Sinais e Sistemas
Renato Dourado Maia
Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros
Fundação Educacional Montes Claros
Sinais e Sistemas – Fundamentos
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Sinal de Tempo Contínuo:
É definido para todo tempo t, sendo t uma variável inde-pendente contínua – conjunto dos números reais.
Notação: parênteses – x(t).
22/02/2016 2/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Exemplo de Sinal de Tempo Contínuo
Script: M_3_SinaisFundamentosProg1.m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6Sinal de Tempo Contínuo
t
x(t)
22/02/2016 3/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Sinal de Tempo Discreto:
É definido somente em instantes isolados de tempo, sendo escrito normalmente como função de n, uma vari-ável independente discreta – conjunto dos números in-teiros.
Notação: colchetes – x[n].
A amostragem de um sinal de tempo contínuo gera um sinal de tempo discreto:
[ ] ( ) 0, 1, 2, 3, ... = = ± ± ±x n x n n
é o período de amostT
T ragem
22/02/2016 4/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Exemplo de Sinal de Tempo Discreto
Script: M_3_SinaisFundamentosProg1.m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
1
2
3
4
5
6Sinal de Tempo Discreto
n
x[n]
22/02/2016 5/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Perguntas:
Dizer que um sinal é analógico é o mesmo que dizer que ele é de tempo contínuo?
Dizer que um sinal é digital é o mesmo que dizer que ele é de tempo discreto?
NÃO! 22/02/2016 6/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Os conceitos de tempo contínuo e discreto são
geralmente confundidos com os conceitos de a-nalógico e digital, respectivamente...
Sinal analógico e sinal de tempo contínuo são coisas diferentes, bem como sinal digital e sinal de tempo discreto.
Tempo contínuo e tempo discreto qualificam a natureza do sinal ao longo do tempo, enquanto discreto e digital qualificam a natureza da ampli-tude do sinal...
22/02/2016 7/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
7
Tempo, [s]
y(t)
Discreto em amplitude e contínuo no tempo
0 1 2 3 4 50
2
4
6
8
Instante de amostragem, k
y(k)
Discreto em amplitude e no tempo
22/02/2016 8/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Sinal Par:
Um sinal é par se, e somente se:
( ) ( ) x t x t t−= ∀
Sinal Ímpar:
Um sinal é ímpar se, e somente se:
( ) ( ) x t x t t− −= ∀
O CASO DISCRETO É ANÁLOGO!!!
22/02/2016 9/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Exemplo de Sinal Par – Cosseno
SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO DAS ORDENADAS – Y
Script: M_3_SinaisFundamentosProg2.m
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
x(t)
Sinal Par - Cosseno
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tx(
-t)
Sinal Par - Cosseno
22/02/2016 10/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Exemplo de Sinal Ímpar – Seno
SIMETRIA?
Script: M_3_SinaisFundamentosProg2.m
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
x(t)
Sinal Ímpar - Seno
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t-x
(-t)
Sinal Ímpar - Seno
22/02/2016 11/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Decomposição de Sinais Todo sinal pode ser decomposto em uma soma
de parte par e parte ímpar:
Parte par:
Parte ímpar:
1 [ ( ) ( )]2
x t x t+ −
O CASO DISCRETO É ANÁLOGO!!!
1 [ ( ) ( )]2
x t x t− −
22/02/2016 12/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Decomposição de Sinais Exemplo: decompor o sinal apresentado a seguir
em suas partes par e ímpar:
22/02/2016 13/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Decomposição de Sinais Exemplo – Solução
1 [ ( ) ( )]2
Parte Par x t x t+ −=1 [ ( ) ( )]2
Parte Ímpar x t x t−= −
22/02/2016 14/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Sinal Periódico:
Um sinal é periódico se existe uma constante positiva T ou N, tal que:
[ ] [ ], x n x n N n= + ∀( ) ( ), x t x t T t= + ∀
O MENOR VALOR PARA T OU N QUE SATISFAÇA ÀS EQUAÇÕES É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL – T0 OU N0 .
0
0
0
1 ( )
2 ( )
2 [ ]
πω
π
=
=
Ω =
f é a frequência fundamental de x t em hertz
é a frequência fundamental de x t em radianos por segundo
é a frequência funN
T
T
damental de x n em radianos
22/02/2016 15/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Exemplos de Sinais Periódicos
Script: M_3_SinaisFundamentosProg3.m
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
x(t)
Sinal Periódico Contínuo
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x[n]
Sinal Periódico Discreto
22/02/2016 16/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Sinal Aperiódico:
Um sinal é aperiódico se não existe uma constante posi-tiva T ou N, tal que: [ ] [ ], x n x n N n= + ∀( ) ( ), x t x t T t= + ∀
22/02/2016 17/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Exemplos de Sinais Aperiódicos
Script: M_3_SinaisFundamentosProg3.m
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
x(t)
Sinal Aperiódico Contínuo
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
Sinal Aperiódico Discreto
x[n]
22/02/2016 18/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Classificação de Sinais Sinal Determinístico:
Não há nenhuma incerteza com relação ao seu valor em qualquer tempo. Um sinal determinístico pode ser mo-delado como uma função do tempo completamente es-pecificada.
Um exemplo é um sinal senoidal.
Sinal Aleatório:
Há incerteza antes de sua ocorrência real.
Um exemplo é um eletrocardiograma.
