1
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
PEF - DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS E FUNDAÇÕES P E F - 240 4: P o n t es e Gr an d e s E s t r u t u r as
Professor: Fernando Stucchi
PROJETO
DE
PONTES
2
ÍNDICE 1. Características dos componentes 1.1 Longarina 03 1.2 Transversina 05 1.3 Guarda-Rodas06 1.4 Pavimento 07 1.5 Laje 07 1.6 Conjunto Longarina + Laje 08 2. Carregamentos 2.1 Longarina Extrema 10 2.2 Longarina Intermediaria 15 2.3 Longarina Central 23 2.4 Resumo dos Resultados 28 3. Linhas de Influência 3.1 Reações de Apoio 30 3.2 Momento Fletor 30 3.3 Força Cortante 33 4. Esforços Solicitantes 4.1 Longarina Extrema 37 4.2 Longarina Intermediaria 46 4.3 Longarina Central 55 4.4 Resumo dos Resultados 44 5. Envoltórias 4.1 Longarina Extrema 64 4.2 Longarina Intermediaria 66 4.3 Longarina Central 68 6. Protensão 6.1 Longarina Extrema 70 6.1.1 Determinação da protensão necessária 70 6.1.2 Detalhe do Lançamento dos Cabos 73 6.1.3 Perdas Imediatas 75 6.1.4 Perdas Lentas 79 6.1.5 Perdas Totais 81 6.1.6 Verificação do ELU 81 6.2 Longarina Intermediaria 83 6.2.1 Determinação da protensão necessária 83 6.2.2 Detalhe do Lançamento dos Cabos 86 6.2.3 Perdas Imediatas 88 6.2.4 Perdas Lentas 92 6.2.5 Perdas Totais 94 6.2.6 Verificação do ELU 94 6.3 Longarina Central 96 6.3.1 Determinação da protensão necessária 96 6.3.2 Detalhe do Lançamento dos Cabos 99 6.3.3 Perdas Imediatas 101 6.3.4 Perdas Lentas 105 6.3.5 Perdas Totais 107 6.3.6 Verificação do ELU 107
3
1. CARACTERÍSTICAS DOS COMPONENTES 1.1. LONGARINA
Cálculo da área da longarina:
26565
4343
22
11
m056,0AA2
50,1075,0AA
²m015,0AA2
375,008,0AA
²m036,0A08,045,0A²m144,0A12,020,1A
²m45,0A50,130,0A 77
ATOTAL = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7
ATOTAL = 0,144 + 0,036 + 2 x 0,015 + 2 x 0,056 + 0,45 ATOTAL = 0,77 m²
Cálculo do volume por metro de comprimento da longarina:
V = ATOTAL x L V = 0,77 x 1 V = 0,77 m³
Cálculo do peso por metro de comprimento da longarina:
P = V x c P = 0,77 x 25
P = 19,25 KN/m
Determinação do centro de gravidade da longarina:
7654321
77665544332211
AAAAAAAAyAyAyAyAyAyAy
y
4
45,0056,0056,0015,0015,0036,0144,045,075,0056,01056,01015,0553,1015,0553,1036,054,1144,064,1y
y = 1,02 m
Determinação do momento de inércia das seções divididas em relação ao centro de gravidade da longarina:
23
21CG1 02,164,1*12,020,1
1212,020,1dAII
I1 = 0,0555 m4
23
22CG2 02,154,1*08,045,0
1208,045,0dAII
I2 = 0,0097536 m4
23
24CG43 02,1553,1*
208,0375,0
3608,0375,0dAIII
I3=I4= 0,00427 m4
23
26CG65 0,102,1*
25,1075,0
365,1075,0dAIII
I5 = I6 = 0,0071 m4
23
27CG7 75,002,1*5,130,0
125,130,0dAII
I7 = 0,1172
Portanto, o momento de inércia da longarina em relação ao centro de gravidade é:
I = I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 + I7 I = 0,0555 + 0,0097536 + 0,00427 + 0,00427 + 0,0071 + 0,0071 + 0,1172
I = 0,205 m4
Determinação dos módulos de resistência à flexão da longarina: Modulo resistente superior ys = 1,70 – 1,02 ys = 0,68 m
68,0205,0
yIW
ss Ws = 0,301 m³
Módulo resistente inferior yi = 1,02 m
02,1205,0
yIW
Ii Wi = 0,201 m³
Determinação das distâncias nucleares da longarina: Distância nuclear superior
77,0301,0
AWK s
s Ks = 0,391 m
Distância nuclear inferior
77,0201,0
AWK i
i Ki = 0,261 m
5
1.2. TRANSVERSINA
Cálculo da área da transversina entre duas longarinas:
²m14,0A12,020,1A
²m13,0A208,02,195,1A
²m62,2A23,195,108,2A
33
22
11
ATOTAL = A1 + A2 + A3
ATOTAL = 2,62 + 0,13 + 0,14 ATOTAL = 2,89 m²
Cálculo do volume da transversina entre duas longarinas:
V = ATOTAL x e V = 2,89 x 0,25
V = 0,72 m³
Cálculo do peso total da transversina:
P = 4 trechos x V x c P = 4 x 0,72 x 25
P = 72,0 KN
Peso que será descarregado em cada longarina:
nPP TOTAL
i
onde: Pi peso da transversina na longarina em estudo n número de longarinas
572Pi
P = 14,4 KN
NOTA: Considera-se que o peso da transversina se distribuirá igualmente entre todas as longarinas.
6
1.3. GUARDA-RODAS
Cálculo da área do guarda-rodas:
²025,0225,020,0
²0625,025.025.0²068,015,045,0
33
22
11
mAA
mAAmAA
²0125,0
250,005,0
²10,050,020,0
35
44
mAA
mAA
ATOTAL = A1 + A2 + A3 + A4 + A5
ATOTAL = 0,068 + 0,0625 + 0,025 + 0,10 + 0,0125 ATOTAL = 0,2675 m²
Cálculo do volume por metro de comprimento do guarda-rodas:
V = ATOTAL x L V = 0,2675 x 1 V = 0,2675 m³
Cálculo do peso por metro de comprimento do guarda-rodas:
P = V x c P = 0,2675 x 25 P = 6,69 KN/m
Determinação do centro de gravidade:
54321
5544332211
AAAAAAxAxAxAxAxx
250,005,050,020,0
225,020,025,025,015,045,0
250,005,0217,050,020,010,0
225,020,0267,025,025,0
225,015,045,0
245,0
x
x = 0,158m
7
54321
5544332211
AAAAAAyAyAyAyAy
y
250,005,050,020,0
225,020,025,025,015,045,0
250,005,0567,050,020,065,0
225,020,0233,025,025,0275,015,045,0
215,0
y
y = 0,374m
1.4. PAVIMENTO
Cálculo do peso por metro quadrado de pavimento:
p = espessura x P p = 0,10 x 24
p = 2,4 KN/m²
1.5. LAJE
Cálculo da área da laje sobre a longarina:
A = 2,40 x 0,20 A = 0,48 m²
Cálculo do volume da laje por metro de comprimento:
V = ATOTAL x L V = 0,48 x 1 V = 0,48 m³
Cálculo do peso da laje sobre a longarina por metro de comprimento:
P = V x c P = 0,48 x 25 P = 12 KN/m
8
1.6. CONJUNTO LONGARINA + LAJE Os três tipos de longarinas (extremas, intermediárias e centrais) são idênticas.
Cálculo da área do conjunto: A1 = 0,77 m² (já calculado no item 1.1) A2 = 0,48 m² (já calculado no item 1.5)
ATOTAL = A1 + A2
ATOTAL = 0,77 + 0,48 ATOTAL = 1,25 m²
Cálculo do volume por metro de comprimento do conjunto:
V = ATOTAL x L V = 1,25 x 1 V = 1,25 m³
Cálculo do peso por metro de comprimento do conjunto:
P = V x c P = 1,25 x 25
P = 31,25 KN/m
Determinação do centro de gravidade do conjunto:
21
2211
AAAyAy
y
48,077,048,080,177,002,1y
y = 1,32 m
9
Determinação do momento de inércia das seções divididas em relação ao centro de gravidade do conjunto:
221CG1 02,132,1*77,0205,0dAII I1 = 0,274 m4
23
22CG2 32,180,1*48,0
1220,040,2dAII
I2 = 0,112 m4
Portanto, o momento de inércia do conjunto em relação ao centro de gravidade é:
I = I1 + I2 I = 0,274 + 0,112
I = 0,386 m4
Determinação dos módulos de resistência à flexão do conjunto: Modulo resistente superior ys = 1,90 – 1,32 ys = 0,58 m
58,0386,0
yIW
ss Ws = 0,666 m³
Módulo resistente inferior yi = 1,32 m
32,1386,0
yIW
ii Wi = 0,292 m³
Determinação das distâncias nucleares do conjunto: Distância nuclear superior
25,1666,0
AW
K ss Ks = 0,533 m
Distância nuclear inferior
25,1292,0
AWK i
i Ki = 0,233 m
10
2. CARREGAMENTOS 2.1. LONGARINA EXTREMA 2.1.1. CARGAS PERMANENTES g1 carga permanente devido ao peso próprio do conjunto (longarina + laje)
g1 = 31,25 KN/m g2 carga permanente devido ao peso próprio da transversina
g2 = 14,4 KN/m g3 carga permanente devido ao peso próprio do pavimento
g3 = 2,4 KN/m
g4 carga permanente devido ao peso próprio do guarda rodas
g4 = 6,69 KN/m As cargas g3 e g4 são aplicadas após a construção da grelha, portanto deve ser considerado o efeito grelha na sua distribuição. Devido à simetria transversal, o centro elástico está no centro da obra.
onde: ei posição da longarina em estudo em relação ao centro elástico (m); ej posição da carga em relação ao centro elástico (m); rij parcela da carga unitária aplicado em ej que vai para a longarina “i” em estudo; n número de longarinas. Quando as longarinas são iguais:
2i
jiij e
een1r
Para a longarina extrema:
2222
jj1 8,44,204,28,4
e8,451r
11
r1j = 0,2 – 0,083 x ej
Para a variação da posição da carga ej, tem-se os seguintes valores:
ej r1j - 6,0 0,698 - 4,8 0,5984 - 2,4 0,3992
0 0,2 2,4 0,0008 4,8 - 0,1984 6,0 - 0,298
A posição da carga que não provoca reação na longarina extrema é:
r1j = 0,2 – 0,083 x ej 0 = 0,2 – 0,083 x ej
ej = 2,41 m
Graficamente, tem-se:
g5 carga que recebe a longarina devido à g3 e g4
12
g5 = g4 x [r1(-6,0 + 0,158) + r1 (6,0 – 0,158)] + g3 x Ar1j
2
2561,059,32
6608,096,74,2285,0685,069,6g 5
g5 = 2,68 + 5,21
g5 = 7,89 KN/m
O carregamento permanente distribuído total é:
gper = g1 + g5 gper = 31,25 + 7,89
gper = 39,14 KN/m
ESQUEMA LONGITUDINAL DAS CARGAS PERMANENTES
13
2.1.2. TREM TIPO Cálculo do fator de impacto:
= 1,4 – 0,007 x l
= 1,4 – 0,007 x 30,00 = 1,19
O gráfico do coeficiente de repartição é:
TREM TIPO POSITIVO
SEÇÃO NO EIXO DO VEÍCULO
SEÇÃO FORA DO VEÍCULO
14
TREM TIPO NEGATIVO
SEÇÃO NO EIXO DO VEÍCULO
SEÇÃO FORA DO VEÍCULO As cargas geradas pelo trem tipo positivo na longarina extrema são: Q carga das rodas na longarina em estudo Q = 75 x x [ r1(-6,0 + 0,45 + 0,25) + r1(-6,0 + 0,45 + 0,25 + 2,0)] Q = 75 x 1,19 x (0,6399 + 0,4739) Q = 99,41 KN q1 carregamento distribuído da seção do eixo do veículo na longarina em estudo
221,5)50,00,225,045,00,6(r5q 11
221,54324,019,15q1
q1 = 6,70 KN/m q2 carregamento distribuído da seção fora do veículo na longarina em estudo
296,7)45,00,6(r5q 12
296,76607,019,15q 2
q2 = 15,65 KN/m
15
TREM TIPO POSITIVO
As cargas geradas pelo trem tipo negativo na longarina extrema são: Q carga das rodas na longarina em estudo Q = 75 x x [ r1(6,0 – 0,45 – 0,25) + r1(6,0 – 0,45 – 0,25 – 2,0)] Q = 75 x 1,19 x (- 0,2399 - 0,0739) Q = - 28,00 KN q1 carregamento distribuído da seção do veículo na longarina em estudo
239,0)50,00,225,045,00,6(r5q 11
239,0)0324,0(19,15q1
q1 = - 0,038 KN/m q2 carregamento distribuído da seção fora do veículo na longarina em estudo
214,3)45,00,6(r5q 12
214,3)26,0(19,15q 2
q2 = - 2,43 KN/m
TREM TIPO NEGATIVO
Quando o vão for maior ou igual a 30m, permite-se o uso do trem tipo homogeneizado que corresponde ao TT-45 com a carga distribuída de 5KN/m² também sobre o veículo, subtraindo-se das rodas o acréscimo de carga correspondente, ou seja: Novo valor da carga na roda:
KN606
)536(75n
cA75 VEIC
onde: c carga sobre o veículo n número de rodas Portanto, os novos valores das cargas que atuam na longarina serão de:
16
Trem-Tipo Positivo: Q = 60 x x [ r1(-6,0 + 0,45 + 0,25) + r1(-6,0 + 0,45 + 0,25 + 2,0)] Q = 60 x 1,19 x (0,6399 + 0,4739) Q = 79,53 KN
TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO
Trem-Tipo Negativo: Q = 60 x x [ r1(6,0 – 0,45 – 0,25) + r1(6,0 – 0,45 – 0,25 – 2,0)] Q = 60 x 1,19 x (- 0,2399 - 0,0739) Q = - 22,40 KN
TREM TIPO NEGATIVO HOMOGENEIZADO
17
2.2. LONGARINA INTERMEDIÁRIA 2.2.1. CARGAS PERMANENTES g1 carga permanente devido ao peso próprio do conjunto (longarina + laje)
g1 = 31,25 KN/m g2 carga permanente devido ao peso próprio da transversina
g2 = 14,4 KN/m g3 carga permanente devido ao peso próprio do pavimento
g3 = 2,4 KN/m
g4 carga permanente devido ao peso próprio do guarda rodas
g4 = 6,69 KN/m As cargas g3 e g4 são aplicadas após a construção da grelha, portanto deve ser considerado o efeito grelha na sua distribuição. Devido à simetria transversal, o centro elástico está no centro da obra.
