Reg. Automática II 1
REGULACIÓN AUTOMÁTICA IICurso 10/11
Profesor: Pablo San Segundo
Despacho: C-206
Tutorías: Lunes 15:30h-17:30h
Martes 10:00h-12:00h
Coordinador: Prof. Roberto González
Reg. Automática II 2
HOJA DE CURSO CONTROL Y EVALUACIÓN
• Laboratorio: 25%
• Examen teórico: 75 %
• Trabajo voluntario: Máxima puntuación 1,5 puntos (mínimo de 4 en la nota de teoría)
LABORATORIO
• Ya es posible apuntarse a los laboratorios (secretaría dpto.)
• Los alumnos suspensos en años anteriores pueden repetir las prácticas si lo desean.
Reg. Automática II 3
INTRODUCCIÓN
SISTEMAS OBJETO DE ESTUDIO
• LTI: Linear Time Invariant
Modelos-S con funciones racionales de coeficientes constantes
• SISO: Single Input Single Output
Una sola entrada y una sola salida
• Realimentación
OBJETIVOS DE LA COMPENSACIÓN (en este curso)
Para un sistema genérico dado (conocido su modelo matemático o no) conseguir que la salida del sistema siga a una entrada de referencia con un comportamiento controlado (especificaciones de diseño).
• Se realimenta el sistema con la salida
• Se añade un componente de compensación que actúa sobre la señal de error
• El control se puede realizar mediante computador
Reg. Automática II 4
ESQUEMAS DE COMPENSACIÓN (SISO)
Gc Gp
H
+
-
Uref y yGc Gp
H
+
-
Uref+
+
P
Clásico con perturbaciónClásico
yGc2 Gp
H
+
-
Uref+
+
PGc1
+
Prealimentación
Gc1 Gp
H
+
-
Uref+
+
P
Gc2
+
Paralelo
Reg. Automática II 5
TÉCNICAS DE DISEÑO DE COMPENSADORES CLASIFICACIÓN
• Métodos experimentales: No se conoce el modelo analítico
Compensación PID mediante método Ziegler-Nichols
• Métodos no experimentales: Se conoce el modelo analítico
Síntesis: A partir de un modelo parametrizado en cadena cerrada se deduce la forma del compensador.
– Compensadores muy complejos (típicamente control por computador)
– Truxxal
Análisis: A partir del modelo en cadena abierta (planta) y unas especificaciones de diseño en el tiempo o en la frecuencia se obtienen unos parámetros prefijados del compensador
– Compensación PID-especificaciones de diseño: 90-95% de los compensadores industriales
Reg. Automática II 6
EJERCICIO DE EXAMEN
Febrero 2007
Reg. Automática II 7
EJERCICIO EXAMEN
A) Equivalente discretoPlanta: Gp(s)
1 0( )1 0
G ss
=+
0.6321( )0.3679
G zz
=− pTe−
Respuesta del sistema controlado por computador en cadena abiertaante entrada escalón unitario
TIEMPO DE MUESTREO INCORRECTO!
Reg. Automática II 8
EJERCICIO DE EXAMEN
Febrero 2007
Reg. Automática II 9
EJERCICIO EXAMEN
B)Gc(Z)
-
{Uk}+
0.06321( )( 0.3679)( 0.9)
G zz z
=− −
{yk}
LUGAR DE LAS RAICES DIRECTO(COMPENSADOR PROPORCIONAL)
Reg. Automática II 10
EJERCICIO DE EXAMEN
Febrero 2007
Reg. Automática II 11
EJERCICIO EXAMEN
11 1 0,751 3 (1)pe
G− = − =
+ ⋅
C)K=3
-
{Uk}+
0.06321( )( 0.3679)( 0.9)
G zz z
=− −
{yk}
11p
p
eK
=+
Respuesta en cadena cerrada {yk} para K=3
Reg. Automática II 12
PARÁMETROS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
2
5( )2 5
G ss s
=+ +
21100 100tgpM e e
ξ ππξθ
− ⋅−−= ⋅ = ⋅
pd
tWπ
=
(0 )2r
d
tW
πθπ θ<
−<=
Plano S
j
Wd
Re[S]
nwσ ξ= ⋅
θ
cos 0ξ θ= =
cos 1ξ θ= =
2
2 2( )2
n
n
wG ss s wσ
=+ +
nW
(0 )0, 4st ξπσ
< <≅º º66 0( )9θ< <
(0) 1G =
2p
r
tt =
Reg. Automática II 13
EJERCICIO LDR
K
-
2
2
( 1)( )2 2
sG zs s
+=
+ +
+ yrefUref
LDR DIRECTO LDR INVERSO
K=?
Reg. Automática II 14
EJERCICIO LDR
C)K
-
2
2
( 1)( )2 2
sG zs s
+=
+ +
+ yrefUref
LDR INVERSO
K=?
