SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
IVAN ŠVAGANOVIĆ
RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA
ZLATA I ALUMINIJA
Diplomski rad
Osijek 2012
i
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
IVAN ŠVAGANOVIĆ
RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA
ZLATA I ALUMINIJA
Diplomski rad
predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta J J Strossmayera u Osijeku
radi stjecanja zvanja magistra edukacije fizike i informatike
Osijek 2012
ii
Ovaj diplomski rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom profdrsc Branka Vukovića i asistenta Igora Miklavčića u sklopu
Sveučilišnog diplomskog studija
fizike i informatike na Odjelu za fiziku Sveučilišta
Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku
iii
Ovim putem zahvaljujem se profdrsc Branku Vukoviću na savjetima pri izradi ovog
diplomskog rada te asistentu Igoru Miklavčiću na pomoći pri izvođenju eksperimenta
prikazanog u ovom radu
Velika zahvala mojoj majci baki ujaku djevojci i cimeru na pomoći tijekom cijelog
studija bez čije bi cjelokupne podrške ovaj rad bilo puno teže napraviti
Ivan Švaganović
iv
Sadržaj
1 Uvod 1
2 Atom 2
21 Demokritov model atoma 2
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari 3
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model 3
24 Model Sunčevog sustava 4
25 Rutherfordov model atoma 4
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila 7
31 Kinematika raspršenja 8
32 Dinamika raspršenja 14
4 Elastično raspršenje krutih kugli 18
5 Rutherfordovo raspršenje 21
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu 24
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija 26
61 Princip rada 27
62 Popis pribora 27
63 Zadaci 27
64 Postavke opreme i mjerenja 28
65 Mjerenje 28
66 Pogreške mjerenja 30
67 Rezultati mjerenja 31
671 Zadatak 1 31
672 Zadatak 2 33
7 Zaključak 35
8 Literatura 37
9 Životopis 38
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza 39
101 Uvod 39
102 Model jednostavne regresije 40
103 Jednostavna linearna regresija 41
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije 44
v
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Diplomski rad
Odjel za fiziku
RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA
ZLATA I ALUMINIJA
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Sažetak
Ovaj diplomski rad govori o otkriću građe atoma U početku se osvrćemo na povijesne
modele atoma (Demokritov Thomsonov) koji su u svoje vrijeme bili općeprihvaćeni kao
ispravna teorija sve dok se nije pojavila neka nova i točnija Povijesni osvrt završavamo s
Rutherfordovim modelom kojeg ćemo pomnije proučiti Nakon toga krećemo od
najosnovnijih postavki za Rutherfordov model atoma a to je teorija raspršenja koju smo
razvili koristeći se samo zakonima klasične mehanike kao što je svojedobno napravio i sam
Rutherford Matematički izvod nas dovodi do Rutherfordove teorije raspršenja koju ćemo
našim eksperimentom pokušati potvrditi kao valjanu Nakon što matematičkim putem dođemo
do Rutherfordove teorije raspršenja čestica u Coulombovom potencijalu eksperimentom
obavljenim na Odjelu za fiziku u Osijeku pokazujemo valjanost Rutherfordove teorije broja
raspršenih čestica u odnosu na kut raspršenja i u odnosu na materijal na kojem se čestice
raspršuju U dodatku se još nalazi statistička metoda jednostavne regresijske analize koju smo
koristili za obradu podataka
Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku
Ključne riječi analiza atom čestice raspršenje Rutherford zlato
Mentori prof dr sc Branko Vuković Igor Miklavčić
Ocjenjivači
Rad prihvaćen
vi
J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis
Department of Physics
RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND
ALLUMINIUM FOIL
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Abstract
This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back
at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were
generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared
Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After
that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the
theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once
Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that
we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical
theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show
the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the
scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by
conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the
statistical method of simple regression analysis that we used for data processing
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering
Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić
Reviewers
Thesis accepted
1
1 Uvod
Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je
građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i
ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u
kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas
okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a
najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U
početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim
razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se
znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća
mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo
proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma
te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela
atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma
vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru
atoma
2
2 Atom
Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako
sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije
čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i
dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u
svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu
s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest
je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije
21 Demokritov model atoma
Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i
Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni
Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim
dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto
što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora
a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj
beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu
i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od
atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi
Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili
neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor
koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor
beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao
je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a
pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke
atomi površine crte a atomi obujma tanki listići
3
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari
Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković
rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru
matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz
područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije
svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je
djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a
osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u
prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne
točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je
odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila
neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u
točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još
pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao
tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd
Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J
Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio
Boškovićevom teorijom stabilnih putanja
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model
1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni
naboj nekog iona 10-19
C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je
promjer atoma oko 10-10
m a elektrona 10-15
m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za
katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja
od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma
tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo
sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da
su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio
atomske mase pozitivan
4
Slika 1 Thomsonov model atoma
Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje
pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina
elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju
24 Model Sunčevog sustava
Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro
Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno
nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim
pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju
frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i
ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju
zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan
25 Rutherfordov model atoma
1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon
prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu
5
Slika 2 Rutherfordov eksperiment
Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz
foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma
pogrešan
Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata
Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti
rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi
odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u
kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
i
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
IVAN ŠVAGANOVIĆ
RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA
ZLATA I ALUMINIJA
Diplomski rad
predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta J J Strossmayera u Osijeku
radi stjecanja zvanja magistra edukacije fizike i informatike
Osijek 2012
ii
Ovaj diplomski rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom profdrsc Branka Vukovića i asistenta Igora Miklavčića u sklopu
Sveučilišnog diplomskog studija
fizike i informatike na Odjelu za fiziku Sveučilišta
Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku
iii
Ovim putem zahvaljujem se profdrsc Branku Vukoviću na savjetima pri izradi ovog
diplomskog rada te asistentu Igoru Miklavčiću na pomoći pri izvođenju eksperimenta
prikazanog u ovom radu
Velika zahvala mojoj majci baki ujaku djevojci i cimeru na pomoći tijekom cijelog
studija bez čije bi cjelokupne podrške ovaj rad bilo puno teže napraviti
Ivan Švaganović
iv
Sadržaj
1 Uvod 1
2 Atom 2
21 Demokritov model atoma 2
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari 3
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model 3
24 Model Sunčevog sustava 4
25 Rutherfordov model atoma 4
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila 7
31 Kinematika raspršenja 8
32 Dinamika raspršenja 14
4 Elastično raspršenje krutih kugli 18
5 Rutherfordovo raspršenje 21
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu 24
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija 26
61 Princip rada 27
62 Popis pribora 27
63 Zadaci 27
64 Postavke opreme i mjerenja 28
65 Mjerenje 28
66 Pogreške mjerenja 30
67 Rezultati mjerenja 31
671 Zadatak 1 31
672 Zadatak 2 33
7 Zaključak 35
8 Literatura 37
9 Životopis 38
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza 39
101 Uvod 39
102 Model jednostavne regresije 40
103 Jednostavna linearna regresija 41
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije 44
v
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Diplomski rad
Odjel za fiziku
RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA
ZLATA I ALUMINIJA
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Sažetak
Ovaj diplomski rad govori o otkriću građe atoma U početku se osvrćemo na povijesne
modele atoma (Demokritov Thomsonov) koji su u svoje vrijeme bili općeprihvaćeni kao
ispravna teorija sve dok se nije pojavila neka nova i točnija Povijesni osvrt završavamo s
Rutherfordovim modelom kojeg ćemo pomnije proučiti Nakon toga krećemo od
najosnovnijih postavki za Rutherfordov model atoma a to je teorija raspršenja koju smo
razvili koristeći se samo zakonima klasične mehanike kao što je svojedobno napravio i sam
Rutherford Matematički izvod nas dovodi do Rutherfordove teorije raspršenja koju ćemo
našim eksperimentom pokušati potvrditi kao valjanu Nakon što matematičkim putem dođemo
do Rutherfordove teorije raspršenja čestica u Coulombovom potencijalu eksperimentom
obavljenim na Odjelu za fiziku u Osijeku pokazujemo valjanost Rutherfordove teorije broja
raspršenih čestica u odnosu na kut raspršenja i u odnosu na materijal na kojem se čestice
raspršuju U dodatku se još nalazi statistička metoda jednostavne regresijske analize koju smo
koristili za obradu podataka
Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku
Ključne riječi analiza atom čestice raspršenje Rutherford zlato
Mentori prof dr sc Branko Vuković Igor Miklavčić
Ocjenjivači
Rad prihvaćen
vi
J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis
Department of Physics
RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND
ALLUMINIUM FOIL
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Abstract
This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back
at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were
generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared
Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After
that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the
theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once
Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that
we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical
theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show
the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the
scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by
conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the
statistical method of simple regression analysis that we used for data processing
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering
Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić
Reviewers
Thesis accepted
1
1 Uvod
Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je
građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i
ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u
kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas
okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a
najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U
početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim
razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se
znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća
mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo
proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma
te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela
atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma
vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru
atoma
2
2 Atom
Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako
sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije
čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i
dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u
svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu
s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest
je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije
21 Demokritov model atoma
Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i
Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni
Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim
dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto
što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora
a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj
beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu
i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od
atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi
Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili
neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor
koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor
beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao
je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a
pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke
atomi površine crte a atomi obujma tanki listići
3
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari
Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković
rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru
matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz
područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije
svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je
djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a
osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u
prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne
točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je
odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila
neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u
točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još
pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao
tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd
Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J
Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio
Boškovićevom teorijom stabilnih putanja
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model
1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni
naboj nekog iona 10-19
C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je
promjer atoma oko 10-10
m a elektrona 10-15
m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za
katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja
od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma
tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo
sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da
su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio
atomske mase pozitivan
4
Slika 1 Thomsonov model atoma
Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje
pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina
elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju
24 Model Sunčevog sustava
Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro
Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno
nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim
pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju
frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i
ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju
zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan
25 Rutherfordov model atoma
1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon
prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu
5
Slika 2 Rutherfordov eksperiment
Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz
foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma
pogrešan
Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata
Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti
rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi
odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u
kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
ii
Ovaj diplomski rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom profdrsc Branka Vukovića i asistenta Igora Miklavčića u sklopu
Sveučilišnog diplomskog studija
fizike i informatike na Odjelu za fiziku Sveučilišta
Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku
iii
Ovim putem zahvaljujem se profdrsc Branku Vukoviću na savjetima pri izradi ovog
diplomskog rada te asistentu Igoru Miklavčiću na pomoći pri izvođenju eksperimenta
prikazanog u ovom radu
Velika zahvala mojoj majci baki ujaku djevojci i cimeru na pomoći tijekom cijelog
studija bez čije bi cjelokupne podrške ovaj rad bilo puno teže napraviti
Ivan Švaganović
iv
Sadržaj
1 Uvod 1
2 Atom 2
21 Demokritov model atoma 2
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari 3
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model 3
24 Model Sunčevog sustava 4
25 Rutherfordov model atoma 4
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila 7
31 Kinematika raspršenja 8
32 Dinamika raspršenja 14
4 Elastično raspršenje krutih kugli 18
5 Rutherfordovo raspršenje 21
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu 24
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija 26
61 Princip rada 27
62 Popis pribora 27
63 Zadaci 27
64 Postavke opreme i mjerenja 28
65 Mjerenje 28
66 Pogreške mjerenja 30
67 Rezultati mjerenja 31
671 Zadatak 1 31
672 Zadatak 2 33
7 Zaključak 35
8 Literatura 37
9 Životopis 38
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza 39
101 Uvod 39
102 Model jednostavne regresije 40
103 Jednostavna linearna regresija 41
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije 44
v
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Diplomski rad
Odjel za fiziku
RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA
ZLATA I ALUMINIJA
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Sažetak
Ovaj diplomski rad govori o otkriću građe atoma U početku se osvrćemo na povijesne
modele atoma (Demokritov Thomsonov) koji su u svoje vrijeme bili općeprihvaćeni kao
ispravna teorija sve dok se nije pojavila neka nova i točnija Povijesni osvrt završavamo s
Rutherfordovim modelom kojeg ćemo pomnije proučiti Nakon toga krećemo od
najosnovnijih postavki za Rutherfordov model atoma a to je teorija raspršenja koju smo
razvili koristeći se samo zakonima klasične mehanike kao što je svojedobno napravio i sam
Rutherford Matematički izvod nas dovodi do Rutherfordove teorije raspršenja koju ćemo
našim eksperimentom pokušati potvrditi kao valjanu Nakon što matematičkim putem dođemo
do Rutherfordove teorije raspršenja čestica u Coulombovom potencijalu eksperimentom
obavljenim na Odjelu za fiziku u Osijeku pokazujemo valjanost Rutherfordove teorije broja
raspršenih čestica u odnosu na kut raspršenja i u odnosu na materijal na kojem se čestice
raspršuju U dodatku se još nalazi statistička metoda jednostavne regresijske analize koju smo
koristili za obradu podataka
Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku
Ključne riječi analiza atom čestice raspršenje Rutherford zlato
Mentori prof dr sc Branko Vuković Igor Miklavčić
Ocjenjivači
Rad prihvaćen
vi
J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis
Department of Physics
RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND
ALLUMINIUM FOIL
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Abstract
This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back
at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were
generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared
Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After
that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the
theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once
Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that
we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical
theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show
the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the
scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by
conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the
statistical method of simple regression analysis that we used for data processing
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering
Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić
Reviewers
Thesis accepted
1
1 Uvod
Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je
građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i
ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u
kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas
okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a
najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U
početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim
razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se
znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća
mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo
proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma
te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela
atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma
vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru
atoma
2
2 Atom
Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako
sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije
čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i
dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u
svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu
s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest
je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije
21 Demokritov model atoma
Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i
Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni
Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim
dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto
što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora
a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj
beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu
i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od
atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi
Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili
neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor
koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor
beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao
je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a
pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke
atomi površine crte a atomi obujma tanki listići
3
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari
Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković
rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru
matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz
područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije
svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je
djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a
osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u
prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne
točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je
odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila
neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u
točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još
pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao
tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd
Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J
Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio
Boškovićevom teorijom stabilnih putanja
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model
1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni
naboj nekog iona 10-19
C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je
promjer atoma oko 10-10
m a elektrona 10-15
m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za
katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja
od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma
tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo
sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da
su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio
atomske mase pozitivan
4
Slika 1 Thomsonov model atoma
Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje
pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina
elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju
24 Model Sunčevog sustava
Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro
Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno
nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim
pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju
frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i
ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju
zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan
25 Rutherfordov model atoma
1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon
prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu
5
Slika 2 Rutherfordov eksperiment
Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz
foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma
pogrešan
Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata
Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti
rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi
odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u
kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
iii
Ovim putem zahvaljujem se profdrsc Branku Vukoviću na savjetima pri izradi ovog
diplomskog rada te asistentu Igoru Miklavčiću na pomoći pri izvođenju eksperimenta
prikazanog u ovom radu
