1
PROBLEMARIO DE VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS DE FOURIER.
1. Sean iz 21
, iz 542
, iz 233
y iz 314
. Realice las siguientes
operaciones empleando la representación cartesiana.
a) 321
zzz b) ))((4321
zzzz c)
32
41Rezz
zz d)
1
41
32
zz
zz
e)
13
2
2
)31(Im
ziz
zi f)
21
3
4 ImRe zziz
z
h)
4321zzzz
2. Calcule las siguientes operaciones.
a) 𝑖2015 b) 𝑖1000000 c) (𝑖85 + 𝑖−28)(𝑖64 + 𝑖−37) d) 𝑖117+𝑖−73
𝑖60−𝑖−129
3. a) Si 𝑧 = −1
2+
√5
2𝑖, pruebe que se cumple: 1 + 𝑧 + 𝑧2 = 0 y
1
𝑧= 𝑧2.
b) Para 𝑧 = −1
2+
√3
2𝑖 pruebe que: |𝑧| = 1, 𝑧2 = 𝑧̅, 𝑧3 = 1 𝑦 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑧3002.
4. Calcule el valor de 𝑦 para que el producto de (3 − 6𝑖)(4 + 𝑦𝑖) sea:
a) un imaginario puro b) un real
5. Determine el valor de 𝑥:
a) para que el número 𝑥 + 3𝑖 tenga el mismo módulo que 2√5 + √5𝑖.
b) para que 𝑥+2+𝑥𝑖
𝑥+𝑖 sea imaginario puro.
6. Si 𝑧 =1+𝑥𝑖
𝑥+𝑖 pruebe que |𝑧| = 1, usando dos procedimientos distintos.
7. Pruebe que si la suma de dos números complejos dividido por su diferencia es
un número imaginario puro, entonces tienen el mismo módulo.
8. Si 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ, pruebe las siguientes relaciones.
a) |𝑧 + 𝑤|2 + |𝑧 − 𝑤|2 = 2(|𝑧|2 + |𝑤|2) b) |1 + 𝑧�̅�|2 − |𝑧 − 𝑤|2 = (1 + |𝑧𝑤|)2 − (|𝑧|2 + |𝑤|2)
2
9. Halle la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado. a) iizi 4)2()23( b) ziiizi )2()56()3()21(
c) 0)6()21()52()34( iziizi d) iizi
izi21
)38()4(
)52()37(
10. Use la representación polar para realizar las siguientes operaciones y exprese
el resultado en la forma cartesiana. Sean iwizibia 7 ,56 ,31 ,23 .
a) 45ba b)
bw
az c)
1
4
3
z
w d)
45
34
ba
zw e)
43
24
zb
wa
11. Halle dos números complejos cuyo cociente sea 3, la suma de sus argumentos 𝜋
3 y la suma de sus módulos sea 8.
12. El producto de dos números complejos es 2𝑖 y el cubo de uno de ellos dividido
por el otro es 1
2, encuentre dichos números.
13. Emplear el teorema de De Moivre para deducir las siguientes identidades.
a) cos3cos3cos23
sen
32
cos33 sensensen
b) 4224
cos6cos4cos sensen
cos4 cos4433
sensensen
14. Si sin 𝜃 =1
2, 0 < 𝜃 <
𝜋
2, aplique los resultados del ejercicio 13 para hallar los
valores de:
a) cos 3𝜃 𝑦 sen 3𝜃 b) cos 4𝜃 𝑦 sen 4𝜃
15. Si 𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 ≠ 1, deduzca la fórmula z
zzzzz
n
n
1
11
1
32 . (Ésta
fórmula fue hallada por vez primera por un niño alemán en el siglo XVIII). 16. Aplique la fórmula del ejercicio 15 y el teorema de De Moivre para probar que:
21
21
21
2
)(cos3cos2coscos1
sen
nsensenn
3
21
21
21
2
)cos(cos 32
sen
nnsensensensen
Sugerencia: haga isenz cos 17. Calcule las raíces mostradas a continuación.
a) 6 1 b) 4 i c) 5 32 d) 7 68 i e) √3+3𝑖
−3+3𝑖
3 f) √
𝑖35−𝑖18
1+𝑖
4
18. Si k
z es una raíz enésima de la unidad, diferente a la unidad misma, es decir,
1k
z , probar que se cumple 01132
n
kkkkzzzz
Sugerencia: use la fórmula del ejercicio 15.