2
(1 ) (1 )( )
1
dp s j s jI K
dz s+ + + −
= =+
∏∏
( ) 1 , 1II s jγ γ= − + < < ∞
( ) ( )De I y II2
2 2
2
2
( 1) ( 1) 1
1lim 1
dp j jK
d
K
z
γγ
γ γ γγ γ
γγ →∞→∞
+ − −
=
= = = ⇒
−⇒ =
∏∏
Reg. Automática II 15
PARÁMETROS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
10( )( 1)( 2)( 3)
G ss s s
=+ + +AB=Ancho de Banda
Margen de faseγ =
Margen de gananciagK =frec. cruce de fasefw =
frec. cruce de gananciagw =
180 ( ( )gFase G jwγ = −
Reg. Automática II 16
PARÁMETROS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA (II)10( )
( 1)( 2)( 3)G s
s s s=
+ + +
º90γ = +
gK fw
gw
5(0)3
G =
10 ?( 1)( 2)( 3)s s s
γ⎛ ⎞
=⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
10 ?( 1)( 2)gKs s
⎛ ⎞=⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
Reg. Automática II 17
CÁLCULO DEL MARGEN DE FASE)10 ?
( 1)( 2)( 3)s s sγ⎛ ⎞
=⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
2 2 2 2 3
2
2 2
2 2 2
1
10( ) 1 1 10 ( 1)( 2)( 3)( 1)( 2)( 3)
10 (2 2 )(3 ) 10 6 2 3 6 2 3
( )
( ) :100 36(1 ) (11 ) por tante
0 6(1
1o /
) (11 )
g g g g
g g g g g g g g g g
g g
g
g g g
g
g
G jw jw jw jws s s
jw jw w jw jw jw w jw w w jw
I
Dew ra
w
d sw
w
Iw gw
jw
= ⇒ = ⇒ = + + + ⇒+ + +
⇒ = + + − + ⇒ = + + − +
= −
− − − ⇒
⇒
= − + − =
+ −
01
. . ( )( )'( )m m
o
Metodo N R raices realesp x
x xp x+ = −A)Cálculo de gw
B)Cálculo de γ
º
10 10180 ( ) 180( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)
180 ( (1 ) (2 ) (3 90))
gG jws s s j j j
j j j
γ⎛ ⎞
= − ∠ = − ∠ =⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠= − ∠ + +∠ + +∠ + =
Reg. Automática II 18
ZONAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA10( )
( 1)( 2)( 3)G s
s s s=
+ + +
gw
5(0)3
G =
BAJAS FRECUENCIAS
MEDIAS FRECUENCIAS
ALTAS FRECUENCIAS
Reg. Automática II 19
PARÁMETROS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA (III)
2
10( )2 10
G ss s
=+ +
Pico de resonanciarM =
frecuencia de resonanciarW =
45º 90º 0 0,707
Resonancia en sistemas de segundo orden
θ ξ< < ≡ < <
10 3,16n dW W= >
3 2,83dW =
(0 0,707)r dW W ξ< <
S. SUBAMORTIGUADOS
71ºθ ≅
r d nW W W< <
?γ =
Reg. Automática II 20
RELACIONES DOMINIOS FRECUENCIA-TIEMPO
Osc./Rapidez
( ) ( 27º , 46%)75 p
tgp MM e
πθ γγ
−
> <= − AMORTIG./Osc.
,ξ θ
º º(0 0, 707) (45 90 )100 ξ θγ ξ < < < <≅ AMORTIG./Osc.
Estab.
,ξ θ
12rMξ r dw w gK AMORTIG./Osc.
,ξ θ
Estab.
1 (0 1)2 r
ABt
ξ< < gW RAPIDEZpd
twπ
=respuesta
2( )s
gwt
tgπ πσ γ
≅ ≅⋅
RAPIDEZreg. permanente
estabiliza.
