Prevedo. Sbaglio.
Mi correggo!
Gal
ileo
Gal
ilei
Riccardo Rigon
Friday, October 26, 12
In memoria di
Sandro Marani
(1936-2012)
Friday, October 26, 12
Si impara dai propri errori: per
questo imparare è così faticoso.
Friday, October 26, 12
4
L’esperimento
Al centro della concezione Galileiana c’è la possibilità di eseguire “sensati
esperimenti”. Ovvero di condurre esperienze ideali in cui gli elementi che
controllano la dinamica dell’esperimento sono rigorosamente controllati
e misurati.
Straulino, Physics Education, 2008
Elementi di metodo
R. Rigon
Friday, October 26, 12
5
L’esperimento
Ogni esperimento deve essere riproducibile. Se le condizioni
dell’esperimento sono riprodotte, allora i risultati dovranno
essere gli stessi.
Stra
uli
no, P
hys
ics
Edu
cati
on
, 20
08
Elementi di metodo
R. Rigon
Friday, October 26, 12
6
L’esperimento
I rapporti tra le grandezze misurate sono poi tradotte in termini matematici,
ovvero in un linguaggio simbolico e formale.
“Non entri chi non sa la matematica”*
*Scritta che si dice fosse sull’entrata dell’Accademia di Platone
Elementi di metodo
R. Rigon
Friday, October 26, 12
7
L’esperimento
Controllato
Misurato
Riproducibile
Traducibile in un linguaggio simbolico e formale
Elementi di metodo
R. Rigon
Friday, October 26, 12
Prevedo
Isaa
c N
ewto
n
Friday, October 26, 12
9
Le equazioni
Le equazioni sono parte di questo linguaggio formale. Esse esprimono
relazioni tra quantità (nelle intenzioni misurabili), nella forma di funzioni e
di rapporti tra “variazioni”. Nel caso di cui sopra, la seconda legge della
dinamica per un oggetto puntiforme, si tratta della variazione della velocità,
l’accelerazione, , nel tempo. Equazioni di questo tipo si dicono equazioni
differenziali.
Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro
R. Rigon
Friday, October 26, 12
10
Problemi ai valori iniziali
L’accelerazione è la variazione di velocità:
La velocità è la variazione di posizione:
Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro
R. Rigon
Friday, October 26, 12
11
Problemi ai valori iniziali
Un problema dinamico è risolto quando è risolta l’equazione iniziale,
assegnati velocità e posizione iniziale.
Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro
R. Rigon
Friday, October 26, 12
12
Problemi ai valori iniziali
Per fare questo è necessario:
•trovare una funzione che descriva la forza
•assegnare la posizione iniziale e la velocità iniziale del sistema
•aver misurato la massa inerziale
A questo punto, passato, presente e futuro sono completamente
determinati
Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro
R. Rigon
Friday, October 26, 12
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L’esperimento
Controllato
Misurato
Riproducibile
Equazioni e misure
R. Rigon
Friday, October 26, 12
14
L’esperimento
Traducibile in un linguaggio simbolico e formale
Supporta un problema alle condizioni iniziali
E ci permette di prevedere il futuro !
Equazioni e misure
R. Rigon
Friday, October 26, 12
15
"Tutti gli avvenimenti, anche quelli che per la loro piccolezza non
sembrano essere dominati dalle grandi leggi della natura, ne sono una
conseguenza così necessaria come le rivoluzioni del Sole.
Nell'ignoranza dei legami che li uniscono all'intero sistema
dell'universo, li si fa dipendere da cause finali o dal caso. Ma queste
cause immaginarie sono state successivamente arretrate fino ai limiti
delle nostre conoscenze, e svaniscono del tutto davanti alla sana
filosofia, che non vede in esse se non l'espressione dell'ignoranza in cui
siamo circa le vere cause.
Pierre Simon de LaplaceSaggio sulle probabilità, 1814
Equazioni e misure
R. Rigon
Friday, October 26, 12
16
Un'intelligenza che per un dato istante conoscesse tutte le forze da cui
la natura è animata e la situazione rispettiva degli esseri che la
compongono, se fosse così vasta da sottoporre questi dati all'analisi,
abbraccerebbe in un'unica e medesima formula i movimenti dei più
grandi corpi dell'universo e quelli del più lieve atomo:
nulla sarebbe incerto per essa, e l'avvenire,
come il passato, sarebbe presente ai suoi
occhi."
