Sistemas de Control AvanzadoTema 5: Linealización por realimentación
Juan C. Cutipa-Luque
Ingeniería Electrónica
UNSA
14 de mayo de 2020
Tema 5: Linealización por realimentación
Linealización Entrada-Estado
Linealización Entrada-Estado
Para el sistema:x (n) = f (x ) + b(x )u ;
la linealización por realimentación es dada por:
u =1
b(x )(v � f (x ));
con:v = �k0x � k1 _x � :::� kn�1x
(n�1);
El polinomio en el dominio de Laplace (p)
pn + kn�1pn�1 + :::+ k0;
debe tener sus raíces en el semiplano izquierdo de p.Para el Problema de tracking:
v = x(n)d � k0e � k2 _e � :::� kn�1e
(n�1)
e(t) = x (t)� xd (t):
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Linealización Entrada-Estado
Linealización Entrada-Estado
El método de linealización entrada-estado resuelve el problema delcontrol en 2 pasos:
1 Realiza la transformación Z = Z (x ) en los estados y latransformación en el control u = u(x ; v). El nuevo sistema seaLTI en la forma _z = Az +Bv .
2 Usar las técnicas lineales para proyectar v (ejm. alocación depólos).
Ejemplo
Proyecte un controlador para el sistema:
_x1 = �2x1 + ax2 + senx1;
_x2 = �x2cosx1 + ucos(2x1)
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Linealización Entrada-Estado
Ejemplo de linealización entrada-estado
Consideramos el siguiente cambio de variable (transformación):
z1 = x1;
z2 = ax2 + sen x1:
Luego, el sistema transformado queda en la forma:
_z1 = �2z1 + z2;
_z2 = �2z1 cos z1 + cos z1 sen z1 + au cos(2z1):
Aplicamos linealización por realimentación (transformación):
u =1
acos(2z1)(v � cos z1 senz1 + 2z1 cos z1):
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Linealización Entrada-Estado
Ejemplo de linealización entrada-estado
Luego, el sistema transformado queda en la forma:
_z1 = �2z1 + z2;
_z2 = v :(1)
El sistema es LTI y de segundo orden. Por lo tanto, una ley de controlsimple:
v = �k1z1 � k2z2;
Puede resolver el problema. Por ejemplo, si v = �2z2, el sistemacontrolado queda:
_z1 = �2z1 + z2;
_z2 = �2z2:
Los polos son localizados en -2, garantizando la estabilidad yconvergencia de z1 y z2.
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Linealización Entrada-Estado
Ejemplo de linealización entrada-estado
Escribamos v en relación a x1 y x2 (estados originales):
v = �2(ax2 + senx1):
Escribamos u en relación a los dos estados originales:
u =1
acos2x1(�2ax2 � 2senx1| {z }
v
�cosx1senx1 + 2x1cosx1):
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Linealización por realimentación
Linealización por realimentación
Para generalizar este método se procede a usar herramientasmatemáticas: derivada de Lie y corchete de Lie:Sea una función escalar h(x ) y un campo vectorial f (x ), se de�ne unafunción escalar Lf h como derivada de Lie de h con respecto de f :
De�nición (derivada de Lie)
Sea h : IRn �! IR y f : IRn �! IRLf h = 5hfLas derivadas Lie repetidas se de�nen como sigue:
L0f h = h ;
Ljf h = Lf (L
i�1f h) = 5(L
i�1f h)f i = 1; 2; ::
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Linealización por Realimentación
De�nición (corchete de Lie)
Sean f y g dos campos vectoriales de IRn �! IRn . El corchete de Liede f y g es un tensor campo vectorial de�nido por:
[f ; g ] = 5gf �5fg = adf g ;
También denominado como adjunta. Los corchetes Lie repetidos son:
ad0f g = g ;
ad if g = [f ; adi�1f g ] i = 1; 2:::
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Linealización por Realimentación
Propiedades:
1 Bilinealidad:
[�1f1 + �2f2; g ] = �1[f1; g ] + �2[f2; g ];
[f ; �1g1 + �2g2] = �1[f ; g1] + �2[f ; g2]
2 Conmutatividad Slip[f ; g ] = �[g ; f ]
3 Identidad Jacobi
Ladf gh = LfLgh � LgLf h
Para las demostraciones, ver referencia [2] del silabo.
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Difeomor�smo:De�nición
Una función � : IRn �! IRn , de�nida en una región , es llamadaen difeomor�smo si esta es suavizada y existe su inversa �1, quientambién función es suavizada.Si es todo el espacio IRn , entonces � es un difeomor�smo global.
Lema
Sea �(x ) una función suavizada de�nida en � IRn . Si la matrizJacobiana 5� es no singular en el punto x = x0 de , entonces �(x )es un difeomor�smo local en la subregión de .