Reg. Automática II 21
PARÁMETROS RAZONABLES COMO OBJETIVO
TIEMPO
FRECUENCIA
Re[S]
Im[S]
0,7074,3
100 0º%
7Mpξ
γ ξ=
≅ =
=
0,335%
100 30ºMpγ
ξ
ξ
==
≅ =
45ºθ =71,5ºθ =
d rW W≅rapidez respuesta (tp)
σ
ESTABILIDAD
0, 1gKγ > >
Polos cad.cerradasemiplano negativo en S
Polos dominantescadena cerrada
tiempo estabilizarse(ts)
45º 75 80ºpMγ< ≅ − <
,ξ θacotación Mr (oscilación)11 32rdB M dBξ
< ≅ <
: 20gW Zona de caida dB− , Sistema más rápidogw AB↑ ↑
Reg. Automática II 22
RESUMEN CUADRO PARÁMETROS
REGIMEN PERMANENTE
1 1 11 v a
p v a
ep e eK K K
= = =+
Precisión
2( )s
g
tw tg
π πσ γ
≅ ≅⋅
Rapidez(*) respuesta
, ?g sw tγ↑ ↓⇒ =
Tiempo establecimiento
REGIMEN TRANSITORIO
, , , ,p rM Mθ ξ γpicos de oscilaciones
Amortiguamiento
, , , ,p d r gt AB W W Wrespuesta
Rapidez(*)
, ( , )g g fK w wγESTABILIDAD
Reg. Automática II 23
,gW γCALCULO DE PARÁMETROS3( )
( 1)( 2)G s
s s=
+ +4 25 5 0 (0.9242 / )g gw w rad s+ − =Calcular Wg para
180 [arctan( ) arctan( )]2
gg
wwγ = − +
3( )( 1)( 2)
G ss s
=+ +γ paraCalcular
( )( ) ?3
G sγ =
Reg. Automática II 24
COMPROMISO ESTABILIDAD-PRECISIÓN
10( )( 1)( 2)( 3)
G ss s s
=+ + +
Ku(t) y(t)
ESTABILIDAD
Si K aumenta el sistema es más inestable, pero también más rápido (Wd ), más oscilatorio (menos amortiguado) y tarda más en establecerse (ts )
( )( )1 ( )
KG sM sKG s
=+
( ) 1 ( ) 1G s M s⇒ →En el permanente
10 101 3 3 56 6p pK K K K= ⇒ = = ⇒ = ⋅ =
1 luegosi ,1p p p
p
e K eK
= ↑ ↓+
PRECISIÓN
↑
↓
Reg. Automática II 25
COMPROMISO ESTABILIDAD-RAPIDEZ
10( )( 1)( 2)( 3)
G ss s s
=+ + +
Ku(t) y(t)
K=1:LDR? K=3:LDR? ,gW γ↑ ↓
Precisión ↑
K=3: MAS RAPIDO PERO MAS INESTABLE
Reg. Automática II 26
COMPENSACIÓN PID IDEAL
PIDUref(s) y(t)
H(s)
G(s)e(s) u(s)
-
( )( ) [ ( 1) ( ) ]i o
d
td e tu t e t e t d td t
TKT
= + + ∫
0 Acción Derivativa NulaAcción Integrado( 4)
ra Nula
d
d
i
Ti T Ziegler Nichol x
TT
s−
== ∞Acción
Proporcional
Acción Derivativa
( ) 1( ) (1 )( ) d
i
u sP I D s K T se s T s
= = + +
Acción Integradora
Reg. Automática II 27
ACCIÓN PROPROCIONAL
( ) [ ( ) ]u t e tK=K
Uref(s) y(s)
H(s)
G(s)-
e(s) u(s)
PRECISION AMORTIGUAMIENTO
RAPIDEZ ESTABILIDAD
↑ ↓
↑ ↓
10( )( 1)( 2)( 3)
G ss s s
=+ + +
RAZONAR L.D.R. CON
Reg. Automática II 28
ACCIÓN PROP. DERIVATIVA (PD)
Uref(s) y(t)
H(s)
G(s)-
e(s) u(s) ( ) (1 )( )
du Ks se s
T= +(1 )K sTd+
Dom. Temporal
MEJORA RÉGIMEN TRANSITORIO: MÁS RÁPIDO y MÁS ESTABLE
1 ( 4)4
PD s= +2( )
( 1)( 2)G s
s s=
+ +
2( )( 1)( 2)
G ss s
=+ +
Reg. Automática II 29
ACCIÓN PROP. DERIVATIVA (PD)
( ) (1 )( )
du Ks se s
T= +
Dom. Frecuencia
(K=2, Td=1s)
1 1 /d
rad sT
=
Zona Medias FrecuenciasAportación de FASE +90º
Zona Altas Frecuencias Amplificación ruido
Red Adelanto de fase (RAF)
¿Cuál está mejor compensada?
8 º76º 3γγ ==
16( )( 1)( 2)( 3)
G ss s s
=+ + +
1( ) (1 ) 3,11 /gC s s w rad s= + =
2 ( ) (2 ) 2 /gC s s w rad s= + =
1,57 /gw rad s=
Reg. Automática II 30
ACCIÓN PROP. DERIVATIVA -REAL
( ) (1 )( )( ) 1
u s sC s Tr Tde s
TdKTs r
+ ⋅= = <
+ ⋅
Red Adelanto de fase Real (RAF)u(t)
∞
t
u(t)
t
d
r
TKT
LDR Polos Dom.
Re
Im
1
rT1
dT
Acción PD
Zona de frecuenciasmedias de cad. cerrada
1 (1 )C s= +
2(1 )(5 )
sCs
+=
+
1
dT1
rT
COMPENSADOR CAD. ABIERTA
Reg. Automática II 31
ACCIÓN PROP. INTEGRADORA (PI-IDEAL)
1( ) 1(1 ) ( )( ) i
i
i
TK KT
su se s s s T
+ ⋅= + =
⋅ ⋅
Red Retraso de fase (RRF) 1( ) 2( )( ) 4
su sC se s s
+= =
⋅
1 0.5 /i
rad sT
=•Trabaja en módulo
•Hace al sistema más lento
•Mejora el permanente
•Redes pasivas (RC)
•Sistema más estable
•Saturación actuadores
LDR Polos Dom.
