Download pdf - Soal Dan Solusi Kalkulus

1001 Pembahasan UAS Kalkulus I

i

KATA PENGANTAR

Sebagaian besar mahasiswa menganggap bahwa Mata Kuliah yang

berhubungan dengan menghitung yang salah satunya Kalkulus adalah susah,

rumit dan memusingkan. Alhasil jalan keluar yang ditempuh untuk

mengatasinya adalah mahasiswa menghafal teknik (urutan cara) menjawab

soal, bukan memahami inti persoalan, materi, dan bagaimana mendapatkan

ide menyelesaikan soal.

Sebagian lagi menganggap pemahaman materi saja sudah cukup.

Pengalaman saya, mahasiswa yang baru memahami sebuah materi secara

intuitif tetap saja akan kesulitan ketika menjawab persoalan. Kesulitan bukan

karena tidak tahu jawabannya, tetapi kurang pandai bagaimana cara

mengungkapkannya. Kemampuan seseorang menuangkan apa yang

difahaminya ke dalam tulisan yang sistematis dan bisa dimengerti orang lain

juga penting, karena orang khususnya dosen ketika UAS menilai apa yang

kita tulis pada lembar jawaban bukan apa yang ada di dalam otak kita.

“1001 soal dan pembahasan “ ini dibuat bukan dengan tujuan agar

mahasiswa pembaca menghafal teknik menjawabnya, melainkan supaya

pembaca dapat lebih memahami materi, dan berlatih mengungkapkan apa

yang difahami. Tentunnya tulisan ini tidaklah cukup bagi pembaca, text

book dan penjelasan dari dosen tetaplah lebih utama, jadikan soal- soal yang

ada disini sebagai latihan, sekedar untuk melihat kebenaran jawaban anda

atau ketika anda merasa sudah mengalami kebuntuan, baru silahkan pembaca

menyimak pembahasannya.


ii

Semoga bermanfaat !

Penulis

Arip Paryadi


iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ...................................................................................... i

DAFTAR ISI ................................................................................................. iii

MATHEMATIC FORMULAE ....................................................................... v

SOAL SOAL ................................................................................................... 2

Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP).................................................... 3

Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 4

Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 5

Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 6

Uas 2005-2006 Kalkulus 1 MA1114 ........................................................... 7

Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 8

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122 ............................................................ 9

Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 10

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 ......................................................... 11

Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 12

Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 .......................................................... 13

Uas 2002-2003 Kalkukus I ........................................................................ 14

Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 .......................................................... 15

Uas 2000-2001 Kalkulus I ......................................................................... 16

PEMBAHASAN ............................................................................................ 17

Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP).................................................. 18

Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 21

Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 25

Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 28


iv

Uas 2005-2006 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 32

Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 36

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122 .......................................................... 40

Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 45

Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 .......................................................... 49

Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 52

Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 .......................................................... 56

Uas 2002-2003 kalkulus I .......................................................................... 61

Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 .......................................................... 66

Uas 2000-2001 Kalkulus I ......................................................................... 71

TRIGONOMETRY FORMULAE ................................................................ 76


v

MATHEMATIC FORMULAE

( ) uvvuuv ''' +=

2

'''

v

uvvu

v

u −=

dx

dy

dy

du

dx

du⋅=

( ) 1' −= nn nxx

( ) xx ee ='

( ) aaa xx ln'=

( ) xx cossin '=

( ) xx sincos'

−=

( ) xx2'

sectan =

( ) xx2'

csccot −=

( ) xxx tansecsec'=

( ) xxx cotcsccsc'