onde:
ei posição da longarina em estudo em relação ao centro elástico (m); ej posição da carga em relação ao centro elástico (m); rij parcela da carga unitária aplicado em ej que vai para a longarina “i” em estudo; n número de longarinas. Quando as longarinas são iguais:
2i
jiij e
een1r
Para a longarina intermediária:
2222
jj2 8,44,204,28,4
e4,251r
r2j = 0,2 – 0,0417 x ej
18
Para a variação da posição da carga ej, tem-se os seguintes valores:
ej r2j - 6,0 0,4502 - 4,8 0,4002 - 2,4 0,3001
0 0,2 2,4 0,0999 4,8 - 0,0002 6,0 - 0,0502
A posição da carga que não provoca reação na longarina intermediária é:
r2j = 0,2 – 0,0417 x ej 0 = 0,2 – 0,0417 x ej
ej = 4,80 m
Graficamente, tem-se:
g5 carga que recebe a longarina devido à g3 e g4
19
g5 = g4 x [r2(-6,0 + 0,158) + r2 (6,0 – 0,158)] + g3 x Ar2j
2
314,075,02
4314,035,104,20436,04436,069,6g 5
g5 = 2,68+ 5,64
g5 = 8,32 KN/m
O carregamento permanente distribuído total é:
gper = g1 + g5 gper = 31,25 + 8,32
gper = 39,57 KN/m
ESQUEMA LONGITUDINAL DAS CARGAS PERMANENTES
2.2.2. TREM TIPO Cálculo do fator de impacto:
= 1,4 – 0,007 x l
= 1,4 – 0,007 x 30,00 = 1,19
O gráfico do coeficiente de repartição é:
20
TREM TIPO POSITIVO
SEÇÃO NO EIXO DO VEÍCULO
SEÇÃO FORA DO VEÍCULO
TREM TIPO NEGATIVO
SEÇÃO NO EIXO DO VEÍCULO
SEÇÃO FORA DO VEÍCULO
21
As cargas geradas pelo trem tipo positivo na longarina intermediária são: Q carga das rodas na longarina em estudo Q = 75 x x [ r2(-6,0 + 0,45 + 0,25) + r2(-6,0 + 0,45 + 0,25 + 2,0)] Q = 75 x 1,19 x (0,421 + 0,338) Q = 67,74 KN q1 carregamento distribuído da seção do eixo do veículo na longarina em estudo
200,8)50,00,225,045,00,6(r5q 21
200,8317,019,15q1
q1 = 7,54 KN/m q2 carregamento distribuído da seção fora do veículo na longarina em estudo
235,10)45,00,6(r5q 12
235,10431,019,15q 2
q2 = 13,27 KN/m
TREM TIPO POSITIVO
As cargas geradas pelo trem tipo negativo na longarina intermediária são: Q carga das rodas na longarina em estudo Q = 75 x x [ r1(6,0 – 0,45 – 0,25) + r1(6,0 – 0,45 – 0,25 – 2,0)] Q = 75 x 1,19 x (- 0,021 + 0,062) Q = + 3,66 KN Obs: O valor encontrado será desprezado porque resultou positivo. q1 carregamento distribuído da seção do veículo na longarina em estudo Obs: O carregamento q1 não existe, porque o eixo do veículo já está do lado positivo, sendo assim na seção do eixo do veículo não sobra lugar para o carregamento distribuído. q2 carregamento distribuído da seção fora do veículo na longarina em estudo
22
275,0)45,00,6(r5q 12
275,0)031,0(19,15q 2
q2 = - 0,07 KN/m
TREM TIPO NEGATIVO
Quando o vão for maior ou igual a 30m, permite-se o uso do trem tipo homogeneizado que corresponde ao TT-45 com a carga distribuída de 5KN/m² também sobre o veículo, subtraindo-se das rodas o acréscimo de carga correspondente, ou seja: Novo valor da carga na roda:
KN606
)536(75n
cA75 VEIC
onde: c carga sobre o veículo n número de rodas Portanto, os novos valores das cargas que atuam na longarina serão de: Trem-Tipo Positivo: Q = 60 x x [ r1(-6,0 + 0,45 + 0,25) + r1(-6,0 + 0,45 + 0,25 + 2,0)] Q = 60 x 1,19 x (0,421 + 0,338) Q = 54,19 KN
TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO
Trem-Tipo Negativo: Como as cargas das rodas resultaram em um valor positivo e esse valor foi desprezado, não existe nenhuma redução a ser feita na carga de rodas e o trem tipo negativo homogeneizado é igual ao carregamento da seção fora do veículo.
TREM TIPO NEGATIVO HOMOGENEIZADO
23
2.3. LONGARINA CENTRAL 2.3.1. CARGAS PERMANENTES g1 carga permanente devido ao peso próprio do conjunto (longarina + laje)
g1 = 31,25 KN/m g2 carga permanente devido ao peso próprio da transversina
g2 = 14,4 KN/m g3 carga permanente devido ao peso próprio do pavimento
g3 = 2,4 KN/m
g4 carga permanente devido ao peso próprio do guarda rodas
g4 = 6,69 KN/m As cargas g3 e g4 são aplicadas após a construção da grelha, portanto deve ser considerado o efeito grelha na sua distribuição. Devido à simetria transversal, o centro elástico está no centro da obra.
onde:
ei posição da longarina em estudo em relação ao centro elástico (m); ej posição da carga em relação ao centro elástico (m); rij parcela da carga unitária aplicado em ej que vai para a longarina “i” em estudo; n número de longarinas. Quando as longarinas são iguais:
2i
jiij e
een1r
Para a longarina c entr:
2222
jj3 8,44,204,28,4
e051r
r3j = 0,2
24
Para a variação da posição da carga ej, tem-se sempre os mesmos valores:
ej r3j - 6,0 0,2 - 4,8 0,2 - 2,4 0,2
0 0,2 2,4 0,2 4,8 0,2 6,0 0,2
Graficamente, tem-se:
g5 carga que recebe a longarina devido à g3 e g4
g5 = g4 x [r3(-6,0 + 0,158) + r3 (6,0 – 0,158)] + g3 x Ar3j
2,010,114,22,02,069,6g 5
g5 = 2,68 + 5,33
g5 = 8,01 KN/m
O carregamento permanente distribuído total é:
gper = g1 + g5 gper = 31,25 + 8,01
gper = 39,26 KN/m
25
ESQUEMA LONGITUDINAL DAS CARGAS PERMANENTES
2.3.2. TREM TIPO Cálculo do fator de impacto:
= 1,4 – 0,007 x l
= 1,4 – 0,007 x 30,00 = 1,19
O gráfico do coeficiente de repartição é:
TREM TIPO POSITIVO
SEÇÃO NO EIXO DO VEÍCULO
26
SEÇÃO FORA DO VEÍCULO
TREM TIPO NEGATIVO Não existe o trem tipo negativo. Não há coeficiente de repartição negativo. As cargas geradas pelo trem tipo positivo na longarina central são: Q carga das rodas na longarina em estudo Q = 75 x x ( r3 + r3 ) Q = 75 x 1,19 x (0,2 + 0,2) Q = 35,70 KN q1 carregamento distribuído da seção do eixo do veículo na longarina em estudo
35,8r5q 31 35,82,019,15q1
q1 = 9,94 KN/m q2 carregamento distribuído da seção fora do veículo na longarina em estudo
10,11r5q 32 10,112,019,15q 2
q2 = 13,21 KN/m
TREM TIPO POSITIVO
Quando o vão for maior ou igual a 30m, permite-se o uso do trem tipo homogeneizado que corresponde ao TT-45 com a carga distribuída de 5KN/m² também sobre o veículo, subtraindo-se das rodas o acréscimo de carga correspondente, ou seja: Novo valor da carga na roda:
KN606
)536(75n
cA75 VEIC
27
onde: c carga sobre o veículo n número de rodas Portanto, os novos valores das cargas que atuam na longarina serão de: Trem-Tipo Positivo: Q = 60 x x ( r3 + r3 ) Q = 60 x 1,19 x (0,2 + 0,2) Q = 28,56 KN
TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO
28
2.4. RESUMO DOS RESULTADOS 2.4.1. LONGARINA EXTREMA CARREGAMENTO PERMANENTE
TREM TIPO
TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO
TREM TIPO NEGATIVO HOMOGENEIZADO
2.4.2. LONGARINA INTERMEDIÁRIA CARREGAMENTO PERMANENTE
TREM TIPO
TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO
29
TREM TIPO NEGATIVO HOMOGENEIZADO
2.4.3. LONGARINA CENTRAL CARREGAMENTO PERMANENTE
TREM TIPO
TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO
30
3. Linhas de Influência 3.1. Reações de apoio
onde: x distância da carga em relação a origem em A; a distância da seção em estudo em relação a origem A; l comprimento da viga; P carga unitária aplicada a longarina; RA reação no apoio A devido ao carregamento P; RB reação no apoio B devido ao carregamento P;
l)xl(PR A
lxPR B
3.2. Momento Fletor Cálculo da linha de influência para momento fletor:
O momento na seção S é dado por: Quando a carga P está a esquerda de S: Quando a carga P está a direita de S: (Quando x a) MS = RB · (l - a)
allxPMS
(Quando a x l) MS = RA · a
al
)xl(PMS
Supondo uma divisão da longarina em 10 trechos iguais, pode-se calcular a linha de influência para as diferentes seções apenas substituindo valores nas equações.
31
SEÇÃO 0 = SEÇÃO 10 a = 0 Para qualquer posição da carga: MS = 0 SEÇÃO 1 = SEÇÃO 9 a = 3m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 2,7 KN x m Quando a carga está a direita de S: Para x = a MS = 2,7 KN x m Para x = l MS = 0
LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS PARA A SEÇÃO 1
SEÇÃO 2 = SEÇÃO 8 a = 6m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 4,8 KN x m Quando a carga está a direita de S: Para x = a MS = 4,8 KN x m Para x = l MS = 0
32
LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS PARA A SEÇÃO 2
SEÇÃO 3 = SEÇÃO 7 a = 9m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 6,3 KN x m Quando a carga está a direita de S: Para x = a MS = 6,3 KN x m Para x = l MS = 0
LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS PARA A SEÇÃO 3 SEÇÃO 4 = SEÇÃO 6 a = 12m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 7,2 KN x m Quando a carga está a direita de S: Para x = a MS = 7,2 KN x m Para x = l MS = 0
LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS PARA A SEÇÃO 4 SEÇÃO 5 a = 15m
33
Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 7,5 KN x m Quando a carga está a direita de S: Para x = a MS = 7,5 KN x m Para x = l MS = 0
LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS PARA A SEÇÃO 5 3.3. Força Cortante Cálculo da linha de influência para força cortante:
A força cortante na seção S é dada por: Quando a carga P está a esquerda de S: Quando a carga P está a direita de S: (Quando x a) VS = - RB
lxPVS
(Quando a x l) VS = + RA
l)xl(PVS
Supondo uma divisão da longarina em 10 trechos iguais, pode-se calcular a linha de influência para as diferentes seções apenas substituindo valores nas equações.
