1. Kompleksni brojevi
1. Rastavite na faktore sljedece algebarske izraze:
(a) a2b− a2 − b2 + 1
(b) 9a2b2 − 4a2 − 12ab+ 4
(c) x4 − 2x3 + 2x− 1
(d) a5 + a+ 1
(e)
(2
a2b− 4b− b
a3 − 4a− 1
a2 + 2a
):b2 − 4b+ 4
a3b− 4ab
(f)
(a−2 − b−2
a−2 + b−2
)−1:a−1b+ ab−1
a2b−2 − a−2b2
(g)a2n−2 − 1
a2n − an+1 + an−1 − 1
2. Skratite razlomke:
(a)a3 + 27
a4 − 9a2 + 54a− 81
(b)8x3 − 10x2 + 15x− 27
16x4 − x2 − 18x− 81
(c)a5 + a4 + a3 + a2 + a+ 1
a2 + a+ 1
(d)x2 − (2a− b)x+ a2 − ab
x2 − ax+ ab− b2
3. Izracunajte:
(a)3
√2 +√
3 ·√
7− 4√
3
(b)[9−
12 + (3
√3)−
23
]·[9−
12 − (3
√3)−
23
](c)
√8−
∣∣1−√2∣∣∣∣2−√2
∣∣− ∣∣√8− 3∣∣
4. Rijesite jednadzbe:
(a) 2x3 − 3x2 − 3x+ 2 = 0
(b) x3 − 7x+ 6 = 0
(c) |2x+ 1| − |x− 1| = x+ 1
1
(d)√
2x+ 3 +√x− 2 = 2
√x+ 1
5. Rijesite nejednadzbe:
(a)3x3 + x2
3x4 − x3 + 9x2 − 3x≤ 0
(b) |x− 1| − |x− 2| < 2x+ 3
(c) |2x+ 1| − |x− 3| > x+ 5
(d)
∣∣∣∣ x
x+ 1
∣∣∣∣ ≤ 1
2
(e)
∣∣∣∣ x− 1
2x+ 1
∣∣∣∣ > 1
6. Odredite one realne brojeve a za koje rjesenje jednadzbe
ax− 1
x2 − x− ax
x2 + x=
a+ 1
x2 − 1
zadovoljava uvjet x < 1.
7. Rijesite jednadzbe x2− 2x+ 2 = 0 i x2 + 4 = 0 i rjesenja prikaziteu kompleksnoj ravnini.
8. Izracunajte z1 + z2, z1 − z2, z1 · z2 iz1z2
ako je
(a) z1 = 1− i , z2 = 2 + 3i;
(b) z1 = 2− i, z2 = i;
(c) z1 = 2, z2 = 1− 2i.
9. Odredite t ∈ R takav da je Im (z1 + z2) = 0 ako je z1 = 1 + 2ti iz2 = 3t− 4i.
10. Odredite z2 ∈ C takav da je |z1 + z2| = 1 i Re (z1 + z2) = 0 ako jez1 = 1 + i.
11. Izracunajte
(a) i2005;
(b)i6 + i3
i2 − i7;
(c) Imi20 − ii+ 1
;
2
(d) p(2 + i) ako je p(z) = z2 − 5z + 1.
12. Rijesite jednadzbu z (3 + 2i) = i10.
13. Odredite kompleksne brojeve z ∈ C koji zadovoljavaju izraz
z + |z| −√
29
2= 1 +
5
2i9.
14. Koristeci trigonometrijski oblik kompleksnog broja izracunajte
(a) (1 + i)10;
(b)
(1
2−√
3
2i
)50
;
(c)3√
1;
(d) 4√−i;
(e)3
√1 + i
√3;
(f)
√−3(
cosπ
4− i sin
π
4
).
Rjesenja prikazite u kompleksnoj ravnini.
15. Rijesite jednadzbe
(a) 8z3 +8√2
(1 + i
1− i
)313
= 0;
(b)
[1
16(−1 + i)8 − z
]4=
2√3
− 1√3
+ i.
16. Skicirajte u kompleksnoj ravnini skupove kompleksnih brojevakoji zadovoljavaju sljedece izraze:
(a) |z − i| ≥ 1;
(b) Im [(1 + i)z] ≤ 1;
(c) |z|+ Re z ≤ 2;
(d) 2 ≤ |z| ≤ 3;
(e) |z| > 2 + Im z;
(f) 2 ≤ |z| ≤ 3 i π3 ≤ arg z ≤ π.
3