−=

( )x

x1

ln'=

( ) )(')(

1)(ln

'xf

xfxf =

( )2

'1

1

1sin

x

x

−=−

( )2

'1

1

1cos

x

x

−−=−

( )2

'1

1

1cot

xx

+−=−

∫−=∫ vduuvudv

∫ ++

=+

cn

xdxx

nn

1

1

cxdxx

+=∫ ln1

cea

dxeaxax +=∫

1

∫ +

=

−

− ca

x

xa

dx 1

22sin

∫ +−= cxxdx cossin

cxxdx +=∫ sincos

ca

x

ax

dx+∫

=

+

−1

22sinh

cxxdx +−=∫ coslntan

cxxdx +=∫ sinlncot

cxxxdx ++=∫ tanseclnsec

cxxxdx +−=∫ cotcsclncsc

ca

x

aax

dx+

=∫

+

−1

22tan

1

( )2

'1

1

1tan

xx

+=−

1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I

Arip Paryadi , IT Telkom 2

SOAL SOAL



UJIAN AKHIR SEMESTER PENDEK 2009/2010

KALKULUS I/MA1114

15 AGUSTUS 2009

TUTUP BUKU

Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP)

1. Diketahui daerah D dibatasi kurva xy = , garis 1=y , garis 4=x .

a. Gambarkan daerah D

b. Hitung luas daerah D

c. Hitung volume benda putar bila D diputar terhadap sumbu y.

2. a. Cari turunan dari xey

1sin−

=

b. Hitung ( ) xx

x

xe1

2lim +

−

∞→

bila ada

3. Hitung integral

a. ∫2

0

5cos

π

xdx

b. ∫+−

−dx

xx

x

106

3

2

4. Periksa kekonvergenan integral tak wajar ( )( )∫

−+

+∞

0 23

4dx

xx

x

No 1a 1b 1c 2a 2b 3a 3b 4

Nilai 2 4 7 4 7 7 7 7

Selamat Bekerja dengan Jujur !



UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2008/2009

KALKULUS I MA1114

SELASA / 13 JANUARI 2009

TUTUP BUKU

Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114

1. Diketaui D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 42 =+ yx dan garis

2+= xy

a. Gambarkan daerah D dan cari titik-titik potongnya

b. Hitung luas daerag D

c. Hitung volume benda putar, bila D diputar mengelilingi sumbu x

2. Bila ( )axxa

xf11 tantan

1)( −− += , a konstanta. Tentukan a sehingga

2)0(' =f

3. Hitung ( )x

x

xcotlim0+→

, bila ada.

4. Hitung integral

a. ∫−+− 342

xx

dx

b. dxxx∫ + 423

5. Periksa kekonvergenan integral tak wajar dxexx

∫∞

∞−

− 32

Soal 1 2 3 4 5

Nilai 8 8 8 8 8

Selamat Mengerjakan !



UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2007-2008

KALKULUS I/MA1114

TUTUP BUKU


1. Diketahui suatu daerah D di kuadran I yang dibatasi oleh kurva 24 xy −= , garis xy 3= dan sumbu y.

a. Gambarkan daerah D dan hitung luasnya

b. Hitung volume benda putar, bila D diputar terhadap garis 4=x

2. Diketahui ( ) ( )

−

=2

1

sin

πx

xxf

a. Hitung ( )xfx

lim

2

+→π

b. Tentukan turunan pertama dari ( )xf

3. a. Hitung integral ∫−−

+dx

xxx

x

6

623

3

b. periksa kekonvergenan integral tak wajar ∫∞

−

0

dxxex

No 1 2 3

Nilai 12 14 14

Selamat mengerjakan denga jujur !




KALKULUS I MA1114

SABTU / 13 JANUARI 2007

TUTUP BUKU


Berdoalah sebelum mulai mengerjakan!

Kerjakan dengan jujur dan teliti!

1. Diketaui daerah D dibatasi oleh grafik21 xy −= , garis x = 1, dan garis

y = 1

d. Hitung luas daerah D

e. Volume benda putar , jika daerah D diputar terhadap sumbu y.

2. a. Tentukan 'y ( untuk x > 0 dan y > 0) jikayx

xy =

b. Diketahui ∫ −=

3

0

).1(cos)(x

xxdttf π Tentukan nilai f(8).