Re
Im
1
iT
Acción PI Ideal
Zona de Bajas frecuencias de la cadena cerrada
Reg. Automática II 32
ACCIÓN PROP. INTEGRADORA (PI-IDEAL)
1( ) 1(1 ) ( )( ) i
i
i
TK KT
su se s s s T
+ ⋅= + =
⋅ ⋅
Red de Retraso de Fase (RRF) 1( ) 2( )( ) 4
su sC se s s
+= =
⋅
33,75( )( 2)( 3)( 4)
G ss s s
=+ + +
CADENA ABIERTA
( )G s
( ) ( )C s G s⋅
0,19 /gw rad s=
1,37 /gw rad s=
, 100ºgw Cteγ↓ =
( ) ( )G s G s⋅
CADENA ABIERTA
Reg. Automática II 33
ACCIÓN PROP. INTEGRADORA (PI-REAL)
1( ) ( )( ) 1
i
n
TKuT
sse s s
+ ⋅=
+ ⋅
Red de Retraso de Fase real (RRF)
•Físicamente implementable (Redes pasivas)
•Evita inestabilidad polo origen
1 5( ) 101 50
sC ss
+=
+
33,75( )( 2)( 3)( 4)
G ss s s
=+ + +
Demasiado lento!
Tn=50s Alto
Resp. Cad. Cerrada
Reg. Automática II 34
ACCIÓN PROP. INTEGRADORA (PI-REAL)
1( ) ( )( ) 1
i
n
TKuT
sse s s
+ ⋅=
+ ⋅
Red de Retraso de Fase real (RRF)
LDR Polos Dom.
Re
Im
1
iT
Acción PI Real
1
nT33,75( )( 2)( 3)( 4)
G ss s s
=+ + +
(1 5 )( ) 10(1 12,5 )
sC ss
+=
+
Resp. Cad. Cerrada
Tn=12,5s OK
Reg. Automática II 35
ACCIÓN PID IDEAL / REAL
(1 . )(1 )( )( ) id
d i
i
T TK s su s T Te s T s
+ + ⋅= <<
⋅PID IDEAL
PID REAL(1 . )(1 )( )
( ) (1 )(1 )d i
r d i nr n
T TK s su s T T T Te s T s T s
+ + ⋅= < << <
+ ⋅ + ⋅
Acción PID Real
LDR Polos Dom.
Re
Im
1
iT1
nT1
dT
1
rT
Reg. Automática II 36
EJERCICIO-DISEÑO PIDDom. Tiempo
PIDUref(s) y(t)
-
e(s) u(s)( )G s
2st s≤
25%pe ≤
25%pM ≤
Caso A
2st s≤
10%pM ≤
Caso B
2st s≤
0pe =
10%pM ≤
Caso C
Espec. Permanente
Espec. Transitorio
Aumentar el orden Cad. Abierta
Reg. Automática II 37Dom. Tiempo
EJERCICIO-DISEÑO PID1( )
( 1)( 2)G s
s s=
+ +
CASO A
25%pe ≤
PERMANENTE
2st s≤
25%pM ≤
TRANSITORIO
1,57 /ss
t rad st
π πσσ
= ⇒ = ≥
( ) atan( ) 66,2ºln( )
tgp
p
M eM
πθ πθ
− −= ⇒ = ≤
1 1 31p p
p
ee KK e
−= ⇒ = =
+
Zona Plano Complejo
7 /1, rad sσ =
65ºθ =
4 20%p pK e= ⇒ = 9 10%p pK e= ⇒ = 19 5%p pK e= ⇒ =
Re
Im
1,7
65º
S∆3,64
2 2 2 21 2 0,5 3,64 0,5 3,64 13,5p pK d d= ⋅ = + +
0
13,5lim ( ) 6,252
13%pp sK K G es
→= ⋅ = ⇒
Tanteo compensador K ( 1,5 / )rad sσ
SUFICIENTE-> C(s)=13,5
Reg. Automática II 38Dom. Tiempo
EJERCICIO-DISEÑO PID1( )
( 1)( 2)G s
s s=
+ +
CASO A
Zona Plano Complejo
2st s≤
25%pe ≤
10%pM ≤
1,57 /ss
t rad st
π πσσ
= ⇒ = ≥
( ) atan( ) 53,76ºln( )
tgp
p
M eM
πθ πθ
− −= ⇒ = ≤
1 1 31p p
p
ee KK e
−= ⇒ = =
+
7 /1, rad sσ =
50ºθ =
PERMANENTE
TRANSITORIO
Re
Im
1,7
50º
S∆2
Tanteo compensador K 2 2 2 21 2 0,5 2 0,5 2 4,25p pK d d= ⋅ = + + =
( 1,5 / )rad sσ
02,1lim ( )
22p s
KK K G s→
= ⋅ = INSUFICIENTE
TANTEAR PI
Reg. Automática II 39Dom. Tiempo
EJERCICIO-DISEÑO PD-IDEAL1( )
( 1)( 2)( 3)G s
s s s=
+ + +
CASO B
Zona Plano ComplejoTRANSITORIO
50ºθ ≤7 /1, rad sσ > 2 /dW rad s2st s≤ 10%pM ≤
S∆
-1-2
(-1,7+2j)
-3
βa
1α2α3α
1pd2pd3pd1zd
Aporte de fase (RAF)
( ) ( )C s K s a= +
1 2 3
1
5,07p p p
z
d d dK
d⋅ ⋅
= =
Ajuste K
C(s)= 5,07(s + 2,51)SOLUCION
