Riflessioni su errori ed incertezza nelle previsioni

Prevedo. Sbaglio.

Mi correggo!

Gal

ileo

Gal

ilei

Riccardo Rigon

Friday, October 26, 12

In memoria di

Sandro Marani

(1936-2012)


Si impara dai propri errori: per

questo imparare è così faticoso.


4

L’esperimento

Al centro della concezione Galileiana c’è la possibilità di eseguire “sensati

esperimenti”. Ovvero di condurre esperienze ideali in cui gli elementi che

controllano la dinamica dell’esperimento sono rigorosamente controllati

e misurati.

Straulino, Physics Education, 2008

Elementi di metodo

R. Rigon


5

L’esperimento

Ogni esperimento deve essere riproducibile. Se le condizioni

dell’esperimento sono riprodotte, allora i risultati dovranno

essere gli stessi.

Stra

uli

no, P

hys

ics

Edu

cati

on

, 20

08

Elementi di metodo

R. Rigon


6

L’esperimento

I rapporti tra le grandezze misurate sono poi tradotte in termini matematici,

ovvero in un linguaggio simbolico e formale.

“Non entri chi non sa la matematica”*

*Scritta che si dice fosse sull’entrata dell’Accademia di Platone

Elementi di metodo

R. Rigon


7

L’esperimento

Controllato

Misurato

Riproducibile

Traducibile in un linguaggio simbolico e formale

Elementi di metodo

R. Rigon


Prevedo

Isaa

c N

ewto

n


9

Le equazioni

Le equazioni sono parte di questo linguaggio formale. Esse esprimono

relazioni tra quantità (nelle intenzioni misurabili), nella forma di funzioni e

di rapporti tra “variazioni”. Nel caso di cui sopra, la seconda legge della

dinamica per un oggetto puntiforme, si tratta della variazione della velocità,

l’accelerazione, , nel tempo. Equazioni di questo tipo si dicono equazioni

differenziali.

Equazioni: come strumenti per prevedere il futuro

R. Rigon


10

Problemi ai valori iniziali

L’accelerazione è la variazione di velocità:

La velocità è la variazione di posizione:


R. Rigon


11


Un problema dinamico è risolto quando è risolta l’equazione iniziale,

assegnati velocità e posizione iniziale.


R. Rigon


12


Per fare questo è necessario:

•trovare una funzione che descriva la forza

•assegnare la posizione iniziale e la velocità iniziale del sistema

•aver misurato la massa inerziale

A questo punto, passato, presente e futuro sono completamente

determinati


R. Rigon


13

L’esperimento

Controllato

Misurato

Riproducibile

Equazioni e misure

R. Rigon


14

L’esperimento


Supporta un problema alle condizioni iniziali

E ci permette di prevedere il futuro !

Equazioni e misure

R. Rigon


15

"Tutti gli avvenimenti, anche quelli che per la loro piccolezza non

sembrano essere dominati dalle grandi leggi della natura, ne sono una

conseguenza così necessaria come le rivoluzioni del Sole.

Nell'ignoranza dei legami che li uniscono all'intero sistema

dell'universo, li si fa dipendere da cause finali o dal caso. Ma queste

cause immaginarie sono state successivamente arretrate fino ai limiti

delle nostre conoscenze, e svaniscono del tutto davanti alla sana

filosofia, che non vede in esse se non l'espressione dell'ignoranza in cui

siamo circa le vere cause.

Pierre Simon de LaplaceSaggio sulle probabilità, 1814

Equazioni e misure

R. Rigon


16

Un'intelligenza che per un dato istante conoscesse tutte le forze da cui

la natura è animata e la situazione rispettiva degli esseri che la

compongono, se fosse così vasta da sottoporre questi dati all'analisi,

abbraccerebbe in un'unica e medesima formula i movimenti dei più

grandi corpi dell'universo e quelli del più lieve atomo:

nulla sarebbe incerto per essa, e l'avvenire,

come il passato, sarebbe presente ai suoi

occhi."

