UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SERIE 1

4 3

0 0

3 2

2

1 1

1

3 2 2

1 0

12 0 1

42 1 3

2 1 2

1b

. MedianteSumasdeRiemann,calcular :

x , xa) dx b) f ( x )dx ,endonde f ( x )

, x

c ) ( x )dx d) ( x x )dx

e) ( x ) dx f ) (a x )dx ,b R

−

+

−

−

≤ ≤= < ≤

− −

+ − ∈

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

32

9162

5 4

63

−

Respuestas :

a) d)

b) e)

bc ) f ) a b

4 0

2 2

6 6

0 4

2 4 4

0 0 0

2

3 2

10 4

2 3

. Seanlas funciones f y g ,delascuales sesabeque :

f ( x )dx , f ( x )dx

g( x )dx , g( x )dx

Determinar :

a) f ( x )dx b) g( x )dx c) [ f ( x ) g( x )]dx

−

= = −

= =

−

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫ ∫

2 6 8Respuestas :

a) b) c ) −

34

4 14 1

. Sea la función :

f ( x ) x

Obtener :

a)El valor promediode f enel intervalo [ , ]

b) El valor o los valores de c [ , ] cuyaexistenciagarantiza

elTeoremadelValor MediodelCálculo Integral.

−

= −

−∈ −

23 1710 10

Respuestas :

a) b) c−

=

41

1 11 1

. Seala función :

f ( x ) x

Calcularel valormediodela función f parael int ervalo [ , ],yobtener

el valorde c [ , ] talquesatisfaceelTeoremadelValor Mediodel

Cálculo Integral.

−

= −

−∈ −

1 0Respuestas :

f (c ) , c= =

22

51

4 4

. Si las funciones :

f ( x ) acsc x , g( x )( x )

tienenlamismaordenadamediaenel intervalo [ , ] ,

determinarel valorde a.

ππ π

−−

= =−

−

10 2 2

2

0 0 1

6

3 2 6 4 3

. Por medio del Teorema Fundamental del Cálculo,obtener :

a) dx b) ( x )dx c ) ( x x )dx−

−

− − +∫ ∫ ∫

10 2 21Respuestas :

a) b) c )

72

13 22

. Seala función f definida por :

f ( x ) senxcos x

comprobar que una de las antiderivadas de f es :

G( x ) cos x

−=

= −

1 22

Respuesta :

F( x ) cos x c , porcomparación secomprueba.= − +

2

1

8 3 6. Si f ( x ) ax y f ( x )dx , calcular el valor de a.−

− = − = −∫

2Respuesta :

a =

4

2

2

9

1−

−

=+∫

x

x

. Dada la función G defnida por :

tG( x ) dt

t

Obtener G'( x ).

11 2

8 24

1 1

Respuesta :

x xG'( x )

x x= +

+ +

2 92 2

20 1

2 2

2 32

10

4 1

1 2 1

1 1 2

. Calcular :

t t ta) cos xdx b) dt

t

x si xc ) f ( x )dx, donde f ( x )

x( x ) si x

π

−

−

− +

− − ≤ <= − ≤ ≤

∫ ∫∫

140 8149 8

Respuestas :

a) b) c )

( ) ( )

( )( )

23 6

5

2

4

3

11

51 8 8

11

1 221

. Efectuar :

dx dxa) dx b) c)

x ( x ) x x x x cos x

x cos xd) dx e) dx f ) sec xtan xsen(sec x )dx

cos xx

sen xdxg) h) dx

sec xx x

−

+ +

+−

+

+

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫

( ) ( )( ) ( )

( )( )

6 6

65

52

10 6 6

1 58 14 3

1 1 1 2101

+ − +

+ + +

− + − +−

+ + ++

Respuestas :

a) angtan x C b) x angtan x C

c) tan x C d) x C

e) csc x C f ) cos(sec x ) C

g) C h) sen x Cx