SEÇÃO 0 = SEÇÃO 10 a = 0
34
Quando a carga está em x=0: VS = + 1 KN Quando a carga está em x = L: VS = 0
LINHA DE INFLUÊNCIA DE CORTANTES PARA A SEÇÃO 0
SEÇÃO 1 = SEÇÃO 9 a = 3m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,1 KN Quando a carga está a direita de S: Para x = a VS = + 0,9 KN Para x = l VS = 0
LINHA DE INFLUÊNCIA DE CORTANTES PARA A SEÇÃO 1
SEÇÃO 2 = SEÇÃO 8 a = 6m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,2 KN Quando a carga está a direita de S: Para x = a VS = 0,8 KN Para x = l VS = 0
35
LINHA DE INFLUÊNCIA DE CORTANTES PARA A SEÇÃO 2
SEÇÃO 3 = SEÇÃO 7 a = 9m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,3 KN Quando a carga está a direita de S: Para x = a MS = 0,7 KN Para x = l MS = 0
LINHA DE INFLUÊNCIA DE CORTANTES PARA A SEÇÃO 3 SEÇÃO 4 = SEÇÃO 6 a = 12m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,4 KN Quando a carga está a direita de S: Para x = a VS = 0,6 KN x m Para x = l VS = 0
LINHA DE INFLUÊNCIA DE CORTANTES PARA A SEÇÃO 4 SEÇÃO 5 a = 15m Quando a carga está a esquerda de S:
36
Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,5 KN Quando a carga está a direita de S: Para x = a VS = + 0,5 KN Para x = l VS = 0
LINHA DE INFLUÊNCIA DE CORTANTES PARA A SEÇÃO 5
37
4.1. LONGARINA EXTREMA 4.1.1. CARGAS PERMANENTES
MOMENTO FLETOR
distância x (m) Seção Cálculo Mg
(KN x m) 0 0 0,00 0,00
3,0 1 (587,10 – 14,4) x 3 – 39,14 x 32/2 = 1541,97 6,0 2 (587,10 – 14,4) x 6 – 39,14 x 62/2 = 2731,68 9,0 3 (587,10 – 14,4) x 9 – 39,14 x 92/2 = 3569,13 12,0 4 (587,10 – 14,4) x 12 – 14,4 x 2 – 39,14 x 122/2 = 4025,52 15,0 5 (587,10 – 14,4) x 15 – 14,4 x 5 – 39,14 x 152/2 = 4115,25
FORÇA CORTANTE
distância x (m) seção Cálculo Vg
(KN) 0 0 615,90 – 14,4 = 601,50
3,0 1 601,50 – 39,14 x 3 = 484,08 6,0 2 484,08 – 39,14 x 3 = 366,66 9,0 3 366,66 – 39,14 x 3 = 249,24
12,0 4 249,24 – 14,4 – 39,14 x 3 = 117,42 15,0 5 117,42 – 39,14 x 3 = 0,00
4.1.2. CARGAS VARIÁVEIS A) SEÇÃO 0 MOMENTO FLETOR As cargas variáveis, em quaisquer posições, não geram momentos fletores nessa seção, portanto: MQ
+ = 0 KN x m Mq + = 0 KN x m MQ – = 0 KN x m Mq – = 0 KN x m
38
FORÇA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 213065,15 Vq + = 234,75 KN
VQ
+ = 79,53 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ + = 226,66 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 213043,2 Vq – = - 36,45 KN
VQ
– = - 22,4 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ – = - 63,84 KN
B) SEÇÃO 1 = SEÇÃO 9 MOMENTO FLETOR
MQ + = 79,53 x (2,7 + 2,55 + 2,4) MQ
+ = 608,40 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq + =
27,23065,15 Mq + = 633,83 KN x m (devido à carga distribuída)
39
MQ – = - 22,4 x (2,7 + 2,55 + 2,4) MQ – = - 171,36 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq – =
27,23043,2 Mq
– = - 98,42 KN x m (devido à carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 29,02765,15 -
2)1,0(343,2
Vq + = 190,51 KN
VQ1
+ = 79,53 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ1 + = 202,80 KN (adota-se esse, pois é o maior!)
VQ2
+ = - 22,4 x (- 0,1 - 0,05 - 0,0) VQ2 + = 3,36 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)1,0(365,1529,02743,2
Vq – = - 31,87 KN
VQ1
– = - 22,4 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ1 – = - 57,12 KN (adota-se esse, pois é o menor!)
VQ2
– = 79,53 x (-0,1 - 0,05 – 0,0) VQ2 – = - 11,93 KN
40
C) SEÇÃO 2 = SEÇÃO 8 MOMENTO FLETOR
MQ + = 79,53 x (4,8 + 4,5 + 4,2) MQ
+ = 1073,66 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
28,43065,15 Mq
+ = 1126,80 KN x m (devido a carga distribuída)
MQ – = - 22,4 x (4,8 + 4,5 + 4,2) MQ
– = - 302,40 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq – =
28,43043,2 Mq
– = - 174,96 KN x m (devido à carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 28,02465,15 -
2)2,0(643,2
Vq + = 151,70 KN
VQ1 + = 79,53 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ1
+ = 178,94 KN (adota-se esse, pois é o maior!)
41
VQ2 + = - 22,4 x (- 0,2 - 0,15 - 0,1) VQ2
+ = 10,08 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)2,0(665,1528,02443,2
Vq – = - 32,72 KN
VQ1
– = - 22,4 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ1 – = - 50,40 KN (adota-se esse, pois é o menor!)
VQ2
– = 79,53 x (-0,2 - 0,15 – 0,1) VQ2 – = - 35,79 KN
D) SEÇÃO 3 = SEÇÃO 7 MOMENTO FLETOR
MQ + = 79,53 x (6,3 + 5,85 + 5,4) MQ
+ = 1395,75 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
23,63065,15 Mq
+ = 1478,93 KN x m (devido a carga distribuída)
MQ – = - 22,4 x (6,3 + 5,85 + 5,4) MQ
– = - 393,12 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq – =
23,63043,2 Mq
– = - 229,64 KN x m (devido à carga distribuída)
42
FORÇA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 27,02165,15 -
2)3,0(943,2
Vq + = 118,31 KN
VQ1 + = 79,53 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ1
+ = 155,08 KN (adota-se esse, pois é o maior!) VQ2
+ = - 22,4 x (- 0,3 - 0,25 - 0,2) VQ2 + = 16,8 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)3,0(965,1527,02143,2
Vq – = - 38,99 KN
VQ1
– = - 22,4 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ1 – = - 43,68
VQ2
– = 79,53 x (-0,3 - 0,25 – 0,2) VQ2 – = - 59,65 KN (adota-se esse, pois é o menor!)
E) SEÇÃO 4 = SEÇÃO 6 MOMENTO FLETOR
43
MQ + = 79,53 x (7,2 + 6,6 + 6,3) MQ
+ = 1598,55 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
22,73065,15 Mq
+ = 1690,20 KN x m (devido a carga distribuída)
MQ – = - 22,4 x (7,2 + 6,6 + 6,3) MQ
– = - 450,24 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq – =
22,73043,2 Mq
– = - 262,44 KN x m (devido à carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 26,01865,15 -
2)4,0(1243,2
Vq + = 90,34 KN
VQ1 + = 79,53 x (0,6 + 0,55 + 0,5) VQ1
+ = 131,22 KN (adota-se esse, pois é o maior!) VQ2
+ = - 22,4 x (- 0,4 - 0,35 - 0,3) VQ2 + = 23,52 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)4,0(1265,1526,01843,2
Vq – = - 50,68 KN
44
VQ1 – = - 22,4 x (0,4 + 0,35 + 0,3) VQ1
– = - 23,52 KN VQ2
– = 79,53 x (-0,4 - 0,35 – 0,3) VQ2 – = - 83,51 KN (adota-se esse, pois é o menor!)
F) SEÇÃO 5 MOMENTO FLETOR
MQ + = 79,53 x (7,5 + 6,75 + 6,75) MQ
+ = 1670,13 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
25,73065,15 Mq
+ = 1760,63 KN x m (devido a carga distribuída)
MQ – = - 22,4 x (7,5 + 6,75 + 6,75) MQ
– = - 470,40 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq – =
25,73043,2 Mq
– = - 273,38 KN x m (devido à carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
45
Vq + = 25,01565,15 -
2)5,0(1543,2
Vq + = 67,80 KN
VQ1 + = 79,53 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ1
+ = 107,37 KN (adota-se esse, pois é o maior!) VQ2
+ = - 22,4 x (- 0,5 - 0,45 - 0,4) VQ2 + = 30,24 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)5,0(1565,1525,01543,2
Vq – = - 67,80 KN
VQ1
– = - 22,4 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ1 – = - 30,24 KN
VQ2
– = 79,53 x (-0,5 - 0,45 – 0,4) VQ2 – = - 107,37 KN (adota-se esse, pois é o menor!)
