INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA QUMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS
1 EXAMEN DEPARTAMENTAL TURNO VESPERTINO - CALCULO SUPERIOR FECHA: MIERCOLES 15-07-2015, 16 17:30 hrs.
ACADEMIA DE MATEMATICAS
Instrucciones: 15 minutos de tolerancia. Duracin 90 min. Presenta tu identificacin. Apaga tu celular. Calculadora no graficadora. Formulario de la academia de matemticas. Indique claramente sus resultados con los procedimientos correspondientes.
Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos. Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________
Calculo Superior, EXTRAORDINARIO, Vespertino Examen - A Problema 1 (2.5 puntos) Sea la Matriz A. Calcule el determinante de la matriz A aplicando propiedades de los determinantes.
=
1107408764000500024000211
A
Respuesta:
1 -1 2 0 0 0 4 2 0 0 0 5 0 0 0 4 6 7 8 0 -4 7 0 1 1 1 2 0 0 0 2 0 0
-5 4 7 8 0 -4 0 1 1 1 2 0 0 0 -2 0 0
5 4 7 8 0 -4 0 1 1
1 0 0 0 0 -2 0 0
5 4 7 8 0 -4 0 1 1
5x1x-2x8x1= -80 D= -80
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Instrucciones: 15 minutos de tolerancia. Duracin 90 min. Presenta tu identificacin. Apaga tu celular. Calculadora no graficadora. Formulario de la academia de matemticas. Indique claramente sus resultados con los procedimientos correspondientes.
Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos. Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________ Problema 2 (2.5 puntos) Determinar los puntos extremos relativos: mximos, mnimos y puntos de silla, para la funcin: yxyxyxF 335),( 33 += Solucin:
033 2 == xFx , 03152 == yFy
Resolviendo el sistema de ecuaciones. Dividiendo cada una de las expresiones entre 3.
3
033 2 =x , 3
0315 2 =y .
Entonces, se tiene
12 =x , 512 =y ,
Puntos crticos generados ),1( ),,1( 5
525
51 PP
xyy
xFFFF
yxHyyyx
xyxx 18030006
),( ===
localMnimoPlocalMnimoP
Conclusinx|FxyH(a,b)P(a,b) P(a,b)xx
6536),1( 6536),1(
6180
55
2
55
1
+
++
==
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Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos. Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________ Problema 3 (2.5 puntos) Calcular F/s y F/t para la funcin multivariable:
122
25
3
14
222
)1(11
:
),,(
+++
=
=+
=
++=
ttt
eszss
eysexdonde
zyxzyxF
Respuesta: a)
( ) ( )
( )
( )
( )122222
25
22223
142
222
11222
25
2
25
23
142
3
14
222222
222222
222222
2)1(
)12()1(
3
2)1()1(
)12(1)1(
31
+++
++++++
+++
+++
+
++=
=
=
=
=
+
=
+
=
++=++
=
++
=++
=
++
=++
=
+
+
=
ttt
tttttt
sezyx
zsses
zyxy
ses
zyxx
sF
seesss
zsses
sse
ssy
ses
se
ssx
zyxzzyx
zzF
zyxyzyx
yyF
zyxxzyx
xxF
sz
zF
sy
yF
sx
xF
sF
b)
( )
( )122222
25
2223
14
222
12122
25
2
25
3
14
3
14
)1(1
51
4
)1()1(1
511
41
+++
++++++
+++
+++
+
++=
=
=
=
=
+
=
+
=
+
+
=
ttt
tttttt
eszyx
zsse
zyxy
se
zyxx
sF
esestt
zsse
sse
tty
se
se
ttx
tz
zF
ty
yF
tx
xF
tF
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Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos. Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________ Problema 4 (2.5 puntos) Calcular el volumen del slido acotado por las siguientes curvas en el primer octante, aplicando transformacin por polares:
yxzyxyxyx +=====+ 03122 Donde: )/arctan(,,,sin,cos 22 xyyxrzzryrx =+====
Respuesta:
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
33
22
4/
0
2
324/
0
32
3sec3
1
32sec3
sec3
1
4/
0
1666.1318237
)0cos()4/cos(31)0sin()4/sin(
31)0(sec)4/(sec
29)0tan()4/tan(9
cossinsec227tan27
31
)sincoscossin27sec27(
31
)sincoscossin27sec27(
31
1sec27sincos31
3)sin(cos)sin(cos
)sincos(
uu
dV
rdrr
rdrdrrV
r
r
r
r
r
==
=++=
=
++=
=+=
+
=+=+=+
+=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
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Problema 5 (2.5 puntos) Para la matriz A:
=
133043065
A
a) Calcule det(A-I) = 0 y determine los valores propios b) Determine los vectores propios de cada valor propio y comprobar vAv = c) De acuerdo al anlisis del rango de cada matriz, indique qu tipo de solucin obtendr en la determinacin de
cada vector propio. Explique su respuesta. Respuesta:
[ ] [ ]
[ ] 210)1)(2)(1(02)1(
0184520)1(018)4)(5()1(0133043065
3212
2
+====+=
=+++=+=
=
==
==
111
011
:
1:
000000011
0330330661
21
3
21
21
vvlibrexxx
rango
=
=
=
+=
112
22:
110000021
333063063
2
3
32
21
3
vxxxx
rango
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Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos. Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________
Calculo Superior, EXTRAORDINARIO, Vespertino Examen - B Problema 1 (2.5 puntos) Sea la Matriz A. Calcule el determinante de la matriz A aplicando propiedades de los determinantes.