19. Si 𝑧0, 𝑧1, ⋯ , 𝑧𝑛−1 son las raíces n-ésimas de la unidad pruebe que su producto es igual a 1 o -1.
20. Pruebe que:
a) (1+cos 𝜃+𝑖 sen 𝜃
1+cos 𝜃−𝑖 sen 𝜃)
𝑛
= 𝑒𝑖𝑛𝜃, 𝑛 ∈ ℕ
b) Si 𝑧 +1
𝑧= 2 cos 𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ ℂ, entonces 𝑧𝑛 +
1
𝑧𝑛 = 2 cos 𝑛𝑡 , 𝑛 ∈ ℕ.
21. Si 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ son raíces sextas de 1, pruebe que también son raíces sextas de 1:
a) 𝑧𝑤 b) 𝑧
𝑤 c) 𝑧2 d)
𝑧3
𝑤3
22. a) ¿Pueden ser 𝑧1 = 2 + 𝑖, 𝑧2 = −2 + 𝑖, 𝑧3 = −1 − 2𝑖, 𝑧4 = 1 − 2𝑖 las raíces de un número complejo? Justifique su respuesta.
b) Si la ecuación 2𝑧3 − 5𝑧2 + 16𝑧 − 1 = 0 tiene tres raíces distintas entre sí, ¿pueden ser imaginarias las tres? Justifique su respuesta.
23. Halle las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado.
a) 0232
zz b) 01032
izz
c) 0)1(22
iziz d) 0)1(22
iziiz
4
24. Considere la ecuación 𝑧4 − 4𝑧3 + 7𝑧2 − 8𝑧 + 10 = 0. Se sabe que √2𝑖 𝑦 2 − 𝑖 son dos raíces de ella, halle las otras dos.
25. Sea 𝑧 ∈ ℂ. Si 𝑧3 = 𝑖𝑧, calcule el valor de 𝑧. 26. Para las siguientes funciones determine u(x,y), v(x,y).
a) )47()2()( izizf b) )23()( izzzf
c) zzzzf 23
)( d) zizizf )2()1()(2
e) iz
zzf
)( f)
4)(
2
z
zzf
g) iz
izzf
2
2
)( h) iz
izzzf
2
)3)(2()(
27. Halle ),(),,( rvru para las funciones mostradas a continuación.
a) 23)( zzzf b)
2
21
)(z
zzf
c) iz
izzf
3
2)(
d) )()( izzzf
28. Expresar las siguientes funciones en términos de la variable compleja z.
a) )()()( yxiyxzf b) ixyyxzf 22
)(
c) )2()2()(22
yxyixyxzf d) )1()1()(2222 yxiyxzf
e) iyx
yxzf
22
)( f) x
yi
y
xzf )(
29. Determine el mapeo de las rectas x = cte., y = cte., y = 2x + c, con c = cte.
considerando las funciones:
a) 4)3()( zizf b) izizf 1)2()(
5
c) ii
zzf
21
1
21)(
d) z
i
izf
1
1)(
30. Sea 𝑧 ∈ ℂ. Represente gráficamente los siguientes conjuntos.
a) −1 ≤ 𝐼𝑚(𝑍) ≤ 1 b) 0 < 𝑅𝑒(𝑧) ≤ 4 c) 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 𝐼𝑚(𝑧)
c) |𝑧| ≤ 3 d) |𝑧 − 1| + |𝑧 + 𝑖| ≤ 2 e) {−3 < 𝑅𝑒(𝑧) ≤ 1−2 ≤ 𝐼𝑚(𝑧) < 3
31. Sea izzS 32 . ¿Cuáles de los siguientes puntos son puntos interiores,
exteriores y frontera de dicho con junto? a) z = 1 + 3i b) z = 2 +i c) z = (7 + i)/2 d) z = 4 – 3i d) z = (-1 + i)/2 e) z = (3 – I)/2 32. Clasifique los conjuntos mostrados a continuación en: a) abiertos o cerrados,
b) conexos o no conexos.
