Beberapa Peubah AcakDiskret (2)

Kuliah 9 | Pengantar Hitung Peluang

rahmaanisa@apps.ipb.ac.id

Review

Bernoulli Binom Geometrik

Definisi X ………. ………. ……….

Rentang nilai X ………. ………. ……….

P(X) ………. ………. ……….

E(X) ………. ………. ……….

Var(X) ………. ………. ……….

Buat tabel seperti di bawah ini, isilah bagian yg kosong dengan singkat dan jelas.

Outline

• Peubah acak binom negatif

• Peubah acak hipergeometrik

• Peubah acak Poisson

Peubah Acak Binom Negatif

St. Petersburg Paradox(noticed by Daniel Bernoulli)

Ilustrasi…

Berapa ronde yang harusdimainkan sampai kita menang?

Peubah acakGeometrik

Berapa ronde yang harusdimainkan sampai kita

menang sebanyak 𝑘 kali?

Peubah acak

Binom Negatif

Definisi

Dalam suatu rangkaian percobaan Bernoulli ygsaling bebas, banyaknya percobaan ygdibutuhkan utk memperoleh 𝑘 suksesmemiliki sebaran binom negatif.

Fungsi Massa Peluang

𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 (𝑘, 𝑝)

• Perhatikan bahwa utk 𝑘 = 1 geometrik

• Peubah binom negatif dapat dinyatakan sebagaipenjumlahan dari peubah geometrik.

𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 (𝑘, 𝑝)

• Perhatikan bahwa utk 𝑘 = 1 geometrik

• Peubah binom negatif dapat dinyatakan sebagaipenjumlahan dari peubah geometrik.

Peubah geometrik

Distribusi Binom Negatif

Distribusi binomial negatif untuk berbagai 𝑘 dan 𝑝

Ilustrasi

Sebuah situs web berisi tiga server komputer yang identik.Namun, hanya satu server yang digunakan untukmengoperasikan situs ini, sedangkan dua lainnya adalah sukucadang yang dapat diaktifkan jika sistem utama gagal. Peluangkegagalan pada komputer utama (atau sistem cadanganteraktivasi) dari suatu permintaan layanan adalah 0.0005.

a) Jika diasumsikan bahwa setiap permintaan mewakilipercobaan independen, berapakah jumlah rata-ratapermintaan sampai kegagalan ketiga server tersebut?

b) Berapakah peluang bahwa ketiga server gagal dalam limapermintaan?

Ilustrasi

a)

b)

Ilustrasi

An audio amplifier contains six transistors. Ithas been ascertained that three of thetransistors are faulty but it is not knownwhich three. Amy removes three transistorsat random and inspects them.

Let X be the number of defective transistorsthat You finds.

P(X = 0) = P(the sample will catch none ofthe defective transistors)

P(X =1) = P(the sample will catch one of thedefective transistors)

P(X =2) =P(the sample will catch two of thedefective transistors)

P(X=3) = P(the sample will catch three of thedefective transistors)

Ilustrasi

A batch of 100 printed circuit cards ispopulated with semiconductor chips.Twenty of these circuit cards are selectedwithout replacement for function testing. Ifthe original batch contains 30 defectivecards, how will these show up in thesample?

Let X denote the number of defective cardsin the sample.

• P(X = 0) = P(0 defectives in the sample of size 20)

• P(X = 1) = P(1 defective in the sample of size 20)

• P(X = 2) = P(2 defectives in the sample of size 20)

Definisi sebaran hipergeometrik

Peubah acak hipergeometrik X digambarkan sebagaiangka keberhasilan dalam contoh berukuran n yang diambil dari populasi berukuran N.

Distribusi peluang peubah acakHipergeometrik

Distribusi peluang peubah acakHipergeometrik

Distribusi hipergeometrik pada berbagai 𝑁, 𝐾, dan 𝑛

Ilustrasi

Sekumpulan batch spare part terdiri dari 100 spare part ygberasal dari pemasok lokal dan 200 spare part berasal daripemasok di negara lain. Jika empat spare part dipilih secaraacak dan tanpa pengembalian,

a) berapakah peluang bahwa semuanya diperoleh daripemasok lokal?

b) berapakah peluang bahwa ada 2 atau lebih yang diperolehdari pemasok lokal?

c) berapakah peluang bahwa minimal ada 1 di antara yang terambil tersebut diperoleh dari pemasok lokal?

Ilustrasi

a)

b)

c)

The Probability of Innocence(Shuster, 1991)

One night Florida police raided a suspicious facility, they just seized the bags lying around. Out of the 496 bags confiscated, they randomly chose four and found them to be cocaine. Come after few months, they randomly chose 2 packets from the lot and sold it to a person posing as drug dealers. During

the same night, they arrested the person for crime of buying cocaine.

The Probability of Innocence(Shuster, 1991)

‘What if the other packets were not cocaine’, how could the person be prosecuted without any evidence. Florida Police consulted the local statistician and asked the probability of the person being innocent.

The Probability of Innocence(Shuster, 1991)

Peubah Acak Poisson

Death by a horse kick

• Rare events pertama kali diteliti oleh Siméon DenisPoisson pada 1837.

• Sekitar 60 tahun kemudian, Von Bortkieniczmeneliti kasus Prussian cavalryman yg tewasditendang oleh seekor kuda.

Death by a horse kick

Dugaan rata-rata banyaknya kejadian horse kick yang fatal:

Limiting binomial distribution

• Poisson dan Von Bortkienicz memandang persoalanrare events sbb:

𝑃 𝑋 = 𝑥 = lim𝑛→∞

𝑛𝑥

𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥

𝑝 → 0

Artinya, 𝑋 berdistribusi binom, namun dengan ukuran 𝑛 ygsangat besar dan 𝑝 yang sangat kecil, serta 𝑛𝑝 konstan.

Limiting binomial distribution

Limiting binomial distribution

the Poisson probabilities are accurate

approximations of the binomial when

the number of trials n is small and the

probability p of a success in any one

trial is small

Definisi

• Berkaitan dengan konsep kejadian yg jarang terjadi, artinya sangat jarang ditemukan dua kejadian yang berturut-turut.

• Contoh: panggilan telepon, kecelakaan lalu lintas, network blackouts, serangan virus, error padasoftware, banjir, gempa bumi.

The number of rare events occurring within a fixed period oftime has Poisson distribution.

Ilustrasi

Diketahui bahwa pengguna jasa internet suatuprovider membuat akun baru dengan rata-rata 10akun per hari.

a) Berapakah peluang bahwa akan ada lebih dari 8 akun baru yg dibuat hari ini?

b) Berapakah peluang bahwa akan ada lebih dari 16 akun baru yg dibuat dalam dua hari ini?

Ilustrasi

b)

a)

Misal 𝑌~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (2𝜆 = 20)

Latihan Soal

• Baron (2014), exercise 3.23, 3.27.

• Horgan (2008), exercise 12.1, no. 3.

Referensi

Baron, M. 2014. Probability and Statistics forComputer Scientist, Second Edition. Boca Raton:CRC Press, Taylor & Francis Group.

Horgan, J. 2008. Probability with R: An Introductionwith Computer Science Application. New Jersey:John Wiley & Sons.

Montgomery, D.C., Runger, G.C. 2003. AppliedStatistics and Probability for Engineers. New York:John Wiley & Sons.