Pierre Simon de LaplaceSaggio sulle probabilità, 1814

Equazioni e misure

R. Rigon


17

Paradossalmente, Laplace che diceva che Dio è un’ipotesi di cui non aveva

bisogno, pone a base del suo determinismo una mente onnipotente !

Io preferisco pensare che, semplicemente ci sono cose conoscibili e cose non

conoscibili. Tra queste, per esempio, rientrano le condizioni iniziali di un

sistema fisico classico.

Tuttavia, come vedremo, il fatto che una certa situazione sia o no conoscibile

esattamente non sempre è cruciale

Riccardo Rigon

Pensa Trasversale

Riflessioni

R. Rigon


De-costruiamo il processoGalileiano-Newtoniano


19

L’esperimento

Controllato

Un esperimento controllato, un classico esperimento ideale, è quello in cui

1, UNA SOLA

sola variabile è studiata alla volta e gli sperimentatori tentano di rendere ogni

costante variabile dell’esperimento, eccettuata quella lasciata mutare.

Spesso gli sperimentatori cercano anche di effettuare degli esperimenti di

controllo in cui, per esempio, si cerca di mantenere anche la variabile da

controllare costante.

Pensa trasversale

R. Rigon


20

L’esperimento

Controllato

Quando Galileo effettuò i suoi esperimenti con i pesi, lo fece usando diverse

sostanze, ma mantenendo la stessa altezza, usò oggetti di forma uguale,

cosicchè, alla fine, solo il peso dell’oggetto variava.

Ma

gri

tte

- So

uve

nir

de

voya

ge,

19

21

Pensa trasversale

R. Rigon


21

L’esperimento

Controllato

Il mancato controllo completo delle variabili dell’esperimento introduce degli

errori.

Ma

gri

tte

- So

uve

nir

de

voya

ge,

19

21

Pensa trasversale

R. Rigon


22

L’esperimento

Misurato

Riproducibile

Ovviamente Galileo assume che ci sia qualcosa da misurare, lunghezze, tempi,

principalmente. Ma talvolta le grandezze da analizzare non sono direttamente

misurabili per confronto.

Pensa trasversale

R. Rigon


23

L’esperimento

Misurato

Riproducibile

La misura richiede strumenti che hanno una loro fisica (e talvolta una loro

dinamica). Ed una misura non è mai perfetta. Ripetendo l’esperimento spesso si

ottengono misure differenti.

Pensa trasversale

R. Rigon


24

L’esperimento

Non da mai risultati certi

Spesso consideriamo l’errore trascurabile ma la misura rimane sempre

una stima. Se l’errore sia veramente trascurabile, dipende anche da ciò

che vogliamo ottenere.

Pensa trasversale


“Fare Scienza è oggi una attività che

non si svolge più nella notte dei secoli

bui, nè alla chiara luce dei lumi, ma nel

crepuscolo della probabilità ”

Paolo Agnoli citando Paolo Vineis che cita John

Locke


26

L’esperimento


se introduciamo gli errori e l’incertezza derivante dalle misure, nella seconda legge della dinamica:

non c’e’ errore sull’accelerazione perchè è in funzione della variabile indipendente, la posizione

Pensa trasversale

R. Rigon


27

La seconda equazione della dinamica

contiene errori combinati in vario modo(in realtà la situazione è più complicata perchè gli errori non sono solo additivi)

ed è, fondamentalmente, un’equazione diversa quella che andiamo a risolvere.

Pensa trasversale

R. Rigon


28

Il problema da risolvere è un problema diverso di quello “standard”, se vogliamo tener conto degli errori.

NON SOLO

e, ovviamente, anche le condizioni iniziali sono note con incertezza

Supporta un problema alle condizioni iniziali

Pensa trasversale

R. Rigon


29

Rod

en -

Il p

ensa

tore

Normalmente abbiamo in mano le equazioni giuste solo in apparenza

E non ci permette di prevedere il futuro con precisione assoluta !

