Calculo (A e B)MIEEIC, MIECOM

2007/2008

Ana Jacinta Soares

Notas sobre a disciplina

Programa Resumido

1. Funcoes trigonometricas inversas.

2. Funcoes hiperbolicas directas e inversas

3. Primitivas.

4. Integral de Riemann. Aplicacoes.

5. Series numericas.

Principais Referencias Bibliograficas

[1 ] T. Apostol, Calculo, Vol. 1, Editora Reverte, 1991.

[2 ] Robert A. Adams,, A Complete Course: Calculus, Addison-Wesley, 1999.

[3 ] Jaime. C. Silva, Princıpios de Analise Matematica Aplicada, McGraw Hill, 1994.

[4 ] J. Campos Ferreira, Introducao a Analise Matematica, Gulbenkian, 1999.

[5 ] H. L. Guidorizzi, Um Curso de Calculo, Vol 1, Livros Tecnicos e Cientıficos

Editora S. A., 1986.

Funcoes trigonometricas

directas e

inversas

A. Funcoes trigonometricas directas

As funcoes seno, cosseno, tangente e cotangente sao contınuas e periodicas nos respecti-

vos domınios. Todas elas sao funcoes nao injectivas e, portanto, nao possuem inversa.

Seno Cosseno

y = sen x, x ∈ R, CDsen = [−1, 1] y = cosx, x ∈ R, CDcos = [−1, 1]

Π 2 Π-2 Π -Π

x

y

Π-Π 2 Π-2 Πx

y

Tangente Cotangente

y = tg x =sen x

cosx, x ∈ R\

{π

2+ kπ, k ∈ Z

}

y = cotg x =cosx

sen x, x ∈ R\{kπ, k ∈ Z}

CDtg = R CDcotg = R

Π 2 Π-Π-2 Πx

y

Π

����

23 ��������

2-

Π

����

2-

3 ��������

2

x

y

B. Funcoes trigonometricas inversas

Considerando restricoes adequadas das funcoes trigonometricas, obtemos funcoes contı-

nuas e bijectivas definidas em intervalos. A injectividade sera conseguida excluindo

do domınio todos os pontos onde a funcao se repete. A sobrejectividade sera obtida

eliminando do conjunto de chegada todos os pontos que a funcao nao assume. As

inversas das restricoes assim definidas serao tambem contınuas.

B.1 Arco-seno

Relativamente a funcao seno, convencionamos considerar a restricao bijectiva

sen:[

−π

2,π

2

]

−→ [−1, 1]

x 7−→ senx .(1)

A sua inversa, que se designa por arco-seno – le-se arco (cujo) seno – e a a funcao

arcsen : [−1, 1] −→[

−π

2,π

2

]

y 7−→ arcsen y ,(2)

1

onde arcsen y indica o unico arco do intervalo[

−π

2,π

2

]

cujo seno e igual a y. Assim,

x = arcsen y , y∈ [−1, 1] ⇐⇒ y = sen x , x∈[

−π

2,π

2

]

. (3)

-1 1 x

Π

����

2

-

Π

����

2

y

y = arcsen x, x ∈ [−1, 1], CDarcsen =[

−π

2, π

2

]

Pelo facto de as funcoes (1) e (2) serem inversas uma da outra, tem-se

arcsen (sen x) = x, ∀x ∈[

−π

2,π

2

]

,

sen (arcsen y) = y, ∀y ∈ [−1, 1].(4)

No entanto, apesar de fazer sentido calcular arcsen (sen z), para z∈R\[

−π

2, π

2

]

, tem-se

arcsen (sen z) 6= z , ∀z 6∈[

−π

2,π

2

]

, (5)

uma vez que CDarcsen =[

−π

2, π

2

]

.

Exemplo 1

(a) arcsen 1 =π

2, arcsen

√2

2=

π

4, arcsen

(

−√

3

2

)

= −π

3.

De facto,π

2,

π

4e −π

3sao os unicos arcos do intervalo

[

−π

2,π

2

]

onde o seno e, respecti-

vamente, igual a 1 ,

√2

2e −

√3

2.

(b) Tem-se, por exemplo, sen (3π) = 0 e sen (8π) = 0, mas arcsen 0 = 0.

Porque 0 e o unico arco do intervalo[

−π

2,π

2

]

onde o seno e igual a 0 .

2

B.2 Arco-cosseno

Relativamente a funcao cosseno, convencionou-se considerar a restricao bijectiva

cos : [0, π] −→ [−1, 1]x 7−→ cos x .

(6)

A sua inversa, que se designa por arco-cosseno – le-se arco (cujo) cosseno – e a funcao

arccos : [−1, 1] −→ [0, π]y 7−→ arccos ,

(7)

onde arccos y indica o unico arco do intervalo [0, π] cujo cosseno e igual a y. Assim

x = arccos y , y∈ [−1, 1] ⇐⇒ y = cos x , x ∈ [0, π] . (8)

-1 1 x

Π

y

y = arccos x, x ∈ [−1, 1], CDarccos = [0, π]

Atendendo a que as funcoes (6) e (7) sao inversas uma da outra, tem-se

arccos (cos x) = x , ∀x ∈ [0, π] ,

cos (arccos y) = y , ∀y ∈ [−1, 1] .(9)

Por outro lado, uma vez que CDarccos = [0, π], tem-se

arccos (cos z) 6= z , ∀z 6∈ [0, π] . (10)

Exemplo 2

(a) arccos 1 = 0 , arccos(−1) = π , arccos

(

−√

2

2

)

=3π

4.

(b) arccos (cos 5π) = arccos(−1) = π , arccos

(

cos25π

4

)

= arccos

(√2

2

)

=π

4.

3

B.3 Arco-tangente

Relativamente a funcao tangente, consideramos a restricao bijectiva

tg :]

−π

2,π

2

[

−→ R

x 7−→ tg x .(11)

A sua inversa, designada por arco-tangente – le-se arco (cuja) tangente – e a funcao

arctg : R −→]

−π

2,π

2

[

y 7−→ arctg y,(12)

onde arctg y indica o unico arco do intervalo]

−π

2,π

2

[

cuja tangente e igual a y.

Assim,

x = arctg y, com y ∈ R

se e so se

y = tg x , x ∈]

−π

2,π

2

[

.

x

-

Π

����

2

Π

����

2

y

y = arctg x, x ∈ R, CDarccos =]

−π

2, π

2

[

B.4 Arco-cotangente

Relativamente a funcao co-tangente, consideramos a restricao bijectiva

tg : ]0, π[ −→ R

x 7−→ cotg x,(13)

cuja inversa e a funcao arco-cotangente – le-se arco (cuja) cotangente – definida por

arccotg : R −→ ]0, π[y 7−→ arccotg y,

(14)

onde arccotg y indica o unico arco do intervalo ]0, π[ cuja cotangente e igual a y.

Entao,

x = arccotg y, com y ∈ R

se e so se

y = cotg x , x ∈ ]0, π[ .

x

Π

����

2

Π

y

y = arccotg x, x ∈ R, CDarccos = ]0, π[

4