Profa. Graziela Santos de Araú[email protected]
www.facom.ufms.br/~gsaAlgoritmos e Programação II,
2010
Recursão
Motivação
Conceito fundamental em computaçãoProgramas elegantes e mais curtosEquivalência entre programas recursivos –
não-recursivosMemória
RecursividadeA definição de recursividade (recursão) aplica-se a
funções e procedimentos. Por isso, vale (re)lembrar os seus conceitos:Função: é um módulo que produz um único valor de
saída. Ela pode ser vista como uma expressão que é avaliada para um único valor, sua saída, assim como uma função em Matemática.
Procedimento: é um tipo de módulo usado para várias tarefas, não produzindo valores de saída.
Como a diferença entre função e procedimento é sutil, utilizaremos os termos funções e procedimentos de forma indiscriminada durante o curso.
RecursividadeAté agora, foram vistos exemplos de procedimentos chamados genericamente de iterativos. Recebem este nome pois a repetição de processos neles inclusos fica explícita, através do uso de laços.
Um exemplo de procedimento iterativo, para cálculo do fatorial de um número n, pode ser visto a seguir:
01 Função Fatorial (n)
02 fat 1
03 para i 1 até n faça
04 fat fat * i
05 fim para
06 retorna fat
07 fim função
RecursividadeAlguns problemas têm uma estrutura recursiva: cada
entrada do problema contém uma entrada menor do mesmo problema
Estratégia:se a entrada do problema é pequena então
resolva-a diretamente;senão,
reduza-a a uma entrada menor do mesmo problema,
aplique este método à entrada menore volte à entrada original.
Algoritmo recursivo, programa recursivo, função recursiva
Uma função recursiva é aquela que possui uma ou mais
chamadas a si mesma (chamada recursiva)
RecursividadeToda função deve possuir ao menos uma chamada
externa a ela.
Se todas as chamadas à função são externas, então a função é dita não-recursiva
Em geral, a toda função recursiva corresponde uma outra não-recursiva equivalente
Correção de um algoritmo recursivo pode ser facilmente demonstrada usando indução matemática
A implementação de uma função recursiva pode acarretar gasto maior de memória, já que durante o processo de execução da função muitas informações devem ser guardadas na pilha de execução
ExemplosProblema: Problema:
Usamos uma fórmula que nos permite naturalmente escrever uma função recursiva para calcular n! :
Dado um número inteiro n ≥ 0, computar o fatorial n!.
n! = 1 , se n ≤ 1
n x (n-1)!
, caso contrário
Exemplos – Solução 1/* Recebe um número inteiro n ≥ 0 e devolve o
fatorial de n */função fat (inteiro n)
inteiro result
se n ≤ 1 entãoresult 1
senãoresult n * fat(n-1)
retorna resultfim função
Exemplos – Solução 2fat(3)
fat(2)
fat(1)
devolve 1
devolve 2x1 = 2 x fat(1)
devolve 3x2 = 3 x fat(2)
/* Recebe um número inteiro n ≥ 0 e devolve o fatorial de n */
função fat (inteiro n)
se n ≤ 1 entãoretorna 1
senãoretorna n * fat(n-1)
fim função
ExemplosOs procedimentos recursivos possuem uma descrição mais clara e concisa, fazendo com que o código do programa que o implemente seja “enxuto”. Por outro lado, os programas que implementam procedimentos recursivos tendem a ser mais custosos (em termos de memória e tempo) que aqueles que implementam a versão iterativa correspondente.
Além disso, a depuração de programas recursivos é um pouco mais complicada que a de programas iterativos.
Exemplos
Problema: Problema:
Dado um número inteiro n > 0 e uma seqüência de n números inteiros armazenados em um vetor v, determinar um valor máximo em v.
Exemplos/* Recebe um número inteiro n > 0 e um vetor v
de números inteiros com n elementos e devolve um elemento máximo de v */
função maximo(inteiro n, inteiro v[MAX])
inteiro aux
se n = 1 então
retorna v[1]
senão
início
aux maximo(n-1, v)
se aux > v[n] então
retorna aux
senão
retorna v[n]
fim senão
fim função
CorretudeComo verificar que uma função recursiva está
correta?Passo 1: escreva o que a função deve fazer;Passo 2: verifique se a função de fato faz o que deveria fazer
quando a entrada é pequena;Passo 3: imagine que a entrada é grande e suponha que a
função fará a coisa certa para entradas menores; sob
essa hipótese, verifique que a função faz o que dela se
espera.
Recursividade
Ao conceito de recursividade está relacionado o conceito de indução .
A indução permite determinar a corretude de um procedimento recursivo.
RecursividadeA indução é um método de prova matemática que
permite a generalização de uma propriedade a partir de instâncias particulares onde ela pode ser verificada. A indução pode ser usada para demonstrar a veracidade de um número infinito de proposições.
Seja P(n) uma propriedade que tenha como parâmetro um número natural n. Para provar que P é válida para todos os valores de n, devemos provar que:1. Passo base: P é válida para n = 1;2. Passo indutivo: Para todo n > 1, se P é válida para n − 1, então P é válido para n.
RecursividadeEx: Provar, por indução, a seguinte fórmula:
P(n) = 1+2+3+4+· · ·+n = n(n+1)/2
1. Passo base: Provar que P é valida para n = 1. Fazendo a substituição do n na fórmula por 1, chegamos a
1 = 1.(1+1)/21 = 1
e está provado.
Recursividade2. Passo indutivo: Para todo n>1, se P é valida
para n – 1, então P é válido para n.
Com base no passo indutivo, vamos provar por que P vale para n.1+2+3+...+(n-1) + n
Suponha que P é válida para n-1. Então podemos afirmar que:
1+2+3+...+(n-1) = 2).1( nn
nnn
2
).1(
2
)21(2
2).1(
nn
nnn
.2
)1(
nn
RecursividadeNo caso do algoritmo para cálculo do fatorial
de um número, por exemplo, poderíamos provar a sua
corretude, utilizando a prova por indução, da seguinte forma:
1. Passo base: Provar que o algoritmo funciona para n=0.
Como o algoritmo devolve 1 nesse caso, que é exatamente o valor de 0!, ele funciona para o caso em que n=0;
função fat (inteiro n)se n ≤ 1 então
retorna 1senão
retorna n * fat(n-1)fim função
RecursividadeCálculo do fatorial de um número
2. Passo indutivo: Para todo n>1, se o algoritmo funciona para n−1, então ele funciona para n.
Supondo que o algoritmo funciona para n−1, e observando que
o valor de n! corresponde a n × (n − 1)!, ele funciona para n.
RecursividadeVamos provar a corretude da função maximo
utilizando a prova por indução (na quantidade de
elementos n do vetor).
Proposição: A função maximo encontra um maior elemento em um vetor v com n ≥ 1 números inteiros.
1. Passo base: Se n=1, o maior elemento é o da posição 1.
Recursividade2. Passo indutivo: Suponha que para qualquer valor inteiro
positivo m < n a função compute corretamente maximo(m, v) .
Suponha agora que temos um vetor v contendo n > 1 númerosinteiros.Chamada externa maximo(n, v) , com n > 1. A função executa:
aux maximo(n-1, v);
Por hipótese de indução, aux contém um valor máximo para os n−1
primeiros valores do vetor v. Então, a função decide quem é maior:
aux ou v[n] .