Pensa trasversale

R. Rigon


30

c’e’ anche un altro aspetto trascurato

Non di tutte le equazioni esiste una soluzione “analitica” (una formula risolvente esplicita)

Non di tutte le equazioni esiste ed è unica la soluzione

Pensa trasversale

R. Rigon


31

Analitica a chi ?La parola “analitico” è una grande frode. Starebbe ad intendere una

conoscenza assoluta dei valori della funzione. Per lo più, se escludiamo i

polinomi, le funzioni, per esempio le funzioni trascendenti, non sono

invece note in modo assoluto, ma solo per approssimazioni.

Pensa trasversale

R. Rigon


32

Analitica a chi ?

Così, anche le equazioni che hanno soluzioni in forma nota, analitica, non sono

in realtà, vorrei dire, “in ultima analisi”, ;-), note esattamente, ma solo in

astratto, come per il numero pi greco.

Pensa trasversale

R. Rigon


33

Le equazioni si possono risolvere solo numericamente, cioè con

metodi approssimati, portando a risultati

incerti.

Per lo più

Pensa trasversale

R. Rigon


34

L’errore può essere “epistemico”

Ovvero anche l’equazione di partenza può essere sbagliata. Stando all’esempio, non solo

Perchè la forza e la massa (i parametri) dell’equazione non sono noti esattamente, ma anche perchè, la seconda legge della dinamica potrebbe non essere quella, ma richiedere piccole (?) modifiche

Sbagliato sino in fondo ?

R. Rigon


35

L’errore può essere “epistemico”

Che è, con qualche imprecisione notazionale la seconda legge della dinamica nella relatività ristretta.

Alb

ert

Ein

stei

n

Sbagliato sino in fondo ?

R. Rigon


36

Ovviamente essendo la matematica un linguaggio formale

Ha dei limiti di rappresentazione

Per i greci antichi la matematica era la geometria euclidea. Per i nostri discendenti forse avrà forse

una forma diversa

Riflessioni

R. Rigon


37

Quanto illustrato è naturalmente

il caso semplice

Di un corpo puntiforme, con pochi gradi di libertà

Riflessioni

R. Rigon


Fluidi

Hoku

sai


39

Un fluido è un oggetto molto più complesso di un punto

Per esempio, l’equazione della dinamica (di Newton!), di un fluido

Newtoniano è:

conosciuta con equazione di Navier-Stokes

Adding complexity

R. Rigon


40

Un fluido è un oggetto molto più complesso di un punto

Per esempio, l’equazione della dinamica (di Newton!), di un fluido

Newtoniano è:

conosciuta con equazione di Navier-Stokes ;-)

Adding complexity

R. Rigon


41

“Forze” di vario generedensità del fluido

“Accelerazioni”

Senza entrare nei dettagli

Si tratta di equazioni differenziali alle derivate parziali

Adding complexity

R. Rigon


42

Si vuole risolta l’equazione

su tutto un determinato dominioci vuole ben più du Navier-Stokes per descrivere i fenomeni idrologici correlati a quello che vedete

Adding complexity

R. Rigon


43

Bisogna assegnare, non solo le condizioni inizialiin ogni punto del dominio

ma anche le condizioni al contorno per ogni istante di tempo che si vuole modellare

Adding complexity

R. Rigon


44

Avremmo bisogno di

misure !

Adding complexity

R. Rigon


45

Non essendo questo possibile

introduciamo

errori e approsimazioni

Adding complexity

R. Rigon


46

Inoltre le Geo-scienze

usano gli esperimenti in modo diverso della ricerca puramente Galileiana

Non si fanno esperimenti veri e proprima si registrano invece eventi* e molti eventi (una

piena, un terremoto) non sono certamente ripetibili.

*Molti miei colleghi arguirebbero qui che loro fanno molti esperimenti in laboratorio ... ma

Riflessioni

R. Rigon


47

Ci si trova quindi nelle condizioni

di dover ricostruire le condizioni “di controllo” di un esperimento da una serie

di misure parziali e di indizi

Ren

è M

agri

tte

- La

con

diz

ion

e u

ma

na

, 19

33

Riflessioni

R. Rigon


48

Fare approssimazioni è dunque inevitabile

Ma è così grave ?