4.1.3. RESUMO DA LONGARINA EXTREMA
RESUMO DOS MOMENTOS FLETORES
distância x(m) Seção Mg
(KN x m) MQ
+ (KN x m)
Mq +
(KN x m) MQ
– (KN x m)
Mq – (KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,0 1 1541,97 608,40 633,83 - 171,36 - 98,42 6,0 2 2731,68 1073,66 1126,80 - 302,40 - 174,96 9,0 3 3569,13 1395,75 1478,93 - 393,12 - 229,64
12,0 4 4025,52 1598,55 1690,20 - 450,24 - 262,44 15,0 5 4115,25 1670,13 1760,63 - 470,40 - 273,38
RESUMO DAS FORÇAS CORTANTES
distância x(m) Seção Vg
(KN) VQ
+ (KN)
Vq +
(KN) VQ
– (KN)
Vq – (KN)
0 0 601,50 226,66 234,75 - 63,84 - 36,45 3,0 1 484,08 202,80 190,51 - 57,12 - 31,87 6,0 2 366,66 178,94 151,70 - 50,40 - 32,72 9,0 3 249,24 155,08 118,31 - 59,65 - 38,99
12,0 4 117,42 131,22 90,34 - 83,51 - 50,68 15,0 5 0,00 107,37 67,80 - 107,37 - 67,80
46
4.2. LONGARINA INTERMEDIÁRIA 4.2.1. CARGAS PERMANENTES
MOMENTO FLETOR
distância x (m) Seção Cálculo Mg
(KN x m) 0 0 0,00 0,00
3,0 1 (622,35– 14,4) x 3 – 39,57 x 32/2 = 1645,79 6,0 2 (622,35 – 14,4) x 6 – 39,57 x 62/2 = 2935,44 9,0 3 (622,35 – 14,4) x 9 – 39,57 x 92/2 = 3868,97 12,0 4 (622,35 – 14,4) x 12 – 14,4 x 2 – 39,57 x 122/2 = 4417,56 15,0 5 (622,35 – 14,4) x 15 – 14,4 x 5 – 39,57 x 152/2 = 4595,63
FORÇA CORTANTE
distância x (m) seção Cálculo Vg
(KN) 0 0 622,35 – 14,4 = 607,95
3,0 1 607,95 – 39,57 x 3 = 489,24 6,0 2 489,24 – 39,57 x 3 = 370,53 9,0 3 370,53 – 39,57 x 3 = 251,82
12,0 4 251,82 – 14,4 – 39,57 x 3 = 118,71 15,0 5 118,71 – 39,57 x 3 = 0,00
4.2.2. CARGAS VARIÁVEIS A) SEÇÃO 0 MOMENTO FLETOR As cargas variáveis, em quaisquer posições, não geram momentos fletores nessa seção, portanto: MQ
+ = 0 KN x m Mq + = 0 KN x m MQ – = 0 KN x m Mq – = 0 KN x m
47
FORÇA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 213027,13 Vq + = 199,05 KN
VQ
+ = 54,19 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ + = 154,44 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 213007,0 Vq – = - 1,05 KN
VQ – = 0 KN
B) SEÇÃO 1 = SEÇÃO 9 MOMENTO FLETOR
MQ + = 54,19 x (2,7 + 2,55 + 2,4) MQ
+ = 414,55 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq + =
27,23027,13 Mq + = 537,44 KN x m (devido à carga distribuída)
48
MQ – = 0 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq – =
27,23007,0 Mq
– = - 2,84 KN x m (devido à carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 29,02727,13 -
2)1,0(307,0
Vq + = 161,24 KN
VQ
+ = 54,19 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ + = 138,18 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)1,0(327,1329,02707,0
Vq – = - 2,84 KN
VQ
– = 54,19 x (-0,1 - 0,05 – 0,0) VQ – = - 8,13 KN
49
C) SEÇÃO 2 = SEÇÃO 8 MOMENTO FLETOR
MQ + = 54,19 x (4,8 + 4,5 + 4,2) MQ
+ = 731,57 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
28,43027,13 Mq
+ = 955,44 KN x m (devido a carga distribuída)
MQ –
= 0 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq – =
28,43007,0 Mq
– = - 5,04 KN x m (devido à carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 28,02427,13 -
2)2,0(607,0
Vq + = 127,43 KN
VQ
+ = 54,19 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ + = 121,93 KN
50
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)2,0(627,1328,02407,0
Vq – = - 8,63 KN
VQ
– = 54,19 x (-0,2 - 0,15 – 0,1) VQ – = - 24,39 KN
D) SEÇÃO 3 = SEÇÃO 7 MOMENTO FLETOR
MQ + = 54,19 x (6,3 + 5,85 + 5,4) MQ
+ = 951,03 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
23,63027,13 Mq
+ = 1254,02 KN x m (devido a carga distribuída)
MQ –
= 0 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq – =
23,63007,0 Mq
– = - 6,62 KN x m (devido à carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
51
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 27,02127,13 -
2)3,0(907,0
Vq + = 97,63 KN
VQ
+ = 54,19 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ + = 105,67 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)3,0(927,1327,02107,0
Vq – = - 18,43 KN
VQ
– = 54,19 x (-0,3 - 0,25 – 0,2) VQ – = - 40,64 KN
E) SEÇÃO 4 = SEÇÃO 6 MOMENTO FLETOR
MQ + = 54,19 x (7,2 + 6,6 + 6,3) MQ
+ = 1089,22 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
22,73027,13 Mq
+ = 1433,16 KN x m (devido a carga distribuída)
52
MQ –
= 0 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq – =
22,73007,0 Mq
– = - 7,56 KN x m (devido à carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 26,01827,13 -
2)4,0(1207,0
Vq + = 71,83 KN
VQ
+ = 54,19 x (0,6 + 0,55 + 0,5) VQ + = 89,41 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)4,0(1227,1326,01807,0
Vq – = - 32,23 KN
VQ
– = 54,19 x (-0,4 - 0,35 – 0,3) VQ – = - 56,90 KN
F) SEÇÃO 5 MOMENTO FLETOR
53
MQ + = 54,19 x (7,5 + 6,75 + 6,75) MQ
+ = 1137,99 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
25,73027,13 Mq
+ = 1492,88 KN x m (devido a carga distribuída)
MQ –
= 0 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq – =
25,73007,0 Mq
– = - 7,88 KN x m (devido à carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 25,01527,13 -
2)5,0(1507,0
Vq + = 50,03 KN
VQ
+ = 54,19 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ + = 73,16 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)5,0(1527,1325,01507,0
Vq – = - 50,03 KN
VQ
– = 54,19 x (-0,5 - 0,45 – 0,4) VQ – = - 73,16 KN
54
4.2.3. RESUMO DA LONGARINA INTERMEDIÁRIA
RESUMO DOS MOMENTOS FLETORES
distância x(m) Seção Mg
(KN x m) MQ
+ (KN x m)
Mq +
(KN x m) MQ
– (KN x m)
Mq – (KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,0 1 1645,79 414,55 537,44 0,00 - 2,84 6,0 2 2935,44 731,57 955,44 0,00 - 5,04 9,0 3 3868,97 951,03 1254,02 0,00 - 6,62
12,0 4 4417,56 1089,22 1433,16 0,00 - 7,56 15,0 5 4595,63 1137,99 1492,88 0,00 - 7,88
RESUMO DAS FORÇAS CORTANTES
distância x(m) Seção Vg
(KN) VQ
+ (KN)
Vq +
(KN) VQ
– (KN)
Vq – (KN)
0 0 607,95 154,44 199,05 0 - 1,05 3,0 1 489,24 138,18 161,24 - 8,13 - 2,84 6,0 2 370,53 121,93 127,43 - 24,39 - 8,63 9,0 3 251,82 105,67 97,63 - 40,64 - 18,43
12,0 4 118,71 89,41 71,83 - 56,90 - 32,23 15,0 5 0,00 73,16 50,03 - 73,16 - 50,03
55
4.3. LONGARINA CENTRAL 4.3.1. CARGAS PERMANENTES
MOMENTO FLETOR
distância x (m) Seção Cálculo Mg
(KN x m) 0 0 0,00 0,00
3,0 1 (617,70 – 14,4) x 3 – 39,26 x 32/2 = 1633,23 6,0 2 (617,70 – 14,4) x 6 – 39,26 x 62/2 = 2913,12 9,0 3 (617,70 – 14,4) x 9 – 39,26 x 92/2 = 3839,67 12,0 4 (617,70 – 14,4) x 12 – 14,4 x 2 – 39,26 x 122/2 = 4384,08 15,0 5 (617,70 – 14,4) x 15 – 14,4 x 5 – 39,26 x 152/2 = 4560,75
FORÇA CORTANTE
distância x (m) seção Cálculo Vg
(KN) 0 0 617,70 – 14,4 = 603,30
3,0 1 603,30 – 39,26 x 3 = 485,52 6,0 2 485,52 – 39,26 x 3 = 367,74 9,0 3 367,74 – 39,26 x 3 = 249,96
12,0 4 249,96 – 14,4 – 39,26 x 3 = 117,78 15,0 5 117,78 – 39,26 x 3 = 0,00
4.3.2. CARGAS VARIÁVEIS Obs.: Conforme foi explicado no item 2 (cálculo dos carregamentos), vale lembrar que para a longarina central não existe trem tipo negativo. A) SEÇÃO 0 MOMENTO FLETOR As cargas variáveis, em quaisquer posições, não geram momentos fletores nessa seção, portanto: MQ
+ = 0 KN x m Mq + = 0 KN x m
56
FORÇA CORTANTE
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 213021,13 Vq + = 198,15 KN
VQ
+ = 28,56 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ + = 81,40 KN
Obs.: Como não há trem tipo negativo, não existe contribuição negativa nessa seção. Vq – = 0 KN VQ
– = 0 KN B) SEÇÃO 1 = SEÇÃO 9 MOMENTO FLETOR
MQ + = 28,56 x (2,7 + 2,55 + 2,4) MQ
+ = 218,48 KN x m (devido à carga concentrada)
Mq + =
27,23021,13 Mq + = 535,00 KN x m (devido à carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
57
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 29,02721,13 Vq + = 160,50 KN
VQ
+ = 28,56 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ + = 72,83 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)1,0(321,13 Vq – = - 1,98 KN
VQ
– = 28,56 x (-0,1 - 0,05 – 0,0) VQ – = - 4,28 KN
C) SEÇÃO 2 = SEÇÃO 8 MOMENTO FLETOR
MQ + = 28,56 x (4,8 + 4,5 + 4,2) MQ
+ = 385,56 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
28,43021,13 Mq
+ = 951,12 KN x m (devido a carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
58
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 28,02421,13 Vq + = 126,82 KN
VQ
+ = 28,56 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ + = 64,26 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)2,0(621,13 Vq – = - 7,93 KN
VQ
– = 28,56 x (-0,2 - 0,15 – 0,1) VQ – = - 12,85 KN
D) SEÇÃO 3 = SEÇÃO 7 MOMENTO FLETOR
MQ + = 28,56 x (6,3 + 5,85 + 5,4) MQ
+ = 501,23 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
23,63021,13 Mq
+ = 1248,35 KN x m (devido a carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
59
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 27,02121,13 Vq + = 97,09 KN
VQ
+ = 28,56 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ + = 55,69 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)3,0(921,13 Vq – = - 17,83 KN
VQ
– = 28,56 x (-0,3 - 0,25 – 0,2) VQ – = - 21,42 KN
E) SEÇÃO 4 = SEÇÃO 6 MOMENTO FLETOR
MQ + = 28,56 x (7,2 + 6,6 + 6,3) MQ
+ = 574,06 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
22,73021,13 Mq
+ = 1426,68 KN x m (devido a carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
60
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 26,01821,13 Vq + = 71,33 KN
VQ
+ = 28,56 x (0,6 + 0,55 + 0,5) VQ + = 47,12 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)4,0(1221,13 Vq – = - 31,70 KN
VQ
– = 28,56 x (-0,4 - 0,35 – 0,3) VQ – = - 29,99 KN
F) SEÇÃO 5 MOMENTO FLETOR
MQ + = 28,56 x (7,5 + 6,75 + 6,75) MQ
+ = 599,76 KN x m (devido a carga concentrada)
Mq + =
25,73021,13 Mq
+ = 1486,13 KN x m (devido a carga distribuída)
FORÇA CORTANTE
61
ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA
Vq + = 25,01521,13 Vq + = 49,54 KN
VQ
+ = 28,56 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ + = 38,56 KN
ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA
Vq – = 2
)5,0(1521,13 Vq – = - 49,54 KN
VQ
– = 28,56 x (-0,5 - 0,45 – 0,4) VQ – = - 38,56 KN
4.3.3. RESUMO DA LONGARINA CENTRAL