1
1 2 3 2
3
2180 atan( )0,7
2180º ( ) 67,7º0,32( )
1,3
tg
tg
α
α α α β α β
α
⎧ − =⎪⎪⎪+ + − = = ⇒ =⎨⎪⎪
=⎪⎩
2( )1,7
2,51 /a rad stga
β = ⇒ =−
Ajuste β
0
1lim ( ) ( ) 5,07 2,51 2,126p s
K s a GK s→
+ = ⋅ ⋅ ==Baja Precisión
Reg. Automática II 40Dom. Tiempo
EJERCICIO-DISEÑO PD-REAL1( )
( 1)( 2)( 3)G s
s s s=
+ + +
CASO B
( ) s aGc s Ks b+
=+
Zona Plano ComplejoTRANSITORIO
50ºθ ≤7 /1, rad sσ > 2 /dW rad s2st s≤ 10%pM ≤
1 3 2,11 2,38 6,31 31,641
p p pbd d dK
⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ ≅
Ajuste K
S∆
-1-2
(-1,7+2j)
-3
ϕ
b1α2α3α
1pd2pd3pdpbd
Aporte de fase (RAF)
Máximo 60º
a
Ajuste β
1
1 2 3 2
3
2180 atan( )0,7
2180º ( )0,32( )
1
7,7º
,3
6tg
tg
α
ϕ α α α α ϕ
α
⎧ − =⎪⎪⎪− − − = = ⇒ =⎨⎪⎪
=⎪⎩
2 2arctan( ) arctan( )1,7 1,7
7,82 / secb ada
rb
ϕ = + → =− −
SOLUCION2( ) 31,64
7,68sGc s
s+
= ⋅+
60º<
Reg. Automática II 41
EJERCICIO-DISEÑO PI1( )( 1)( 2)
G ss s
=+ +
Caso CDom. Tiempo
2st s≤ 10%pM ≤
Zona Plano Complejo
5 /1, rad sσ 50ºθ =TRANSITORIO
2 /dW rad s
0pe =
PRECISIÓN'(1 ) ( )Tanteo on ( )Ic :P i
i
T s s bC s K KT s s+ +
= =
Ajuste ( )i DécadaT1,5 0,15 /
10 10b rad sσ= = =
3 3'1 2
1 1
4,25 4,3p pp p
z z
d dK d d
d d= ⋅ = ⋅
'Ajuste KRe
ImS∆ 2
1,57 1,5 /rad s
1
i
bT=-1-2
1pd2pd3pd
1zd
SOLUCION( 0,15)( ) 4,3 sC s
s+
= 1
Reg. Automática II 42
EJERCICIO-DISEÑO PI-IDEAL
1( )( 1)( 2)pG ss s
=+ +
Dom. Tiempo
Re
ImS∆ 2
1,57 1,5 /rad s
1
i
bT
=-1-2
1pd2pd3pd
1zd
Respuesta en cadena cerrada
( 0,15)( ) 4,3 sC ss
+=
Ajuste Ti Década
1,5 0,15 /10 10
b rad sσ= = =
NO CUMPLE ESPECIFICACIONES
Reg. Automática II 43Dom. Tiempo
EJERCICIO-DISEÑO PID-IDEAL1( )
( 1)( 2)( 3)G s
s s s=
+ + +
Caso C
Zona Plano Complejo
2st s≤ 10%pM ≤ 7 /1, rad sσ > 50ºθ ≤
S∆
21
21
4 1,75,07 54 1,53
,25pPD
z
dK K
d+
= = ⋅+
2 /dW rad s
-1-2
(-1,7+2j)
-3
βa
1α2α3α
0pe =
-0.17
1pd1zd
Calculado previamente en el
tanteo del PD
( 2.51( ) )( 0.17)5,25C s ss
s =+ +
SOLUCION
Efecto Polo Dom. en el origen
Reg. Automática II 44
EJERCICIO-DISEÑO PID-IDEAL(1 0, 5,192. 42( 8 )(1 )) s sC s
s+ +
=(1 0,4 )( 2,511 1 )( ) s sC s
s+ +
=
(1 0,4 )( 1,411 1 )( ) s sC ss
+ += (1 0,4 )( 1,111 1 )( ) s sC s
s+ +
=
Reg. Automática II 45Dom. Tiempo
EJERCICIO-DISEÑO PID-REAL1( )
( 1)( 2)( 3)G s
s s s=
+ + +
2st s≤ 10%pM ≤ 7 /1, rad s
Zona Plano Complejo
σ > 50ºθ ≤
S∆
2 /dW rad s
-1-2
(-1,7+2j)
-3 a1α3α
5%pe ≤
-0.21
1pd1zd
( ) s a s cGc s Ks b s d+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
231,647,6
)8
(Gc s R F ss
A +⋅+
=
b c
0lim ( ) ( ) 19 19 19 2,30p c ps
a c c bK G s G s kb d d a k→
= = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ =⋅
0, 211,7 /8
rc ad seg= ≅
Octava 00,21 /2,30
,09d rad seg=
d
1
1
32pPD
z
dK K
d= ≅
SOLUCION
2 0,21( ) 327,68 0,09
s sGc ss s
+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Caso A
PD que ajusta transitorio
_2( ) 31,64
7,68PD REALsGc s
