MATEMATIKA- III
Oleh:Dr. Parulian Silalahi, M.Pd
Persamaan Diferensial Tak Homogen
http://matematikapolman.esy.es
PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK HOMOGEN
Bentuk Umum:
Y (n) + a1 Y (n-1) + a2 Y(n-2)+ … + a(n-1)Y1 + an Y = k(x)
Langkah penyelesaian:
1.Tentukan penyelesaian umum homogen
Yh = C1 U1(x) + C2 U2(x) + … + Cn Un (x)
2.Tentukan suatu penyelesaian khusus Yp terhadap persamaan tak homogen tersebut.
3.Tambahkan penyelesaian 1 dan 2, lalu nyatakan hasilnya.
Penyelesaian umum: Y = Yh + Yp
b. Metoda koefisien tak tentu.Perhatikan persamaan berikut:
Bentuk Umum : Y” + a1 Y’ + a2 Y = k(x) ……………(1)
Beberapa aturan untuk menentukan Yp
1.Aturan Dasar Jika k(x) dalam persamaan (1) merupakan salah satu fungsi yang terdapat pada kolom pertama pada tabel dibawah, pilih fungsi Yp yang bersesuaian dari kolom kedua dan tentukan koefisien tak tentunya dengan cara subsitusi Yp dan turunannya kedalam persamaan (1)
2. Aturan Modifikasi Jika k(x) merupakan penyelesaian persamaan homogen dari persamaan (1) maka kalikan Yp yang kita pilih dengan x (atau dengan x2, jika penyelesaian ini diperuntukkan bagi akar lipat dua persamaan bantu dari persamaan homogen.
3. Aturan PenjumlahanJika k(x) merupakan penjumlahan fungsi-fungsi yang berasal dari beberapa baris dalam kolom pertama pada tabel dibawah, maka pililah Yp yang berupa penjumlahan fungsi-fungsi dari baris yang bersesuaian pada kolom kedua.
Bentuk pada k(x) Pilihan Untuk Ypanxm + ….. + a1x + a0 An.xm + ….. + A1x + A0
a.emx Aemx
acosβx + b sin βx Acosβx + B sin βx
Contoh:Selesaikanlah persamaan diferensial tak homogen berikut:
1.y” + 4 y = 8 x2
2.y” + y = 2 e3x
3.y” -3y’ + 2y = 10 ex
4.y” + 3 y = cos 2x5.y” + 2 y’ + 5y = 16ex + sin 2x
1. y” + 4 y = 8 x2 ………… (1)
PDL Homogen
Persamaan bantu : r2 + 4 = 0 r1,2 = ± 2i
y” + 4 y =0
Penyelesaian umum homogenYh = C1 cos 2x + C2 sin 2x
Fungsi percobaan: y = Ax2 + Bx + C y’ = 2 Ax + B y” = 2A
Subsitusi ke persamaan (1) diperoleh:2A + 4(Ax2 + Bx + C) = 8 x2
2A + 4 Ax2 + 4 Bx + 4C = 8x2
4A = 8 A = 24B = 0 B = 02A + 4C = 0 4 + 4C = 0 C = -1
Penyelesaian khususYp = 2x2 – 1Penyelesaian umumY = Yh + YpY = C1 cos 2x + C2 sin 2x + 2x2 -1
2. y” + y = 2 e3x …………….. (1)PDL Homogen y” + y = 0Persamaan bantu: r2 + 1 = 0 r2 = -1 r1,2 = ± i
Penyelesaian umum homogenYh = C1 cos x + C2 sin x
Fungsi Percobaan:Y = A e3x
Y’= 3A e3x
Y” = 9 A e3x …………….(2)
Subsitusi persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh:9 Ae3x + A e3x = 2 e3x
10 A e3x = 2e3x 10 A = 2 A = 1/5Penyelesaian khususYp = 1/5 e3x
Penyelesaian umumY = Yh + YpY = C1 cos x + C2 sin x + 1/5 e3x
3. y” – 3 y’ + 2y = 10 ex
PDL Homogen: y” – 3 y’ + 2y = 0Persamaan bantu : r2 – 3r + 2 = 0 (r-1)(r-2) = 0 r1 = 1 v r2 = 2Penyelesaian umum homogenYh = C1 ex + C2 e2x Fungsi percobaan:Karena k(x) = 10 ex, dan koefisien pangkat dari eksponen adalah 1 dan sama dengan salah satu akar dari persamaan bantu, maka bentuk fungsi percobaan adalah: Y = Ax.ex
Dari : Y = Ax.ex Y’ = A(xex + ex)Y” = A(xex + 2ex) ………………………. (2)Subsitusi persamaan (2) ke (1)A(xex + 2ex) -3A(xex + ex) + 2Axex = 10 ex
Axex + 2Aex -3Axex -3A ex + 2Axex = 10 ex
- Aex = 10 ex A = -10Penyelesaian khususYp = -10x.ex
Penyelesaian umumY = Yh + Yp Y = C1 ex + C2 e2x -10xex
4. y” + 3y = cos 2x ....…. (1)PDL Homogen: y” + 3 y = 0Persamaan bantu : r2 + 3 = 0
r1,2 = ± iPenyelesaian umum homogenYh = C1 cos x + C2 sin xFungsi Percobaan:Y= A cos 2x + B sin 2xY’ = -2A sin 2x + 2B cos2xY” = -4A cos 2x – 4B sin 2x …….. (2)
3
33
Subsitusi persamaan (2) ke (1)-4A cos 2x – 4Bsin2x+3(Acos2x+Bsin2x) = cos2x-4A cos 2x – 4Bsin2x+3Acos2x+3Bsin2x) = cos2x- A = 1 A = -1- B sin 2x = 0 B = 0Penyelesaian khususYp = - cos 2xPenyelesaian umumY = Yh + YpY = Yh = C1 cos x + C2 sin x - cos 2x
3 3
5. Y” + 2 Y’ + 5Y = 16 ex + sin 2x ……….. (1) PDL Homogen : Y” + 2 Y’ + 5Y = 0Persamaan Bantu : r2 + 2r + 5 = 0
ir 212
20422,1
Penyelesaian Umum HomogenYh = C1 e-x cos 2x + C2 e-x sin 2x
Fungsi Percobaan :Y = Aex + B cos 2x + C sin 2xY’ = A ex – 2 B sin 2x + 2C cos 2xY” = Aex – 4B cos x - 4C sin 2x …….. (2)
Subsitusi persamaan (2) ke (1)Aex – 4B cos 2x – 4C sin 2x + 2(Aex-2B sin 2x + 2C cos 2x) + 5(Aex + B cos 2x + C sin 2x) = 16 ex + sin 2x8Aex + (B + 4C) cos 2x + (C-4B) sin 2x = 16 ex + sin 2x8A = 16 A = 2
B + 4c = 0 x1 B + 4C = 0 -4B + C = 1 x4 -16 B + 4C = 4 -
17 B = - 4 B = -4/17 C= 1/17
Penyelesaian khususYp = 2ex – 4/17 cos 2x + 1/17 sin 2x
Penyelesaian umumY= Yh + YpY = C1 e-x cos 2x + C2 e-x sin 2x + 2ex – 4/17 cos 2x + 1/17 sin 2x
TERIMA KASIHSelamat Belajar
http://matematikapolman.esy.es/