a) 2i-z zA b) 423 iizzB
c) 43i-2z o 232 izzC d) 22i-4-3z o 332 izzD
33. Calcule el valor de los siguientes límites, si es que existen.
a) izziiz
3)23(2
3lim b)
iizz
iziiz
iz
1
4)2(2
2
23lim
c) izz
iizz
iz
3
3
2
1lim d)
16
324
5
2lim
z
iz
iz
e) izziz
iizziz
iz 23)23(
642)23(23
23
23lim
f) izizizz
iziziziiz
iz 33)21(33
1)1()32()2(234
234
1lim
g) )23(2)2(
4)23(2
2
limizzi
ziiz
z
h) izizz
izizzi
z
3)1(2
212)31(234
23
lim
6
34. Determine si las siguientes funciones son continuas en el punto señalado.
a)
ii
iziziz
iziz
zf
z , 22
3
, )1(
2)2(
)(
2
2
b)
i1z para i-3z
2i-2z
1z para 22)22()1(
)1(3)4(
)(
2
2
iizizi
iziiz
zf
35. Halle cuáles de las funciones mostradas a continuación satisfacen las
ecuaciones de Cauchy-Riemann.
a) zzzf 3)(2 b) 2
2)( ixyxzf c) z
zzf )(
d) senhyisenxyxzf coshcos)( e) 2222
)(yx
yi
yx
xzf
f) )arctan()ln()(22
2
1
x
yiyxzf g) xyisenxy
yxzf e 22cos)(
22
h) xysenhyxixyyxsenzf 2cos2cosh)(2222
i) )2(ln2cos)(22
senrirrzf j) r
seni
rzf
cos)(
7
36. Pruebe que la función u(x,y) es armónica en algún dominio y encuentre una armónica conjugada v(x,y).
a) )1(2),( yxyxu b) 2332),( xyxxyxu c) senxsenhyyxu ),(
d) yxyxu e cos),( e) xyyxu 2),( f) senyxyxyxu e22
),(
g) 22
),(yx
yyxu
h) )ln(),(
22
2
1 yxyxu i) xyyxyxu e 2cos),(
22
37. Calcule el valor de las siguientes expresiones.
a) ei
3
1
b) ei 43
c) ei
i 1
2
38. Halle la solución de las siguientes ecuaciones.
a) iez
43 b) 112
ez
c) iez
31 d) 1eiz
39. Pruebe que si eeizzi sí y sólo si nnz para un número entero.
40. Pruebe las siguientes relaciones que involucran funciones trigonométricas
complejas. a) senhyxseniyxz coshcoscos b) isenhyiysen )(
c) yiy cosh)cos( d) ysenhxz222
coscos
e) 212121
coscos)cos( senzsenzzzzz f) zsenzz22
cos2cos
g) zz22
csccot1 41. Halle la solución de las siguientes ecuaciones. a) 1senz b) iz 2cos c) 0cos z d) isenz 23
8
42. Pruebe las siguientes relaciones para funciones hiperbólicas complejas.
a) 212121
coshcosh)cosh( senhzsenhzzzzz b) ziz cos)cosh(
c) )cos(cosh izz d) isenhxsenyyxz coscoshcosh
e) yxsenhz222
coscosh f) zsenhzz22
cosh2cosh
43. Determine la solución de las ecuaciones mostradas a continuación. a) isenhz b) 1cosh z c) iz 1cosh d) isenhz 4
44. Calcule el valor de las expresiones siguientes.
a) )( eiLog b) )1( iLog c) ilog d) )1log( i e) )3log( ei
45. Pruebe que )1(2)1(2
iLogiLog pero que )1(2)1(2
iLogiLog
46. Si 0)Re(1z y 0)Re(
2z demuestre que )()()(
2121zLogzLogzzLog
47. Halle el valor de las siguientes potencias.
a) ii)2( b) i
i c) ii
4)1(
48. Deduzca las siguientes fórmulas.
a) 1logcos21
zziz b) iz
zi
ziiz
,log
2tan
1
49. Halle el valor de las expresiones siguientes.
a) )2(tan1
i b) )1(cos
1
c) )1(cos1
i d) )(
1isen
9
50. Pruebe que izz
zdz
d
,
1
1tan
2
1 .