s+
= ⋅+
Reg. Automática II 46
DISEÑO RAF (PD)1
1( ) ( 1)1 0,071c c c
s sTTG s K Ks Ts
T
α αα
α
+ += = ⋅ ⋅ < <
++
Dom. Frecuencia
Razones de diseño 60ºmφ0,1 55ºmα ϕ= → ≅
1 1( 3 0 , 0 7 1 4 , 3 )cKT
αα
= = =
1 3 / secradT= 1 42,86 / secrad
Tα=
60ºmφ1( )1msen αφ
α−
=+
20log( )cK α
20log( )cK
1 14,3α
1 11,33 /mw rad sTα
= =⋅
1 3,78α
Reg. Automática II 47Dom. FrecuenciaDISEÑO RAF (PD)
PDUref(s) y(t)
H(s)
G(s)-
e(s) u(s)
1) Determinar regulador P y cK α⋅
, del conjunto ( ) ( )g g c pw K G jw H jwγ α⋅ ⋅
2) Determinación de la aportación de fase de la RAF
_ _m deseada antes de compensar MSEGφ γ γ= − +Margen de Seguridad
5º
3) Determinación de ' 1del conjunto ( ) ( )1g c p
jwTW K G jw H jwjw T
αα
++
1( )1msen
αφ α−
=+
'' '( ) ( ) 1c p g gg gK G jw H jw w wα α α⋅ ⋅ ⇒ >= <
Compensa variación de modulo de RAF4) Determinación de T
''
1 1g
g
w TT wα α= ⇒ =
⋅
Reg. Automática II 48
JUSTIFICACIÓN MARGEN DE SEGURIDAD (RAF)
1 1,5 0α
= >
gw 'gw
'g gw w>
10( )( 1)( 2)( 3)
G ss s s
=+ + +
15( )( 1)( 2)( 3)
G ss s s
=+ + +
Trabaja en fase
Reg. Automática II 49
EJEMPLO RAF
8,17 ( )Gp s⋅
1 2,178,17 ( )1 1,27
jw Gp sjw
⎡ ⎤+⎢ ⎥+⎣ ⎦
( )Gp s
Regulador P - Precisión
Cadena Abierta sin compensar
Cadena Abierta compensada
gw'gw'' 0,65 /0, / gg ww r rad seg ad seg== <
''gw
'' ' ( )g gw w Caida α≅
Anula incremento de modulo que da el compensador
LEYENDAS
' '' 0,6 0,57 // 1gg ww r rad seg ad seg≅ ==
'm gwφ α→ →ITERACIÓN
Reg. Automática II 50
EJEMPLO RAF (Célula Peltier)
11% 65ºpe γ<0 0 4 50 0 7 0 5 2 5
A C O N D
C O N T R O L ( S )
u ( s ) ,G p( s )u ( s , )( s , )
= =+ +
1H ( s ) =
1) Determinar regulador P y cK α⋅
, del conjunto ( ) ( )g g c pw K G jw H jwγ α⋅ ⋅
1 1 (0) 10 8 710 ,1p c p cp
KK K Ge
α α= ⇒ =− ⇒ =1( )
(1 14, 29)(1 1.9)0
c pK G jwjw jw
α⋅ ⋅ =+ +
0.5 /54,3º
gw rad segγ==
⎧⎨⎩
2) Determinación de la aportación de fase de la RAF
65º 54,3º 1º 5º5mφ = − +1( ) 0,071
0,588msen αφα
α =−
= ⇒ >+
Válido RAF
3) Determinación de ' 1del conjunto ( )1g c p
jwTW K G jwjw T
αα
++
' '( ) 0, 76 0,6 /c p g gK G jw w rad segα α⋅ ⋅ = = ⇒ =
' 0.6 / 0.5 /g gw rad seg w rad seg= > =
4) Determinación de Tzero
''
1 1 2,17g zerozero g
w T sT wα α
= ⇒ = =⋅
1, 27polo zeroT T sα= =1 2,17( ) 8,171 1,27
jwGc sjw
+=
+
Reg. Automática II 51
DISEÑO RRF (PI)
1
11( ) ( )1 1c c c
s sTTG s K Ks Ts
T
ββ
β
β+ +
= = ⋅ ⋅+
>+
Dom. Frecuencia
1 1( 1 / 1 0 0 .1)cr a d s e g KT
ββ
= = = =
20log( )cK β
20log( )cK
1 0,1β=
Diseño: Redes pasivas
Zona donde se sitúa la Wg del conjunto compensado
1 1 / secradT=
1 0,1 / secradTβ=
Década
Reg. Automática II 52'gw
Dom. FrecuenciaDISEÑO RRF (PI)
PIUref(s) y(t)
H(s)
G(s)-
e(s) u(s)
cK β⋅1) Determinar regulador P y , del conjunto ( ) ( )g g c pw K G jw H jwγ β⋅ ⋅
2) Determinar w’g que consigue ' 'para el conjunto ( ) ( )deseada c p g gK G jw H jwγ β⋅ ⋅
