Serie di funzioni
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Definizione Sia ππ(π₯) πβπ una successione di funzioni reali definite in un intervallo π β π . Sia ππ πβπ la successione delle somme parziali:
π1(π₯) = π1(π₯);
π2(π₯) = π1(π₯) + π2(π₯); π3(π₯) = π1(π₯) + π2(π₯) + π3(π₯);
β¦β¦ ππ(π₯) = π1(π₯) + π2(π₯) + π3(π₯) + β―+ ππ(π₯);
Tale successione di funzioni si chiama Β«serie di funzioni di termine generale ππ(π₯) e si indica come
ππ(π₯)
β
π=1
Convergenza puntuale e convergenza uniforme
3
Definizione La serie di funzioni ππ(π₯)
βπ=1 converge puntualmente (in X) se
ππ(π₯) β ππ(π₯)
β
π=1
converge puntualmente (in X), il che equivale a dire che βπ(π₯) (detta domma della serie) tale che:
βπ₯ β π, βπ > 0, βπ = π π, π₯ β π: ππ π₯ β π π₯ < π, βπ > π
Definizione La serie di funzioni ππ(π₯)
βπ=1 converge uniformemente (in X) se
ππ(π₯) β ππ(π₯)
β
π=1
converge uniformemente (in X), il che equivale a dire che βπ(π₯) (detta domma della serie) tale che:
βπ > 0, βπ = π π β π: ππ π₯ β π π₯ < π, βπ > π
Convergenza totale
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Definizione La serie di funzioni ππ(π₯)
βπ=1 converge totalmente (in X) se esiste una successione
numerica ππ πβπ positiva ππ > 0 tale che: 1. ππ(π₯) β€ ππ, βπ₯ β π, βπ β π; 2. La serie numerica ππ
βπ=1 converge
CiΓ² equivale a richiedere che
supπ₯βπππ(π₯)
β
π=1
converga.
Criteri per la convergenza
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Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale La serie di funzioni ππ(π₯)
βπ=1 converge puntualmente in π β π se e solo se:
βπ₯ β π, βπ > 0, βπ = π π, π₯ β π: ππ π₯
π
π=π+1
< π, βπ > π, βπ > π
Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme La serie di funzioni ππ(π₯)
βπ=1 converge uniformemente in π β π se e solo se:
βπ₯ β π, βπ > 0, βπ = π π β π: ππ π₯
π
π=π+1
< π, βπ > π, βπ > π
Criterio di Weierstrass Sia ππ(π₯)
βπ=1 una serie convergente totalmente in X, allora essa converge anche
uniformemente in X (ma non viceversa)
Serie di funzioni note
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Serie geometrica
ππβ
π=π
π« = πΉ; π° =] β π; π[ πΊ π =
ππ
π β π
Serie esponenziale
π
π!
πβ
π=0
π« = πΉ; π° = πΉ π π₯ = ππ₯
Serie di Leibnitz
1
(π₯ + π)(π₯ + π + 1)
β
π=1
π· = π \πβ; πΌ = π· π π₯ =
1
π₯ + 1
Serie di Mc Laurin del coseno
β1 ππ
(2π)!
ππβ
π=0
π« = πΉ; π° = π«
π π₯ = πππ π₯
7
Serie di Mc Laurin del seno
β1 ππ
(ππ + 1)!
2π+πβ
π=0
π« = πΉ; π° = π« πΊ π = ππππ
Serie di Mc Laurin del coseno iperbolico
π
(2π)!
2πβ
π=0
π« = πΉ; π° = π« π π₯ = πππ βπ₯
Serie di Mc Laurin del seno iperbolico
π
(ππ + 1)!
2π+πβ
π=0
π« = πΉ; π° = π«
π π₯ = π ππβπ₯
Serie logaritmica
β1 πβ1π
π
πβ
π=1
π« = πΉ; π° =] β π, π[
π π₯ = log (1 + π₯)
Serie dellβarcotangente
π
(2π + 1)
2π+πβ
π=0
π« = πΉ; π° =] β π, π[
π π₯ = πππ‘ππ₯
Serie di potenze
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Definizione Si definisce serie di potenze la serie di funzioni
ππ π₯ β π₯0π = π0 + π1 π₯ β π₯0 + π2 π₯ β π₯0
2 +β―
β
π=0
ππ π₯ β π₯0π
dove β’ ππ πβπ Γ¨ una successione numerica reale β’ π₯ Γ¨ una variabile reale; β’ ππ π₯ β π₯0
π prende il nome di termine generale della serie β’ ππ prende il nome di coefficiente n-esimo della serie β’ Il numero reale π₯0 Γ¨ detto centro della serie di potenze suddetta
PoichΓ© si puΓ² pensare di cambiare variabile tramite una traslazione ponendo π¦ = π₯ β π₯0
Si potrΓ anche scrivere
πππ₯ β π₯0
π = ππ β π¦π
β
π=0
β
π=0
supponendo che il centro sia π₯0 = 0
Raggio di convergenza
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Definizione Si definisce raggio di convergenza di una serie di potenze, lβestremo superiore π β 0,+β dellβinsieme in cui la serie converge puntualmente
Definizione Lβinsieme di convergenza Γ¨ un intervallo detto intervallo di convergenza della serie
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La serie di potenze converge solo in 0, ovvero la serie converge solo nel centro
π = 0
La serie di potenze converge βπ₯ β π
π = +β
La serie di potenze converge per π₯ < π e non converge per π₯ > π
π = π
Criterio di convergenza della radice
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Criterio di convergenza di Cauchy-Hadamard o della radice La serie di potenze ππ β π¦
πβπ=0 converge nellβintervallo di convergenza di raggio π
tale che:
π =
0 π π πΏ = +β1
πΏ π π 0 < πΏ < +β
+β π π πΏ = 0
dove
πΏ = limπββ
πππ
se tale limite esiste
Criterio di convergenza del rapporto
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Criterio di convergenza di DβAlembert o del rapporto La serie di potenze ππ β π¦
πβπ=0 converge nellβintervallo di convergenza di raggio π
tale che:
π =
0 π π πΏ = +β1
πΏ π π 0 < πΏ < +β
+β π π πΏ = 0
dove
πΏ = limπββ
ππ+1ππ
se tale limite esiste
La serie di Taylor di una funzione
Definizione Data una funzione f(x) indefinitamente derivabile in un intorno I di x0, chiamiamo serie di Taylor relativa a f(x) e al punto iniziale x0 la serie di potenze di (x β x0):
Esempio
Consideriamo la funzione f(x) = 2x .