51. Deduzca las siguientes fórmulas.
a) 1logcosh21
zzz b) 1,
1
1log
2
1tanh
1
z
z
zz
52. Halle el valor de las expresiones siguientes.
a) )21(tanh1
i b) )1(cosh
1i
c) )3(cosh1
i d) )2(
1isenh
53. Pruebe que 1,1
1tanh
2
1
z
zz
dz
d.
54. Aplique la regla de L´Hopital para hallar el valor de los siguientes límites.
a) z
zsenzz
z
coslim
0
b)
z
z
z
2
coslim
2
c) 2
2
0lim
z
zsen
z
d) 2
4
0 2cos2lim
zz
z
z
55. Calcule la integral de línea de la función z
zzf
2)(
donde C es el contorno:
a) el semicírculo ,0,2)( tetzit , b) el círculo 2,0,2)( tetz
it .
56. Halle el valor de la integral de línea para la función e )( zzf y C es el
contorno del cuadrado con vértices en los puntos 0, 1, 1+i e i, orientado en el sentido positivo (sentido contrario a las manecillas del reloj).
57. Sea C el círculo Rzz 0
, recorrido en el sentido positivo. Usar la
representación paramétrica ,,0
titRzz e para obtener los
siguientes resultados
a) i
Czz
dz2
0
b)
C
ndzzzn ,3,2,1con 0)(
1
0
c) )(2
)(1
0a
C
sena
Ridzzz
a
a
donde a es cualquier número real distinto de
cero y donde se toman la rama principal del integrando y el valor principal de a
R .
10
58. Determine el valor de la integral de línea de la función izzzf 412)(2 donde
C es la parábola descrita por 1,0,3)(,2)(2
tttyttx .
59. Si C es el contorno del triángulo cuyos vértices son los puntos: 2+2i, -i y –2+2i,
halle el valor de la integral de línea de la función z
zf1
)( a lo largo de C.
60. Calcule C
dzsenz , donde C es el contorno descrito por ,0, titz .
61. Halle el valor de las siguientes integrales definidas.
a)
i
i
dzsenz
2
1
b)
2
11
cosh
i
dzz c) 2
i
i
dzze d) dz
zi
2
02
cos
62. Sabiendo que
bia
xbia
dxxbia e
e)(
)(,donde se ha omitido la constante de
integración, pruebe que:
a)
22
)cos(cos
ba
bsenbxbxaax
bxdxax ee
b)
22
)cos(
ba
bxbasenbxax
senbxdxax ee
En los siguientes problemas aplique las fórmulas integrales de Cauchy o el teorema de
Cauchy-Goursat para calcular el valor de las integrales de línea de las funciones indicadas
con el contorno señalado. Considere que los contornos están recorridos en el sentido
positivo.
63. 4
1)(
2
z
zzf , donde C es la circunferencia 5z .
64. 4
12)(
2
z
zzf , C es la semicircunferencia superior de radio 1 con centro en el
origen y el segmento de recta que une los puntos z = -1 y z = 1.
11
65. ziz
z
zfe
cos)()(
, C es la circunferencia 1 iz .
66. iz
z
zfe
2
)(
, C es el cuadrado de lado dos con centro en el origen.
67. 25
)(2
z
zsenzzf , donde C es la circunferencia 4z .
68. 3
2
)(z
z
zfe
, es la circunferencia con centro en el origen y radio uno.
69. 2
2cos)(
z
zzf , C es cualquier contorno cerrado que contenga al origen.
70. 3
)(z
senzzf , C es el mismo contorno del problema 65.
71. 4
2
)1(
1)(
z
zzf , C es la circunferencia 4z .
72. 2
)(2
zz
zzf , C es |𝑧| =
3
2
73. 3
)(
)cos()(
z
ezf
z
, C es la circunferencia z .
74. )2)(1(
)cos()()(
22
zz
zzsenzf
, C es la circunferencia de radio tres con centro en el
origen.
75. 22
)1()(
z
zt
zfe , C es la circunferencia 3z y 0t .