Pierre Simon de LaplaceSaggio sulle probabilità, 1814
Equazioni e misure
R. Rigon
Friday, October 26, 12
17
Paradossalmente, Laplace che diceva che Dio è un’ipotesi di cui non aveva
bisogno, pone a base del suo determinismo una mente onnipotente !
Io preferisco pensare che, semplicemente ci sono cose conoscibili e cose non
conoscibili. Tra queste, per esempio, rientrano le condizioni iniziali di un
sistema fisico classico.
Tuttavia, come vedremo, il fatto che una certa situazione sia o no conoscibile
esattamente non sempre è cruciale
Riccardo Rigon
Pensa Trasversale
Riflessioni
R. Rigon
Friday, October 26, 12
De-costruiamo il processoGalileiano-Newtoniano
Friday, October 26, 12
19
L’esperimento
Controllato
Un esperimento controllato, un classico esperimento ideale, è quello in cui
1, UNA SOLA
sola variabile è studiata alla volta e gli sperimentatori tentano di rendere ogni
costante variabile dell’esperimento, eccettuata quella lasciata mutare.
Spesso gli sperimentatori cercano anche di effettuare degli esperimenti di
controllo in cui, per esempio, si cerca di mantenere anche la variabile da
controllare costante.
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
20
L’esperimento
Controllato
Quando Galileo effettuò i suoi esperimenti con i pesi, lo fece usando diverse
sostanze, ma mantenendo la stessa altezza, usò oggetti di forma uguale,
cosicchè, alla fine, solo il peso dell’oggetto variava.
Ma
gri
tte
- So
uve
nir
de
voya
ge,
19
21
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
21
L’esperimento
Controllato
Il mancato controllo completo delle variabili dell’esperimento introduce degli
errori.
Ma
gri
tte
- So
uve
nir
de
voya
ge,
19
21
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
22
L’esperimento
Misurato
Riproducibile
Ovviamente Galileo assume che ci sia qualcosa da misurare, lunghezze, tempi,
principalmente. Ma talvolta le grandezze da analizzare non sono direttamente
misurabili per confronto.
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
23
L’esperimento
Misurato
Riproducibile
La misura richiede strumenti che hanno una loro fisica (e talvolta una loro
dinamica). Ed una misura non è mai perfetta. Ripetendo l’esperimento spesso si
ottengono misure differenti.
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
24
L’esperimento
Non da mai risultati certi
Spesso consideriamo l’errore trascurabile ma la misura rimane sempre
una stima. Se l’errore sia veramente trascurabile, dipende anche da ciò
che vogliamo ottenere.
Pensa trasversale
Friday, October 26, 12
“Fare Scienza è oggi una attività che
non si svolge più nella notte dei secoli
bui, nè alla chiara luce dei lumi, ma nel
crepuscolo della probabilità ”
Paolo Agnoli citando Paolo Vineis che cita John
Locke
Friday, October 26, 12
26
L’esperimento
Traducibile in un linguaggio simbolico e formale
se introduciamo gli errori e l’incertezza derivante dalle misure, nella seconda legge della dinamica:
non c’e’ errore sull’accelerazione perchè è in funzione della variabile indipendente, la posizione
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
27
La seconda equazione della dinamica
contiene errori combinati in vario modo(in realtà la situazione è più complicata perchè gli errori non sono solo additivi)
ed è, fondamentalmente, un’equazione diversa quella che andiamo a risolvere.
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
28
Il problema da risolvere è un problema diverso di quello “standard”, se vogliamo tener conto degli errori.
NON SOLO
e, ovviamente, anche le condizioni iniziali sono note con incertezza
Supporta un problema alle condizioni iniziali
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
29
Rod
en -
Il p
ensa
tore
Normalmente abbiamo in mano le equazioni giuste solo in apparenza
E non ci permette di prevedere il futuro con precisione assoluta !
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
30
c’e’ anche un altro aspetto trascurato
Non di tutte le equazioni esiste una soluzione “analitica” (una formula risolvente esplicita)
Non di tutte le equazioni esiste ed è unica la soluzione
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
31
Analitica a chi ?La parola “analitico” è una grande frode. Starebbe ad intendere una
conoscenza assoluta dei valori della funzione. Per lo più, se escludiamo i
polinomi, le funzioni, per esempio le funzioni trascendenti, non sono
invece note in modo assoluto, ma solo per approssimazioni.