180' 'c p g g deseada( K G ( jw )H( jw ) MSE) º Gβ γ∠ ⋅ ⋅ = − +
125
OctavaDécada
MSEG ºMSEG º
→⎧⎨ →⎩
3) Obtención Wzero8
10
'g
zero
'g
zero
wOctava w
wDécada w
⎧→ =⎪⎪
⎨⎪ → =⎪⎩
β4) Obtención nivel de atenuación' '( ) ( ) ( 0)c p g gK G jw H jwβ ββ⋅ ⋅ = >
5) Obtención Wpolozero
polowwβ
=
'gw
'g gw w<
Reg. Automática II 53Trabaja en móduloJUSTIFICACIÓN RRF
50( )( 1)( 2)( 3)
G ss s s
=+ + +
12,5( )( 1)( 2)( 3)
G ss s s
=+ + +
(Atenuación 25%)
1 0.25 27,72dBβ= = −
4β =
Compensador
' (Planta+Comp)gw
Desfase negativo
Reg. Automática II 54
EJEMPLO RRF
5 ( )Gp s⋅
1 165 ( )1 123
jw Gp sjw
⎡ ⎤+⎢ ⎥+⎣ ⎦
( )Gp s
Regulador P - Precisión
Cadena Abierta sin compensar
Cadena Abierta compensada
gw
'gw
LEYENDAS
'' ' ( )g gw w Aumentoβ≅
''gw
Compensa caída de modulo del compensador para ajustar el margen de fase
'' 0,461,8 / 4 /ggw r w rad sead s g ge= =>
' '' 0,464 / 0,552 /ggw rad seg w rad seg= ≅ =
'gwγ β→ →ITERACIÓN
Reg. Automática II 55
EJEMPLO RRF 1
1 0 5 1G p( s )
s( s )( , s )=
+ +15 40ºvK s γ− >1H ( s ) =
1) Determinar regulador P y cK β⋅
, del conjunto ( ) ( )g g c pw K G jw H jwγ β⋅ ⋅
0lim ( ) 5 5c p v cs
K s G s K K ββ→
⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ = ( )(1 )(1 0 5)
5,c pK G jw
jw jw jwβ⋅ ⋅ =
+ +1,8 /
12,93º 13ºgw rad seg
γ=
= − −⎧⎨⎩
2) Determinar wg que consigue ' 'para el conjunto ( ) ( )deseada c p g gK G jw H jwγ β⋅ ⋅
140 180 0 46482 12'c
'gp g( K G ( jw )) º º w , rad / secº ºβ∠ ⋅ ⋅ = − + == − ⇒
0 464 168 8
'g
zero zeroOctavaw ,w T s→ = = ⇒ =3) Obtención Wzero
4) Obtención nivel de atenuación
1 16( ) 51 123
jwGc sjw
+=
+
'
' '
0 ,464( ) ( ) 7, 69
gc p g g w
K G jw H jwβ β β=
⋅ ⋅ == ⇒
5) Obtención Tpolo 123polo zeroT T sβ= =
Reg. Automática II 56Dom. FrecuenciaDISEÑO RAF-RRF (PID)
1 21 2
0 0 71 21
0 0 71 21
1 11 1
1 1 1 1c c,
,
s sjw T jw TT TG c( s ) K K
jw T jw Ts sT T
αβ
αβ
α βα β
α β>>
>>
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1) Determinar regulador P ycK α β⋅ ⋅
, del conjunto ( ) ( )g g c pw K G jw H jwγ α β⋅ ⋅ ⋅
3) Diseño de RRF con aportación de fase restante
180' 'c p g g deseada m( K G ( jw )H( jw )) ºα β γ φ∠ ⋅ ⋅ ⋅ = − −
' ' 1( ) ( ) ( 0,1 0)c p g gK G jw H jwα β βα
βα
⋅ ⋅ ⋅ = > >
2) Decisión del reparto de Fase entre RAF y RRF
: 0.1, 50º 5ºmNormalmente RAF α φ +
'gw
β
4) A partir de 'gw , ,β α se obtienen el resto de parámetros
8 10
'g
zero RRF
ww
ó− =0 1
1'g
zero RAF ,
wT
αα− =
= polo RRF
zero RRF
TT
β−
−
= polo RAF
zero RAF
TT
α−
−
=
Reg. Automática II 57
EJERCICIO FEBRERO 2008 Problema 1(50 minutos)
Para controlar un motor de corriente continua se dispone de un actuador o etapa de potencia que amplifica las consignas dadas por el controlador. Suponiendo que el modelo del conjunto actuador-motor se representa por:
Se pide:
a) Si , determinar la ganancia del regulador y el error que se obtendría con el uso de dicho compensador.
