ACADEMIA FORTELOR AERIENE ”HENRI COANDA”DEPARTAMENTUL DE STIINTE FUNDAMENTALE SI MANAGEMENT
2015-2016
Serii Fourier
Exercitiul I. Sa se scrie dezvoltarea ın serie Fourier a functiilor periodice:
(a) f(x) = x2, f : (0, 2π] → R, T = 2π;
(b) f(x) =
{
x ; daca x ∈ [0, π]
2π − x ; daca x ∈ [π, 2π]T = 2π;
(c) f(x) =
{
sin x ; daca x ∈ (0, π)
0 ; daca x ∈ [π, 2π]T = 2π;
(d) f(x) = |sin x| , x ∈ [0, π].
Exercitiul II. Sa se dezvolte ın serie Fourier pe intervalul (−π, π) urmatoarele functii,α ∈ R:
(a) f(x) =
{
ax ; daca x ∈ (−π, 0)
bx ; daca x ∈ [0, π);
Luati ın considerare apoi cazurile particulare:
• a=b=1,
• a=-1, b=1;
• a=0, b=1;
• a=1, b=0;
(b) f(x) = x2;
(c) f(x) = eax;
(d) f(x) = sinαx;
(e) f(x) = cosαx;
(f) f(x) = shαx;
(g) f(x) = chαx.
Serii Fourier - studiu individual 2
Exercitiul III. Sa se dezvolte ın serie Fourier pe intervalul (0, 2π) functia, f(x) = π−x
2.
Exercitiul IV. Sa se dezvolte ın serie Fourier de:
(1) sinusuri;
(2) cosinusuri,
pe intervalul (0, π), urmatoarele functii:
(a) f(x) = x;
(b) f(x) = x2;
(c) f(x) = eax;
(d) f(x) =
{
1 ; daca x ∈(
0, π2
)
0 ; daca x ∈[
π
2, π
) ;
(e) f(x) =
{
x ; daca x ∈(
0, π2
]
π − x ; daca x ∈(
π
2, π
) ;
(f) f(x) =
{
x
4; daca x ∈
[
0, π2
]
π−x
4; daca x ∈
(
π
2, π
] .
Exercitiul V. Sa se dezvolte ın serie Fourier de sinusuri, pe intervalul (0, π), urmatoarelefunctii:
(a) f(x) =
{
x ; daca x ∈(
0, π2
]
0 ; daca x ∈(
π
2, π
) ;
(b) f(x) = π (π − x);
(c) f(x) = sin x
2.
Exercitiul VI. Sa se dezvolte ın serie Fourier de cosinusuri, pe intervalul (0, π), urmatoarelefunctii:
(a) f(x) =
{
1 ; daca x ∈ (0, h]
0 ; daca x ∈ (h, π);
(b) f(x) =
{
1− x
2h; daca x ∈ (0, 2h]
0 ; daca x ∈ (2h, π);
Serii Fourier - studiu individual 3
(c) f(x) = x sin x;
(d) f(x) =
{
cos x ; daca x ∈(
0, π2
]
− cos x ; daca x ∈(
π
2, π
) .
Exercitiul VII. Sa se determine forma complexa a seriei Fourier (S.F.E.)
(a) f(x) =
{
1 ; daca x ∈ (0, π)
−1 ; daca x ∈ [π, 2π];
(b) f(x) =
{
−x ; daca x ∈ [−π, 0)
2x ; daca x ∈ [0, π].
Exercitiul VIII. Sa se dezvolte ın serie Fourier, pe intervalele indicate, urmatoarele functii:
(a) f(x) = |x| , −1 < x < 1;
(b) f(x) = 2x, 0 < x < 1;
(c) f(x) = ex, −l < x < l;
(d) f(x) = 10− x, 5 < x < 15.
Exercitiul IX. Sa se dezvolte ın serie Fourier de:
(1) sinusuri;
(2) cosinusuri,
pe intervalele indicate, urmatoarele functii:
(a) f(x) = 1, 0 < x < 1;
(b) f(x) = x, 0 < x < l;
(c) f(x) = x2, 0 < x < 2π;
(d) f(x) =
{
x ; daca x ∈ (0, 1]
2− x ; daca x ∈ (1, 2);
(e) f(x) = l − x, x ∈ (0, l).
Serii Fourier - studiu individual 4
Exercitiul X. Sa se determine forma complexa a seriei Fourier pentru functia periodicaf : [0, l] → R, f(x) = 1
2− x
l.
Exercitiul XI. Sa se realizeze reprezentarile ın timp (S.F.A si S.F.E.) si ın frecventa (An
si Anc) pentru urmatoarele semnale:
(a) x(t) =
{
A
2; daca |t| < T
4
−A
2; daca |t| > T
4
(functia de comutatie);
(b) x(t) = A
Tt, t ∈ (0, T ), (functia dinte de fierastrau);
(c) x(t) = A sinω0t, t ∈ (0, T ), ω0 =π
T,
(functia sinusoida redresata ın dubla alternanta);
(d) x(t) =
{
A sinω0t ; daca 0 < t < T
2
0 ; daca T
2< t < T
,
(functia sinusoida redresata monoalternanta);
(e) x(t) =
{
A ; daca 0 < t < t1
0 ; daca t1 < t < T, q = t1
T− factor de umplere
(semnal periodic dreptunghiular);
(f) x(t) =
{
4ATt ; daca |t| < T
4
−4AT
(
t− T
2
)
; daca |t| > T
4
,
(functia triunghiular periodica) .
Exercitiul XII. Sa se scrie dezvoltarea ın serie Fourier a functiei periodice de perioada 2π,
f : [−π, π] → R, f(x) = π
2shπex. Sa se determine apoi suma seriei
∞∑
n=1
(−1)n
1+n2 .
lector univ. dr. mat. Bogdan Munteanu