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
32
Analitica a chi ?
Così, anche le equazioni che hanno soluzioni in forma nota, analitica, non sono
in realtà, vorrei dire, “in ultima analisi”, ;-), note esattamente, ma solo in
astratto, come per il numero pi greco.
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
33
Le equazioni si possono risolvere solo numericamente, cioè con
metodi approssimati, portando a risultati
incerti.
Per lo più
Pensa trasversale
R. Rigon
Friday, October 26, 12
34
L’errore può essere “epistemico”
Ovvero anche l’equazione di partenza può essere sbagliata. Stando all’esempio, non solo
Perchè la forza e la massa (i parametri) dell’equazione non sono noti esattamente, ma anche perchè, la seconda legge della dinamica potrebbe non essere quella, ma richiedere piccole (?) modifiche
Sbagliato sino in fondo ?
R. Rigon
Friday, October 26, 12
35
L’errore può essere “epistemico”
Che è, con qualche imprecisione notazionale la seconda legge della dinamica nella relatività ristretta.
Alb
ert
Ein
stei
n
Sbagliato sino in fondo ?
R. Rigon
Friday, October 26, 12
36
Ovviamente essendo la matematica un linguaggio formale
Ha dei limiti di rappresentazione
Per i greci antichi la matematica era la geometria euclidea. Per i nostri discendenti forse avrà forse
una forma diversa
Riflessioni
R. Rigon
Friday, October 26, 12
37
Quanto illustrato è naturalmente
il caso semplice
Di un corpo puntiforme, con pochi gradi di libertà
Riflessioni
R. Rigon
Friday, October 26, 12
Fluidi
Hoku
sai
Friday, October 26, 12
39
Un fluido è un oggetto molto più complesso di un punto
Per esempio, l’equazione della dinamica (di Newton!), di un fluido
Newtoniano è:
conosciuta con equazione di Navier-Stokes
Adding complexity
R. Rigon
Friday, October 26, 12
40
Un fluido è un oggetto molto più complesso di un punto
Per esempio, l’equazione della dinamica (di Newton!), di un fluido
Newtoniano è:
conosciuta con equazione di Navier-Stokes ;-)
Adding complexity
R. Rigon
Friday, October 26, 12
41
“Forze” di vario generedensità del fluido
“Accelerazioni”
Senza entrare nei dettagli
Si tratta di equazioni differenziali alle derivate parziali
Adding complexity
R. Rigon
Friday, October 26, 12
42
Si vuole risolta l’equazione
su tutto un determinato dominioci vuole ben più du Navier-Stokes per descrivere i fenomeni idrologici correlati a quello che vedete
Adding complexity
R. Rigon
Friday, October 26, 12
43
Bisogna assegnare, non solo le condizioni inizialiin ogni punto del dominio
ma anche le condizioni al contorno per ogni istante di tempo che si vuole modellare
Adding complexity
R. Rigon
Friday, October 26, 12
44
Avremmo bisogno di
misure !
Adding complexity
R. Rigon
Friday, October 26, 12
45
Non essendo questo possibile
introduciamo
errori e approsimazioni
Adding complexity
R. Rigon
Friday, October 26, 12
46
Inoltre le Geo-scienze
usano gli esperimenti in modo diverso della ricerca puramente Galileiana
Non si fanno esperimenti veri e proprima si registrano invece eventi* e molti eventi (una
piena, un terremoto) non sono certamente ripetibili.
*Molti miei colleghi arguirebbero qui che loro fanno molti esperimenti in laboratorio ... ma
Riflessioni
R. Rigon
Friday, October 26, 12
47
Ci si trova quindi nelle condizioni
di dover ricostruire le condizioni “di controllo” di un esperimento da una serie
di misure parziali e di indizi
Ren
è M
agri
tte
- La
con
diz
ion
e u
ma
na
, 19
33
Riflessioni
R. Rigon
Friday, October 26, 12
48
Fare approssimazioni è dunque inevitabile
Ma è così grave ?
Ren
è M
agri
tte
- La
cle
f d
e ve
rre,
19
59
Riflessioni
R. Rigon
Friday, October 26, 12
49
Se guardiamo al moto dei pianetiattorno al sole
essi ritornano con una certa regolarità, all’incirca nelle stesse posizioni relative.