RESUMO DOS MOMENTOS FLETORES
distância
x(m) Seção Mg (KN x m)
MQ +
(KN x m) Mq +
(KN x m) MQ
– (KN x m)
Mq – (KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,0 1 1633,23 218,48 535,00 0,00 0,00 6,0 2 2913,12 385,56 951,12 0,00 0,00 9,0 3 3839,67 501,23 1248,35 0,00 0,00
12,0 4 4384,08 574,06 1426,68 0,00 0,00 15,0 5 4560,75 599,76 1486,13 0,00 0,00
RESUMO DAS FORÇAS CORTANTES
distância
x(m) Seção Vg (KN)
VQ +
(KN) Vq +
(KN) VQ
– (KN)
Vq – (KN)
0 0 603,30 81,40 198,15 0 0 3,0 1 485,52 72,83 160,50 - 4,28 - 1,98 6,0 2 367,74 64,26 126,82 - 12,85 - 7,93 9,0 3 249,96 55,69 97,09 - 21,42 - 17,83
12,0 4 117,78 47,12 71,33 - 29,99 - 31,70 15,0 5 0,00 38,56 49,54 - 38,56 - 49,54
62
4.4. RESUMO GERAL DOS RESULTADOS MOMENTOS FLETORES
LONGARINA EXTREMA distância
x(m) Seção Mg (KN x m)
MQ +
(KN x m) Mq +
(KN x m) MQ
– (KN x m)
Mq – (KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,0 1 1541,97 608,40 633,83 - 171,36 - 98,42 6,0 2 2731,68 1073,66 1126,80 - 302,40 - 174,96 9,0 3 3569,13 1395,75 1478,93 - 393,12 - 229,64
12,0 4 4025,52 1598,55 1690,20 - 450,24 - 262,44 15,0 5 4115,25 1670,13 1760,63 - 470,40 - 273,38
LONGARINA INTERMEDIÁRIA distância
x(m) Seção Mg (KN x m)
MQ +
(KN x m) Mq +
(KN x m) MQ
– (KN x m)
Mq – (KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,0 1 1645,79 414,55 537,44 0,00 - 2,84 6,0 2 2935,44 731,57 955,44 0,00 - 5,04 9,0 3 3868,97 951,03 1254,02 0,00 - 6,62
12,0 4 4417,56 1089,22 1433,16 0,00 - 7,56 15,0 5 4595,63 1137,99 1492,88 0,00 - 7,88
LONGARINA CENTRAL distância
x(m) Seção Mg (KN x m)
MQ +
(KN x m) Mq +
(KN x m) MQ
– (KN x m)
Mq – (KN x m)
0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,0 1 1633,23 218,48 535,00 0,00 0,00 6,0 2 2913,12 385,56 951,12 0,00 0,00 9,0 3 3839,67 501,23 1248,35 0,00 0,00
12,0 4 4384,08 574,06 1426,68 0,00 0,00 15,0 5 4560,75 599,76 1486,13 0,00 0,00
FORÇAS CORTANTES
LONGARINA EXTREMA distância
x(m) Seção Vg (KN)
VQ +
(KN) Vq +
(KN) VQ
– (KN)
Vq – (KN)
0 0 601,50 226,66 234,75 - 63,84 - 36,45 3,0 1 484,08 202,80 190,51 - 57,12 - 31,87 6,0 2 366,66 178,94 151,70 - 50,40 - 32,72 9,0 3 249,24 155,08 118,31 - 59,65 - 38,99
12,0 4 117,42 131,22 90,34 - 83,51 - 50,68 15,0 5 0,00 107,37 67,80 - 107,37 - 67,80
63
LONGARINA INTERMEDIÁRIA
distância x(m) Seção Vg
(KN) VQ
+ (KN)
Vq +
(KN) VQ
– (KN)
Vq – (KN)
0 0 607,95 154,44 199,05 0 - 1,05 3,0 1 489,24 138,18 161,24 - 8,13 - 2,84 6,0 2 370,53 121,93 127,43 - 24,39 - 8,63 9,0 3 251,82 105,67 97,63 - 40,64 - 18,43
12,0 4 118,71 89,41 71,83 - 56,90 - 32,23 15,0 5 0,00 73,16 50,03 - 73,16 - 50,03
LONGARINA CENTRAL distância
x(m) Seção Vg (KN)
VQ +
(KN) Vq +
(KN) VQ
– (KN)
Vq – (KN)
0 0 603,30 81,40 198,15 0 0 3,0 1 485,52 72,83 160,50 - 4,28 - 1,98 6,0 2 367,74 64,26 126,82 - 12,85 - 7,93 9,0 3 249,96 55,69 97,09 - 21,42 - 17,83
12,0 4 117,78 47,12 71,33 - 29,99 - 31,70 15,0 5 0,00 38,56 49,54 - 38,56 - 49,54
64
5. ENVOLTÓRIAS 5.1. LONGARINA EXTREMA 5.1.1. MOMENTOS FLETORES
Tabela – Resumo de todos os resultados calculados para a longarina extrema
distância x (m) Seção Mg
(KN x m) MQ
+ (KN x m)
Mq +
(KN x m) MQ
–
(KN x m) Mq –
(KN x m) 0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,0 1 1541,97 608,40 633,83 - 171,36 - 98,42 6,0 2 2731,68 1073,66 1126,80 - 302,40 - 174,96 9,0 3 3569,13 1395,75 1478,93 - 393,12 - 229,64 12,0 4 4025,52 1598,55 1690,20 - 450,24 - 262,44 15,0 5 4115,25 1670,13 1760,63 - 470,40 - 273,38
Tabela – Momentos máximos e mínimos para a longarina extrema
distância
x (m) Seção MMAX (KN x m) (Mg + MQ
+ + Mq +) MMIN (KN x m) (Mg + MQ
- + Mq -) 0 0 0 0
3,0 1 2784,2 1272,19 6,0 2 4932,14 2254,32 9,0 3 6443,81 2946,37 12,0 4 7314,27 3312,84 15,0 5 7546,01 3371,47
ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS PARA A LONGARINA EXTREMA
010002000300040005000600070008000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Seção
M (K
N x
m)
65
5.1.2. FORÇAS CORTANTES
Tabela – Resumo de todos os resultados calculados para a longarina extrema
distância x(m) Seção Vg
(KN) VQ
+ (KN)
Vq +
(KN) VQ
– (KN)
Vq – (KN)
0 0 601,50 226,66 234,75 - 63,84 - 36,45 3,0 1 484,08 202,80 190,51 - 57,12 - 31,87 6,0 2 366,66 178,94 151,70 - 50,40 - 32,72 9,0 3 249,24 155,08 118,31 - 59,65 - 38,99
12,0 4 117,42 131,22 90,34 - 83,51 - 50,68 15,0 5 0,00 107,37 67,80 - 107,37 - 67,80
Tabela – Forças cortantes máximas e mínimas para a longarina extrema
distância
x (m) Seção VMAX (KN) (Vg + VQ
+ + Vq +) VMIN (KN)
(Vg + VQ - + Vq -)
0 0 1062,91 501,21 3,0 1 877,39 395,09 6,0 2 697,30 283,54 9,0 3 522,63 150,60 12,0 4 338,98 -16,77 15,0 5 175,17 -175,17 18,0 6 16,77 -338,98 21,0 7 -150,60 -522,63 24,0 8 -283,54 -697,30 27,0 9 -395,09 -877,39 30,0 10 -501,21 -1062,91
ENVOLTÓRIA DE FORÇAS CORTANTES PARA A LONGARINA EXTREMA
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Seção
V (K
N)
66
5.2. LONGARINA INTERMEDIÁRIA 5.2.1. MOMENTOS FLETORES
Tabela – Resumo de todos os resultados calculados para a longarina intermediária
Distância x (m) Seção Mg
(KN x m) MQ
+ (KN x m)
Mq +
(KN x m) MQ
–
(KN x m) Mq –
(KN x m) 0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,0 1 1645,79 414,55 537,44 0,00 - 2,84 6,0 2 2935,44 731,57 955,44 0,00 - 5,04 9,0 3 3868,97 951,03 1254,02 0,00 - 6,62 12,0 4 4417,56 1089,22 1433,16 0,00 - 7,56 15,0 5 4595,63 1137,99 1492,88 0,00 - 7,88
Tabela – Momentos máximos e mínimos para a longarina intermediária
distância
x (m) Seção MMAX (KN x m) (Mg + MQ
+ + Mq +) MMIN (KN x m)
(Mg + Mq -) 0 0 0,00 0,00
3,0 1 2597,78 1642,95 6,0 2 4622,45 2930,40 9,0 3 6074,02 3862,35 12,0 4 6939,94 4410,00 15,0 5 7226,50 4587,75
ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS PARA A LONGARINA INTERMEDIÁRIA
010002000300040005000600070008000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Seção
M (K
N x
m)
67
5.2.2. FORÇAS CORTANTES
Tabela – Resumo de todos os resultados calculados para a longarina intermediária
distância x(m) Seção Vg
(KN) VQ
+ (KN)
Vq +
(KN) VQ
– (KN)
Vq – (KN)
0 0 607,95 154,44 199,05 0 - 1,05 3,0 1 489,24 138,18 161,24 - 8,13 - 2,84 6,0 2 370,53 121,93 127,43 - 24,39 - 8,63 9,0 3 251,82 105,67 97,63 - 40,64 - 18,43
12,0 4 118,71 89,41 71,83 - 56,90 - 32,23 15,0 5 0,00 73,16 50,03 - 73,16 - 50,03
Tabela – Forças cortantes máximas e mínimas para a longarina intermediária
distância
x (m) Seção VMAX (KN) (Vg + VQ
+ + Vq +) VMIN (KN)
(Vg + VQ - + Vq -)
0 0 961,44 606,90 3,0 1 788,66 478,27 6,0 2 619,89 337,51 9,0 3 455,12 192,75 12,0 4 279,95 29,58 15,0 5 123,19 -123,19 18,0 6 -29,58 -279,95 21,0 7 -192,75 -455,12 24,0 8 -337,51 -619,89 27,0 9 -478,27 -788,66 30,0 10 -606,90 -961,44
ENVOLTÓRIA DE FORÇAS CORTANTES PARA A LONGARINA INTERMEDIÁRIA
-1000-750-500-250
0250500750
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Seção
V (K
N)
68
5.3. LONGARINA CENTRAL 5.3.1. MOMENTOS FLETORES
Tabela – Resumo de todos os resultados calculados para a longarina central
Distância x (m) Seção Mg
(KN x m) MQ
+ (KN x m)
Mq +
(KN x m) MQ
–
(KN x m) Mq –
(KN x m) 0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
3,0 1 1633,23 218,48 535,00 0,00 0,00 6,0 2 2913,12 385,56 951,12 0,00 0,00 9,0 3 3839,67 501,23 1248,35 0,00 0,00 12,0 4 4384,08 574,06 1426,68 0,00 0,00 15,0 5 4560,75 599,76 1486,13 0,00 0,00
Tabela – Momentos máximos e mínimos para a longarina central
distância
x (m) Seção MMAX (KN x m) (Mg + MQ
+ + Mq +) MMIN (KN x m)
(Mg) 0 0 0,00 0,00
3,0 1 2386,71 1633,23 6,0 2 4249,80 2913,12 9,0 3 5589,25 3839,67 12,0 4 6384,82 4384,08 15,0 5 6646,64 4560,75
Obs.: Note que como não existe trem tipo negativo o valor do momento mínimo é o próprio valor do momento devido ao peso próprio.
ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS PARA A LONGARINA CENTRAL
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Seção
M (K
N x
m)
69
5.3.2. FORÇAS CORTANTES
Tabela – Resumo de todos os resultados calculados para a longarina central
distância x(m) Seção Vg
(KN) VQ
+ (KN)
Vq +
(KN) VQ
– (KN)
Vq – (KN)
0 0 603,30 81,40 198,15 0 0 3,0 1 485,52 72,83 160,50 - 4,28 - 1,98 6,0 2 367,74 64,26 126,82 - 12,85 - 7,93 9,0 3 249,96 55,69 97,09 - 21,42 - 17,83
12,0 4 117,78 47,12 71,33 - 29,99 - 31,70 15,0 5 0,00 38,56 49,54 - 38,56 - 49,54
Tabela – Forças cortantes máximas e mínimas para a longarina central
distância
x (m) Seção VMAX (KN) (Vg + VQ
+ + Vq +) VMIN (KN)
(Vg + VQ - + Vq -)
0 0 882,85 603,30 3,0 1 718,85 479,26 6,0 2 558,82 346,96 9,0 3 402,74 210,71 12,0 4 236,23 56,09 15,0 5 88,10 -88,10 18,0 6 -56,09 -236,23 21,0 7 -210,71 -402,74 24,0 8 -346,96 -558,82 27,0 9 -479,26 -718,85 30,0 10 -603,30 -882,85
ENVOLTÓRIA DE FORÇAS CORTANTES PARA A LONGARINA CENTRAL
-1000-750-500-250
0250500750
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Seção
V (K
N)
70
6.1. LONGARINA EXTREMA 6.1.1. DETERMINAÇÃO DA PROTENSÃO NECESSÁRIA Os dados conforme cálculo no item 1.6 são:
A = 1,25 m² Wi = 0,292 m³ Ws = 0,666 m³ Ki = 0,233 m Ks = 0,533 m³
yi = 1,32m ys = 0,58m Analisaremos a seção 5, que é a mais solicitada. Para esta longarina temos os seguintes esforços solicitantes:
Mg = 4115,25 KN x m
MQ + = 1670,13 + 1760,63
MQ + = 3430,76 KN x m
Para a condição de protensão limitada, é preciso verificar se o pior caso ocorre com o carregamento quase permanente (CQP) ou com o carregamento freqüente (CF). Carregamento Quase Permanente (CQP) Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de descompressão, ou seja, a máxima tensão admissível à tração na peça é:
t = 0
O momento utilizado nesse caso é:
M = Mg + 0,3 x MQ +
M = 4115,25 + 0,3 x 3430,76
M = 5144,48 KN x m
A força de protensão necessária é dada por:
pi
iiCQP eK
WMP
Onde: M momento calculado para o carregamento quase permanente(KN x m); i tensão máxima permitida de tração nas fibras inferiores(KN/m²); Wi modulo de resistência à flexão das fibras inferiores(m³); Ki distância nuclear para as fibras inferiores(m); ep excentricidade da força de protensão em relação ao c.g. da seção(m).