f (x) Γ¨ derivabile indefinitamente in ogni punto. Scegliamo x0 = 1.
...)(!
)(...)(
!2
)()()()()(
!
)(0
)(00
2
00000
)(
0
0
xfn
xxxf
xxxfxxxfxf
n
xx nn
n
n
n
....)2(ln22
)1()2(ln2)1(2)2(ln2
!
)1()1(
!
)1( 22
0
)(
0
xx
n
xf
n
x n
n
nn
n
n
La serie di Mc Laurin di una funzione
Nella serie di Taylor, scegliamo il punto iniziale x0 = 0 .
Nello sviluppo di Maclaurin, il fattore (x β x0)n
che compare nei termini della serie di Taylor, diventa semplicemente: xn.
ESEMPIO
Scriviamo la serie di Maclaurin di 2x .
Questo sviluppo Γ¨ detto di Maclaurin.
Lo sviluppo in serie
Definizione Una funzione f(x) indefinitamente derivabile in un intorno I di x0 si dice sviluppabile in serie di Taylor nel punto x0 se la relativa serie di Taylor converge e la somma della serie coincide con la funzione, βπ₯ β πΌ
Se x0 = 0 , la funzione si dice sviluppabile in serie di Maclaurin.
Esempio
Consideriamo .
La funzione Γ¨ indefinitamente derivabile in x = 0 con tutte le derivate nulle in tale punto.
La serie di Maclaurin Γ¨
e converge a 0 per ogni valore di x . La somma della serie non coincide con la funzione.
Non tutti gli sviluppi in serie di Taylor (o Maclaurin) convergono a f(x).
In simboli:
Lo sviluppo in serie
Teorema (Condizione sufficiente per la sviluppabilitΓ ) Data una funzione f (x) derivabile indefinitamente in un intorno I di x0, se esiste un numero L > 0 tale che
allora f (x) Γ¨ sviluppabile in serie di Taylor in tutto I con punto iniziale x0.
Gli sviluppi in serie di Maclaurin
f (x) = ex
Per questa funzione, f (n) (x) = ex , tutte le derivate coincidono con la funzione ex .
Scegliamo lβintorno di x0: I = [βd ; d ] .
Per tutte le xI , eβd f (n) (x) ed .
Per ogni d , ponendo L = ed , si ha dunque | f (n) (x) | L qualunque sia n.
Lβapprossimazione migliora man mano che si aggiungono termini alla somma.
La funzione Γ¨ sviluppabile in serie di Maclaurin su tutto .
Gli sviluppi in serie di MacLaurin
f (x) = cos x
f (n) (x) = βsen x , per n = 1, 5, 9, β¦ f (n) (x) = βcos x , per n = 2, 6, 10, β¦
Per ogni x, | sen x | 1 e | cos x | 1 ,
f (n) (x) = sen x , per n = 3, 7, 11, β¦ f (n) (x) = cos x , per n = 4, 8, 12, β¦
La funzione Γ¨ sviluppabile in serie di Maclaurin su tutto .
e perciΓ² | f (n) (x) | 1 .
...!6!4!2
1!)2(
)1(cos
6422
0
xxxx
nx n
n
n
f (x) = sen x
La discussione Γ¨ del tutto analoga a quella di f (x) = cos x .
La funzione Γ¨ sviluppabile in serie di Maclaurin su tutto .
Gli sviluppi in serie di MacLaurin
...!9!7!5!3!)12(
)1(sen
975312
0
xxxx
xxn
x n
n
n
f (x) = ln (1+x)
Le derivate della funzione non sono equilimitate in nessun intorno di x = 0.
Nonostante questo, si puΓ² dimostrare che la serie di Maclaurin converge ai valori della funzione nellβintervallo ]β1 ; 1[ .
Dunque non vale la condizione sufficiente per la sviluppabilitΓ .
f (x) = arctg x
La derivata di arctg x Γ¨
.
Se x2 < 1, questa espressione equivale alla somma di una serie geometrica di ragione βx2 :
Integrando la serie si ottiene lo sviluppo di arctg x valido in ] β1; 1[ .
Gli sviluppi in serie di MacLaurin
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