Velika zahvala mojoj majci baki ujaku djevojci i cimeru na pomoći tijekom cijelog
studija bez čije bi cjelokupne podrške ovaj rad bilo puno teže napraviti
Ivan Švaganović
iv
Sadržaj
1 Uvod 1
2 Atom 2
21 Demokritov model atoma 2
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari 3
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model 3
24 Model Sunčevog sustava 4
25 Rutherfordov model atoma 4
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila 7
31 Kinematika raspršenja 8
32 Dinamika raspršenja 14
4 Elastično raspršenje krutih kugli 18
5 Rutherfordovo raspršenje 21
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu 24
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija 26
61 Princip rada 27
62 Popis pribora 27
63 Zadaci 27
64 Postavke opreme i mjerenja 28
65 Mjerenje 28
66 Pogreške mjerenja 30
67 Rezultati mjerenja 31
671 Zadatak 1 31
672 Zadatak 2 33
7 Zaključak 35
8 Literatura 37
9 Životopis 38
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza 39
101 Uvod 39
102 Model jednostavne regresije 40
103 Jednostavna linearna regresija 41
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije 44
v
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Diplomski rad
Odjel za fiziku
RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA
ZLATA I ALUMINIJA
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Sažetak
Ovaj diplomski rad govori o otkriću građe atoma U početku se osvrćemo na povijesne
modele atoma (Demokritov Thomsonov) koji su u svoje vrijeme bili općeprihvaćeni kao
ispravna teorija sve dok se nije pojavila neka nova i točnija Povijesni osvrt završavamo s
Rutherfordovim modelom kojeg ćemo pomnije proučiti Nakon toga krećemo od
najosnovnijih postavki za Rutherfordov model atoma a to je teorija raspršenja koju smo
razvili koristeći se samo zakonima klasične mehanike kao što je svojedobno napravio i sam
Rutherford Matematički izvod nas dovodi do Rutherfordove teorije raspršenja koju ćemo
našim eksperimentom pokušati potvrditi kao valjanu Nakon što matematičkim putem dođemo
do Rutherfordove teorije raspršenja čestica u Coulombovom potencijalu eksperimentom
obavljenim na Odjelu za fiziku u Osijeku pokazujemo valjanost Rutherfordove teorije broja
raspršenih čestica u odnosu na kut raspršenja i u odnosu na materijal na kojem se čestice
raspršuju U dodatku se još nalazi statistička metoda jednostavne regresijske analize koju smo
koristili za obradu podataka
Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku
Ključne riječi analiza atom čestice raspršenje Rutherford zlato
Mentori prof dr sc Branko Vuković Igor Miklavčić
Ocjenjivači
Rad prihvaćen
vi
J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis
Department of Physics
RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND
ALLUMINIUM FOIL
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Abstract
This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back
at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were
generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared
Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After
that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the
theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once
Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that
we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical
theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show
the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the
scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by
conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the
statistical method of simple regression analysis that we used for data processing
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering
Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić
Reviewers
Thesis accepted
1
1 Uvod
Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je
građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i
ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u
kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas
okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a
najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U
početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim
razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se
znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća
mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo
proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma
te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela
atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma
vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru
atoma
2
2 Atom
Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako
sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije
čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i
dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u
svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu
s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest
je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije
21 Demokritov model atoma
Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i
Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni
Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim
dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto
što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora
a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj
beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu
i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od
atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi
Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili
neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor
koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor
beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao
je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a
pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke
atomi površine crte a atomi obujma tanki listići
3
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari
Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković
rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru
matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz
područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije
svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je
djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a
osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u
prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne
točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je
odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila
neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u
točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još
pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao
tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd
Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J
Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio
Boškovićevom teorijom stabilnih putanja
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model
1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni
naboj nekog iona 10-19
C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je
promjer atoma oko 10-10
m a elektrona 10-15
m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za
katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja
od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma
tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo
sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da
su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio
atomske mase pozitivan
4
Slika 1 Thomsonov model atoma
Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje
pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina
elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju
24 Model Sunčevog sustava
Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro
Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno
nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim
pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju
frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i
ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju
zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan
25 Rutherfordov model atoma
1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon
prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu
5
Slika 2 Rutherfordov eksperiment
Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz
foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma
pogrešan
Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata
Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti
rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi
odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u
kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
iv
Sadržaj
1 Uvod 1
2 Atom 2
21 Demokritov model atoma 2
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari 3
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model 3
24 Model Sunčevog sustava 4
25 Rutherfordov model atoma 4
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila 7
31 Kinematika raspršenja 8
32 Dinamika raspršenja 14
4 Elastično raspršenje krutih kugli 18
5 Rutherfordovo raspršenje 21
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu 24
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija 26
61 Princip rada 27
62 Popis pribora 27
63 Zadaci 27
64 Postavke opreme i mjerenja 28
65 Mjerenje 28
66 Pogreške mjerenja 30
67 Rezultati mjerenja 31
671 Zadatak 1 31
672 Zadatak 2 33
7 Zaključak 35
8 Literatura 37
9 Životopis 38
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza 39
101 Uvod 39
102 Model jednostavne regresije 40
103 Jednostavna linearna regresija 41
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije 44
v
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Diplomski rad
Odjel za fiziku
RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA
ZLATA I ALUMINIJA
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Sažetak
Ovaj diplomski rad govori o otkriću građe atoma U početku se osvrćemo na povijesne
modele atoma (Demokritov Thomsonov) koji su u svoje vrijeme bili općeprihvaćeni kao
ispravna teorija sve dok se nije pojavila neka nova i točnija Povijesni osvrt završavamo s
Rutherfordovim modelom kojeg ćemo pomnije proučiti Nakon toga krećemo od
najosnovnijih postavki za Rutherfordov model atoma a to je teorija raspršenja koju smo
razvili koristeći se samo zakonima klasične mehanike kao što je svojedobno napravio i sam
Rutherford Matematički izvod nas dovodi do Rutherfordove teorije raspršenja koju ćemo
našim eksperimentom pokušati potvrditi kao valjanu Nakon što matematičkim putem dođemo
do Rutherfordove teorije raspršenja čestica u Coulombovom potencijalu eksperimentom
obavljenim na Odjelu za fiziku u Osijeku pokazujemo valjanost Rutherfordove teorije broja
raspršenih čestica u odnosu na kut raspršenja i u odnosu na materijal na kojem se čestice
raspršuju U dodatku se još nalazi statistička metoda jednostavne regresijske analize koju smo
koristili za obradu podataka
Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku
Ključne riječi analiza atom čestice raspršenje Rutherford zlato
Mentori prof dr sc Branko Vuković Igor Miklavčić
Ocjenjivači
Rad prihvaćen
vi
J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis
Department of Physics
RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND
ALLUMINIUM FOIL
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Abstract
This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back
at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were
generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared
Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After
that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the
theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once
Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that
we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical
theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show
the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the
scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by
conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the
statistical method of simple regression analysis that we used for data processing
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering
Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić
Reviewers
Thesis accepted
1
1 Uvod
Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je
građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i
ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u
kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas
okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a
najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U
početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim
razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se
znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća
mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo
proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma
te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela
atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma
vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru
atoma
2
2 Atom
Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako
sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije
čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i
dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u
svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu
s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest
je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije
21 Demokritov model atoma
Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i
Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni
Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim
dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto
što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora
a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj
beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu
i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od
atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi
Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili
neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor
koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor
beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao
je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a
pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke
atomi površine crte a atomi obujma tanki listići
3
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari
Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković
rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru
matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz
područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije
svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je
djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a
osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u
prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne
točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je
odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila
neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u
točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još
pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao
tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd
Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J
Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio
Boškovićevom teorijom stabilnih putanja
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model
1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni
naboj nekog iona 10-19
C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je
promjer atoma oko 10-10
m a elektrona 10-15
m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za
katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja
od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma
tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo
sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da
su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio
atomske mase pozitivan
4
Slika 1 Thomsonov model atoma
Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje
pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina
elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju
24 Model Sunčevog sustava
Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro
Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno
nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim
pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju
frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i
ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju
zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan
25 Rutherfordov model atoma
1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon
prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu
5
Slika 2 Rutherfordov eksperiment
Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz
foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma
pogrešan
Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata
Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti
rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi
odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u
kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
v
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Diplomski rad
Odjel za fiziku
RUTHERFORDOVO RASPRŠENJE NA LISTIĆIMA
ZLATA I ALUMINIJA
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Sažetak
Ovaj diplomski rad govori o otkriću građe atoma U početku se osvrćemo na povijesne
modele atoma (Demokritov Thomsonov) koji su u svoje vrijeme bili općeprihvaćeni kao
ispravna teorija sve dok se nije pojavila neka nova i točnija Povijesni osvrt završavamo s
Rutherfordovim modelom kojeg ćemo pomnije proučiti Nakon toga krećemo od
najosnovnijih postavki za Rutherfordov model atoma a to je teorija raspršenja koju smo
razvili koristeći se samo zakonima klasične mehanike kao što je svojedobno napravio i sam
Rutherford Matematički izvod nas dovodi do Rutherfordove teorije raspršenja koju ćemo
našim eksperimentom pokušati potvrditi kao valjanu Nakon što matematičkim putem dođemo
do Rutherfordove teorije raspršenja čestica u Coulombovom potencijalu eksperimentom
obavljenim na Odjelu za fiziku u Osijeku pokazujemo valjanost Rutherfordove teorije broja
raspršenih čestica u odnosu na kut raspršenja i u odnosu na materijal na kojem se čestice
raspršuju U dodatku se još nalazi statistička metoda jednostavne regresijske analize koju smo
koristili za obradu podataka
Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku
Ključne riječi analiza atom čestice raspršenje Rutherford zlato
Mentori prof dr sc Branko Vuković Igor Miklavčić
Ocjenjivači
Rad prihvaćen
vi
J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis
Department of Physics
RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND
ALLUMINIUM FOIL
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Abstract
This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back
at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were
generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared
Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After
that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the
theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once
Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that
we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical
theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show
the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the
scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by
conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the
statistical method of simple regression analysis that we used for data processing
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering
Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić
Reviewers
Thesis accepted
1
1 Uvod
Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je
građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i
ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u
kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas
okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a
najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U
početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim
razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se
znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća
mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo
proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma
te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela
atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma
vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru
atoma
2
2 Atom
Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako
sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije
čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i
dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u
svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu
s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest
je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije
21 Demokritov model atoma
Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i
Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni
Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim
dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto
što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora
a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj
beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu
i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od
atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi
Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili
neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor
koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor
beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao
je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a
pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke
atomi površine crte a atomi obujma tanki listići
3
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari
Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković
rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru
matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz
područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije
svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je
djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a
osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u
prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne
točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je
odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila
neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u
točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još
pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao
tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd
Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J
Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio
Boškovićevom teorijom stabilnih putanja
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model
1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni
naboj nekog iona 10-19
C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je
promjer atoma oko 10-10
m a elektrona 10-15
m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za
katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja
od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma
tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo
sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da
su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio
atomske mase pozitivan
4
Slika 1 Thomsonov model atoma
Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje
pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina
elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju
24 Model Sunčevog sustava
Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro
Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno
nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim
pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju
frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i
ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju
zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan
25 Rutherfordov model atoma
1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon
prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu
5
Slika 2 Rutherfordov eksperiment
Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz
foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma
pogrešan
Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata
Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti
rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi
odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u
kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
vi
J J Strossmayer University in Osijek Bachelor of Science Thesis
Department of Physics
RUTHERFORD SCATTERING ON GOLD AND
ALLUMINIUM FOIL
IVAN ŠVAGANOVIĆ
Abstract
This thesis deals with the discovery of atomic structure In the beginning we look back
at the historical models of the atom (Demokritus Thomson) which in their time were
generally accepted as the correct theory until a new and more accurate one appeared
Historical review ends with Rutherford model which we will more closely examine After
that we start from the most basic settings for the Rutherford model of the atom and that is the
theory of scattering that we developed using only the laws of classical mechanics as it once
Rutherford did The mathematical derivation leads us to the Rutherford scattering theory that
we will try to confirm as valid through our experiment Once we get through the mathematical
theory to Rutherford scattering of the particles in the Coulomb potential we will try to show
the validity of the Rutherfords theory about number of scattered particles in relation to the
scattering angle and in relation to the material in which the particles are scattered by
conducting experiment at the Department of Physics in Osijek In addition there is the
statistical method of simple regression analysis that we used for data processing
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords analysis atom gold particles Rutherford scattering
Supervisor prof Branko Vuković PhD Igor Miklavčić
Reviewers
Thesis accepted
1
1 Uvod
Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je
građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i
ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u
kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas
okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a
najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U
početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim
razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se
znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća
mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo
proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma
te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela
atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma
vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru
atoma
2
2 Atom
Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako
sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije
čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i
dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u
svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu
s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest
je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije
21 Demokritov model atoma
Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i
Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni
Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim
dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto
što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora
a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj
beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu
i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od
atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi
Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili
neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor
koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor
beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao
je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a
pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke
atomi površine crte a atomi obujma tanki listići
3
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari
Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković
rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru
matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz
područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije
svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je
djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a
osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u
prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne
točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je
odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila
neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u
točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još
pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao
tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd
Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J
Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio
Boškovićevom teorijom stabilnih putanja
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model
1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni
naboj nekog iona 10-19
C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je
promjer atoma oko 10-10
m a elektrona 10-15
m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za
katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja
od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma
tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo
sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da
su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio
atomske mase pozitivan
4
Slika 1 Thomsonov model atoma
Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje
pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina
elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju
24 Model Sunčevog sustava
Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro
Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno
nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim
pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju
frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i
ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju
zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan
25 Rutherfordov model atoma
1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon
prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu
5
Slika 2 Rutherfordov eksperiment
Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz
foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma
pogrešan
Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata
Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti
rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi
odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u
kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
1
1 Uvod
Ne postoji razuman čovjek koji se nikada u svom životu nije zapitao od čega je
građeno sve oko njega Još od najdavnijih vremena kako se ljudska rasa sve više razvijala i
ljudi postajali svjesniji i znatiželjniji u traženju odgovora kojima bi opisali pojave i prirodu u
kojoj živimo nametnulo se važno pitanje od čega je sastavljen naš svijet i priroda koja nas
okružuje kao i bića koja u njoj žive Kroz povijest su se razvile mnoge teorije o tom pitanju a
najvažnije su one koje su svijet i građu materije opisivale pomoću sitnih čestica ndash ATOMA U
početcima to su bile teorije do kojih su veliki znanstvenici tih doba dolazili više filozofskim
razmišljanjima nego pravim zaključcima na temelju znanstvenih činjenica Kako su se
znanost i tehnologija sve više razvijale došlo je doba kada su ljudi početkom 20 stoljeća
mogli zaviriti u tajanstveni mikroskopski svijet atoma U nastavku ovog teksta pokušat ćemo
proći kroz razvoj svijesti o građi materije od samih početaka i Demokritovog modela atoma
te završiti s Rutherfordovim modelom koji je zadnji model prije pojave Bohrovog modela
atoma i kvantne mehanike Iako Rutherfordov model nije sasvim objasnio građu atoma
vrijednost njegova modela jest što je otkrio raspodjelu mase u atomu tj otkrio je jezgru
atoma
2
2 Atom
Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako
sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije
čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i
dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u
svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu
s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest
je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije
21 Demokritov model atoma
Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i
Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni
Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim
dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto
što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora
a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj
beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu
i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od
atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi
Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili
neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor
koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor
beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao
je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a
pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke
atomi površine crte a atomi obujma tanki listići
3
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari
Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković
rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru
matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz
područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije
svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je
djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a
osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u
prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne
točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je
odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila
neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u
točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još
pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao
tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd
Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J
Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio
Boškovićevom teorijom stabilnih putanja
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model
1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni
naboj nekog iona 10-19
C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je
promjer atoma oko 10-10
m a elektrona 10-15
m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za
katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja
od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma
tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo
sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da
su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio
atomske mase pozitivan
4
Slika 1 Thomsonov model atoma
Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje
pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina
elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju
24 Model Sunčevog sustava
Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro
Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno
nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim
pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju
frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i
ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju
zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan
25 Rutherfordov model atoma
1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon
prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu
5
Slika 2 Rutherfordov eksperiment
Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz
foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma
pogrešan
Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata
Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti
rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi
odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u
kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
2
2 Atom
Kada čujemo riječ atom velika većina nas pomisli na atomsku bombu ili na nešto jako
sitno od čega je sastavljen ovaj naš svijet Ljudi su do danas jako dobro istražili pa i najsitnije
čestice mnogo redova veličine manje od atoma od kojih je i sam atom građen no riječ atom i
dalje ostaje sinonim za osnovnu građevnu jedinicu svega živog i neživog na Zemlji i u
svemiru Riječ atom dolazi od starogrčke riječi atomos što znači nedjeljiv što je bilo u skladu
s vjerovanjem aktualnim do 19 stoljeća da su atomi najsitniji dijelovi materije Kroz povijest
je izašlo mnogo teorija o građi atoma a mi ćemo spomenuti najvažnije
21 Demokritov model atoma
Pretpostavku atomističke strukture prirode postavili su Leukip (oko 450gprKr) i
Demokrit (460-370gprKr) O Leukipu se ne zna mnogo a radovi su mu izgubljeni
Demokritovi radovi sačuvani su samo u dijelovima i to u radovima drugih autora U tim
dijelovima ostalo je zabilježeno da je Demokrit tvrdio da iz ničega ne nastaje nešto a nešto
što postoji ne može biti uništeno Tvrdio je da ne postoji ništa osim atoma i praznog prostora
a svijet se sastoji od punog i praznog dijela Puni dio sačinjavali su atomi kojih je broj
beskonačan vječni su apsolutno jednostavni i slični po kvaliteti Razlikuju se po obliku redu
i položaju a nalaze se u praznom dijelu tj prostoru Sva tvar za Demokrita je bila građena od
atoma koji su bili najsitniji dijelovi materije i nedjeljivi
Neprekidne promjene bile su posljedica skupljanja i razdvajanja atoma Atomi su bili
neuništivi njihovo postojanje vječno a gibanje neuništivo Tvrdio je da postoji prazan prostor
koji se sastojao od beskonačno mnogo atoma a pretpostavlja se da je mislio i da je prostor
beskonačan Gibanje atoma i njihovo međusobno sudaranje u beskonačnom prostoru uzimao
je za uzrok stvaranja svih tijela i beskonačnog svijeta Demokrit je bio i veliki matematičar a
pri računanju površina likova i obujma tijela koristio je pretpostavke da su atomi crte točke
atomi površine crte a atomi obujma tanki listići
3
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari
Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković
rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru
matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz
područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije
svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je
djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a
osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u
prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne
točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je
odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila
neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u
točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još
pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao
tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd
Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J
Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio
Boškovićevom teorijom stabilnih putanja
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model
1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni
naboj nekog iona 10-19
C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je
promjer atoma oko 10-10
m a elektrona 10-15
m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za
katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja
od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma
tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo
sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da
su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio
atomske mase pozitivan
4
Slika 1 Thomsonov model atoma
Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje
pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina
elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju
24 Model Sunčevog sustava
Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro
Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno
nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim
pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju
frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i
ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju
zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan
25 Rutherfordov model atoma
1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon
prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu
5
Slika 2 Rutherfordov eksperiment
Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz
foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma
pogrešan
Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata
Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti
rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi
odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u
kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
3
22 Boškovićeva teorija o strukturi tvari
Jedan od najvećih hrvatskih znanstvenika fizičar i matematičar Josip Ruđer Bošković
rođen je 1711g u Dubrovniku a školovao se u Rimu gdje kasnije preuzima katedru
matematike na tamošnjem sveučilištu Napisao je mnogo znanstvenih radova i rasprava iz
područja matematike fizike i astronomije a glavno djelo mu je Teorija prirodne filozofije
svedena na jedan zakon sila što u prirodi postoje objavljeno u Beču 1758 godine U tom je
djelu sustavno izložio teoriju o strukturi tvari Tvrdio je da je tvar građena diskretno a
osnovne čestice bili su atomi Opisivao ih je kao neprotežne i nedjeljive točke koje se nalaze u
prostoru a razlikuju su se od geometrijskih točaka jer posjeduju silu dakle to su fizikalne
točke Prema Boškoviću sila je određena s udaljenošću Na malim udaljenostima sila je
odbojna a na većim je privlačna i u skladu je s Newtonovim zakonom gravitacije Sila
neprekinuto prelazi iz odbojne u privlačnu a takvih je prijelaza više Sila se mijenja u
točkama koje on naziva bdquomeđama kohezijeldquo i bdquomeđama nekohezijeldquo U svom djelu je još
pokazao kako se njegovom teorijom mogu objasniti sve mehaničke i prirodne pojave kao
tvrdoća gustoća kapilarnost optičke pojave itd
Neke su Boškovićeve teorije dobile na važnosti početkom 20 stoljeća kada se J J