3. Hitung ∫+

+dx

xx

x23

2 1

4. Selidiki kekonvergenan ∫+−

0

1 1dx

x

x

5. Diketahui 1

)(+

=x

xxf

a. Selidiki apakah f(x) mempunyai invers ?

b. Cari ( )11 −−f !

NOMOR 1 2a 2b 3 4 5

NILAI MAKS 8 4 4 8 8 8

PENGOREKSI FDA JDN ERW ZKA DMA SSI

-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-




KALKULUS 1 MA1114

SENIN 2 JANUARI 2006

TUTUP BUKU

Uas 2005-2006 Kalkulus 1 MA1114

Berdoalah sebelum mulai mengerjakan!

Kerjakan dengan jujur dan teliti!

1. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik y = x2 dan y = x. Grafik fungsi

y = xm membagi luas daerah D menjadi dua bagian yang sama.

a. Gambarkan daerah D

b. Tentukan m

2. Tentukan panjang kurva y = x3/2 dari titik (0,0) ke (1,1).

3. Carilah

a. ∫ dxxx )(cos)(sin 34

b. ∫−

1

0

1 )(tan dxx

4. Selidiki kekonvergenan ∫−

3

0 29 x

dx

5. Diketahui f(x) = (x-π)tan x. Tentukan

a. ( )xf ' .

b. )(lim xfx

+→π

No 1 2 3 4 5 Jumlah

Nilai Max 8 8 8 8 8 40

Pengoreksi ERW BZL FDA SSI JDN





MA-1114 KALKULUS I


TUTUP BUKU


1. Diketahui D dibatasi oleh 2xy = , x = 2 dan y = 1

a. Hitung luas D

b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap garis

x = 3

2. Bila xxxxf )sin()( += , tentukan :

a. )(' xf

b. )(lim0

xfx

+→

3. Hitung ∫++

+

−

1

12 52

5dx

xx

x

4. Hitung ∫−

dx

x 23

2 )14(

1

5. Periksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ −2

1

)1ln( dxx





MA 1122 KALKULUS I

23 DESEMBER 2003

TUTUP BUKU


1. Diketahui 1

)(2 +

=x

xxf

Tentukan :

a. Daerah dimana grafik f naik atau turun dan titik ekstrimnya beserta

jenisnya (bila ada)

b. Daerah dimana grafik f cekung atau cekung ke bawah dan titik

beloknya (bila ada)

c. Garis-garis Asimtot

d. Sketsa grafik f

2. Diketahui ∫+

=−4

2 4

3

,

1

)(x

x

dt

t

xxH tentukan H’(2)

3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva y = x2 dan y = 4

a. Gambar daerah D dan hitung luas daerah tersebut

b. Hitung volume benda putar yang terjadi apabila daerah D diputar

terhadap garis y = -1

4. Diberikan ( ) xxxf

ln2 1)( += , tentuka f ‘(x)

5. Hitung integral-integral berikut

a. ∫ − dxex9 Dengan menggunakan subtitusi x

eu −= 9

b. ∫π

0

2cos xdxx





PU 1333 KALKULUS


TUTUP BUKU

Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333

1. Diketahui daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva xy = , garis

0=x dan garis y = 3

a. Hitung luas daerah D

b. Hitung volume benda putar jika D diputar terhadap garis y = -1

2. Diketahui ( ) ecxxxf

coscos)( =

a. Hitung : )(lim0

xfx→

b. Tentukan turunan pertama f(x)

3. Hitung integral berikut:

a. ∫+−

dxxx

x

52

22

b. ( )∫ + dxx2ln

4. Selidiki kekonvergenan integral tak wajar berikut:

a. ( )

∫+

+∞

0 23

32x

dx

b. ∫−−

−3

12 6

12dx

xx

x

Selamat Bekerja Dengan Jujur




MA 1314 KALKULUS I


TUTUP BUKU


1. Tentukan 'y dari bentuk emplisit 1=+ xyex

2. Hitung ∫ + dxx)2ln(

3. Diketahui ∫−−

−3

12 6

12dx

xx

x

a. Periksa apakah integral di atas adalah integral tak wajar ?

b. Jika integral tak wajar, periksa kekonvergenannya!