Se sbagliamo di un po’ la soluzione delle equazioni che li regolano, non abagliamo
di molto. I fenomeni sono ciclici, e l’errore di previsione che si fa rimane limitato
nel tempo.
NA
SA/J
PL r
econ
stru
ctio
nCiclicità
R. Rigon
Friday, October 26, 12
50
Caos deterministico
Non è il nome di una rock band
Lor
enz‘
s a
ttra
ctor
E il suo contrario
R. Rigon
Friday, October 26, 12
51
Se il sistema è caotico
Preparati due esperimenti con il sistema in due in condizioni iniziali qualsivoglia prossime, esso evolverà in direzioni diverse: tanto diverse quanto la variabilità
del sistema lo permette.
Ogni errore iniziale diventa importante e il sistema diventa
impredicibile
Il sistema meteorologico terrestre è così
Impredicibilità
R. Rigon
Friday, October 26, 12
52
Se il sistema è caotico
Ogni errore nelle condizioni iniziali (e/o) al contorno diventa arbitrariamente grande
Può piovere o no, senza che riusciamo a prevederlo
Impredicibilità
R. Rigon
Friday, October 26, 12
53
Poco male se le condizioni inizialie i parametri
fossero ovunque uniformi
Rot
hko
- U
nti
tled
Eterogeneità
R. Rigon
Friday, October 26, 12
54
Invece sono anche eterogenei
Shozo S
him
amoto
Eterogeneità
R. Rigon
Friday, October 26, 12
55
Per conoscere l’informazione quibastano pochi numeri
(è solo un’impressione)
Qui ce ne vuole un po’ di più (almeno in funzione della complessità dei patterns)
Eterogeneità
R. Rigon
Friday, October 26, 12
56
In fondo un’immagine è solo una sequenza di numeri
Solo che alcune sequenze di numeri possono essere “compresse”, altre di meno. Una sequenza di numeri completamente casuale, non può essere compressa
Eterogeneità -> Casualità
R. Rigon
Friday, October 26, 12
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Lan
dsa
t Im
age
Questa è una immagine o una misura di qualcosa ?
Un esempio
R. Rigon
Friday, October 26, 12
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Maggiore eterogenità=
Maggiore casualità=
Maggiore informazione necessaria=
Maggiore incertezza nelle previsioni
Riflessioni
R. Rigon
Friday, October 26, 12
59
A meno che ...
“ Non si può negare che il nostro universo non è il caos; noi
riconociamo essere, cose, oggetti che noi chiamiamo con nomi.
Questi oggetti o cose sono forme, strutture dotate di una certa
stabilità; che riempiono una certa porzione di spazio e durano
per un certo tempo ...” R. Thom, Structural stabity and morphogenesys,1975
E dunque non si constati che molta informazione non sia
rilevante a descrivere queste forme, patterns, e siano
importanti solo statistiche di quanto descriviamo.
A ben vedere, anche le equazioni di Navier-Stokes, o la stessa
seconda legge della dinamica, hanno la valenza di statistica di
una realtà soggiacente, ad una scala più fine.
Dio è buono
R. Rigon
Friday, October 26, 12
60
In ogni caso
Determinare i parametri di un insieme di equazioni, che si assumono
note e veritiere, in un’ambito eterogeneo, in funzione di una serie di
misure effettuate durante un certo evento
è un problema inverso
particolarmente mal posto dal punto di vista matematico e consente, al più
di selezionare, non un insieme di parametri, ma molti insiemi di parametri
“ottimali”, o se vogliamo, “non inacettabili”.
Problemi diretti e problemi inversi
R. Rigon
Friday, October 26, 12
Alla luce della nostra ignoranza
Th
om
as B
ayes
a little of Bayesian inference
Friday, October 26, 12
62
La probabilità condizionale
Visto che non conosciamo con certezza il valore di una variabile, una buona
strategia potrebbe essere quella di cercare di attribuire ad essa una probabilità.