71
O valor da excentricidade da protensão pode ser calculado do seguinte modo:
ep = yi – 0,15 ep = 1,32 – 0,15
ep = 1,17 m
Obs: Foi suposto que a distância da face inferior do conjunto até o centro de geométrico das armaduras é de 0,15m, ao final do cálculo se essa distância for maior que o arbitrado, devem ser refeitos os cálculos para a nova distância e verificar se ainda a peça ainda possui resistência adequada. Caso a distância seja menor que 0,15m não é necessária nenhuma verificação, pois isso resulta um braço de alavanca interno maior do que o arbitrado, ou seja, a favor da segurança. O cálculo do valor da força necessária de protensão é:
17,1233,0292,0048,5144PCQP
PCQP = 3666,77 KN
Carregamento Freqüente (CF) Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de formação de fissuras, ou seja, a máxima tensão admissível à tração na peça é:
3 2t fck21,0
3 2t 3521,0
t = 2,25 Mpa ou
t = 2250 KN/cm²
O momento utilizado nesse caso é:
M = Mg + 0,5 x MQ +
M = 4115,25 + 0,5 x 3430,76
M = 5830,63 KN x m O cálculo do valor da força necessária de protensão é:
17,1233,0292,0225063,5830PCF
PCF = 3687,55 KN
Como o valor de PCF > PCQP, então o valor que deve ser utilizado para protensão é:
PCF = P = 3687,55 KN
72
O valor calculado acima é o valor necessário para a força, porém sempre existe uma perda de aproximadamente 25%. Sendo assim, a força inicial com que deve ser protendida a viga é:
75,0PPINICIAL
75,055,3687PINICIAL PINICIAL = 4916,73 KN
Iremos adotar cabos com 12 12,5mm, cujas características estão descritas abaixo. Tipo: CP 190 RB A = 0,987 cm² (área de 1 de 12,5mm) O valor da força que um cabo de protensão pode fornecer é:
Po = 12 x A x 0,77 x e Po = 12 x 0,987 x 0,77 x 190
Po = 1732,77 KN
O número de cabos necessários é:
O
INICIAL
PPn
77,173273,4916n n = 2,83
Como precisamos de um número inteiro de cabos, poderiamos arredondar para o número inteiro mais próximo (3 cabos), mas como 2,83 está muito próximo de 3, pode ser que ao adotar 3 cabos, após todas as perdas, os mesmos não tenham eficiência em fornecer a força de protensão necessária. Portanto iremos adotar um cabo o seguinte número de cabos:
n = 4 cabos
73
6.1.2 DETALHE DO LANÇAMENTO DOS CABOS
DETALHE DA SEÇÃO CENTRAL
DETALHE DA SEÇÃO DO APOIO
74
DETALHE DA SAÍDA DOS CABOS NA SEÇÃO DO APOIO
DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEÇÃO CENTRAL
DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEÇÃO DO APOIO
75
6.1.3 PERDAS IMEDIATAS Todas as perdas imediatas acontecem em canteiro, onde a viga é protendida, portanto todas as características geométricas devem ser tomadas em relação a viga pré-moldada, conforme calculado em 1.1 6.1.3.1 PERDAS POR ATRITO EM CABOS PÓS-TRACIONADOS A força de protensão após as perdas por atrito é dada pela equação:
P = Po x (1 – · – k · x) Onde: coeficiente de atrito = 0,2 ângulo de saída do cabo em relação a horizontal (rad); k coeficiente de atrito por irregularidade do cabo = 0,002 m -1 x comprimento do trecho analisado. Para o cabo 1, após as perdas por atrito, a força de protensão é: Na posição x = 5,0m (posição do fim do trecho parabólico):
5002,0
18030,72,0177,1732P1
P1 = 1671,29 KN
Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):
15002,0
18030,72,0177,1732P1
P1 = 1636,63 KN
Para o cabo 2, após as perdas por atrito, a força de protensão é:
Na posição x = 7,5m (posição do fim do trecho parabólico):
5,7002,0
18087,102,0177,1732P2
P2 = 1641,03 KN
Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):
15002,0
18087,102,0177,1732P2
P2 = 1615,04 KN
76
Para o cabo 3, após as perdas por atrito, a força de protensão é:
Na posição x = 10,0m (posição do fim do trecho parabólico):
75,8002,0
18088,122,0177,1732P3
P3 = 1624,54 KN
Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):
15002,0
18088,122,0177,1732P3
P3 = 1602,88 KN
Para o cabo 4, após as perdas por atrito, a força de protensão é:
Na posição x = 10,0m (posição do fim do trecho parabólico):
10002,0
18064,152,0177,1732P4
P4 = 1603,52 KN
Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):
15002,0
18064,152,0177,1732P4
P4 = 1586,19 KN
A força total P antes da protensão era:
P = 4 x 1732,77
P = 6931,08 KN
A força total de protensão após as perdas por atrito é:
P = 1636,63 + 1615,04 + 1602,88 + 1586,19
PREDUZIDO = 6440,74 KN A perda representativa das forças de atrito é:
% perdas de atrito = 100P
PP
INICIAL
REDUZIDOINICIAL
77
% perdas de atrito = 10008,6931
74,644008,6931
% perdas de atrito = 7,07 %
6.1.3.2 PERDAS POR ACOMODAÇÃO DAS CUNHAS A perda por acomodação das cunhas é dada por:
0,006AE
)a(aΔP2a
AE2PP
211aXo 1
Onde: a1 posição do final do trecho parabólico, em relação ao apoio; Px=a1 força de protensão no final do trecho parabólico; E módulo de elasticidade do concreto = 19000 KN/cm²; A área de aço do cabo em análise = 12 x0,987 = 11,844 cm²; a2 posição da seção em estudo, em relação ao apoio; P perda de protensão (KN). Para o cabo 1:
0,006844,1190001
5)1(ΔP25
844,1190001229,167177,7321 1
P1 = 69,52 KN
Para o cabo 2:
0,006844,11900015)1(ΔP
27,5
844,1190001203,164177,7321 2
P2 = 44,14 KN
Para o cabo 3:
0,006844,11900015)1(ΔP
28,75
844,1190001254,162477,7321 3
P3 = 26,88 KN
Para o cabo 4:
0,006844,11900015)1(ΔP
210
844,1190001252,160377,7321 4
P4 = 3,85 KN
78
A força total P antes da protensão era: P = 6931,08 KN
A perda de protensão por cravação é:
PTOTAL = P1 + P2 + P3 + P4
PTOTAL = 69,52 + 44,14 + 26,88 + 3,85 PTOTAL = 144,39 KN
A perda representativa da cravação das cunhas é:
% perdas por cravação = 100PP
INICIAL
TOTAL
% perdas por cravação = 10008,6931
39,144
% perdas por cravação = 2,08 %
A perda total devido às forças de atrito e cravação das cunhas é:
% perdas por atrito + cravação = 7,07 + 2,08 % perdas por atrito + cravação = 9,15 %
6.1.3.3 PERDAS NA PROTENSÃO SUCESSIVA A perda de tensão na armadura por protensão sucessiva é dada por:
2n
1nσσαΔσ CPgP
Onde: perda de tensão na armadura (KN/m²); P relação entre o módulo elasticidade do aço de protensão e do concreto = 5,85; g tensão no c.g. da armadura devido ao peso próprio somente da longarina; cp tensão no concreto devido a protensão (KN/m²); n número de cabos. O valor de g é:
PVP
gog e
IM
σ )15,002,1(0,205
2165,63σ g g = 9190,70 KN/m²
O valor de cp é:
Ie
A1Pσ
2P
cp
0,2050,87
0,77135,2966σ
2
cp cp = - 31424,43 KN/m²
79
421443,3142470,919085,5Δσ
= - 48775,25 KN/m²
A perda por protensão sucessiva é:
PTOTAL = x A PTOTAL = - 48775,25 x 4 x 12 x 0,0000987
PTOTAL = 231,08 KN A perda representativa da protensão sucessiva é:
% perdas por protensão sucessiva = 100PP
INICIAL
TOTAL
% perdas por protensão sucessiva = 10008,693108,231
% perdas por protensão sucessiva = = 3,33 %
A perda imediata total é:
% perdas por atrito + cravação + protensão sucessiva = 9,15 + 3,33 % perdas por atrito + cravação + protensão sucessiva = 12,48 %
6.1.4 PERDAS LENTAS As perdas lentas possuem quatro origens:
- Retração no concreto; - Fluência no concreto; - Relaxação do aço; - Fluência da armadura de protensão;
A perda de tensão após todas as perdas lentas é dada por:
211
21
Δσ2
1000
1000,
C
P
CPP
PipigcPPCS
Ie
AA
E
onde: cs deformação de retração após a estabilização = - 0,00021 m/m c,pig tensão no concreto na posição da resultante da armadura de protensão; pi tensão na armadura devido a força de protensão após perdas imediatas; Ap área das armaduras de protensão; Ac área da seção composta (viga + laje).
80
O valor da protensão após todas as perdas imediatas é:
P = 1732,77 x 4 – 0,1248 x (1732,77 x 4) P = 6066,08 KN
O valor de c,pig é: Mg = 4115,25 KN x m (retirado da tabela 5.1)
c,pig = - 13891,76 KN/m² O valor de pi é:
A perda de tensão devido as perdas lentas é:
= - 229868,17 KN/m²
A perda lenta total é:
PTOTAL = x A PTOTAL = - 229868,17 x 4 x 12 x 0,0000987
PTOTAL = 1089,02 KN A perda lenta total é:
% perdas lentas = 100PP
INICIAL
TOTAL
% perdas lentas = 10008,693102,1089
% perdas lentas = = 15,7 %
386,0)15,032,1(08,6066
1,256066,08)15,032,1(
0,3864115,25σ
2
pigc,
IeP
APe
IM
σ2P
pg
pigc,
2pipi
Ppi KN/m02,2804121σ
0,00009871246066,08σ
APσ
22,21
386,017,1
25,110000987,012485,5
2059,01
059,002,12804122,276,1389185,51900000000021,0Δσ2
81
6.1.5 PERDAS TOTAIS A perda total é:
Perda Total = Perdas imediatas + Perdas Lentas Perda Total = 12,48 + 15,7
Perda Total = 28,18 % A força final de protensão na seção 5 após todas as perdas é:
P = 1732,77 x 4 – 0,2818 x (1732,77 x 4) P = 4977,90 KN
Conclusão: Como a força final de protensão após todas as perdas ainda é maior que a força de protensão necessária, esta protensão atende a protensão limitada.
P < P APÓS PERDAS
3687,55 < 4977,90
6.1.6 VERIFICAÇÃO DO ELU
Iremos adotar como armadura passiva 2 16mm. Força de protensão após perdas: P = 4977,90 KN (calculado no item 6.1.4.5) O aço de protensão já possui um pré-alongamento de:
O momento de cálculo na ruptura é:
Md = 1,35 x 4115,25 + 1,5 x 3430,76 Md = 10701,73 KN x m
Fazendo a hipótese de que a peça está nos domínios 2 ou 3, então a armadura escoa, e a força no aço é:
FAÇO = 7999,51 KN
Para esta força a área de concreto necessária para equilibrar essa força é de:
FAÇO = F CON = Ac x 0,85 x fcd
005,0190000000
14120000987,0
90,49779,0
PRÉ
15,1190987,0124
15,15098,12 AÇOF
82
AC = 0,38 m² Área da laje = 2,40 x 0,20 = 0,48 m² (conclui-se que a área está dentro da laje)
0,38 = x’ x 2,40 x’ = 0,16 m
A verdadeira posição da linha neutra é:
x = 1,25 x 0,16 x = 0,20m
Considerando que o centro geométrico das armaduras continua no centro geométrico das armaduras de protensão, o que é a favor da segurança já que o braço de alavanca seria aumentado caso fosse calculado, pois a armadura passiva está mais abaixo da armadura de protensão), o braço de alavanca é:
Z = 1,90 – 0,15 – 0,5 x 0,16
Z = 1,67 m
Sendo assim o momento último resistente dessa viga é:
MU = FAÇO x Z MU = 7999,51 x 1,67
MU = 13359,18 KN x m Conclusão: Como o momento último resistente é maior que o momento último de cálculo a peça passa pela verificação da ruptura.
Md < MU 10701,73 < 13359,18 KN x m
4,13500085,051,7999 CA
83
6.2 LONGARINA INTERMEDIÁRIA 6.2.1. DETERMINAÇÃO DA PROTENSÃO NECESSÁRIA Os dados conforme cálculo no item 1.6 são:
A = 1,25 m² Wi = 0,292 m³ Ws = 0,666 m³ Ki = 0,233 m Ks = 0,533 m³
yi = 1,32m ys = 0,58m Analisaremos a seção 5, que é a mais solicitada. Para esta longarina temos os seguintes esforços solicitantes:
Mg = 4595,63 KN x m
MQ + = 1137,99 + 1492,88
MQ + = 2630,87 KN x m
Para a condição de protensão limitada, é preciso verificar se o pior caso ocorre com o carregamento quase permanente (CQP) ou com o carregamento freqüente (CF). Carregamento Quase Permanente (CQP) Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de descompressão, ou seja, a máxima tensão admissível à tração na peça é:
t = 0
O momento utilizado nesse caso é:
M = Mg + 0,3 x MQ +
M = 4595,63 + 0,3 x 2630,87
M = 5384,89 KN x m
A força de protensão necessária é dada por:
pi
iiCQP eK
WMP
Onde: M momento calculado para o carregamento quase permanente(KN x m); i tensão máxima permitida de tração nas fibras inferiores(KN/m²); Wi modulo de resistência à flexão das fibras inferiores(m³); Ki distância nuclear para as fibras inferiores(m); ep excentricidade da força de protensão em relação ao c.g. da seção(m).