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Linealización por Realimentación
De�nición
Un conjunto de campos vectoriales independientes [f1; f2; :::; fm ] en IRn
es llamado completamente integrable si y solo si existen n � m fun-ciones escalares h1(x ); h2(x ); :::; hn�m(x ) satisfaciendo las ecuacionesdiferenciales parciales:
5hi fj = 0;
donde 1 � i � n �m , 1 � j � m y los gradientes 5hi son linealmenteindependientes
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De�nición
Un conjunto de campos vectoriales independientes [f1; f2; :::; fm ] es lla-mado involutivo si y solo si hay funciones escalares �ijk : IR
n �! IR talque:
[fi ; fj ](x ) =
mXk=1
�ijk (x )fk (x ) 8i ; j
Involutividad implica que un vector corchete Lie puede ser expresadocomo una combinación lineal de las funciones [f1; f2; :::; fm ].
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Linealización por Realimentación
Teorema:(Frobenius)
Sea [f1; f2; :::; fm ] un conjunto de campos vectoriales linealmente inde-pendientes. El conjunto es completamente integrable si y solo si este esinvolutivo.
Condiciones para linealización entrada-estado:
Teorema
El sistema _x = f (x ) es linealizable en entrada-estado si y solo si existeuna región tal que las siguientes condiciones sean mantenidas:
1 [g ; adf g ; :::; adfn�1g ] son linealmente independientes en .
2 [g ; adf g ; :::; adfn�2g ] es involutivo en .
(1) es interpretada como condición de controlabilidad en sistemas nolineales y (2) es una condición totalmente satisfecha para sistemaslineales, pero no es garantizada generalmente en sistemas no lineales.
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Linealización por Realimentación
Procedimiento para realizar la linealización entrada-estado:
1 Construir los campos vectoriales [g1adf g ; :::; adn�1f g ].
2 Veri�car las condiciones de controlabilidad e involutividad.
3 Encontrar el primer estado z1:
5z1adif g = 0 i = 0; :::;n � 2
5z1adn�1f g 6= 0:
4 Calcule la transformación de estados z (x ) = [z ;Lf z1; :::Ln�1f z1]
T
y la transformación de entrada:
�(x ) = �Lnf z1
LgLn�1f z1
; �(x ) =1
LgLn�1f z1
u = �(x ) + �(x )v :
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Linealización por realimentación
Ejemplo de linealización por realimentación
Ejemplo
Considere el manipulador con junta �exible e ignorando efectos deamortiguamiento, las ecuaciones de movimiento son:
I q1 +MgLsenq1 + k(q1 � q2) = 0;
J q2 + k(q2 � q1) = u
Figura: Manipulador
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Linealización por realimentación
Ejemplo de linealización por realimentación
Es un sistema de 4to orden por lo tanto:
x1 = q1; x2 = _q1; x3 = q2; x4 = _q2
Resulta en:
_x1 = x2;
_x2 = �MgL
Isen(x1)�
k
I(x1 � x3);
_x3 = x4;
_x4 =k
J(x1 � x3) +
1
Ju :
El sistema de la forma:
_x = f (x ) + g(x )u ;
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Linealización por realimentación
Ejemplo de linealización por realimentación
donde:
f (x ) =
2664
x2
�MgLIsen(x1)�
kI(x1 � x3)
x4kJ(x1 � x3)
3775 ; g(x ) =
2664
000
1=J
3775
Para cumplir las condiciones de linealización entrada-estado esnecesario comprobar que:
rank [g ; adf g ; ad2f g ; ad
3f g ] = 4
Y que el conjunto:[g ; adf g ; ad
2f g ]
Sea involutivo.