-2 -1 1 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ad ogni valore della variabile, un numero tra 0 ed 1
Bayes
R. Rigon
Friday, October 26, 12
63
La probabilità condizionale
Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in seguito alla
conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si scrive:
Implicitamente od esplicitamente: ogni distribuzione di probabilità è
condizionale
Bayes
R. Rigon
Friday, October 26, 12
63
La probabilità condizionale
Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in seguito alla
conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si scrive:
La conoscenza che ci ha permesso di assegnare la probabilità
Implicitamente od esplicitamente: ogni distribuzione di probabilità è
condizionale
Bayes
R. Rigon
Friday, October 26, 12
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La probabilità condizionale
O più semplicemente:
se l’evento x è condizionato da y
Bayes
R. Rigon
Friday, October 26, 12
65
Probabilità composte
Come negli esempi iniziali, à possibile considerare, il contemporaneo
realizzarsi di più insiemi di eventi. Si parla allora di Probabilità
composta o multivariata:
P (A, B)A, B � �
Bayes
R. Rigon
Friday, October 26, 12
66
Il Teorema di Bayes
Dice che la distribuzione di probabilità (pdf) di due variabili casuali, x e y è
data da
dove è la probabilità di ottenere x da un campione casuale, una volta che
sia stato ottenuto y, èd è chiamata probabilità condizionale di x rispetto ad y, e
p(y) è la probabilità di ottenere y. Equivalentemente il teorema si legge anche:
vista la simmetria esistente tra le variabili x e y
Bayes TheoremBayes
R. Rigon
Friday, October 26, 12
67
Probabilità condizionaleformula di Bayes
AB
Ω
P (A|B) =P (A �B)
P (B)
Bayes
R. Rigon
Friday, October 26, 12
68
Ritorniamo ora ad un problemaai valori iniziali
Abbiamo delle condizioni iniziali
Abbiamo delle condizioni al contorno
Abbiamo dei parametri che regolano la struttura delle equazioni (e la forma delle loro soluzioni)
Abbiamo dei dati che misurano le quantità previste dalle equazioni
Playing with Bayes
R. Rigon
Friday, October 26, 12
69
Assegnamo per essi/e, non un valore, ma una probabilità “a-priori”
Che scriviamo per semplicità
R. Rigon
Playing with Bayes
Friday, October 26, 12
70
Assegnamo per essi/e, non un valore, ma una probabilità “a-priori”
Con operazioni computazionalmente costose,
possiamo calcolare:
la probabilità di ottenere una certa previsione assegnato il passato. Possiamo
quindi pensare di valutare la previsione media , e la sua
variabilità, portando ad una valutazione delle incertezze.
Osservate però che la probabilità non è materia di causalità, ma solo
di relazioni
R. Rigon
Playing with Bayes
Friday, October 26, 12
71
Il teorema di Bayes
è l a d i s t r i b u z i o n e , i n g e n e r e multivariata, dei parametri assegnata a-priori (prior)
è l’evidenza (evidence) che danno i modello
R. Rigon
Playing with Bayes
Friday, October 26, 12
72
Parameters
si chiama verosimiglianza (likelihood)
la distribuzione dei parametri , etc., c ond i z i ona ta a l l e s imu laz i on i (posterior)
Se si vuole, quest’ultima è uno studio della probabilità delle ipotesi
R. Rigon
Playing with Bayes
Friday, October 26, 12
73
Si osservi, assegnato il nuovo set di parametri
si può ripetere l’operazione, sino ad identificare la distribuzione dei parametri compatibile con le
informazioni contenute nel modello
Senza voler essere conclusivi, in questo argomento abbastanza complesso
R. Rigon
Playing with Bayes
Friday, October 26, 12
74
Ma si potrebbero fare molti altri giochi
R. Rigon
Playing with Bayes
Friday, October 26, 12
Opinioni finali
Rod
en -
Il p
ensa
tore
Friday, October 26, 12
76
To sum up
•L’incertezza nelle previsioni è inevitabile
•Si fanno sempre - e spesso deliberatamente - errori epistemici
•Sarebbe bene introdurre nei modelli dei modelli di errore (quelli conosciuti ovviamente)
R. Rigon
Friday, October 26, 12
77
To sum up
•Dei modelli vanno verificati sia la consistenza delle assunzioni, la struttura
formale e, naturalmente, i risultati (su molti casi studio).
•Le assunzioni andrebbero consolidate sulla base di principi generali
R. Rigon
Friday, October 26, 12
78
To sum up
R. Rigon
ModelliResponsabilità
Decisioni
*Alcuni commenti sulla responsabilità degli scienziati, dei tecnici e dei politici
Friday, October 26, 12
Sbagliamo con i modelli ?
Certo che sbagliamo: ma figuriamoci senza !
S. Marani
Friday, October 26, 12
Grazie per l’attenzione!
G.U
lric
i, 2
00
0 ?
80
R. Rigon
Grazie per l’invito ...
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