Ren

è M

agri

tte

- La

cle

f d

e ve

rre,

19

59

Riflessioni

R. Rigon


49

Se guardiamo al moto dei pianetiattorno al sole

essi ritornano con una certa regolarità, all’incirca nelle stesse posizioni relative.

Se sbagliamo di un po’ la soluzione delle equazioni che li regolano, non abagliamo

di molto. I fenomeni sono ciclici, e l’errore di previsione che si fa rimane limitato

nel tempo.

NA

SA/J

PL r

econ

stru

ctio

nCiclicità

R. Rigon


50

Caos deterministico

Non è il nome di una rock band

Lor

enz‘

s a

ttra

ctor

E il suo contrario

R. Rigon


51

Se il sistema è caotico

Preparati due esperimenti con il sistema in due in condizioni iniziali qualsivoglia prossime, esso evolverà in direzioni diverse: tanto diverse quanto la variabilità

del sistema lo permette.

Ogni errore iniziale diventa importante e il sistema diventa

impredicibile

Il sistema meteorologico terrestre è così

Impredicibilità

R. Rigon


52

Se il sistema è caotico

Ogni errore nelle condizioni iniziali (e/o) al contorno diventa arbitrariamente grande

Può piovere o no, senza che riusciamo a prevederlo

Impredicibilità

R. Rigon


53

Poco male se le condizioni inizialie i parametri

fossero ovunque uniformi

Rot

hko

- U

nti

tled

Eterogeneità

R. Rigon


54

Invece sono anche eterogenei

Shozo S

him

amoto

Eterogeneità

R. Rigon


55

Per conoscere l’informazione quibastano pochi numeri

(è solo un’impressione)

Qui ce ne vuole un po’ di più (almeno in funzione della complessità dei patterns)

Eterogeneità

R. Rigon


56

In fondo un’immagine è solo una sequenza di numeri

Solo che alcune sequenze di numeri possono essere “compresse”, altre di meno. Una sequenza di numeri completamente casuale, non può essere compressa

Eterogeneità -> Casualità

R. Rigon


57

Lan

dsa

t Im

age

Questa è una immagine o una misura di qualcosa ?

Un esempio

R. Rigon


58

Maggiore eterogenità=

Maggiore casualità=

Maggiore informazione necessaria=

Maggiore incertezza nelle previsioni

Riflessioni

R. Rigon


59

A meno che ...

“ Non si può negare che il nostro universo non è il caos; noi

riconociamo essere, cose, oggetti che noi chiamiamo con nomi.

Questi oggetti o cose sono forme, strutture dotate di una certa

stabilità; che riempiono una certa porzione di spazio e durano

per un certo tempo ...” R. Thom, Structural stabity and morphogenesys,1975

E dunque non si constati che molta informazione non sia

rilevante a descrivere queste forme, patterns, e siano

importanti solo statistiche di quanto descriviamo.

A ben vedere, anche le equazioni di Navier-Stokes, o la stessa

seconda legge della dinamica, hanno la valenza di statistica di

una realtà soggiacente, ad una scala più fine.

Dio è buono

R. Rigon


60

In ogni caso

Determinare i parametri di un insieme di equazioni, che si assumono

note e veritiere, in un’ambito eterogeneo, in funzione di una serie di

misure effettuate durante un certo evento

è un problema inverso

particolarmente mal posto dal punto di vista matematico e consente, al più

di selezionare, non un insieme di parametri, ma molti insiemi di parametri

“ottimali”, o se vogliamo, “non inacettabili”.

Problemi diretti e problemi inversi

R. Rigon


Alla luce della nostra ignoranza

Th

om

as B

ayes

a little of Bayesian inference


62

La probabilità condizionale

Visto che non conosciamo con certezza il valore di una variabile, una buona

strategia potrebbe essere quella di cercare di attribuire ad essa una probabilità.

