ACADEMIA FORTELOR AERIENE ”HENRI COANDA”DEPARTAMENTUL DE STIINTE FUNDAMENTALE SI MANAGEMENT

2015-2016

Serii Fourier

Exercitiul I. Sa se scrie dezvoltarea ın serie Fourier a functiilor periodice:

(a) f(x) = x2, f : (0, 2π] → R, T = 2π;

(b) f(x) =

{

x ; daca x ∈ [0, π]

2π − x ; daca x ∈ [π, 2π]T = 2π;

(c) f(x) =

{

sin x ; daca x ∈ (0, π)

0 ; daca x ∈ [π, 2π]T = 2π;

(d) f(x) = |sin x| , x ∈ [0, π].

Exercitiul II. Sa se dezvolte ın serie Fourier pe intervalul (−π, π) urmatoarele functii,α ∈ R:

(a) f(x) =

{

ax ; daca x ∈ (−π, 0)

bx ; daca x ∈ [0, π);

Luati ın considerare apoi cazurile particulare:

• a=b=1,

• a=-1, b=1;

• a=0, b=1;

• a=1, b=0;

(b) f(x) = x2;

(c) f(x) = eax;

(d) f(x) = sinαx;

(e) f(x) = cosαx;

(f) f(x) = shαx;

(g) f(x) = chαx.

Serii Fourier - studiu individual 2

Exercitiul III. Sa se dezvolte ın serie Fourier pe intervalul (0, 2π) functia, f(x) = π−x

2.

Exercitiul IV. Sa se dezvolte ın serie Fourier de:

(1) sinusuri;

(2) cosinusuri,

pe intervalul (0, π), urmatoarele functii:

(a) f(x) = x;

(b) f(x) = x2;

(c) f(x) = eax;

(d) f(x) =

{

1 ; daca x ∈(

0, π2

)

0 ; daca x ∈[

π

2, π

) ;

(e) f(x) =

{

x ; daca x ∈(

0, π2

]

π − x ; daca x ∈(

π

2, π

) ;

(f) f(x) =

{

x

4; daca x ∈

[

0, π2

]

π−x

4; daca x ∈

(

π

2, π

] .

Exercitiul V. Sa se dezvolte ın serie Fourier de sinusuri, pe intervalul (0, π), urmatoarelefunctii:

(a) f(x) =

{

x ; daca x ∈(

0, π2

]

0 ; daca x ∈(

π

2, π

) ;

(b) f(x) = π (π − x);

(c) f(x) = sin x

2.

Exercitiul VI. Sa se dezvolte ın serie Fourier de cosinusuri, pe intervalul (0, π), urmatoarelefunctii:

(a) f(x) =

{

1 ; daca x ∈ (0, h]

0 ; daca x ∈ (h, π);

(b) f(x) =

{

1− x

2h; daca x ∈ (0, 2h]

0 ; daca x ∈ (2h, π);

Serii Fourier - studiu individual 3

(c) f(x) = x sin x;

(d) f(x) =

{

cos x ; daca x ∈(

0, π2

]

− cos x ; daca x ∈(

π

2, π

) .

Exercitiul VII. Sa se determine forma complexa a seriei Fourier (S.F.E.)

(a) f(x) =

{

1 ; daca x ∈ (0, π)

−1 ; daca x ∈ [π, 2π];

(b) f(x) =

{

−x ; daca x ∈ [−π, 0)

2x ; daca x ∈ [0, π].

Exercitiul VIII. Sa se dezvolte ın serie Fourier, pe intervalele indicate, urmatoarele functii:

(a) f(x) = |x| , −1 < x < 1;

(b) f(x) = 2x, 0 < x < 1;

(c) f(x) = ex, −l < x < l;

(d) f(x) = 10− x, 5 < x < 15.

Exercitiul IX. Sa se dezvolte ın serie Fourier de:

(1) sinusuri;

(2) cosinusuri,

pe intervalele indicate, urmatoarele functii:

(a) f(x) = 1, 0 < x < 1;

(b) f(x) = x, 0 < x < l;

(c) f(x) = x2, 0 < x < 2π;

(d) f(x) =

{

x ; daca x ∈ (0, 1]

2− x ; daca x ∈ (1, 2);

(e) f(x) = l − x, x ∈ (0, l).

Serii Fourier - studiu individual 4

Exercitiul X. Sa se determine forma complexa a seriei Fourier pentru functia periodicaf : [0, l] → R, f(x) = 1

2− x

l.

Exercitiul XI. Sa se realizeze reprezentarile ın timp (S.F.A si S.F.E.) si ın frecventa (An

si Anc) pentru urmatoarele semnale:

(a) x(t) =

{

A

2; daca |t| < T

4

−A

2; daca |t| > T

4

(functia de comutatie);

(b) x(t) = A

Tt, t ∈ (0, T ), (functia dinte de fierastrau);

(c) x(t) = A sinω0t, t ∈ (0, T ), ω0 =π

T,

(functia sinusoida redresata ın dubla alternanta);

(d) x(t) =

{

A sinω0t ; daca 0 < t < T

2

0 ; daca T

2< t < T

,

(functia sinusoida redresata monoalternanta);

(e) x(t) =

{

A ; daca 0 < t < t1

0 ; daca t1 < t < T, q = t1

T− factor de umplere

(semnal periodic dreptunghiular);

(f) x(t) =

{

4ATt ; daca |t| < T

4

−4AT

(

t− T

2

)

; daca |t| > T

4

,

(functia triunghiular periodica) .

Exercitiul XII. Sa se scrie dezvoltarea ın serie Fourier a functiei periodice de perioada 2π,

f : [−π, π] → R, f(x) = π

2shπex. Sa se determine apoi suma seriei

∞∑

n=1

(−1)n

1+n2 .

lector univ. dr. mat. Bogdan Munteanu