Thomson tražeći teorijsku podlogu za opis putanja po kojima se giba elektron poslužio
Boškovićevom teorijom stabilnih putanja
23 Thomsonov model atomandash bdquopudingldquo model
1874 godine George Stoney irski fizičar došao je do zaključka da je minimalni
naboj nekog iona 10-19
C taj naboj je nazvao elektron U to vrijeme je bilo poznato da je
promjer atoma oko 10-10
m a elektrona 10-15
m 1897 Dalton je izmjerio vrijednost em za
katodne zrake i našao da su to negativno nabijene čestice čija je masa oko 2000 puta manja
od najlakšeg atoma atoma vodika Nakon toga Thomson je razvio svoju teoriju modela atoma
tzv bdquopudingldquo model atoma Zamišljao je atom kao sfernu pozitivnu kuglicu u kojoj su vrlo
sitni elektroni ravnomjerno raspoređeni tako da je takav atom kao cjelina neutralan Budući da
su mase atoma puno veće od mase elektrona Thomson je pretpostavio da je glavni dio
atomske mase pozitivan
4
Slika 1 Thomsonov model atoma
Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje
pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina
elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju
24 Model Sunčevog sustava
Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro
Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno
nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim
pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju
frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i
ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju
zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan
25 Rutherfordov model atoma
1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon
prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu
5
Slika 2 Rutherfordov eksperiment
Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz
foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma
pogrešan
Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata
Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti
rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi
odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u
kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
4
Slika 1 Thomsonov model atoma
Emisiju EM-valova iz atoma objašnjavao je kao titranje elektrona u atomu Prve sumnje
pojavile su se prvim pokusom tj raspršenjem elektrona na tankoj metalnoj foliji Većina
elektrona prolazi neotklonjeno kroz foliju
24 Model Sunčevog sustava
Model atoma sličan Sunčevom sustavu prvi je načinio japanski fizičar Hantaro
Nagaoka pošavši od Maxwellovih istraživanja Ulogu sunca je imao središnji pozitivno
nabijeni dio atoma a okolo kojeg se po kružnim putanjama gibaju elektroni Pri neznatnim
pomacima elektroni pobuđuju elektromagnetske valove koji imaju iste frekvencije koje imaju
frekvencije spektralnih linija toga elementa O planetarnom modelu atoma razmišljali su i
ostali fizičari prije svih Wien koji je ukazao na nepremostive teškoće zbog energije koju
zrače elektroni pa samim tim takav atom ne može biti stabilan
25 Rutherfordov model atoma
1909 godine Rutherford je promatrao raspršenje -čestica na metalnoj foliji Nakon
prolaska kroz metalnu foliju -čestice su detektirane na fluorescentnom zaslonu
5
Slika 2 Rutherfordov eksperiment
Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz
foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma
pogrešan
Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata
Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti
rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi
odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u
kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
5
Slika 2 Rutherfordov eksperiment
Iznenađenje je bio rezultat pokusa gdje je velika većina α-čestica prolazila neometano kroz
foliju dok su se neke otklanjale Sve to je pokazivalo da je Thomsonov model atoma
pogrešan
Slika 3 Raspršenje -čestica na atomima zlata
Na iznenađenje znanstvenika jedna od 61700 čestica su se odbile natrag Svi ti
rezultati eksperimenta dali su za zaključak da je potrebno razviti novi model atoma koji bi
odgovarao rezultatima Atom se sastoji od vrlo male jezgre oko 105 puta manje od atoma u
kojoj je koncentrirana uglavnom sva masa atoma Jezgra elementa rednog broja Z ima
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
6
pozitivan naboj Ze Oko jezgre na približnoj udaljenosti 10-10
m kruži Z elektrona Interakcija
s elektronima se zanemaruje a -čestice se raspršuju na jezgrama zbog odbojne sile Ovim
modelom se dobro opisuje raspršenje -čestica ali ne i atomski spektri Ako se elektroni
gibaju po zatvorenim krivuljama a elektron emitira elektromagnetske valove čim mu se
mijenja brzina znači da bi elektroni stalno emitirali gubili energiju i konačno pali na jezgru
Atom bi emitirao kontinuirani spektar a ne linijski
Kasnije su znanstvenici razvili druge modele atoma najprije od svih Niels Bohr koji je
uveo kvantizirane staze gibanja elektrona te započeo novo doba fizike ndash KVANTNU
MEHANIKU
U nastavku ovog teksta opširnije ćemo se baviti teorijom raspršenja čestica s
naglaskom na Rutherfordovo raspršenje
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
7
3 Raspršenje čestica u polju centralnih sila
Istraživanje mikroskopskih objekata molekula atoma nukleusa i elementarnih čestica
znatno je otežano jer su njihove dimenzije toliko male da nisu direktno dostupne našim
osjetilima Zato su neophodne metode koje uvećavaju i njihove efekte čine vidljivima
Raspršenje čestica je takva indirektna metoda mjerenja svojstava mikroskopskih objekata
Poznavanje položaja i brzina čestica prije i poslije raspršenja omogućuje saznanja o silama
(potencijalima) među česticama tijekom raspršenja kad su direktna mjerenja nemoguća Iako
u eksperimentima raspršenja sudjeluju kvantne čestice i kompletna teorija zahtijeva kvantnu
mehaniku u mnogim slučajevima klasična teorija raspršenja je vrlo dobra aproksimacija a
opisivanje efekata raspršenja (udarni presjek raspršenja) je isti i u klasičnoj i u kvantnoj
mehanici U procesima raspršenja čestice međusobno razmjenjuju impuls i energiju i analiza
procesa raspršenja kao i sudara krutih tijela bazirana je na primjeni zakona očuvanja
Pretpostavljamo da su sile među česticama koje sudjeluju u raspršenju konzervativne
centralne sile kao gravitacijske ili električne sile opisane sferno simetričnim potencijalom
gdje je (slika 4) intenzitet vektora relativnog položaja čestica Pretpostavljamo i da
potencijal dovoljno brzo opada kad najmanje kao tako da se čestice na
makroskopskim udaljenostima (puno prije i puno poslije raspršenja) mogu smatrati slobodnim
Slika 4 Intenzitet vektora relativnog položaja čestica
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
8
31 Kinematika raspršenja
Osnovne ideje teorije raspršenja čestica najlakše je razumjeti na primjeru tipičnog
eksperimenta raspršenju čestica mase ndash projektila na fiksnoj meti česticiama mase
koja u početku miruje Tipičan slučaj prikazan je na slici 5
Slika 5 Raspršenje čestica na fiksnoj meti u laboratorijskom sustavu
Projektil mase se približava meti koja miruje u pravcu paralelnom z-osi sa
konstantnim početnim impulsom Kad ne bi djelovala sila na projektil on bi prošao
na minimalnoj udaljenosti (tzv parametar sudara) od mete U blizini ishodišta u području
interakcije uslijed sila međudjelovanja projektil se raspršuje tj skreće i u udaljeni detektor
stiže sa konačnim impulsom Čestica mase ndash meta počinje se gibati uslijed interakcije
sa projektilom i poslije raspršenja odlazi u beskonačnost sa konstantnim impulsom Sve
fizikalne veličine poslije raspršenja označavat ćemo sa Putanja projektila je simetrična
u odnosu na minimalnu udaljenost od centra sile ndash pericentar jer dva znaka u Keplerovom
problemu gibanja tj putanje čestice u centralnom polju sila
(1)
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
9
daju po apsolutnoj vrijednosti istu promjenu kuta za zadano ako kut mjerimo od pravca
Raspršenje projektila mjeri se kutom raspršenja koji je određen sa
(2)
Sustav projektil - meta je izolirani sustav dvije čestice i cijeli proces raspršenja određen je
početnom brzinom projektila parametrom sudara i potencijalom interakcije Za
centralne sile raspršenje ne zavisi od sfernog kuta (kut sa x-osi) i proces raspršenja je
aksialno simetričan (simetričan u odnosu na rotacije oko z-osi) što znači da raspršenje zavisi
samo od intenziteta parametra sudara ali ne i od njegova pravca
Osnovna ideja teorije raspršenja čestica je da opiše proces prelaska sustava iz
početnog ( i ) u konačno stanje ( i ) pomoću makroskopskih fizikalnih
veličina koje se mogu mjeriti izvan područja interakcije gdje su čestice slobodne ndash puno prije
ili puno poslije interakcije tj pomoću i kuta raspršenja umjesto parametra sudara
U slučaju centralnih sila gibanje je uvijek u ravnini zbog zakona očuvanja angularnog
momenta (kutne količine gibanja) pa možemo za tu ravninu odabrati recimo yz-ravninu kao
na Slici 5 koja je nacrtana za slučaj odbojnih električnih sila ndash putanje čestica su hiperbole
Za analizu procesa raspršenja potrebno je uvesti sustav centra mase prema slici 6
Slika 6 Sustav centra mase za čestice i
gdje je
(3)
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
10
U sustavu centra mase ( i ) je prije i poslije raspršenja (veličine u odnosu na
sustav vezan za centar mase označavat ćemo sa )
Početno stanje
(4)
Konačno stanje
(5)
U sustavu centra mase raspršenje je jednostavan simetričan proces (uzmemo li pravac
za z -os kut raspršenja projektila je kut sfernog koordinatnog sustava) kao na slici 7
Slika 7 Raspršenje čestica u sustavu centra mase
Zakoni očuvanja za gibanje dviju čestica daju
Zakon očuvanja impulsa
(6)
Zakon očuvanja energije
Ako je raspršenje elastično tj ne mijenja se unutarnja energija čestica u sudaru (ovaj uvjet
nije uvijek ispunjen u kvantnoj mehanici) onda je
(7)
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
11
jer je Elastično raspršenje znači važenje zakona očuvanja kinetičke energije
Definiramo li impuls centra mase i impuls relativnog
gibanja prije raspršenja je
(8)
što daje
i (9)
Kako unutarnje sile ne mijenjaju impuls centra mase poslije sudara je na isti način
(10)
što uvrštavanjem u zakon očuvanja energije daje
(11)
tj u elastičnom raspršenju čestica u sustavu centra mase intenziteti impulsa čestica ostaju
nepromijenjeni i jedino se mijenja pravac impulsa za kut
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
12
Treba naći relaciju koja povezuje kut raspršenja projektila u laboratorijskom sustavu
(2) i u sustavu centra mase Koristeći relacije (8) i (10) vrijedi
i
pa je
Iz zadnjeg izraza konačno se dobija veza kuteva raspršenja u dva sustava
(12)
pri čemu je i
Druga čestica u laboratorijskom sustavu skreće za kut pa je zbog
i
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
13
prema slici 8
Slika 8 Raspršenje čestice u laboratorijskom sustavu i veza sa sustavom centra mase
(13)
Izrazi (12) i (13) pokazuju da se iz poznavanja kuta raspršenja u sustavu centra mase mogu
odrediti kutevi raspršenja obje čestice i u laboratorijskom sustavu te vrijedi
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su
Ako je meta puno masivnija od projektila nestaje razlika između dva
sustava
Za raspršenje identičnih čestica što je čest slučaj u eksperimentima
sudaranja snopova čestica vrijedi
i
- poslije raspršenja čestice se u
laboratorijskom sustavu gibaju okomito jedna na drugu a maksimalna vrijednost kuta
raspršenja bilo koje čestice je
U specijalnom slučaju centralnog sudara je
te pa je prema (8) i (10) a
Ako je mogući kutevi raspršenja u laboratorijskom sustavu su ograničeni na
interval gdje je
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
14
32 Dinamika raspršenja
Prema slici 5 vektor sudara povezan je sa angularnim momentom relativnog gibanja
čestica jer je u početnom stanju u odnosu na nepokretnu metu
(14)
Za gibanje izoliranog sustava dvije čestice koje međudjeluju centralnim silama važi ne samo
zakon očuvanja ukupnog angularnog momenta već i zakon očuvanja angularnog momenta
relativnog gibanja kao u
(15)
Zakon očuvanja angularnog momenta relativnog gibanja
(16)
Za dati potencijal treba odrediti kut raspršenja projektila ako znamo njegov impuls
i angularni moment relativnog gibanja prije raspršenja Vidjeli smo da se problem svodi na
određivanje putanje (1) čestice mase
i radijus vektora na koju djeluje sila
određena potencijalom pri čemu su energija i angularni moment čestice
(17)
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
15
tj
(18)
Prema slici 7 kut raspršenja u sustavu centra mase je gdje je kut među
asimptotama putanje Odaberemo li za x-os pravac pericentra (os simetrije putanje) polukut
među asimptotama putanje je
(19)
U stvarnim eksperimentima raspršenja čestica u pravilu ne sudjeluju jedan projektil i
jedna meta već snopovi velikog broja identičnih čestica iste početne brzine (energije) Slika 9
prikazuje shemu eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Slika 9 Shematski prikaz eksperimenta raspršenja čestica na fiksnoj meti
Kako snop projektila ima mali ali konačan poprečni presjek određen otvorom kolimatora
različite čestice u početnom snopu imat će mikroskopski različite (i nemjerljive) parametre
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
16
sudara koji će rezultirati različitim kutevima raspršenja Uvijek se pretpostavlja da je kut
raspršenja jednoznačna funkcija parametra sudara tj da je inverzna funkcija
također jednoznačna To znači da će svi projektili koji inicijalno imaju parametre
sudara u intervalu ( poslije sudara imati kuteve raspršenja u intervalu ( )
Kutna raspodjela raspršenih čestica u potencijalu opisuje se fizikalno mjerljivom
veličinom koja se naziva diferencijalni efikasni presjek raspršenja (eng differential
cross section) ili diferencijalni udarni presjek i definira se kao
(20)
gdje je broj čestica u jedinici vremena koje imaju kut raspršenja u intervalu ( ) a
je intenzitet čestica u početnom snopu (gustoća struje čestica) tj broj čestica koje u
jedinici vremena prođu kroz jedinicu površine okomitu na pravac snopa Dimenzije od su
a dimenzije od su pa ima dimenzije
površine i mjeri se u Kako su makroskopske jedinice ogromne za tipične veličine u fizici
atoma i molekula češće se koristi jedinica
U slučaju centralnih sila postoji azimutalna simetrija (simetrija u odnosu na sferni kut
) te sve čestice u početnom snopu koje prođu kroz kružni prsten sa centrom na z-osi
