PROBLEMAS DE MAXIMOS Y/O MÍNIMOS
Prof. Luis Martínez Catalán Prof. Luis Martínez Catalán 20082008
a)
Hallar dos números enteros positivos cuya suma sea 20 y
Su producto sea máximo.
b) La suma de sus cuadrados sea mínima.
c) El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo.
Solución:
Sea “x” uno de los números, el otro es “20-x”
a) Sea el producto. )(xp
xxxxxxxp 2020)20()( 22
dx
xdp )( 100202 xx
2
2 )(
dx
xpd 2
10
2
2 )(
xdx
xpd 02
Para el producto de los números es máximo10x
1001010)1020(10)10( p
b) Sea la suma de los cuadrados de los números )(xS
)(0)10(,04)(
100404)(
40040240400)(
)20()(
222
22
xSSRxxS
xxxS
xxxxxxS
xxxS
tiene un mínimo relativo
para y es 10x 200)10(min S
c) 23 )20()( xxxP
)(
1
xP )(xP
xx
20
23
23 )20()( xxxP
xx 20
23
)20(2)20(3)( 322 xxxxxP
xxxxxP 2)20(3)20()( 2
)20ln(2ln3)(ln xxxP
0)560)(20()( 2 xxxxP
120560 3 xx
)()( xPxP
0)0( P
)560ln()20ln(ln2)(ln xxxxP
xxx 560
5
20
12
)20(5)12(5)12()20(10)( 22 xxxxxxxxP
no hay información, además el producto 0 no es un producto máximo (valor extraño)
00 12 xx
20020 2 xx
0)12(
0)20(
0)20(
P
P
P un mínimo del producto
(valor extraño)
un máximo para y el
producto es
12x23 812)12( máxP
,
Ej: Demostrar que entre todos los terrenos rectangulares de perímetro dado, conviene adquirir (invertir), en aquel que es cuadrado, por ser de área máxima.
Solución
syx 222
y
x
xsysyx
Deseamos qué el área del rectángulo sea máxima
yxA , sustituyendo en función de , se tiene:y x
2
)(
xxsA
xsxA
Derivando con respecto a
dx
dA
Sustituyendo en
xs 2
x
xsxdx
dA20
2
s
,022
2
dx
Adpara x
máxAs
2
xsy
sy22
ss
Los lados del rectángulo de área máxima son e , que son x2
s y2
s
los lados de un terreno cuadrado
4
1
22ss 2smáxA
Ej: Un barco se fleta para un paseo. El precio del pasaje es de $100 y el mínimo de personas inferior o igual a 100, la compañía reduce el pasaje en $0,6 por cada persona que exceda los 100. ¿Qué número de pasajeros produce la mayor ganancia, si la capacidad del barco es para 150 personas?
Solución
x6,0100 x100
: precio de c/u de los pasajes
: número de pasajeros
33402,10
2,140
6,01006,060
)6,0100()100(
xxC
xC
xxC
xxC
El número de pasajeros es 133, el que produce mayor ganancia.
36,0/103
16,0/101
uca
uca
DEF: Si y son funciones de , tales que y
; entonces, la función tome la forma
indeterminada en a.
axlím
f
REGLA DE L’HÔPITAL, atribuida al matemático frances Guillaume Francois de L’Hôpital (1661 – 1707)
Sea y funciones en , las cuales son diferenciables en un intervalo excepto, posiblemente, con el número
xg 0)( xf
axlím
0)( xg)(
)(
xg
xf
0
0
TEOREMA: (para la indeterminación )0
0
f g xI Ia
Supóngase que para todo en ,
axlím
x
ax
0)( xf Lxg
xf
)(
)(
0
0
I 0)( ag
Entonces, si yax
lím
0)( xg y Si ,ax
lím
entonces se cumple ax
lím L
xg
xf
)(
)(
NOTA: la regla de L’Hôpital también es válida para la forma
indeterminada si
Ej:
1) 4x
lím
43
122
2
xx
xx HL'
4xlím
5
7
32
12
x
x
2) 2x
lím 2
42
x
x HL'2x
lím4
1
2x