PEMBANGKITAN VARIATESRANDOMRiza Auliya Rahman
Pendekatan Umum Inverse Transform inverse dari fungsi CDF Composition pemisahan sesuai proporsi luas kurva(misalnya triangular)
Convolution penggabungan variabel acak daridistribusi lain (misalnya Erlang)
Acceptance-Rejection pengambilan dan penolakanvariabel acak, berdasarkan prasyarat keacakan(misalnya nonstationary poisson)
Pendekatan yang umum digunakan adalahThe Inverse Transformation.
Pembangkitan dengan Metode InverseTransformation
Continuous distribution For a given probability density function f(x), find thecumulative distribution function of X, i.e., F(x) = P(X x).
Set U = F(x), where U is uniform (0, 1) and solve for x. Solving for x yields x = F-1(U). The equation x = F-1(U) transforms U into a value for xthat conforms to the given distribution f(x).
Inverse Transformation MethodInverse transformation for continuous distribution
Inverse Transformation MethodGenerating variates from the exponential distributionwith mean . The probability density function f(x):
The cumulative distribution function F(x):
elsewhere,0
0,1 / xexf
x
elsewhere,00,1 / xe
xFx
Setting U = F(x) and solving for x yields:/1 xeU
Ue x 1/ Ue x 1lnln /
Ux 1ln Ux 1ln
The random variate x is exponentiallydistributed with mean .
Inverse Transformation Method
63.027.01ln227.0 11 xU 41.489.01ln289.0 22 xU2
Inverse Transformation Method
Discrete distribution For a given probability mass function p(x), find thecumulative distribution function of X, i.e., F(x) = P(X x).
It is assumed that X take on only the values x1, x2, ...where x1 < x2 < ... .
Algorithm: Generate U ~ U(0, 1) Determine the smallest positive integer I such that U F(xi),and return X = Xi.
Inverse Transformation Method
RI-1504/SSI/2007/SEW/#19
Inverse transformation for discrete distributionInverse Transformation Method
RI-1504/SSI/2007/SEW/#110
Generating variates from the following probabilitymass function (arbitrary discrete distribution):
3,60.02,30.01,10.0
x
x
x
xXPxp
Inverse Transformation Method
RI-1504/SSI/2007/SEW/#111
The cumulative distribution function F(x)
U1 = 0.27, because 0.10 < U1 0.40 then x1 = 2
Inverse Transformation Method
Generating variates from other distributions:
Techniques and algorithms for generating variatesfrom other distributions: continuous: uniform, exponential, m-Erlang, Gamma,Weibull, normal, lognormal, beta, Pearson type V, Pearsontype VI, triangular, empirical distribution,
discrete: Bernoulli, discrete uniform, arbitrary discretedistribution, binomial, geometric, negative binomial,Poisson
see Law and Kelton, Simulation Modeling and Analysis,Chapter 8.
DistribusiKontinyu
Distribusi UniformDisimbolkan dengan X ~ U(a,b)Prosedurnya adalah :a. Membangkitkan nilai U dari pembangkit bilanganacak[ U ~ U(0,1) ]
b. Selanjutnya nilai X diperoleh dari formulasi :X = a + ( b a ).U
Distribusi ExponentialDisimbolkan dengan X ~ Exp()Prosedurnya adalah :a. Membangkitkan nilai U dari pembangkit bilanganacak[ U ~ U(0,1) ]
b. Selanjutnya nilai X diperoleh dari formulasi :X = - .ln(1-U)
Distribusi WeibullDisimbolkan dengan X ~ Weibull(,)Prosedurnya adalah :a. Membangkitkan nilai U dari pembangkit bilanganacak[ U ~ U(0,1) ]
b. Selanjutnya nilai X diperoleh dari formulasiX = .[-ln(U)]1/
Distribusi NormalDisimbolkan dengan X ~ N(,2)Prosedurnya adalah :a. Membangkitkan nilai U1 dan U2 dari pembangkitbilangan acak[ U ~ U(0,1) ]
b. Lalu diperoleh nilai V1 dan V2 dari formulasiVi = 2.Ui 1
c. Dan W=V12 + V22
Distribusi NormalProsedurnya adalah :d. Jika W < 1 maka Y = [(-2.ln(W))/W] ,jika tak sesuai ulangi dari poin a.
e. Lalu diperoleh nilai P1 dan P2 dari formulasiPi = Vi.Y
f. Selanjutnya nilai X diperoleh dari formulasiX = + .P
Distribusi TriangularDisimbolkan dengan X ~ (a,b,c)Prosedurnya adalah :a. Nilai parameter d diperoleh darid = (c a) / (b a)
b. Membangkitkan nilai U dari pembangkit bilanganacak[ U ~ U(0,1)]
c. Jika U < d makaP = (d.U)
Distribusi TriangularProsedurnya adalah :d. Jika U > d makaP = 1 [(1 d).(1 U)]
e. Selanjutnya nilai X diperoleh dari formulasiX = a + (b a).P
DistribusiDiskrit
Distribusi Uniform DiskritDisimbolkan dengan X ~ DU(a,b)Prosedurnya adalah :a. Membangkitkan nilai U dari pembangkit bilanganacak[ U ~ U(0,1) ]
b. Selanjutnya nilai X diperoleh dari formulasiX = a + [(b a + 1).U]
Distribusi PoissonDisimbolkan dengan X ~ Poisson()Prosedurnya adalah :a. Nilai parameter a,b dan i diperoleh daria = e- , b = 1 , i = 0
b. Membangkitkan nilai Ui+1 dari pembangkitbilangan acak[ U ~ U(0,1)]
Distribusi PoissonProsedurnya adalah :c. b = b.Ui+1d. Jika b > a maka i = i + 1 dan ulangi dari poin be. Jika b < a maka X = i
Tugas (1) Bangkitkan 100 random uniform [ U ~ U(0,1)]dengan metode LCG dengan parameter (a, c, mdan Z0) yang kalian tentukan sendiri sesuai kaidah.
Gunakan bilangan random di atas untukmembangkitkan waktu antar kedatangan 100variates random X : Distribusi Eksponensial dengan X ~ Expo(4)
Uji kerandoman dan distribusi hasilnya dengansoftware
Tugas (2) Bangkitkan 100 random uniform [ U ~ U(0,1)] denganmetode Midsquare method dengan m= 1000 danZ0=2pqpq=dua digit terakhir Nomer Induk Mahasiswa (NIM).Misal NIM = xxxxxx0042, maka Z0=242
Gunakan bilangan random di atas untukmembangkitkan waktu pelayanan 100 variatesrandom X : Distribusi Triangular dengan X ~ (3,8,5)
Uji kerandoman dan distribusi hasilnya dengan software
Tugas (3)
Kedatangan Pelanggan PelayananPelanggan
Mulai dilayaniWaktu Pelanggan
Meninggalkan sistemLama
mengantriLama didalamsistemi Zi Ui
Waktu antarkedatangan
WaktuPelanggandatang
i Zi Ui Waktu Pelayanan
0123
100
Lengkapi tabel di bawah ini kemudian lakukananalisis hasilnya.
Tugas (4) Tugas dikumpulkan ketua kelas, di jadikan satufolder dan dikirim ke [email protected], 5 Juni 2015Pukul 13.00 WIB