=
5555154660303602002010000
A
Respuesta:
0 0 0 0 1 0 2 0 0 2 0 6 3 0 3 0 6 6 4 5 -1 5 5 5 5
0 0 0 1 2 0 0 2 6 3 0 3 6 6 4 5
1 0 0 0 2 2 0 0 3 6 3 0 5 6 6 4
(+1)(1)(2)(3)(4) = 24 D = 24
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Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos. Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________ Problema 2 (2.5 puntos) Determinar los puntos extremos relativos: mximos, mnimos y puntos de silla, para la funcin: yxyxyxF 1227),( 33 += Solucin:
0273 2 == xFx 0 123 2 == yFy
Resolviendo el sistema de ecuaciones. 92 =x , 42 =y .
Entonces, se tiene 32,1 =x , 22,1 =y ,
Puntos crticos generados
)2,3( ),2,3(),2,3( ),2,3( 4321 PPPP
xyy
xFFFF
yxHyyyx
xyxx 366006
),( ===
alMximo locPsillaPunto dePsillaPunto deP
alMnimo locPConclusinx|FxyH(a,b)P(a,b) P(a,b)xx
18216)2,3( 18216)2,3( 18216)2,3(
18216)2,3(636
4
3
2
1
+
+
++
==
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1 EXAMEN DEPARTAMENTAL TURNO VESPERTINO - CALCULO SUPERIOR FECHA: MIERCOLES 15-07-2015, 16 17:30 hrs.
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Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos. Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________ Problema 3 (2.5 puntos) Calcular F/s y F/t para la funcin multivariable:
133
25
2
14
22
)1(141
:
),,(
+++
+=++
=+
=
+=
ttt
eszss
eysexdonde
yxzzyxF
Respuesta: a)
( )
( )122223
252
2/32222
14
2/322
121323
252
3
25
22
14
2
14
2222
2/322222/32222
31)14(
)43()()1(
2)(
3)1()14(
)43(14)1(
21
1
)()(
+++
++++++
++
+++
++
+
+=
=+
=
++
+=
++
=
+
=
+
=
+=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
+
=
ttt
tttttt
esyxss
esyxyz
sse
yxxz
sF
esesss
zsses
sse
ssx
sse
se
ssx
yxyxz
zzF
yxyz
yxz
yyF
yxxz
yxz
xxF
sz
zF
sy
yF
sx
xF
sF
b)
( )
( )13223
25
2/3222
14
2/322
13133
25
3
25
2
14
2
14
)1(114
5)(1
4)(
)1()1(14
5141
41
+++
++++++
+
++
++
++
+
+=
+=+
=
++
=
++
=
+
=
+
=
+
+
=
ttt
tttttt
esyxss
eyxyz
se
yxxz
sF
esestt
zss
ess
ett
xse
se
ttx
tz
zF
ty
yF
tx
xF
tF
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Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos. Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________ Problema 4 (2.5 puntos) Calcular el volumen del slido acotado por las siguientes curvas en el primer octante, aplicando transformacin por polares:
yxzyxyyxx +====+= 091 22 Donde: )/arctan(,,,sin,cos 22 xyyxrzzryrx =+====
Respuesta:
( ) ( ) 333
4/
0
2
324/
0
32
33
sec
33
sec
2
3
sec
4/
0
5.8651
651
61
31912
6101
3110
21
219
sec61tan
31)cos(sin9
cossin
31sec
31sin9cos9
cossin
31sec
31sin9cos9
)sec319)(sin(cos
3)sin(cos)sin(cos
)sincos(
uuVuV
V
dV
rdrr
rdrdrrV
r
r
r
r
r
r
====
+=
=
+=
+=
+=+=+
+=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA QUMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS
1 EXAMEN DEPARTAMENTAL TURNO VESPERTINO - CALCULO SUPERIOR FECHA: MIERCOLES 15-07-2015, 16 17:30 hrs.
ACADEMIA DE MATEMATICAS
Instrucciones: 15 minutos de tolerancia. Duracin 90 min. Presenta tu identificacin. Apaga tu celular. Calculadora no graficadora. Formulario de la academia de matemticas. Indique claramente sus resultados con los procedimientos correspondientes.
Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos. Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________
Problema 5 (2.5 puntos) Para la matriz A:
=
300212221
A
a) Calcule det(A-I) = 0 y determine los valores propios b) Determine los vectores propios de cada valor propio y comprobar vAv = c) De acuerdo al anlisis del rango de cada matriz, indique qu tipo de solucin obtendr en la determinacin de
cada vector propio. Explique su respuesta. Respuesta:
[ ] [ ]
[ ] 130)1)(3)(3(032)3(
0421)3(04)1()3(0300212221
3212
22
=+===+=
=+==
=
==+
+==
101
012
021:
000000121
000222222
3
21321
21
vvxxxrango
=
=
=
=
011
0
2:
100000011
400222222
1
3
3
21
3
vx
xxrango
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