unutarnjeg radijusa i vanjskog radijusa poslije raspršenja skreću u interval kuteva
( ) pa je te
Apsolutna vrijednost na desnoj strani osigurava pozitivan znak Ako sila među česticama
opada s udaljenošću onda porast znači opadanje što znači da je
negativno
Uobičajeno je da se diferencijalni efikasni presjek raspršenja izražava preko
elementa prostornog kuta (elementa površine jedinične sfere)
integriranog po tj
Diferencijalni
efikasni presjek raspršenja kao funkcija parametra sudara u sustavu centra mase je onda
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
17
(21)
Integracija po prostornom kutu daje ukupni efikasni presjek raspršenja
Kako je
i
za diferencijalni efikasni presjek raspršenja u laboratorijskom sustavu dobija se
(22)
gdje je veza kuteva raspršenja u dva sustava (12) Gornja relacija je jednostavna u slučaju
raspršenja identičnih čestica kada je
i
(23)
Fizikalni smisao ukupnog efikasnog presjeka raspršenja bit će jasan iz jednostavnog
primjera elastičnog raspršenja krutih kugli
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
18
4 Elastično raspršenje krutih kugli
Razmotrimo elastično raspršenje identičnih idealno krutih kugli masa i
radijusa (kao sudari identičnih biljarskih kugli) Treba naći efikasni presjek
raspršenja
Među kuglama ne djeluju nikakve sile osim u trenutku sudara kada djeluje
beskonačna kontaktna sila koja osigurava da je minimalna udaljenost centara kugli
Potencijalna energija takve sile je
gdje je (24)
Lako je provjeriti prema (1) da je za ovakav potencijal putanja pravac (precizno ndash do trenutka
sudara pravac duž kojega je impuls čestice a poslije sudara drugi pravac duž
kojega je impuls čestice ) čija je jednadžba u polarnim koordinatama
U sudaru idealnih krutih tijela važi zakon refleksije ndash odbojni kut jednak je upadnom kutu
Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase prikazan je na slici 10
Slika 10 Trenutak sudara kugli u sustavu centra mase
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
19
Veza parametra sudara i kuta raspršenja je
Diferencijalni presjek raspršenja u sustavu centra mase je prema (21)
(25)
pa je totalni efikasni presjek raspršenja
(26)
Kako se radi o raspršenju identičnih čestica u laboratorijskom sustavu je
što znači
i prema (23) diferencijalni efikasni presjek raspršenja je
(27)
i naravno opet je totalni efikasni presjek raspršenja
(28)
Totalni efikasni presjek raspršenja je površina poprečnog presjeka centra raspršenja
(mete) kroz koji projektil mora proći da bi bio skrenut ndash u ovom slučaju to je površina
kružnice radijusa (da bi došlo do raspršenja centri kugli moraju biti na udaljenosti )
Ovo postaje očigledno ako umjesto elastičnog raspršenja krutih kugli mase i radijusa
promatramo ekvivalentno elastično raspršenje čestica mase (projektila) na krutoj kugli iste
mase ali radijusa (meti) kao na slici 11
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
20
Slika 11 Raspršenje čestica mase na krutoj kugli mase
Broj i karakter sudara ostaje nepromijenjen jer čestica ndash projektil doživi raspršenje samo ako
se nađe na udaljenosti od centra krute kugle pa je potencijal opet (24) Iz veze
parametra sudara i kuta raspršenja
je očigledno da su i u ovom slučaju
diferencijalni i ukupni efikasni presjeci raspršenja (25) i (26)
i
Ukupni efikasni presjek raspršenja jednak je površini poprečnog presjeka kugle (mete)
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
21
5 Rutherfordovo raspršenje
Prva primjena eksperimenata raspršenja u fizici dovela je do formuliranja i potvrde
valjanosti nuklearnog modela atoma U seriji eksperimenata shematski prikazanih na slici 9
Rutherford Geiger i Mardsen 1910 ndash 1911 bombardirali su -česticama tanke listiće zlata i
mjerili diferencijalni efikasni presjek raspršenja Rutherford je 1922 pokazao da se
upravo takvi rezultati eksperimenata očekuju ako se atom sastoji od masivne pozitivno
nabijene jezgre radijusa m i elektronskog oblaka radijusa m oko jezgre
Danas znamo da se jezgre atoma sastoje od nukleona ndash protona i neutrona dok se nukleoni
sastoje od kvarkova i gluona
Osnova Rutherfordove analize je pretpostavka da se -čestice raspršuju u odbojnom
Coulombovom potencijalu jezgre
gdje je
Naboji čestica i jezgri
atoma zlata su i Putanja je hiperbola a polukut među asimptotama je
(19)
(29)
gdje je
(30)
Rješenje (29) je
tj
pa je
te je parametar
sudara
(31)
Uvrštavanjem u (21) dobija se Rutherfordova formula za diferencijalni efikasni presjek
(32)
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
22
koja je točna čak i u kvantnoj mehanici Kako se pojavljuje samo formule (31) i (32) važe
i za privlačne i za odbojne sile
Diferencijalni efikasni presjek raspršenja divergira
kada što je fizikalno
besmisleno jer znači da je frakcija (broj) čestica koje se rasipaju pod kutem
beskonačna Prema (31) problematično divergentno ponašanje nastaje za veliko
Ukupni efikasni presjek raspršenja također divergira
(33)
kada tj kada Obje divergencije su matematičke posljedice činjenice da je
Coulombov potencijal dugog (beskonačnog) dosega tj da opada sa udaljenošču kao
bez obzira koliko je projektil udaljen od mete sila na projektil nije zanemariva i projektil
osjeća beskonačni poprečni presjek mete
U stvarnosti ovaj problem ne postoji (ne postoji Coulombov potencijal za proizvoljno
veliki ) jer već za parametre sudara veće od m -čestice su van atoma zlata i zbog
neutralnosti atoma ne osjećaju nikakvu Coulombovu silu što znači da u problemu raspršenja
-čestica na jezgrama atoma zlata mora postojati gornja granica parametra sudara koja
određuje minimalnu vrijednost kuta raspršenja
Kako je a te
formula (32) s pogreškom od nekoliko
postotaka važi i u laboratorijskom sustavu
(34)
Eksperimentalna provjera zahtijeva brojanje -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor aktivne površine na udaljenosti od listića zlata (mete) Projektili
koji imaju kuteve raspršenja u intervalu poslije prolaska kroz metu presjecaju
zamišljenu sferu radijusa sa centrom u meti (na kojoj se nalazi detektor) unutar sfernog
pojasa površine kao na slici 12
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
23
Slika 12
Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše u interval kuteva prema
definiciji diferencijalnog efikasnog presjeka (20) je
Od svih takvih raspršenih -čestica u detektor će u jedinici vremena stići samo
Na kraju treba još napraviti korekciju za mogućnost raspršenja na bilo kojoj jezgri atoma zlata
duž putanje -čestice kroz foliju debljine - gornji rezultat treba pomnožiti sa gdje je
broj atoma zlata po jedinici volumena Broj -čestica koje se u jedinici vremena rasprše pod
kutem u detektor je onda
(35)
gdje je atomski broj (za zlato ) a je početna kinetička energija -čestica
Eksperimentalna provjera Rutherfordove formule svodi se na provjeru (35) kao
funkcije projektila kuta raspršenja i naboja jezgre
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
24
51 Rutherfordovo raspršenje u pozadinsku hemisferu
U eksperimentu raspršenja -čestica na tankoj zlatnoj foliji debljine m
izmjereno je da se jedna od -čestica raspršuje u pozadinsku hemisferu (backward
scattering) sa kutom raspršenja
Treba procijeniti dimenzije jezgre zlata na osnovu
ovog rezultata
Neočekivani rezultat prvih eksperimenata raspršenja -čestica bila je upravo pojava
rijetkih -čestica koje se odbijaju unazad tj imaju velike kuteve raspršenja veće od
u
laboratorijskom sustavu Za centralne sile takvo raspršenje unazad moguće je samo ako je
Zato je Rutherford odmah zaključio da atom mora imati nehomogenu raspodjelu
mase ndash unutar atoma mora postojati centar raspršenja malih dimenzija i velike mase tj jezgra
atoma zlata (čestica )
Broj čestica mase koje u jedinici vremena jedna jezgra mase rasprši pod kutom
većim od jednak je broju projektila u jedinici vremena koje imaju parametre sudara manje
od tj gdje je intenzitet početnog snopa -čestica Prema definiciji (20)
ukupni efikasni presjek za raspršenje pod kutem većim od je Ukupan
broj raspršenih projektila u sekundi je onda puta broj jezgara u listiću zlata na putanji
projektila (broj atoma zlata koji sudjeluju u raspršenju) gdje je c broj atoma zlata u
jedinici volumena je površina poprečnog presjeka početnog snopa -čestica a debljina
listića zlata ( je volumen listića zlata kroz koji prolazi snop projektila) Ukupan broj
projektila raspršenih pod kutom većim od u sekundi je
Podijelimo li brojem -čestica u sekundi u početnom snopu frakcija
projektila raspršenih pod kutem većim od je
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
25
Kako je broj atoma zlata u jedinici volumena
ukupni efikasni presjek za pozadinsko raspršenje je
Pretpostavimo li u prvoj aproksimaciji da je jednako površini poprečnog presjeka
jezgre (sigurno je da su dimenzije manje) za radijus jezgre zlata dobija se
što je četiri reda veličine manje od radijusa atoma Moderna mjerenja za efektivni radijus
atoma zlata daju u skladu sa formulom iz nuklearne fizike
gdje je
atomska masa a
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
26
6 EKSPERIMENT - Raspršenje -čestica na listićima zlata i aluminija
U našem eksperimentu koristiti ćemo nešto drukčiju formulu za Rutherfordovo
raspršenje modificiranu konkretno za naš eksperiment no suština teorije ostaje
nepromijenjena
gdje je
broj čestica koje dođu do folije
koncentracija atoma u foliji
debljina folije
atomski broj jezgre
energija -čestica
elementarni naboj
dielektrična konstanta vakuuma
dok je
gdje je
površina detektora
udaljenost folije od detektora
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
27
61 Princip rada
Mjeriti ćemo ovisnost broja čestica koje pogode detektor u ovisnosti o kutu raspršenja
na listićim zlata Mjerenje ćemo ponoviti s listićima aluminija da uočimo razliku raspršenja
za različite materijale Detektor je napravljen tako da detektira svaku α-česticu koja ga
pogodi pa će broj pulseva biti jednak broju čestica koje su se raspršile
62 Popis pribora
Aluminijska i zlatna folija U-magnet(veliki) spremnik za pokuse nuklearne fizike
radioaktivni izvor(Am-241 370 kBq) detektor α-čestica predpojačalo za detektor analizator
pulsa digitalni brojač osciloskop mano-barometar senzor tlaka pumpa 3 gumene
vakuumske cijevi konektor za cijevi Adapter(BNC-socket4 mm plug pair) 4xBNC kabel
konektor za BNC kabel (50Ω)
63 Zadaci
1 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj foliji za različite kutove raspršenja između
20 i 90 stupnjeva te rezultate usporediti s teorijskom vrijednosti koristeći
Rutherfordovu teoriju raspršenja
2 Izmjeriti broj raspršenih čestica na zlatnoj i aluminijskoj foliji za isti kut raspršenja te
rezultate usporediti s Rutherfordovom teorijom
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
28
64 Postavke opreme i mjerenja
Slika 13 Postavke aparature eksperimenta
Aparaturu za mjerenje ćemo složiti prema slici 13 Detektor foliju i radioaktivni izvor
postavimo u spremnik Predpojačalo namjestimo na bdquoα-česticeldquo a BIAS na bdquo ndash ldquo i internal
Foliju pomičemo pomoću magneta Analizator pulsa mora biti isključen
Ispustiti ćemo zrak iz spremnika pomoću pumpe do 2 hPa (ukoliko nije moguće
ispustimo koliko možemo) upalimo analizator pulsa i odaberemo opciju bdquointegralldquo otpustimo
tipku bdquoAutoManldquo (stavimo na bdquomanualldquo)
65 Mjerenje
Najprije radimo mjerenja za prvi zadatak Mjerimo broj raspršenih čestica za različite
udaljenosti izvora od detektora koje odgovaraju kutovima raspršenja od 20 do 90 stupnjeva
koje možemo vidjeti u tablici 1 Foliju postavimo točno na sredinu između radioaktivnog
izvora i detektora čestica
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
29
Slika 14 Shematski prikaz našeg eksperimenta
Gdje je
Tablica 1 Vrijednosti kuteva raspršenja čestica u ovisnosti o udaljenosti izvora od detektora
l (cm) θ ( 0
)
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
2060
2160
2260
2380
2510
2650
2810
2990
3190
3420
3690
3990
4360
4790
5310
5950
6740
7730
9000
78
71
65
59
53
47
42
37
33
29
25
21
18
15
13
1
08
06
05
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
30
Nakon izvršenih mjerenja nacrtati ćemo graf gdje ćemo na x-os stavljati
dok ćemo na y-os stavljati dobivene frekvencije pulsmin Iz grafikona ćemo
provjeriti da li eksperimentalna mjerenja potvrđuju teoretsku vrijednost Mjerenja ćemo vršiti
dok ne detektiramo 500 pulseva za svaku udaljenost tj kut raspršenja Pomoću programa za
statističku obradu podataka SPSS 19 obrađujemo rezultate koristeći se metodom jednostavne
linearne regresije (više u dodatku)
Nakon toga radimo mjerenja za drugi zadatak Izvadimo zlatnu foliju i stavljamo
aluminijsku Prije toga moramo isključiti analizator pulsa Aluminijsku foliju namjestimo na
bilo koju udaljenost za koju smo već izmjerili raspršenje na zlatnoj foliji mi ćemo
provjeravati za i te rezultate mjerenja uspoređujemo s onima za zlatnu
foliju Usporedbu i provjeru ćemo opet izvršiti crtanjem grafa gdje ćemo na x-os unijeti
dF Z2 a na y-os stavljamo dobivene frekvencije za izmjereni broj raspršenih čestica pulsmin
Podatke za dF i Z isčitamo iz tablice 2
Folija df (μm) Z df Z2(mm)
Zlato
Aluminij
15
80
79
13
936
135
Tablica 2 Vrijednosti za debljinu folije ( ) i atomski broj jezgre ( )
Iz nacrtanog grafa proučavamo vrijedi li teoretska vrijednost za raspršenje u ovisnosti o
materijalu
66 Pogreške mjerenja
Pogreške mjerenja mogu nastati zbog nekoliko razloga Neki od najvažnijih su
nemaju sve čestice istu energiju mogućnost dvostrukog raspršenja pri prolasku kroz foliju
energija čestica opada pri prolasku kroz foliju zbog sudara s elektronima itd
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
31
67 Rezultati mjerenja
671 Zadatak 1
U tablici 3 nalaze se podaci koje smo mjerili a to je vrijeme detekcije 500 pulseva tj
vrijeme da se 500 čestica rasprši za određenu vrijednost kuta raspršenja Vrijednosti kuteva
nalaze se u tablici 1
l(cm) broj
pulseva t(min)
pulsmin
(min -1
) p (hPa)
22 501 2028 78 2470 21
21 501 2135 71 2347 21
20 500 2188 65 2285 22
19 500 2313 59 2162 22
18 502 2527 53 1987 22
17 500 2505 47 1996 23
16 500 2663 42 1878 23
15 501 2678 37 1871 21
14 506 2837 33 1784 21
13 500 2805 29 1783 22
12 501 2923 25 1714 23
11 500 3002 21 1666 23
10 501 3108 18 1612 24
9 500 3220 15 1553 21
8 500 3228 13 1549 22
7 500 3423 1 1461 21
6 501 3475 08 1442 22
5 501 3636 06 1378 23
4 502 3858 05 1301 21
Tablica 3 Rezultati mjerenja kuta raspršenja -čestica na listićima zlata u ovisnosti o