4. a. Tentukan selang kekonvergenan deret :

( )∑ +++=+∞

=0

2 ...3211n

n xxxn

b. Tentukan jumlah deret pada soal 4a dengan menggunakan :

xxxx

−=++++

1

1...1 32

5. Tentukan deret McLaurin dari fungsi x

xxf

+=

1)(





KALKULUS / PU 1333

6 JANUARI 2003

TUTUP BUKU


Kerjakan dengan singkat dan jelas!

Jangan lupa berdo’a sebelum mengerjakan!

1. Diketaui ecxxxf

cos)1()( +=

a. Tentukan )(' xf

b. Hitung )(lim0

xfx

+→

2. Hitung integral berikut

a. ( )dxx 25ln +∫

b. ∫−

224 xx

dx

3. Selidiki kekonvergenan dari

a. ( )

∫+

+∞

023

1x

dx

b. ∫+∞−

0

21dx

e

ex

x

4. Diketahui daerah D dibatasi oleh xy = , x = 4 , sumbu x.

a. Tentukan luas D

b. Hitung volume benda putar jika D diputar terhadap sumbu y.




UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2002/ 2003

MA1314 KALKULUS I

JUMAT, 13 JUNI 2003

TUTUP BUKU


1. Hitung

a. ( ) ( )∫

+−

+−

41

64322

23

xx

xxx

b. ∫+

dx

xx 1

1

22

2. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar( )

dx

x

x∫

+

+∞

1232 1

3. Diketaui ( )2

cot)(x

xxf =

Tentukan :

a. Turunan pertama dari f(x) !

b. )(lim0

xfx

+→

4. Tentukan selang kekonvergenan ( )

∑+∞

=+

1212

1

nn

n

n

x





KALKULUS I

TUTUP BUKU

Uas 2002-2003 Kalkukus I

1. Hitunglah ( ) x

x

xsin

0

tanlim+→

2. Tentukan )(' xf dari 2

)sin2()( xxxf +=

3. Hitung integral berikut ∫−

dxx

x 142

4. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar di bawah

a. dxe

ex

x

∫+

∞

∞−−

−

21

b. ∫∞

∞− xx

dx3ln

5. a. Periksa kekonvergenan deret ∑∞

=

+

1

1

!

3

n

n

n

b. Tentukan selang kekonvergenan deret ∑+

∞

=

−

02

1

)1(

2

n

nn

n

x





DA 1314 KALKULUS I


TUTUP BUKU

Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314

1. Diberikan fungsi 1,22)( 2 −≤++= xxxxf . Tunjukkan bahwa fungsi

)(xf mempunyai invers kemudian carilah )(1xf

−

2. a. Carilah integral tak tentu ∫+

+dx

xx

x

4

43

b. Hitunglah ∫−3

12

29

dxx

x

3. selidiki kekonvergenan integral tak wajar berikut

a. dxx∫ +∞

0

)1ln(

b. ∫1

0

2

dxx

ex

4. Tentukan selang/himpunan kekonvergenan dari deret pangkat

∑+

−∞

=

+

0

1

32

)2(

n

nn

n

x

5. Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin (minimal 4 suku pertama) untuk

fungsi 24

1)(

xxf

−=





KALKULUS 1

SENIN / 24 NOVEMBER 2000

TUTUP BUKU

Uas 2000-2001 Kalkulus I

1. Diketahui xxxxf1

)42()( +=

a. Tentukan )(' xf

b. Hitunglah )(lim xfx ∞→

( jika ada )

