) = ax2 + bx+ c
y′ (x) = 2ax+ b
y′′ (x) = 2a
2a+ (2ax+ b) + 2(ax2 + bx+ c
)= 4x2
2a = 42a+ 2b = 02a+ b+ 2c = 0 a = 2b = −24− 2 + 2c = 0, c = −1
Soluzione particolare dell’equazione completa:
y (x) = 2x2 − 2x− 1.
35
Integrale generale dell’equazione completa:
y (x) = e−x2
(c1 cos
(√7
2x
)+ c2 sin
(√7
2x
))+ 2x2 − 2x− 1.
2. Si risolva il problema di Cauchy:{y′ = y2 tanxy (0) = 1
precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema diCauchy è definita.
Equazione a variabili separabili. Soluzione costante:
y = 0,
che non soddisfa la condizione iniziale. Altre soluzioni (integrale generale):∫dy
y2=
∫sinx
cosxdx
−1y= − log |cosx|+ c
1
y= log |cosx|+ c
per c ∈ R.Discutiamo il modulo. Poiché nell’equazione compare tanx, l’intervallopiù ampio contenente x = 0 in cui tanx è definita è
(−π2 ,
π2
), in cui cosx > 0.
Perciò1
y= log (cosx) + c.
Imponendo la condizione y (0) = 1 abbiamo
1 = c
e la soluzione è:
1
y= log (cosx) + 1
y (x) =1
log (cosx) + 1
La soluzione è definita nel più ampio intervallo contenunto in(−π2 ,
π2
)in cui è
log (cosx) + 1 6= 0, quindi
log (cosx) 6= −1
cosx 6= 1
e
− arccos 1e< x < arccos
1
e
36
Curve e integrali di linea3. Si consideri la curva piana di equazione polare:
ρ = R sin2(θ
2
)per θ ∈ [−π, π] .
a. Stabilire se la curva è regolare, o regolare a tratti, determinando glieventuali punti singolari della curva (non i valori singolari del parametro).
b. Calcolarne quindi la lunghezza.
ρ′ = R sin
(θ
2
)cos
(θ
2
)ds =
√ρ2 + (ρ′)
2dθ = R
√sin4
(θ
2
)+ sin2
(θ
2
)cos2
(θ
2
)dθ
= R
√sin2
(θ
2
)dθ = R
∣∣∣∣sin(θ2)∣∣∣∣ dθ
Poiché∣∣sin ( θ2)∣∣ = 0 per θ = 0 e ρ (0) = 0, l’origine è punto singolare della curva.
L =
∫γ
ds =
∫ π
−πR
∣∣∣∣sin(θ2)∣∣∣∣ dθ = 2R ∫ π
0
sin
(θ
2
)dθ = 2R
[−2 cos
(θ
2
)]π0
= 4R.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili4. Sia E ⊆ R2 l’insieme di definizione della funzione
f (x, y) =
3
√1−
√log 1
(x2+y2−1)
x2 + y2 − 5
Dopo aver determinato analiticamente l’insieme E e averlo disegnato, direse:
E è aperto Sì � No � E è chiuso Sì � No �E è limitato Sì � No � E è connesso Sì � No �
Dev’essere:
x2 + y2 − 5 6= 0x2 + y2 − 1 > 0;
log1
(x2 + y2 − 1) ≥ 0.
QuindiE =
{(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 ≤ 2
}.
37
E è aperto Sì � No � E è chiuso Sì � No �E è limitato Sì � No � E è connesso Sì � No �5. Si consideri la funzione:
f (x, y) =
{x6−y9 cos x(x2+y4)2
per (x, y) 6= (0, 0)0 per (x, y) = (0, 0) .
a. Stabilire se f è continua in (0, 0) .b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta.
a.
∣∣∣∣∣x6 − y9 cosx(x2 + y4)2
∣∣∣∣∣ ≤ x6
(x2 + y4)2 +|y|9 |cosx|(x2 + y4)
2
≤ x6
(x2)2 +
|y|9
(y4)2 ≤ x
2 + |y| → 0,
e per il teorema del confronto f (x, y) → (0, 0) per (x, y) → (0, 0) , quindi f ècontinua.b.
f (x, 0) =x6
(x2)2 = x2
quindi esiste ∂f∂x (0, 0) = 0;
f (0, y) =−y9
(y4)2 = −y,
38
quindi esiste ∂f∂y (0, 0) = −1. Perciò f è derivabile nell’origine con ∇f (0, 0) =
(0,−1) .c. La funzione è differenziabile nell’origine se
f (x, y) + y√x2 + y2
→ 0 per (x, y)→ (0, 0) .
f (x, y) + y√x2 + y2
=
x6−y9 cos x(x2+y4)2
+ y√x2 + y2
=x6 − y9 cosx+ y
(x2 + y4
)2(x2 + y4)
2√x2 + y2
= g (x, y) .
Ora,
g (x, x) =x6 − x9 cosx+ x
(x2 + x4
)2(x2 + x4)
2√2x2
=x6 − x9 cosx+ x5 + 2x7 + x9
(x2 + x4)2√2x2
∼ x5
x4 |x|√2→ ± 1√
2per x→ 0±,
in particolare g (x, y) non tende a zero per (x, y) → (0, 0), perciò f non è dif-ferenziabile nell’origine.
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) = (x− y)(1 + x3 − y3
).
{fx =
(1 + x3 − y3
)+ 3x2 (x− y) = 4x3 − 3x2y − y3 + 1 = 0
fy = −(1 + x3 − y3
)− 3y2 (x− y) = 4y3 − 3xy2 − x3 − 1 = 0
Sommando membro a membro si ha
3x3 − 3x2y + 3y3 − 3xy2 = 03x2 (x− y)− 3y2 (x− y) = 0
3(x2 − y2
)(x− y) = 0
y = ±x
Sostituendo nella prima equazione y = x si ha
1 = 0 impossibile,
mentre sostituendo nella prima equazione y = −x si ha
4x3 + 3x3 + x3 + 1 = 0
8x3 = −1
x = −12
39
che dà il punto stazionario: (−12,1
2
).
Calcoliamo la matrice hessiana.{fx = 4x
3 − 3x2y − y3 + 1fy = 4y
3 − 3xy2 − x3 − 1
fxx = 12x2 − 6xy
fxy = −3x2 − 3y2
fyy = 12y2 − 6xy
Hf (x, y) =
[12x2 − 6xy −3x2 − 3y2−3x2 − 3y2 12y2 − 6xy
]= 3
[4x2 − 2xy −x2 − y2−x2 − y2 4y2 − 2xy
].
Studiamo ora la natura del punto stazionario:
Hf
(−12,1
2
)= 3
[32 − 12− 12
32
]definita positiva,(
−12,1
2
)è punto di minimo relativo.
40