b) Calcular el margen de fase y la frecuencia de cruce de ganancia del conjunto, suponiendo que el regulador inicial es de tipo proporcional de valor el obtenido en el apartado anterior.
c) Si el objetivo del regulador es el de obtener , discutir la elección más adecuada de la red de compensación. Justificar y argumentar la respuesta.
d) Calcular el regulador elegido que cumpla las especificaciones.
160( )( 4)( 10)
G ss s s
=+ +
50ºγ >
132vK s−=
Reg. Automática II 58
EJEMPLO (RAF-RRF) 1 6 04 1 0
G p( s )s( s )( s )
=+ +
132 50ºvK s γ− >1H ( s ) =
Examen Febrero 2008
1) Determinar regulador P y cK α β⋅ ⋅
, del conjunto ( ) ( )g g c pw K G jw H jwγ β⋅ ⋅
0l m 8i ( ) 32c p v cs
K s G s K Kα β αβ→
⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ =⋅ ( )(1
80, 25)(1 0,1)c pK G jw
jw jw jwα β⋅ ⋅ ⋅ =
+ +9, 28 /
19,5º ( )g
inesw rad seg
tableγ=
= −⎧⎨⎩
1 0,74 1 2,34( ) 81 0,074 1 35,1
jw jwGc sjw jw
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ += ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2) Decisión del reparto de Fase entre RAF y RRF
0.1: , 50º 5º : 20ºmNo Rrmalmente AF RRFφα +
180 20 160 4 27' 'c p g g( K G ( jw )H( jw )) , rad / seº
4) Resto de parámetros
3) Diseño de RRF con aportación de fase restante
gº ºα β∠ ⋅ ⋅ ⋅ = − + = − ⇒
' '1 1( ) ( ) ( 0, 0) 15c p g gK G jw H jwα β β βα α
β⋅ ⋅ ⋅ = > > ⇒
' 1 0,74 0,074g z p zz
w T s T T sT
αα
= ⇒ = = =
RAF'1 2,34 35,1
10g
z p zz
wT s T T s
Tβ= ⇒ = = =
RFF
( ) ( )( )1 ( ) ( )tg A tg Btg A B
tg A tg B+
+ =−
Reg. Automática II 59
EJEMPLO RAF-RRF
8 ( )Gp s⋅
1 0,74 1 2,348 ( )1 0,074 1 35,1
jw jw Gp sjw jw
⎡ ⎤⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦⎣ ⎦
( )Gp s
Regulador P - Precisión
Cadena Abierta sin compensar
Cadena Abierta compensada
gw
'gw
'' 4,278 /9,2 / gg ww r rad seg ad seg> ==
''gw
LEYENDAS
' '' 4,27 / 4,26 /g gw rad seg w rad seg= ≅ =
'm gwφ β→ →ITERACIÓN
'' ' ( )g gw w Caida Aumentoα β≅ +
Compensa caída de modulo del compensador RRF + aumento módulo de red RAF
Reg. Automática II 60
RESUMEN DEL MÉTODO ITERATIVO
'm gwφ α→ →RAF ITERACIÓN
_ _m deseada antes de compensar MSEGφ γ γ= − +
'd e s e a d a gwγ β→ →RRF ITERACIÓN
'm gwφ β→ →RAF-RRF ITERACIÓN
_ _
50º 5º ( 0.1)Redeseada antes de compensar
RAFsto RRF
αγ γ
+ =⎧− ⎨
⎩