84
O valor da excentricidade da protensão pode ser calculado do seguinte modo:
ep = yi – 0,15 ep = 1,32 – 0,15
ep = 1,17 m
Obs: Foi suposto que a distância da face inferior do conjunto até o centro de geométrico das armaduras é de 0,15m, ao final do cálculo se essa distância for maior que o arbitrado, devem ser refeitos os cálculos para a nova distância e verificar se ainda a peça ainda possui resistência adequada. Caso a distância seja menor que 0,15m não é necessária nenhuma verificação, pois isso resulta um braço de alavanca interno maior do que o arbitrado, ou seja, a favor da segurança. O cálculo do valor da força necessária de protensão é:
17,1233,0292,0048,5144PCQP
(5384,89-0x0,292)/0,233+1,17
PCQP = 3838,13 KN
Carregamento Freqüente (CF) Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de formação de fissuras, ou seja, a máxima tensão admissível à tração na peça é:
3 2t fck21,0
3 2t 3521,0
t = 2,25 Mpa ou
t = 2250 KN/cm²
O momento utilizado nesse caso é:
M = Mg + 0,5 x MQ +
M = 4595,63 + 0,5 x 2630,87
M = 5911,1 KN x m O cálculo do valor da força necessária de protensão é:
17,1233,0292,0225063,5830PCF
(5911,1-2250x0,292)/0,233+1,17
PCF = 3744,9 KN
Como o valor de PCF < PCQP, então o valor que deve ser utilizado para protensão é:
PCQP = P = 3838,13 KN
85
O valor calculado acima é o valor necessário para a força, porém sempre existe uma perda de aproximadamente 25%. Sendo assim, a força inicial com que deve ser protendida a viga é:
75,0PPINICIAL
75,055,3687PINICIAL (3838,13/0,75) PINICIAL = 5117,5 KN
Iremos adotar cabos com 12 12,5mm, cujas características estão descritas abaixo. Tipo: CP 190 RB A = 0,987 cm² (área de 1 de 12,5mm) O valor da força que um cabo de protensão pode fornecer é:
Po = 12 x A x 0,77 x e Po = 12 x 0,987 x 0,77 x 190
Po = 1732,77 KN
O número de cabos necessários é:
O
INICIAL
PPn
77,173273,4916n (5117,5/1732,77) n = 2,95
Como precisamos de um número inteiro de cabos, poderiamos arredondar para o número inteiro mais próximo (3 cabos), mas como 2,95 está muito próximo de 3, pode ser que ao adotar 3 cabos, após todas as perdas, os mesmos não tenham eficiência em fornecer a força de protensão necessária. Portanto iremos adotar um cabo o seguinte número de cabos:
n = 4 cabos
86
6.2.2. DETALHE DO LANÇAMENTO DOS CABOS
DETALHE DA SEÇÃO CENTRAL
DETALHE DA SEÇÃO DO APOIO
87
DETALHE DA SAÍDA DOS CABOS NA SEÇÃO DO APOIO
DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEÇÃO CENTRAL
DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEÇÃO DO APOIO
88
6.2.3 PERDAS IMEDIATAS Todas as perdas imediatas acontecem em canteiro, onde a viga é protendida, portanto todas as características geométricas devem ser tomadas em relação a viga pré-moldada, conforme calculado em 1.1 6.2.3.1 PERDAS POR ATRITO EM CABOS PÓS-TRACIONADOS A força de protensão após as perdas por atrito é dada pela equação:
P = Po x (1 – · – k · x) Onde: coeficiente de atrito = 0,2 ângulo de saída do cabo em relação a horizontal (rad); k coeficiente de atrito por irregularidade do cabo = 0,002 m -1 x comprimento do trecho analisado. Para o cabo 1, após as perdas por atrito, a força de protensão é: Na posição x = 5,0m (posição do fim do trecho parabólico):
5002,0
18030,72,0177,1732P1
P1 = 1671,29 KN
Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):
15002,0
18030,72,0177,1732P1
P1 = 1636,63 KN
Para o cabo 2, após as perdas por atrito, a força de protensão é:
Na posição x = 7,5m (posição do fim do trecho parabólico):
5,7002,0
18087,102,0177,1732P2
P2 = 1641,03 KN
Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):
15002,0
18087,102,0177,1732P2
P2 = 1615,04 KN
89
Para o cabo 3, após as perdas por atrito, a força de protensão é:
Na posição x = 10,0m (posição do fim do trecho parabólico):
75,8002,0
18088,122,0177,1732P3
P3 = 1624,54 KN
Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):
15002,0
18088,122,0177,1732P3
P3 = 1602,88 KN
Para o cabo 4, após as perdas por atrito, a força de protensão é:
Na posição x = 10,0m (posição do fim do trecho parabólico):
10002,0
18064,152,0177,1732P4
P4 = 1603,52 KN
Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):
15002,0
18064,152,0177,1732P4
P4 = 1586,19 KN
A força total P antes da protensão era:
P = 4 x 1732,77
P = 6931,08 KN
A força total de protensão após as perdas por atrito é:
P = 1636,63 + 1615,04 + 1602,88 + 1586,19
PREDUZIDO = 6440,74 KN A perda representativa das forças de atrito é:
% perdas de atrito = 100P
PP
INICIAL
REDUZIDOINICIAL
90
% perdas de atrito = 10008,6931
74,644008,6931
% perdas de atrito = 7,07 %
6.2.3.2 PERDAS POR ACOMODAÇÃO DAS CUNHAS A perda por acomodação das cunhas é dada por:
0,006AE
)a(aΔP2a
AE2PP
211aXo 1
Onde: a1 posição do final do trecho parabólico, em relação ao apoio; Px=a1 força de protensão no final do trecho parabólico; E módulo de elasticidade do concreto = 19000 KN/cm²; A área de aço do cabo em análise = 12 x0,987 = 11,844 cm²; a2 posição da seção em estudo, em relação ao apoio; P perda de protensão (KN). Para o cabo 1:
0,006844,1190001
5)1(ΔP25
844,1190001229,167177,7321 1
P1 = 69,52 KN
Para o cabo 2:
0,006844,11900015)1(ΔP
27,5
844,1190001203,164177,7321 2
P2 = 44,14 KN
Para o cabo 3:
0,006844,11900015)1(ΔP
28,75
844,1190001254,162477,7321 3
P3 = 26,88 KN
Para o cabo 4:
0,006844,11900015)1(ΔP
210
844,1190001252,160377,7321 4
P4 = 3,85 KN
91
A força total P antes da protensão era: P = 6931,08 KN
A perda de protensão por cravação é:
PTOTAL = P1 + P2 + P3 + P4
PTOTAL = 69,52 + 44,14 + 26,88 + 3,85 PTOTAL = 144,39 KN
A perda representativa da cravação das cunhas é:
% perdas por cravação = 100PP
INICIAL
TOTAL
% perdas por cravação = 10008,6931
39,144
% perdas por cravação = 2,08 %
A perda total devido às forças de atrito e cravação das cunhas é:
% perdas por atrito + cravação = 7,07 + 2,08 % perdas por atrito + cravação = 9,15 %
6.2.3.3 PERDAS NA PROTENSÃO SUCESSIVA A perda de tensão na armadura por protensão sucessiva é dada por:
2n
1nσσαΔσ CPgP
Onde: perda de tensão na armadura (KN/m²); P relação entre o módulo elasticidade do aço de protensão e do concreto = 5,85; g tensão no c.g. da armadura devido ao peso próprio somente da longarina; cp tensão no concreto devido a protensão (KN/m²); n número de cabos. O valor de g é:
PVP
gog e
IM
σ )15,002,1(0,205
2165,63σ g g = 9190,70 KN/m²
O valor de cp é:
Ie
A1Pσ
2P
cp
0,2050,87
0,77135,2966σ
2
cp cp = - 31424,43 KN/m²
92
421443,3142470,919085,5Δσ
= - 48775,25 KN/m²
A perda por protensão sucessiva é:
PTOTAL = x A PTOTAL = - 48775,25 x 4 x 12 x 0,0000987
PTOTAL = 231,08 KN A perda representativa da protensão sucessiva é:
% perdas por protensão sucessiva = 100PP
INICIAL
TOTAL
% perdas por protensão sucessiva = 10008,693108,231
% perdas por protensão sucessiva = = 3,33 %
A perda imediata total é:
% perdas por atrito + cravação + protensão sucessiva = 9,15 + 3,33 % perdas por atrito + cravação + protensão sucessiva = 12,48 %
6.2.4 PERDAS LENTAS As perdas lentas possuem quatro origens:
- Retração no concreto; - Fluência no concreto; - Relaxação do aço; - Fluência da armadura de protensão;
A perda de tensão após todas as perdas lentas é dada por:
211
21
Δσ2
1000
1000,
C
P
CPP
PipigcPPCS
Ie
AA
E
onde: cs deformação de retração após a estabilização = - 0,00021 m/m/ c,pig tensão no concreto na posição da resultante da armadura de protensão; pi tensão na armadura devido a força de protensão após perdas imediatas; Ap área das armaduras de protensão; Ac área da seção composta (viga + laje).
93
O valor da protensão após todas as perdas imediatas é:
P = 1732,77 x 4 – 0,1248 x (1732,77 x 4) P = 6066,08 KN
O valor de c,pig é: Mg = 4595,63 KN x m (retirado da tabela 5.1)
c,pig = - 12435,69 KN/m² O valor de pi é:
A perda de tensão devido as perdas lentas é:
= - 214814,14 KN/m²
A perda lenta total é:
PTOTAL = x A PTOTAL = - 214814,14 x 4 x 12 x 0,0000987
PTOTAL = 1017,7 KN A perda lenta total é:
% perdas lentas = 100PP
INICIAL
TOTAL
% perdas lentas = 10008,693102,1089
(954,27/6931,08)*100
% perdas lentas = 14,68 %
386,0)15,032,1(08,6066
1,256066,08)15,032,1(
0,3864115,25σ
2
pigc,
IeP
APe
IM
σ2P
pg
pigc,
2pipi
Ppi KN/m02,2804121σ
0,00009871246066,08σ
APσ
22,21
386,017,1
25,110000987,012485,5
2059,01
059,002,12804122,276,1389185,51900000000021,0Δσ2
94
6.2.5 PERDAS TOTAIS A perda total é:
Perda Total = Perdas imediatas + Perdas Lentas Perda Total = 12,48 + 14,68
Perda Total = 27,16 % A força final de protensão na seção 5 após todas as perdas é:
P = 1732,77 x 4 – 0,2716 x (1732,77 x 4) P = 5048,6 KN
Conclusão: Como a força final de protensão após todas as perdas ainda é maior que a força de protensão necessária, esta protensão atende a protensão limitada.
P < P APÓS PERDAS
3838,13 < 5048,6
6.2.6 VERIFICAÇÃO DO ELU
Iremos adotar como armadura passiva 2 16mm. Força de protensão após perdas: P = 5048,6 KN (calculado no item 6.2.5) O aço de protensão já possui um pré-alongamento de:
0,00511 O momento de cálculo na ruptura é:
Md = 1,35 x 4595,63 + 1,5 x 2630,87 Md = 10150,41 KN x m
Fazendo a hipótese de que a peça está nos domínios 2 ou 3, então a armadura escoa, e a força no aço é:
FAÇO = 7999,51 KN
Para esta força a área de concreto necessária para equilibrar essa força é de:
FAÇO = F CON = Ac x 0,85 x fcd
005,0190000000
14120000987,0
90,49779,0
PRÉ
15,1190987,0124
15,15098,12 AÇOF
95
AC = 0,38 m² Área da laje = 2,40 x 0,20 = 0,48 m² (conclui-se que a área está dentro da laje)
0,38 = x’ x 2,40 x’ = 0,16 m
A verdadeira posição da linha neutra é:
x = 1,25 x 0,16 x = 0,20m
Considerando que o centro geométrico das armaduras continua no centro geométrico das armaduras de protensão, o que é a favor da segurança já que o braço de alavanca seria aumentado caso fosse calculado, pois a armadura passiva está mais abaixo da armadura de protensão), o braço de alavanca é:
Z = 1,90 – 0,15 – 0,5 x 0,16
Z = 1,67 m
Sendo assim o momento último resistente dessa viga é:
MU = FAÇO x Z MU = 7999,51 x 1,67
MU = 13359,18 KN x m Conclusão: Como o momento último resistente é maior que o momento último de cálculo a peça passa pela verificação da ruptura.
Md < MU 10150,41 < 13359,18 KN x m
4,13500085,051,7999 CA
96
6.3 LONGARINA CENTRAL 6.3.1. DETERMINAÇÃO DA PROTENSÃO NECESSÁRIA Os dados conforme cálculo no item 1.6 são:
A = 1,25 m² Wi = 0,292 m³ Ws = 0,666 m³ Ki = 0,233 m Ks = 0,533 m³
yi = 1,32m ys = 0,58m Analisaremos a seção 5, que é a mais solicitada. Para esta longarina temos os seguintes esforços solicitantes:
Mg = 4560,75 KN x m
MQ + = 599,76 + 1486,13
MQ + = 2085,89 KN x m
Para a condição de protensão limitada, é preciso verificar se o pior caso ocorre com o carregamento quase permanente (CQP) ou com o carregamento freqüente (CF). Carregamento Quase Permanente (CQP) Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de descompressão, ou seja, a máxima tensão admissível à tração na peça é:
t = 0
O momento utilizado nesse caso é:
M = Mg + 0,3 x MQ +
M = 4560,75 + 0,3 x 2085,89
M = 5186,52 KN x m
A força de protensão necessária é dada por:
pi
iiCQP eK
WMP
Onde: M momento calculado para o carregamento quase permanente(KN x m); i tensão máxima permitida de tração nas fibras inferiores(KN/m²); Wi modulo de resistência à flexão das fibras inferiores(m³); Ki distância nuclear para as fibras inferiores(m); ep excentricidade da força de protensão em relação ao c.g. da seção(m).