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ad ogni valore della variabile, un numero tra 0 ed 1

Bayes

R. Rigon


63


Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in seguito alla

conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si scrive:

Implicitamente od esplicitamente: ogni distribuzione di probabilità è

condizionale

Bayes

R. Rigon


63


Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in seguito alla

conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si scrive:

La conoscenza che ci ha permesso di assegnare la probabilità

Implicitamente od esplicitamente: ogni distribuzione di probabilità è

condizionale

Bayes

R. Rigon


64


O più semplicemente:

se l’evento x è condizionato da y

Bayes

R. Rigon


65

Probabilità composte

Come negli esempi iniziali, à possibile considerare, il contemporaneo

realizzarsi di più insiemi di eventi. Si parla allora di Probabilità

composta o multivariata:

P (A, B)A, B � �

Bayes

R. Rigon


66

Il Teorema di Bayes

Dice che la distribuzione di probabilità (pdf) di due variabili casuali, x e y è

data da

dove è la probabilità di ottenere x da un campione casuale, una volta che

sia stato ottenuto y, èd è chiamata probabilità condizionale di x rispetto ad y, e

p(y) è la probabilità di ottenere y. Equivalentemente il teorema si legge anche:

vista la simmetria esistente tra le variabili x e y

Bayes TheoremBayes

R. Rigon


67

Probabilità condizionaleformula di Bayes

AB

Ω

P (A|B) =P (A �B)

P (B)

Bayes

R. Rigon


68

Ritorniamo ora ad un problemaai valori iniziali

Abbiamo delle condizioni iniziali

Abbiamo delle condizioni al contorno

Abbiamo dei parametri che regolano la struttura delle equazioni (e la forma delle loro soluzioni)

Abbiamo dei dati che misurano le quantità previste dalle equazioni

Playing with Bayes

R. Rigon


69

Assegnamo per essi/e, non un valore, ma una probabilità “a-priori”

Che scriviamo per semplicità

R. Rigon

Playing with Bayes


70

Assegnamo per essi/e, non un valore, ma una probabilità “a-priori”

Con operazioni computazionalmente costose,

possiamo calcolare:

la probabilità di ottenere una certa previsione assegnato il passato. Possiamo

quindi pensare di valutare la previsione media , e la sua

variabilità, portando ad una valutazione delle incertezze.

Osservate però che la probabilità non è materia di causalità, ma solo

di relazioni

R. Rigon

Playing with Bayes


71

Il teorema di Bayes

è l a d i s t r i b u z i o n e , i n g e n e r e multivariata, dei parametri assegnata a-priori (prior)

è l’evidenza (evidence) che danno i modello

R. Rigon

Playing with Bayes


72

Parameters

si chiama verosimiglianza (likelihood)

la distribuzione dei parametri , etc., c ond i z i ona ta a l l e s imu laz i on i (posterior)

Se si vuole, quest’ultima è uno studio della probabilità delle ipotesi

R. Rigon

Playing with Bayes


73

Si osservi, assegnato il nuovo set di parametri

si può ripetere l’operazione, sino ad identificare la distribuzione dei parametri compatibile con le

informazioni contenute nel modello

Senza voler essere conclusivi, in questo argomento abbastanza complesso

R. Rigon

Playing with Bayes


74

Ma si potrebbero fare molti altri giochi

R. Rigon

Playing with Bayes


Opinioni finali

Rod

en -

Il p

ensa

tore


76

To sum up

•L’incertezza nelle previsioni è inevitabile

•Si fanno sempre - e spesso deliberatamente - errori epistemici

•Sarebbe bene introdurre nei modelli dei modelli di errore (quelli conosciuti ovviamente)

R. Rigon


77

To sum up

•Dei modelli vanno verificati sia la consistenza delle assunzioni, la struttura

formale e, naturalmente, i risultati (su molti casi studio).

•Le assunzioni andrebbero consolidate sulla base di principi generali

R. Rigon


78

To sum up

R. Rigon

ModelliResponsabilità

Decisioni

*Alcuni commenti sulla responsabilità degli scienziati, dei tecnici e dei politici


Sbagliamo con i modelli ?

Certo che sbagliamo: ma figuriamoci senza !

S. Marani


Grazie per l’attenzione!

G.U

lric

i, 2

00

0 ?

80

R. Rigon

Grazie per l’invito ...
