1. Kompleksni brojevi

1. Rastavite na faktore sljedece algebarske izraze:

(a) a2b− a2 − b2 + 1

(b) 9a2b2 − 4a2 − 12ab+ 4

(c) x4 − 2x3 + 2x− 1

(d) a5 + a+ 1

(e)

(2

a2b− 4b− b

a3 − 4a− 1

a2 + 2a

):b2 − 4b+ 4

a3b− 4ab

(f)

(a−2 − b−2

a−2 + b−2

)−1:a−1b+ ab−1

a2b−2 − a−2b2

(g)a2n−2 − 1

a2n − an+1 + an−1 − 1

2. Skratite razlomke:

(a)a3 + 27

a4 − 9a2 + 54a− 81

(b)8x3 − 10x2 + 15x− 27

16x4 − x2 − 18x− 81

(c)a5 + a4 + a3 + a2 + a+ 1

a2 + a+ 1

(d)x2 − (2a− b)x+ a2 − ab

x2 − ax+ ab− b2

3. Izracunajte:

(a)3

√2 +√

3 ·√

7− 4√

3

(b)[9−

12 + (3

√3)−

23

]·[9−

12 − (3

√3)−

23

](c)

√8−

∣∣1−√2∣∣∣∣2−√2

∣∣− ∣∣√8− 3∣∣

4. Rijesite jednadzbe:

(a) 2x3 − 3x2 − 3x+ 2 = 0

(b) x3 − 7x+ 6 = 0

(c) |2x+ 1| − |x− 1| = x+ 1

1

(d)√

2x+ 3 +√x− 2 = 2

√x+ 1

5. Rijesite nejednadzbe:

(a)3x3 + x2

3x4 − x3 + 9x2 − 3x≤ 0

(b) |x− 1| − |x− 2| < 2x+ 3

(c) |2x+ 1| − |x− 3| > x+ 5

(d)

∣∣∣∣ x

x+ 1

∣∣∣∣ ≤ 1

2

(e)

∣∣∣∣ x− 1

2x+ 1

∣∣∣∣ > 1

6. Odredite one realne brojeve a za koje rjesenje jednadzbe

ax− 1

x2 − x− ax

x2 + x=

a+ 1

x2 − 1

zadovoljava uvjet x < 1.

7. Rijesite jednadzbe x2− 2x+ 2 = 0 i x2 + 4 = 0 i rjesenja prikaziteu kompleksnoj ravnini.

8. Izracunajte z1 + z2, z1 − z2, z1 · z2 iz1z2

ako je

(a) z1 = 1− i , z2 = 2 + 3i;

(b) z1 = 2− i, z2 = i;

(c) z1 = 2, z2 = 1− 2i.

9. Odredite t ∈ R takav da je Im (z1 + z2) = 0 ako je z1 = 1 + 2ti iz2 = 3t− 4i.

10. Odredite z2 ∈ C takav da je |z1 + z2| = 1 i Re (z1 + z2) = 0 ako jez1 = 1 + i.

11. Izracunajte

(a) i2005;

(b)i6 + i3

i2 − i7;

(c) Imi20 − ii+ 1

;

2

(d) p(2 + i) ako je p(z) = z2 − 5z + 1.

12. Rijesite jednadzbu z (3 + 2i) = i10.

13. Odredite kompleksne brojeve z ∈ C koji zadovoljavaju izraz

z + |z| −√

29

2= 1 +

5

2i9.

14. Koristeci trigonometrijski oblik kompleksnog broja izracunajte

(a) (1 + i)10;

(b)

(1

2−√

3

2i

)50

;

(c)3√

1;

(d) 4√−i;

(e)3

√1 + i

√3;

(f)

√−3(

cosπ

4− i sin

π

4

).

Rjesenja prikazite u kompleksnoj ravnini.

15. Rijesite jednadzbe

(a) 8z3 +8√2

(1 + i

1− i

)313

= 0;

(b)

[1

16(−1 + i)8 − z

]4=

2√3

− 1√3

+ i.

16. Skicirajte u kompleksnoj ravnini skupove kompleksnih brojevakoji zadovoljavaju sljedece izraze:

(a) |z − i| ≥ 1;

(b) Im [(1 + i)z] ≤ 1;

(c) |z|+ Re z ≤ 2;

(d) 2 ≤ |z| ≤ 3;

(e) |z| > 2 + Im z;

(f) 2 ≤ |z| ≤ 3 i π3 ≤ arg z ≤ π.

3