2. Problema 2

Realizar de manera clara y detallada cada uno de los puntos que a continuacion se enuncian.Considere el circuito que se muestra en la figura 2.1.

Figura 2.1: Circuito RC para el problema 2.

a) Obtenga las ecuaciones que describen la dinamica del circuito electrico as como la ecuacionde salida, todo esto en funcion del tiempo.

ei (t) = R1i(t) +1

C1

i(t)dt + R2i(t) +

1

C2

i(t)dt (1)

e0(t) = R2i(t) +1

C2

i(t)dt (2)

b) A partir de las ecuaciones del inciso anterior, determine la funcion de transferencia delsistema, tomando en cuenta que la entrada es ei(t) y la salida del sistema es e0(t)

Obteniendo la transformada de Laplace de Ec. 1 y 2.

Ei(s) = R1I(s) +1

C1sI(s) + R2I(s) +

1

C2sI(s) (3)

E0(s) = R2I(s) +1

C2sI(s) (4)

Reduciendo se obtiene:

Ei(s) =

(C2R1s +

C2C1

+ C2R2s + 1

)I(s) (5)

E0(s) = (C2sR2 + 1) I(s) (6)

1

HaciendoE0(s)

Ei(s)para obtener la funcion de transferencia queda:

E0(s)

Ei(s)=

(C2sR2 + 1) I(s)(C2R1s +

C2C1

+ C2R2s + 1

)I(s)

la funcion de transferencia queda:

E0(s)

Ei(s)=

(C2sR2 + 1) I(s)

(R1 + R2)C2s +C2C1

+ 1

c) Realice un analisis de impedancias complejas y calcule la funcion de transferencia,se reco-mienda dibujar el diagrama del circuito RC en forma de impedancias complejas.

De la Figura 2.1 obtenemos el circuito mostrado en la Figura 2.2 y Definimos:

Z1(s) = R1 +1

C1s, Z2(s) = R2, Z3(s) =

1

C2s

Figura 2.2: Circuito de la Figura 2.1 en terminos de impedancias

Aplicando LVK:

Ei(s) = (Z1(s) + Z2(s) + Z3(s)) I(s)

E0(s) = (Z2(s) + Z3(s)) I(s)

2

HaciendoE0(s)

Ei(s)para obtener la funcion de transferencia queda:

E0(s)

Ei(s)=

(Z2(s) + Z3(s)) I(s)

(Z1(s) + Z2(s) + Z3(s)) I(s)

Sustituyendo los valores de Z(s) obtenemos:

E0(s)

Ei(s)=

(R2 +

1

C2s

)I(s)(

R1 +1

C1s+ R2 +

1

C2s

)I(s)

Reduciendo la funcion de transferencia obtenida es:

E0(s)

Ei(s)=

(C2sR2 + 1) I(s)

(R1 + R2)C2s +C2C1

+ 1

d) Dibuje un representacion en diagrama a bloques del circuito de la figura a traves de lasecuaciones de la dinamica del sistema en el dominio de la variable compleja.

A partir de las ecuaciones 5 y 6 se obtiene:

Ei =

(R1 +

1

C1s

)I(s) + E0(s)

Ei E0(s) =(R1 +

1

C1s

)I(s) = E(s)

De las ecuaciones anteriores obtenemos el siguiente diagrama de bloques:

3

e) A partir del diagrama a bloques del dibujo en el apartado anterior, realizar la reduccion debloques y obtener la funcion de transferencia del sistema.

Del diagrama de bloques anterior hacemos:

G1(s) =1

R1 +1

C1s

, G2(s) = R2 +1

C2s

Reduciendo el diagrama de bloques queda:

Sustituyendo G1(s), G2(s)

E0(s)

Ei(s)=

1R1 +

1

C1s

(R2 + 1C2s

)

1 +

1R1 +

1

C1s

(R2 + 1C2s

)

4

Reduciendo queda:

E0(s)

Ei(s)=

R2 +1

C2s

R1 +1

C1s+ R2 +

1

C2s

la funcion de transferencia obtenida es:

E0(s)

Ei(s)=

(C2sR2 + 1) I(s)

(R1 + R2)C2s +C2C1

+ 1

5