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Linealización por realimentación
Ejemplo de linealización por realimentación
Realizando el cálculo de las matrices:
[g ; adf g ; ad2f g ; ad
3f g ] =
26640 0 0 k
IJ
0 0 kIJ
00 1
J0 � k
J21J
0 � kJ2
0
3775 ;
Tiene un rango de 4 para k > 0; I ;J
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Linealización por realimentación
Ejemplo de linealización por realimentación
Desarrollando las condiciones anteriores:�@z1@x1
;@z1@x2
;@z1@x3
;@z1@x4
� �0; 0; 0;
1
J
�= 0
@z1=@x4 = 0�@z1@x1
;@z1@x2
;@z1@x3
;@z1@x4
� �0; 0;
1
J; 0
�= 0
@z1=@x3 = 0�@z1@x1
;@z1@x2
;@z1@x3
;@z1@x4
� �0;
k
IJ; 0;�
k
J 2
�= 0
@z1@x2
k
IJ�
@z1@x4
k
J 2= 0 =)
@z1@x2
= 0�@z1@x1
;@z1@x2
;@z1@x3
;@z1@x4
� �k
IJ; 0;�
k
J 2; 0
�6= 0
@z1@x1
k
IJ�
@z1@x3
k
J 26= 0 =)
@z1@x1
6= 0
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Linealización por realimentación
Ejemplo de linealización por realimentación
Una solución que atiende todas las relaciones anteriores es:
z1 = x1
Calculando la transformación de estadosz (x ) = [z ;Lf z1;L
2f z1;L
3f z1]
T :
z1 = x1
z2 = Lf z1 = rz1f = [1; 0; 0; 0][x2;�MgL
Isen(x1)�
k
I(x1 � x3); x4;
k
J(x1 � x3)] = x2
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Linealización por realimentación
Ejemplo de linealización por realimentación
z3 = L2f z1 = LfLf z1 = r(z2)f =
[0; 1; 0; 0][x2;�MgL
Isen(x1)�
k
I(x1 � x3); x4;
k
J(x1 � x3)] =
�MgL
Isen(x1)�
k
I(x1 � x3)
z4 = L3f z1 = LfL
2f z1 = r(z3)f = [�
MgL
Icosx1 �
k
I; 0;
k
I; 0]f =
�MgL
Ix2cos(x1)�
k
I(x2 � x4):
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Linealización por realimentación
Ejemplo de linealización por realimentación
Luego de acuerdo a la transformación:
u =1
Lgz4(c � Lf z4)
Lgz4 = rz4:g = [; ; ;k
I][0; 0; 0;
1
J] =
k
IJ
Lf z4 = rz4f = [MgL
Ix2senx1;�
MgL
Icosx1 �
k
I; 0;
k
I]
[x2;�MgL
Isenx1 �
k
I(x1 � x3); x4;
k
J(x1 � x3)] =
MgL
Ix 22 senx1 +
M 2g2L2
I 2cosx1senx1 +
MgL
I
k
Icosx1(x1 � x3)
+MgL
I
k
Isenx1 +
k2
I 2(x1 � x3) +
k2
IJ(x1 � x3)
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Linealización por realimentación
Ejemplo de linealización por realimentación
Lf z4 =MgL
Isenx1(x
22 +
MgL
Icosx1 +
k
I) +
k
I(x1 � x3)
(k
I�
k
J+
MgL
Icosx1)
De modo que el sistema transformado es:
_z1 = z2;
_z2 = z3;
_z3 = z4;
_z1 = v :
Esta transformación es de�nida en todo el dominio. Por tanto, lalinealización entrada-estado es global.
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Linealización por realimentación
Ejemplo de linealización por realimentación
Para el proyecto del controlador la dinámica linealizada puede serexpresada como:
z(4)1 = v ;
y supongamos que deseamos que z1 acompañe un valor deseado zd1.Por lo tanto el error es:
~z1 = z1 � zd1:
La ley de control:
v = z(4)d1 � a3~z
(3)1 � a2
~z1 � a1 _~z1 � a0~z1
llevará la dinámica del error a cero:
~z (4) � a3~z(3)1 � a2
~z1 � a1 _~z1 � a0~z1 = 0;
Las constantes ai deben ser seleccionadas apropiadamente en relacióna las especi�caciones de desempeño.
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Ejemplo de linealización por realimentación
Linealización entrada-salida:Consideremos un sistema de la forma:
_x = f (x ;u)
y = h(x )
La idea intuitiva consiste en encontrar una relación entre la salida y yla entrada u . Veamos el siguiente sistema como ejemplo.
_x1 = senx2 + (x2 + 1)x3
_x2 = x51 + x3
_x3 = x21 + u
y = x1
Derivando y , o sea:
_y = Lf h = [1; 0; 0][senx2 + (x2 + 1)x3; x51 + x3; x
21 + u ]
= senx2 + (x2 + 1)x3
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Ejemplo de linealización por realimentación
Derivando nuevamente hasta encontrar una relación entrada (u)salida (y):
y = L2f h = (cosx2 + x3)(x51 + x3) + (x2 + 1)(x
22 + u)
y = f1(x ) + (x2 + 1)u
Una linealización por realimentación con:
u =1
x2 + 1(v � f1(x ))
Convierte el sistema en;y = v ;
El diseño del controlador es simple considerando e = y � yd :
v = yd � k1 _e � k2e ;
que lleva la dinámica del error al origen:
e + k1 _e + k2e = 0;
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Youth � not a time of life but a state of mind... a predominance ofcourage over timidity, of the appetite for adventure over the love ofease. � Robert F. Kennedy
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