22/02/2016 19/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Potência e Energia de Sinais Potência instantânea:
Energia (intervalo de tempo finito):
Potência média (intervalo de tempo finito):
2( )P x t=2[ ]P x n=
1
0
2( )t
t
E x t dt= ∫1
0
2[ ]n
n nE x n
=
= ∑
1
0
2
1 0
1 ( )t
t
P x t dtt t
=− ∫
1
0
2
1 0
1 [ ]n
n nP x n
n n =
=− ∑
22/02/2016 20/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Potência e Energia de Sinais Exemplo: calcular a energia do sinal apresentado
a seguir:
, 0 1( ) 2 , 1 2
0,
t tx t t t
caso contrário
≤ ≤= − ≤ ≤
22/02/2016 21/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Potência e Energia de Sinais Exemplo – Solução
1 21 2 22 2 3
10 1 0
1 1 1 2( 2) (2 )3 3 3 3 3tE t dt t dt t= + − = − − = + =∫ ∫
22/02/2016 22/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Potência e Energia de Sinais Energia Total (ou simplesmente Energia):
Potência média sobre um intervalo de tempo infi-nito (ou simplesmente Potência):
2 2 2 2lim ( ) ( ) lim [ ] [ ]+ +∞ + +∞
∞ ∞→∞ →∞=− =−∞− −∞
= =∑ ∑∫ ∫
T N
T N n N nT
E x t dt x t dt E x n x n
2 21 1lim ( ) lim [ ]2 2 1
+ +
∞ ∞→∞ →∞=−− + ∑∫
T N
T N n NT
P x t dt P x nT N
“Energy and Power of Signals" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/EnergyAndPowerOfSignals/
22/02/2016 23/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Potência e Energia de Sinais
“Energy and Power of Signals" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/EnergyAndPowerOfSignals/
22/02/2016 24/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Potência e Energia de Sinais
“Energy and Power of Signals" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/EnergyAndPowerOfSignals/
22/02/2016 25/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Potência e Energia de Sinais
“Energy and Power of Signals" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/EnergyAndPowerOfSignals/
22/02/2016 26/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Potência e Energia de Sinais
“Energy and Power of Signals" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/EnergyAndPowerOfSignals/
22/02/2016 27/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Potência e Energia de Sinais
“Energy and Power of Signals" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/EnergyAndPowerOfSignals/
22/02/2016 28/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Potência e Energia de Sinais
“Energy and Power of Signals" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/EnergyAndPowerOfSignals/
22/02/2016 29/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Potência e Energia de Sinais
“Energy and Power of Signals" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/EnergyAndPowerOfSignals/
22/02/2016 30/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Potência e Energia de Sinais
“Energy and Power of Signals" from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/EnergyAndPowerOfSignals/
22/02/2016 31/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Operações Básicas em Sinais Deslocamento no Tempo: 0 0( ) [ ]x t e x nt n− −
0 0
0 0
, 0, , , . , 0, , , .
><
t nt
Se deslocamento para a direita isto é é atrasoSe deslocamento para a esquerda isto é é adiantamenton
Reflexão Temporal:
Um sinal par é igual à sua versão refletida.
Um sinal ímpar é igual ao negativo de sua versão refleti-da.
( ) [ ]x t e x n− −
22/02/2016 32/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Operações Básicas em Sinais Mudança de Escala de Tempo: ( ) [ ]x t e x knα
1, . 0 1, . 0. 1, [ ] .
Se ocorre compressão Se ocorre dilataçãoé um inteiro Se alguns valores de x n são pek dk r idos
α α> < <> >
22/02/2016 33/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Operações Básicas em Sinais Exemplo: considerando o sinal apresentado a se-
guir, esboçar o sinal .
( ) (1 2)y t x t= −
22/02/2016 34/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Operações Básicas em Sinais Exemplo – Solução
A PRIMEIRA OPERAÇÃO A SER REALIZADA
É O DESLOCAMENTO!!!
Seja a seguinte transformação geral:
Para determinar o sinal :
Trocar por . Considerando , determinar , ou seja: Esboçar o eixo transformado abaixo do eixo . Esboçar .
( ) ( )ay t x t b= +
( )y t
t τt baτ = + t t b
a aτ
= −t τ
( )y t
22/02/2016 35/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Operações Básicas em Sinais Exemplo – Solução
22/02/2016 36/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Operações Básicas em Sinais Exercício: considerando o sinal apresentado a se-
guir, esboçar os sinais
( ) ( 1), ( ) ( 1), ( ) (3 2), ( ) (3 2 1)y t x t y t x t y t x t y t x t= + = − + = = +
22/02/2016 37/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Operações Básicas em Sinais Exemplo: considerando o sinal apresentado a se-
guir, esboçar os sinais e .
( ) (2 )=y t x t
Script: M_3_SinaisFundamentosProg4.m
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
x(t)
Sinal x(t)
( ) ( 2)=y t x t
22/02/2016 38/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Operações Básicas em Sinais Exemplo – Solução
Script: M_3_SinaisFundamentosProg4.m
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
y(t)
Sinal y(t) = x(t/2)
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
y(t)
Sinal y(t) = x(2t)
22/02/2016 39/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Operações Básicas em Sinais Exemplo: considerando o sinal apresentado a se-
guir, esboçar o sinal .
[ ] [2 ]y n x n=
Script: M_3_SinaisFundamentosProg5.m
-6 -4 -2 0 2 4 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x[n]
Sinal x[n]
22/02/2016 40/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Operações Básicas em Sinais Exemplo – Solução
Script: M_3_SinaisFundamentosProg5.m
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
y[n]
Sinal y[n] = x[2n]
22/02/2016 41/42
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Dica
NÃO DEIXEM DE ESTUDAR A LISTA DE EXEMPLOS RESOLVIDOS...
22/02/2016 42/42