97
O valor da excentricidade da protensão pode ser calculado do seguinte modo:
ep = yi – 0,15 ep = 1,32 – 0,15
ep = 1,17 m
Obs: Foi suposto que a distância da face inferior do conjunto até o centro de geométrico das armaduras é de 0,15m, ao final do cálculo se essa distância for maior que o arbitrado, devem ser refeitos os cálculos para a nova distância e verificar se ainda a peça ainda possui resistência adequada. Caso a distância seja menor que 0,15m não é necessária nenhuma verificação, pois isso resulta um braço de alavanca interno maior do que o arbitrado, ou seja, a favor da segurança. O cálculo do valor da força necessária de protensão é:
17,1233,0292,0048,5144PCQP
(5186,52-0*0,292)/(0,233+1,17)
PCQP = 3696,74 KN
Carregamento Freqüente (CF) Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de formação de fissuras, ou seja, a máxima tensão admissível à tração na peça é:
3 2t fck21,0
3 2t 3521,0
t = 2,25 Mpa ou
t = 2250 KN/cm²
O momento utilizado nesse caso é:
M = Mg + 0,5 x MQ +
M = 4560,75 + 0,5 x 2085,89
M = 5603,7 KN x m O cálculo do valor da força necessária de protensão é:
17,1233,0292,0225063,5830PCF
(5603,7-2250X0,292)/(0,233+1,17)
PCF = 3525,8 KN
Como o valor de PCF < PCQP, então o valor que deve ser utilizado para protensão é:
PCQP = P = 3696,74 KN
98
O valor calculado acima é o valor necessário para a força, porém sempre existe uma perda de aproximadamente 25%. Sendo assim, a força inicial com que deve ser protendida a viga é:
75,0PPINICIAL
75,055,3687PINICIAL (3696,74)/0,75 PINICIAL = 4929 KN
Iremos adotar cabos com 12 12,5mm, cujas características estão descritas abaixo. Tipo: CP 190 RB A = 0,987 cm² (área de 1 de 12,5mm) O valor da força que um cabo de protensão pode fornecer é:
Po = 12 x A x 0,77 x e Po = 12 x 0,987 x 0,77 x 190
Po = 1732,77 KN
O número de cabos necessários é:
O
INICIAL
PPn
77,173273,4916n (4929/1732,77) n = 2,84
Como precisamos de um número inteiro de cabos, poderiamos arredondar para o número inteiro mais próximo (3 cabos), mas como 2,83 está muito próximo de 3, pode ser que ao adotar 3 cabos, após todas as perdas, os mesmos não tenham eficiência em fornecer a força de protensão necessária. Portanto iremos adotar um cabo o seguinte número de cabos:
n = 4 cabos
99
6.3.2. DETALHE DO LANÇAMENTO DOS CABOS
DETALHE DA SEÇÃO CENTRAL
DETALHE DA SEÇÃO DO APOIO
DETALHE DA SAÍDA DOS CABOS NA SEÇÃO DO APOIO
100
DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEÇÃO CENTRAL
DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEÇÃO DO APOIO
101
6.3.3 PERDAS IMEDIATAS Todas as perdas imediatas acontecem em canteiro, onde a viga é protendida, portanto todas as características geométricas devem ser tomadas em relação a viga pré-moldada, conforme calculado em 1.1 6.3.3.1. PERDAS POR ATRITO EM CABOS PÓS-TRACIONADOS A força de protensão após as perdas por atrito é dada pela equação:
P = Po x (1 – · – k · x) Onde: coeficiente de atrito = 0,2 ângulo de saída do cabo em relação a horizontal (rad); k coeficiente de atrito por irregularidade do cabo = 0,002 m -1 x comprimento do trecho analisado. Para o cabo 1, após as perdas por atrito, a força de protensão é: Na posição x = 5,0m (posição do fim do trecho parabólico):
5002,0
18030,72,0177,1732P1
P1 = 1671,29 KN
Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):
15002,0
18030,72,0177,1732P1
P1 = 1636,63 KN
Para o cabo 2, após as perdas por atrito, a força de protensão é:
Na posição x = 7,5m (posição do fim do trecho parabólico):
5,7002,0
18087,102,0177,1732P2
P2 = 1641,03 KN
Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):
15002,0
18087,102,0177,1732P2
P2 = 1615,04 KN
102
Para o cabo 3, após as perdas por atrito, a força de protensão é:
Na posição x = 10,0m (posição do fim do trecho parabólico):
75,8002,0
18088,122,0177,1732P3
P3 = 1624,54 KN
Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):
15002,0
18088,122,0177,1732P3
P3 = 1602,88 KN
Para o cabo 4, após as perdas por atrito, a força de protensão é:
Na posição x = 10,0m (posição do fim do trecho parabólico):
10002,0
18064,152,0177,1732P4
P4 = 1603,52 KN
Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):
15002,0
18064,152,0177,1732P4
P4 = 1586,19 KN
A força total P antes da protensão era:
P = 4 x 1732,77
P = 6931,08 KN
A força total de protensão após as perdas por atrito é:
P = 1636,63 + 1615,04 + 1602,88 + 1586,19
PREDUZIDO = 6440,74 KN A perda representativa das forças de atrito é:
% perdas de atrito = 100P
PP
INICIAL
REDUZIDOINICIAL
103
% perdas de atrito = 10008,6931
74,644008,6931
% perdas de atrito = 7,07 %
6.3.1.2 PERDAS POR ACOMODAÇÃO DAS CUNHAS A perda por acomodação das cunhas é dada por:
0,006AE
)a(aΔP2a
AE2PP
211aXo 1
Onde: a1 posição do final do trecho parabólico, em relação ao apoio; Px=a1 força de protensão no final do trecho parabólico; E módulo de elasticidade do concreto = 19000 KN/cm²; A área de aço do cabo em análise = 12 x0,987 = 11,844 cm²; a2 posição da seção em estudo, em relação ao apoio; P perda de protensão (KN). Para o cabo 1:
0,006844,1190001
5)1(ΔP25
844,1190001229,167177,7321 1
P1 = 69,52 KN
Para o cabo 2:
0,006844,11900015)1(ΔP
27,5
844,1190001203,164177,7321 2
P2 = 44,14 KN
Para o cabo 3:
0,006844,11900015)1(ΔP
28,75
844,1190001254,162477,7321 3
P3 = 26,88 KN
Para o cabo 4:
0,006844,11900015)1(ΔP
210
844,1190001252,160377,7321 4
P4 = 3,85 KN
104
A força total P antes da protensão era: P = 6931,08 KN
A perda de protensão por cravação é:
PTOTAL = P1 + P2 + P3 + P4
PTOTAL = 69,52 + 44,14 + 26,88 + 3,85 PTOTAL = 144,39 KN
A perda representativa da cravação das cunhas é:
% perdas por cravação = 100PP
INICIAL
TOTAL
% perdas por cravação = 10008,6931
39,144
% perdas por cravação = 2,08 %
A perda total devido às forças de atrito e cravação das cunhas é:
% perdas por atrito + cravação = 7,07 + 2,08 % perdas por atrito + cravação = 9,15 %
6.3.3.3 PERDAS NA PROTENSÃO SUCESSIVA A perda de tensão na armadura por protensão sucessiva é dada por:
2n
1nσσαΔσ CPgP
Onde: perda de tensão na armadura (KN/m²); P relação entre o módulo elasticidade do aço de protensão e do concreto = 5,85; g tensão no c.g. da armadura devido ao peso próprio somente da longarina; cp tensão no concreto devido a protensão (KN/m²); n número de cabos. O valor de g é:
PVP
gog e
IM
σ )15,002,1(0,205
2165,63σ g g = 9190,70 KN/m²
O valor de cp é:
Ie
A1Pσ
2P
cp
0,2050,87
0,77135,2966σ
2
cp cp = - 31424,43 KN/m²
105
421443,3142470,919085,5Δσ
= - 48775,25 KN/m²
A perda por protensão sucessiva é:
PTOTAL = x A PTOTAL = - 48775,25 x 4 x 12 x 0,0000987
PTOTAL = 231,08 KN A perda representativa da protensão sucessiva é:
% perdas por protensão sucessiva = 100PP
INICIAL
TOTAL
% perdas por protensão sucessiva = 10008,693108,231
% perdas por protensão sucessiva = = 3,33 %
A perda imediata total é:
% perdas por atrito + cravação + protensão sucessiva = 9,15 + 3,33 % perdas por atrito + cravação + protensão sucessiva = 12,48 %
6.3.4. PERDAS LENTAS As perdas lentas possuem quatro origens:
- Retração no concreto; - Fluência no concreto; - Relaxação do aço; - Fluência da armadura de protensão;
A perda de tensão após todas as perdas lentas é dada por:
211
21
Δσ2
1000
1000,
C
P
CPP
PipigcPPCS
Ie
AA
E
onde: cs deformação de retração após a estabilização = - 0,00021 m/m/ c,pig tensão no concreto na posição da resultante da armadura de protensão; pi tensão na armadura devido a força de protensão após perdas imediatas; Ap área das armaduras de protensão; Ac área da seção composta (viga + laje).
106
O valor da protensão após todas as perdas imediatas é:
P = 1732,77 x 4 – 0,1248 x (1732,77 x 4) P = 6066,08 KN
O valor de c,pig é: Mg = 4560,75 KN x m (retirado da tabela 5.1)
c,pig = - 12541,41 KN/m² O valor de pi é:
A perda de tensão devido as perdas lentas é:
= - 216290,83 KN/m²
A perda lenta total é:
PTOTAL = x A PTOTAL = - 216290,83 x 4 x 12 x 0,0000987
PTOTAL = 1024,7 KN A perda lenta total é:
% perdas lentas = 100PP
INICIAL
TOTAL
% perdas lentas = 10008,693102,1089
(958,55/6931,08)
% perdas lentas = 14,78 %
386,0)15,032,1(08,6066
1,256066,08)15,032,1(
0,3864115,25σ
2
pigc,
IeP
APe
IM
σ2P
pg
pigc,
2pipi
Ppi KN/m02,2804121σ
0,00009871246066,08σ
APσ
22,21
386,017,1
25,110000987,012485,5
2059,01
059,002,12804122,276,1389185,51900000000021,0Δσ2
107
6.3.5 PERDAS TOTAIS A perda total é:
Perda Total = Perdas imediatas + Perdas Lentas Perda Total = 13,83 + 14,78
Perda Total = 28,61 % A força final de protensão na seção 5 após todas as perdas é:
P = 1732,77 x 4 – 0,2861 x (1732,77 x 4) P = 4948,1 KN
Conclusão: Como a força final de protensão após todas as perdas ainda é maior que a força de protensão necessária, esta protensão atende a protensão limitada.
P < P APÓS PERDAS
2696,74 < 4948,1
6.3.6 VERIFICAÇÃO DO ELU
Iremos adotar como armadura passiva 2 16mm. Força de protensão após perdas: P = 4948,1 KN (calculado no item 6.3.5) O aço de protensão já possui um pré-alongamento de:
0,0049 O momento de cálculo na ruptura é:
Md = 1,35 x 4560,75 + 1,5 x 2085,89 Md = 9285,85 KN x m
Fazendo a hipótese de que a peça está nos domínios 2 ou 3, então a armadura escoa, e a força no aço é:
FAÇO = 7999,51 KN
Para esta força a área de concreto necessária para equilibrar essa força é de:
FAÇO = F CON = Ac x 0,85 x fcd
005,0190000000
14120000987,0
90,49779,0
PRÉ
15,1190987,0124
15,15098,12 AÇOF
108
AC = 0,38 m² Área da laje = 2,40 x 0,20 = 0,48 m² (conclui-se que a área está dentro da laje)
0,38 = x’ x 2,40 x’ = 0,16 m
A verdadeira posição da linha neutra é:
x = 1,25 x 0,16 x = 0,20m
Considerando que o centro geométrico das armaduras continua no centro geométrico das armaduras de protensão, o que é a favor da segurança já que o braço de alavanca seria aumentado caso fosse calculado, pois a armadura passiva está mais abaixo da armadura de protensão), o braço de alavanca é:
Z = 1,90 – 0,15 – 0,5 x 0,16
Z = 1,67 m
Sendo assim o momento último resistente dessa viga é:
MU = FAÇO x Z MU = 7999,51 x 1,67
MU = 13359,18 KN x m Conclusão: Como o momento último resistente é maior que o momento último de cálculo a peça passa pela verificação da ruptura.
Md < MU 9285,85 < 13359,18 KN x m
4,13500085,051,7999 CA