Calculo (A e B)MIEEIC, MIECOM
2007/2008
Ana Jacinta Soares
Notas sobre a disciplina
Programa Resumido
1. Funcoes trigonometricas inversas.
2. Funcoes hiperbolicas directas e inversas
3. Primitivas.
4. Integral de Riemann. Aplicacoes.
5. Series numericas.
Principais Referencias Bibliograficas
[1 ] T. Apostol, Calculo, Vol. 1, Editora Reverte, 1991.
[2 ] Robert A. Adams,, A Complete Course: Calculus, Addison-Wesley, 1999.
[3 ] Jaime. C. Silva, Princıpios de Analise Matematica Aplicada, McGraw Hill, 1994.
[4 ] J. Campos Ferreira, Introducao a Analise Matematica, Gulbenkian, 1999.
[5 ] H. L. Guidorizzi, Um Curso de Calculo, Vol 1, Livros Tecnicos e Cientıficos
Editora S. A., 1986.
Funcoes trigonometricas
directas e
inversas
A. Funcoes trigonometricas directas
As funcoes seno, cosseno, tangente e cotangente sao contınuas e periodicas nos respecti-
vos domınios. Todas elas sao funcoes nao injectivas e, portanto, nao possuem inversa.
Seno Cosseno
y = sen x, x ∈ R, CDsen = [−1, 1] y = cosx, x ∈ R, CDcos = [−1, 1]
Π 2 Π-2 Π -Π
x
y
Π-Π 2 Π-2 Πx
y
Tangente Cotangente
y = tg x =sen x
cosx, x ∈ R\
{π
2+ kπ, k ∈ Z
}
y = cotg x =cosx
sen x, x ∈ R\{kπ, k ∈ Z}
CDtg = R CDcotg = R
Π 2 Π-Π-2 Πx
y
Π
����
23 ��������
2-
Π
����
2-
3 ��������
2
x
y
B. Funcoes trigonometricas inversas
Considerando restricoes adequadas das funcoes trigonometricas, obtemos funcoes contı-
nuas e bijectivas definidas em intervalos. A injectividade sera conseguida excluindo
do domınio todos os pontos onde a funcao se repete. A sobrejectividade sera obtida
eliminando do conjunto de chegada todos os pontos que a funcao nao assume. As
inversas das restricoes assim definidas serao tambem contınuas.
B.1 Arco-seno
Relativamente a funcao seno, convencionamos considerar a restricao bijectiva
sen:[
−π
2,π
2
]
−→ [−1, 1]
x 7−→ senx .(1)
A sua inversa, que se designa por arco-seno – le-se arco (cujo) seno – e a a funcao
arcsen : [−1, 1] −→[
−π
2,π
2
]
y 7−→ arcsen y ,(2)
1
onde arcsen y indica o unico arco do intervalo[
−π
2,π
2
]
cujo seno e igual a y. Assim,
x = arcsen y , y∈ [−1, 1] ⇐⇒ y = sen x , x∈[
−π
2,π
2
]
. (3)
-1 1 x
Π
����
2
-
Π
����
2
y
y = arcsen x, x ∈ [−1, 1], CDarcsen =[
−π
2, π
2
]
Pelo facto de as funcoes (1) e (2) serem inversas uma da outra, tem-se
arcsen (sen x) = x, ∀x ∈[
−π
2,π
2
]
,
sen (arcsen y) = y, ∀y ∈ [−1, 1].(4)
No entanto, apesar de fazer sentido calcular arcsen (sen z), para z∈R\[
−π
2, π
2
]
, tem-se
arcsen (sen z) 6= z , ∀z 6∈[
−π
2,π
2
]
, (5)
uma vez que CDarcsen =[
−π
2, π
2
]
.
Exemplo 1
(a) arcsen 1 =π
2, arcsen
√2
2=
π
4, arcsen
(
−√
3
2
)
= −π
3.
De facto,π
2,
π
4e −π
3sao os unicos arcos do intervalo
[
−π
2,π
2
]
onde o seno e, respecti-
vamente, igual a 1 ,
√2
2e −
√3
2.
(b) Tem-se, por exemplo, sen (3π) = 0 e sen (8π) = 0, mas arcsen 0 = 0.
Porque 0 e o unico arco do intervalo[
−π
2,π
2
]
onde o seno e igual a 0 .
2
B.2 Arco-cosseno
Relativamente a funcao cosseno, convencionou-se considerar a restricao bijectiva
cos : [0, π] −→ [−1, 1]x 7−→ cos x .
(6)
A sua inversa, que se designa por arco-cosseno – le-se arco (cujo) cosseno – e a funcao
arccos : [−1, 1] −→ [0, π]y 7−→ arccos ,
(7)
onde arccos y indica o unico arco do intervalo [0, π] cujo cosseno e igual a y. Assim
x = arccos y , y∈ [−1, 1] ⇐⇒ y = cos x , x ∈ [0, π] . (8)
-1 1 x
Π
y
y = arccos x, x ∈ [−1, 1], CDarccos = [0, π]
Atendendo a que as funcoes (6) e (7) sao inversas uma da outra, tem-se
arccos (cos x) = x , ∀x ∈ [0, π] ,
cos (arccos y) = y , ∀y ∈ [−1, 1] .(9)
Por outro lado, uma vez que CDarccos = [0, π], tem-se
arccos (cos z) 6= z , ∀z 6∈ [0, π] . (10)
Exemplo 2
(a) arccos 1 = 0 , arccos(−1) = π , arccos
(
−√
2
2
)
=3π
4.
(b) arccos (cos 5π) = arccos(−1) = π , arccos
(
cos25π
4
)
= arccos
(√2
2
)
=π
4.
3
B.3 Arco-tangente
Relativamente a funcao tangente, consideramos a restricao bijectiva
tg :]
−π
2,π
2
[
−→ R
x 7−→ tg x .(11)
A sua inversa, designada por arco-tangente – le-se arco (cuja) tangente – e a funcao
arctg : R −→]
−π
2,π
2
[
y 7−→ arctg y,(12)
onde arctg y indica o unico arco do intervalo]
−π
2,π
2
[
cuja tangente e igual a y.
Assim,
x = arctg y, com y ∈ R
se e so se
y = tg x , x ∈]
−π
2,π
2
[
.
x
-
Π
����
2
Π
����
2
y
y = arctg x, x ∈ R, CDarccos =]
−π
2, π
2
[
B.4 Arco-cotangente
Relativamente a funcao co-tangente, consideramos a restricao bijectiva
tg : ]0, π[ −→ R
x 7−→ cotg x,(13)
cuja inversa e a funcao arco-cotangente – le-se arco (cuja) cotangente – definida por
arccotg : R −→ ]0, π[y 7−→ arccotg y,
(14)
onde arccotg y indica o unico arco do intervalo ]0, π[ cuja cotangente e igual a y.
Entao,
x = arccotg y, com y ∈ R
se e so se
y = cotg x , x ∈ ]0, π[ .
x
Π
����
2
Π
y
y = arccotg x, x ∈ R, CDarccos = ]0, π[
4