udaljenosti izvora od detektora
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
32
Slika 15 Grafički prikaz ovisnosti broja čestica koje su se raspršile i kuta raspršenja iz
tablice 3
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
33
672 Zadatak 2
U tablici 4 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 2188 936 2285 22
Aluminij 200 4973 135 402 21
Tablica 4 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o materijalu na kojem se
raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 16 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala od koje je napravljena folija (zlato i aluminij) iz tablice 4
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
34
U tablici 5 nalaze se izmjereni podaci a to je vrijeme detekcije 200 pulseva tj broja
čestica koje su se raspršile za udaljenost izvora od detektora i kut raspršenja
Folija broj
pulseva t(min)
dF Z2
(mm)
pulsmin
(1min) p(hPa)
Zlato 501 3108 936 1612 24
Srebro 200 6172 135 324 22
Tablica 5 Rezultati mjerenja broja raspršenih čestica u ovisnosti o debljini folije i materijalu
na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) za i
Slika 17 Grafički prikaz broja raspršenih čestica pod kutem u ovisnosti o debljini
folije i materijala na kojem se raspršuju (zlato i aluminij) iz tablice 5
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
35
7 Zaključak
Nakon izvršenih mjerenja koji su trajali razmjerno dugo jer smo željeli dobiti što bolji
uzorak te nakon ponovljenih određenih mjerenja zbog pokidane zlatne folije (ipak sistemska
pogreška je ista za svako mjerenje pa nije očito igrala veću ulogu) rezultatima koje smo
dobili možemo biti više nego zadovoljni Krenimo redom
Zadatak 1
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 3 nacrtali smo graf prikazan na slici 15
pomoću programa SPSS 19 Iz grafa se može vidjeti da dobiveni rezultati potvrđuju
valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj raspršenih čestica biti
razmjeran s
gdje je
udaljenost folije od detektora a kut raspršenja -
čestica Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijent determinacije koji nam govori da se odstupanja može
protumačiti Rutherfordovom teorijom što je vrlo vrijedan rezultat
Zadatak 2
Iz dobivenih rezultata prikazanih u Tablici 4 i u tablici 5 nacrtali smo grafove
prikazane na slici 16 i slici 17 pomoću programa SPSS 19 Iz grafova se može vidjeti
da dobiveni rezultati potvrđuju valjanost Rutherfordove teorije tj potvrđuju da će broj
raspršenih čestica biti razmjeran sa gdje je debljina folije a atomski broj
jezgre Nakon obrade podataka jednostavnom regresijskom analizom dobili smo
koeficijente determinacije za udaljenost izvora od detektora i
koeficijent determinacije za koji nam govore da se
odstupanja za odnosno odstupanja za mogu protumačiti
Rutherfordovom teorijom raspršenja
Na kraju treba još reći da je Rutherfordova teorija raspršenja jedna od najljepših teorija u
povijesti fizike jer je nakon izvršenih eksperimenata pokazala da se atom sastoji od pozitivno
nabijene jezgre u kojoj je gotovo sva masa atoma i koja je četiri reda veličine manja od atoma
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
36
(iz tog razloga većina -čestica se ne raspršuje prolaskom kroz foliju) te od negativno
nabijenog elektronskog oblaka koji okružuje jezgru
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
37
8 Literatura
o Antunović Ž Klasična mehanika ndash skripta
(httpwwwpmfsthr~zeljkoTEORIJSKA_MEHANIKApdf)
o PHYWE priprema za vježbu Rutherford experiment
o httplibrarythinkquestorg19662lowengexp-rutherfordhtml (12092012)
o httpwwwphajhuedu~c173_608rutherfordrutherfordhtml ( 12092012)
o Greiner W Classical Mechanics Systems of particles and Hamiltonian Dinamics
Frankfurt am Main 1989
o Arya A P Introduction to Classical Mechanics 2nd edition
o Glumac Z Klasična mehanika Uvod Osijek 2006
o Šošić I Serdar V Uvod u statistiku ŠK 1995
o Šošić I Zbirka zadataka iz statistike 1998
o SPSS Tutorial 1 i 2
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
38
9 Životopis
Ivan Švaganović rođen je 16 kolovoza 1983g u Vinkovcima Od 1989 g pohađa
osnovnu školu A G Matoša u Vinkovcima nakon koje 1997g upisuje prirodoslovno-
matematičku Gimnaziju M A Reljkovića također u Vinkovcima koju završava 2001g
Nakon srednje škole upisuje izvanredni studij ekonomije u Osijeku uz koji paralelno i
radi kao konobar 2007 g upisuje studij fizike i informatike na Odjelu za fiziku u
Osijeku a 2010 g završava Preddiplomski studij fizike i upisuje Diplomski studij fizike i
informatike također na Odjelu za fiziku u Osijeku Danas je student druge godine
Diplomskog studija fizike i informatike Tijekom studija sudjeluje na nekoliko
sveučilišnih manifestacija od kojih su najvažnije Festival znanosti i Smotra sveučilišta te
je aktivan u studentskom zboru Dobitnik je rektorove nagrade 2009 g U slobodno
vrijeme rekreativno se bavi tenisom košarkom i nogometom
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
39
10 Dodatak ndash Jednostavna regresijska analiza
101 Uvod
Ukoliko istražujemo neku pojavu pomoću statističkih metoda koja je predočena
statističkim nizom nezavisno od drugih govorimo o jednodimenzionalnoj analizi niz možemo
prikazati grafički ili tabelarno te računati različite brojčane pokazatelje i na temelju dobivenih
rezultata zaključivati o svojstvima pojave koju proučavamo Promjena jedne pojave u prirodi
ili društvu uvjetovana je promjenama druge ili drugih npr težina osobe ovisi o životnoj dobi
visini spolu itd Postojanost odnosa između pojava izraz je pravilnosti i zakonitosti uzajamnih
promjena Taj odnos tj povezanost pojava može biti ili funkcionalan ili statistički
Jednostavan primjer funkcionalnog odnosa je izraz za površinu kvadrata gdje je ona
posljedica veličine stranice kvadrata te je za određenu veličinu stranice površina kvadrata
uvijek ista Za razliku od funkcionalnih odnosa u statističkim odnosima je prisutna postojana
varijacija npr ukoliko gledamo potrošnju kućanstva kako ovisi o raspoloživom dohotku
Kućanstva s istim dohotkom imaju istu ili sličnu razinu potrošnje tj jednoj vrijednosti
dohotka odgovara u pravilu više različitih vrijednosti potrošnje
Statistička analiza odnosa provodi se u okvirima deskriptivne i inferencijalne
statistike Deskriptivna analiza sastoji se u konstrukciji prikaza i utvrđivanju brojčanih
pokazatelja i izraza kojima se u pogodnom obliku omogućava donošenje zaključaka o nekim
pojavama Ako je svrha analitički izraziti odnos između pojava primjenjivat ćemo regresijske
modele oni predstavljaju neki algebarski model a najčešće je to jednadžba koja sadrži
varijable i parametre Opći oblik regresijskog modela je
U navedenom modelu Y je zavisna varijabla i predstavlja pojavu čije se promjene
objašnjavaju pomoću nezavisnih varijabli x1 x2 xk Varijabla u predstavlja nepoznata
odstupanja od funkcionalnog odnosa Zavisna varijabla naziva se još i regresand varijabla
(output) a varijabla x regresor (input) varijabla
Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu varijablu naziva se model jednostavne
regresije dok se model sa zavisnom ili dvije ili više nezavisnih varijabli naziva model
višestruke regresije Regresijska analiza modela uključuje ocjenjivanje nepoznatih
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
40
parametara izračunjavanje mjera disperzije i drugih statističko analitičkih pokazatelja te
primjenu postupaka kojima se ispituje kvaliteta dobivenih rezulatata s obzirom na polazne
pretpostavke o modelu i svojstvima varijabli u njemu
102 Model jednostavne regresije
Modelom jednostavne linearne regresije izražavamo odnos između između dviju
pojava Opći oblik je
Funkcija f(X) može poprimiti različite oblike u zavisnosti od slučaja ili pojave koju proučava
Pomoćno sredstvo za izbor oblika funkcije u modelu je dijagram rasipanja Dijagram se
sastoji od ucrtanih točaka čiji položaj ovisi o vrijednostima varijabli i odabranih aritmetičkih
mjerila na osima
Na temelju dijagrama rasipanja odlučujemo o obliku funkcije f(X) Ukoliko je riječ o
linearnoj vezi zaključujemo i o smjeru veze linearna veza je pozitivna ukoliko porast
vrijednosti nezavisne varijable izaziva linearni porast vrijednosti zavisne varijable Ukoliko se
vrijednost nezavisne varijable povećava a vrijednost zavisne varijable linearno smanjuje radi
se o negativnom smjeru linearne veze
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
41
103 Jednostavna linearna regresija
Ukoliko pretpostavimo da je odnos između nezavisne i zavisne varijable u modelu koji
proučavamo linearan funkcija f(X) imat će oblik
dok će model jednostavne linearne regresije imati opći oblik
U navedenom modelu X je nezavisna a Y zavisna varijabla dok varijabla u predstavlja
odstupanje od funkcionalnog odnosa te se alternativno naziva greškom relacije Model
linearne regresije temelji se na n parova vrijednosti varijabli X i Y gdje su parametri a i b te
vrijednosti varijable u nepoznati Ako pretpostavimo da je odnos među varijablama približno
linearan tada se između točaka u dijagramu rasipanja može smjestiti beskonačno mnogo
pravaca Izbor pravca tj veličine parametara a i b može se provesti na više načina među
kojima je najupotrebljavanija metoda najmanjih kvadrata Analizu počinjemo od sustava
jednadžbi
gdje je ŷi = a + bxi odabrana linearna funkcija a odstupanje ui je
Vrijednosti ui predstavljaju rezidualna odstupanja od odabrane linearne funkcije Ukoliko za
analizu uzimamo zbroj kvadrata rezidualnih odstupanja vrijednosti zavisne varijable od
regresijskih vrijednosti linearne funkcije tada govorimo o metodi najmanjeg kvadrata Kod
metode najmanjeg kvadrata određujemo veličine za koje rezidualni zbroj kvadrata doseže
minimum
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
42
Polazimo od izraza
Nakon toga primjenjujemo postupak određivanja minimuma funkcije SQ i dolazimo do
sljedećeg sustava jednadžbi
Nakon uređivanja sustav dobiva oblik
Rješenja ovog sustava su
Tada dobiveni model jednostavne linearne regresije dobiva oblik
Parametar a predstavlja konstantni član tj vrijednost regresijske funkcije kada je vrijednost
nezavisne varijable x = 0 b je regresijski koeficijent i on pokazuje za koliko se linearno
mijenja vrijednost regresijske funkcije za jedinični porast vrijednosti nezavisne varijable X
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
43
Predznak koeficijenta a je pozitivan ili negativan u zavisnosti o odnosu između nezavisne i
zavisne varijable
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
44
104 Regresijske vrijednosti rezidualna odstupanja i analiza varijance za model
jednostavne linearne regresije
Regresijske vrijednosti utvrđuju se pomoću regresijske jednadžbe sa određenim
parametrima a i b Dane su izrazom
Uvrštavanjem empirijskih vrijednosti nezavisne varijable X izračunavamo ocjenu razine
(prosječnu vrijednost) zavisne varijable za dane stvarne vrijednosti nezavisne varijable
Stvarne vrijednosti zavisne varijable Y razlikuju se od regresijskih vrijednosti a te razlike
predstavljaju rezidualno odstupanje tj ocjene grešaka relacije u polaznom modelu
jednostavne linearne regresije Jednadžba jednostavne linearne regresije s ocjenjenim
parametrima metodom najmanjeg kvadrata aproksimira odnos između varijabli u smislu
aritmetičke sredine Zbog toga vrijede slijedeća svojstva modela
1 zbroj odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable y od regresijske vrijednosti ŷ
jednak je nuli
2 zbroj kvadrata tih odstupanja je minimalan to svojstvo direktno izvire iz metode
najmanjeg kvadrata
3 zbroj produkata regresijskih vrijednosti i rezidualnih odstupanja jednak je nuli kao i
zbroj produkata vrijednosti nezavisne varijable i rezidualnih odstupanja koji je također
jednak nuli
Radi jednostavnije prosudbe obilježja rezidualnih odstupanja računaju se i relativna i
standardizirana rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja računaju se kao
Standardizirana odstupanja računaju se dijeljenjem rezidualnih odstupanja regresijskom
standardnom devijacijom odnosno standardnom greškom Proučavani model će biti
reprezentativniji što su rezidualna odstupanja manja
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
45
Komponente ukupnog zbroja kvadrata i drugi elementi za analizu varijance u okviru
deskriptivne i inferencijalne analize regresijskog modela prikazuju se u tablici analize
varijance (ANOVA tablice) koja ima sljedeći oblik
Izvor varijacija Stupnjevi
slobode Zbroj kvadrata
Sredina
kvadrata
Empirijski
F - omjer
1 2 3 4 5
Protumačenih
modelom
Rezidualna
odstupanja
1
n-2
SP1
SRn-2
SP(SRn-2)
-
Ukupno n-1
- -
Stupanj varijacije stvarnih vrijednosti zavisne varijable u odnosu na procijenjene
vrijednosti pomoću regresije mjeri se različitim mjerama od kojih je najvažnija varijanca i iz
nje izvedena standardna devijacija te koeficijent varijacije regresije Ove mjere disperzije oko
regresije između ostalog služe i za ocjenu kvalitete modela Varijancu regresije koju
definiramo kao prosječni rezidualni zbroj kvadrata računamo pomoću formule
Standardna devijacija računa se kao drugi korijen invarijance
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan
46
Standardna devijacija regresije pokazuje koliko je prosječno odstupanje empirijskih
vrijednosti zavisne varijable od njezinih regresijskih vrijednosti Izražena je u istim mjernim
jedinicama kao i zavisna varijabla i po tome je apsolutna mjera disperzije oko regresije
Relativna mjera disperzije oko regresije je koeficijent varijacije oko regresije i računa se
pomoću izraza
Pokazatelj reprezentativnosti regresije najbolje je izražen pomoću koeficijenta determinacije
koji predstavlja omjer protumačenog i ukupnog zbroja kvadrata i dan je jednadžbom
Koeficijent determinacije varira u zatvorenom intervalu od nula do jedan i poželjna je velika
vrijednost tog koeficijenta (blizu jedinice) jer to znači da je vrijednost rezidualnog zbroja
kvadrata mala a samim time i disperzija oko regresije Naprimjer ako koeficijent
determinacije iznosi 095 to znači da je modelom linearne regresije protumačeno 95
odstupanja
Kao analitički pokazatelj u prosudbi kvalitete regresije služi i korigirani koeficijent
determinacije koji je jednak ili manji od koeficijenta determinacije te je dan izrazom
Iz definicijskog izraza vidimo da korigirani koeficijent determinacije ovisi i o broju
vrijednosti odnosno broju stupnjeva slobode Nepovoljno obilježje mu je što može biti
negativan