76. Para los siguientes ejercicios halle la serie de Laurent de la función en la
región señalada.
a) z0 para cosh
)(2
z
zzf b) z0 para
1 )(
3
zsenhzzf
12
c)
z1 ii) 10 i) :para )1(
1)(
2z
zzzf
d) 211 iii) 11-z0 ii) 10 i) :para 1
)(2
zzzz
zf
e) z0 para 1
)(z
senzsenzf f) 11-z0 para 1
1
1)(
zsen
zzf .
77. Halle el desarrollo en serie de Laurent para la función
1y real númeroun es donde , para 1
)(
aazaaz
zf . A continuación
escriba iez para obtener las siguientes fórmulas.
2
2
1 cos21
coscos
aa
aana
n
n
2
1 cos21
aa
asennsena
n
n
78. Para las siguientes funciones encuentre y clasifique sus singularidades.
a) zz
zzf
3)( b)
z
zzf
tan)( c)
zzzf
1cos)(
3 d)
3
1cos)(
z
zzf
79. Aplique el teorema del residuo para evaluar las siguientes integrales.
Considere el contorno orientado positivamente.
a)
C
dzz
z
12
3
donde 2 : zC b)
C
dzzz
senz23
)( para 2 : zC
c)
Czz
dzm
)1(2
donde 2
1: izC y m un entero no negativo.
d) C
zdztan para 1: zC e)
C
dzzz
z
)9)(1(
232
3
donde 4: zC
f)
C
dzzz
z
)1(
cos2
para 2: zC g)
Czzz
izz
65
32323
2
donde 4: zC
13
80. Si 8: zC , orientada en el sentido positivo y siendo t un número, probar que
ttdz
Csenhz
zt
i
e 2cos2 cos21
2
1
En los siguientes problemas aplique el teorema del residuo para calcular el valor de las
integrales definidas señaladas.
81.
0cos45
d 82.
2
0
21 sen
d 83. 1con
)cos(0
2
a
a
d
84. 1con cos21
2
0
2
a
aa
d
85.
0
6 dsen 86.
2
0
6 cos d
En los siguientes ejercicios aplique el teorema del residuo para hallar el valor de las integrales impropias indicadas.
87.
0
21x
dx 88.
32)1(x
dx 89.
0
22
2
)4)(1( xx
dxx
90.
0
222
2
0acon )( ax
dxx 91.
86
)2(24
2
xx
dxx
En los siguientes problemas aplique el teorema del residuo para determinar el valor de las integrales impropias que involucran funciones seno y coseno.
92.
1
cos2
x
xdx 93.
0
216
x
dxsenxx 94.
0
22)4)(1(
cos
xx
dxx
14
95.
22
3
)1(
x
dxsenxx 96. 0ba,con
)(
cos
0
222
bx
axdx
Aplique el método apropiado para evaluar las siguientes integrales impropias cuyos polos están sobre el eje real.
97. dxx
x
14
cos2
98.
dxx
xsen2
2
99. 0ba,con coscos
0
2
dxx
bxax
100.
dxxx
senx
542
101. 0bcon )(
cos22
dxbax
ax
ANÁLISIS DE FOURIER
Halle la serie de Fourier de las funciones periódicas de periodo 2 que a continuación se
indican.
102.
t0 si 2
0t- si 1)(tf 103. t- para )( senhttf
104.
t- para )(e
t
tf 105.
t0 si 2
0- si 0)(
sent
ttf
106. La gráfica de la función periódica es:
15
107. La gráfica de la función es:
108. a) tttf - para )(2 , b) Con la serie de Fourier obtenida en el
inciso a) y haciendo t , pruebe que
1
2
26
1
n n
.
Determine la serie de Fourier de las funciones periódicas de periodo T que a continuación
se indican.
109. t0 1
0- 1)(
2
2
T
T
ttf 110.
2
T
2
T
t0 4
1
- 4
1
)(
T
t
otT
t
tf
111.
2
T0
2
T
t0
0- 0)(
tsen
ttf
112.
22 1)( TT tttf
113. 1t1- 2)(2
1 ettf 114. 3t3- cosh)( ttf
16
115. La gráfica de la función es:
116. La gráfica de la función es:
117. Empleando el resultado del problema 93 y el teorema de Parseval pruebe que
se cumple
0
2
28)12(
1
n n
.
.