2. Hitung

a. ( )( ){ }∫ −−5

3

21ln dxxx

b. ∫−

−dx

x

x

29

32

3. Hitung ∫++−

−−dx

xxx

xx

)22)(1(

322

2

4. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar berikut :

a. ∫2

0

tan

π

θθd

b. ∫∞−

0 2

dxxex

5. Tentukan selang ( himpunan ) kekonvergenan deret ∑+

−∞

=

+

1

1

)1()1(

k

kk

kk

x




PEMBAHASAN



PEMBAHASAN

UJIAN AKHIR SEMESTER PENDEK 2009/2010

KALKULUS I/MA1114

15 AGUSTUS 2009

Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP)

1. Diketahui daerah D dibatasi kurva

xy = , garis 1=y , garis 4=x .

a. Gambar daerah D diperlihatkan pada

gambar di samping

b. Menghitung luas daerah D

luas salah satu partisi dari D adalah :

( ) yyA ∆−=∆ 24

apabila luas seluruh partisi dari D

dijumlahkan akan diperoleh luas daerah

D yaitu

( ) 2

1

3

31

2

1

2 44 yydyyA −=∫ −=

( ) ( )35

31

38 48 =−−−=

c. Menghitung volume benda putar bila

D diputar terhadap sumbu y.

Jika salah satu partisi dari D diputar

terhadap sumbu y maka akan diperoleh

sebuah cakram dengan jari-jari bagian

dalam 2y dan jari-jari bagian luar 4

serta tebal y∆ . Volume cakram

tersebut yaitu

( ) ( ) yytrrV dl ∆−=−=∆ 422 16ππ

Sehingga volume benda putar yang

dimaksud adalah

( ) ( ) πππ549

2

1

5

51

2

1

4 1616 =−=∫ −= yydyyV

1

xy =

40

D

Ddaerah

y∆

1 24 y−

40 1

2

y∆

•

2yrd =

4=lr



2. a. Mencari turunan dari xey

1sin

−

=

misalkan xu1sin−= maka

21

1

xdx

du

−

= , uey = dan u

edu

dy= .

Dengan menggunakan aturan rantai kita peroleh :

2

sin

211

11

x

e

x

edx

du

du

dy

dx

dy xu

−

=

−

==

−

b. Menghitung ( ) xx

x

xe1

2lim +

−

∞→

( ) xx

x

xe1

2lim +

−

∞→

( ) ( )21

2ln

1limexplnexplim xe

xxe

x

x

xx

x

+=+=−

∞→

−

∞→

( )**

2limexp*

lnlimexp

2

2

xe

xe

x

xex

x

x

x

x +

+−=

+=

−

−

∞→

−

∞→

( ) 10exp2

2limexp ==

+−

+=

−

−

∞→ xe

ex

x

x

Note : * dan ** limit berbentuk ∞/∞ sehingga L’H dapat diterapkan.

3. Menghitung integral

a. ∫2

0

5cos

π

xdx

∫ xdx5cos ( )∫= xdxx coscos

22 ( )∫ −= xdxx cossin122

( )∫ +−= xdxxx cossinsin21 42

( ) ( )∫ +−= xdxx sinsinsin21 42

cxxx ++−= 5

513

32 sinsinsin

∫2

0

5cos

π

xdx

( )

158

0

5

513

32 2

sinsinsin =+−=π

xxx

b. ∫+−

−dx

xx

x

106

3

2

∫+−

−dx

xx

x

106

3

2

( )∫

+−

+−=

106

106

2

2

21

xx

xxd cxx ++−= 1062



Alternative lain adalah dengan melihat kenyataan bahwa

∫+−

−dx

xx

x

106

3

2

( )∫

+−

−= dx

x

x

13

3

2 kemudian lakukan substitusi

tx tan3 =−

4. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ( )( )∫

−+

+∞

0 23

4dx

xx

x

( )( )∫

−+

+∞

0 23

4dx

xx

x

( )( ) ( )( )∫

−+

++∫

−+

+=

+− →→

3

202 23

4lim

23

4lim

bb

a

a

dxxx

xdx

xx

x

( )( )( )*........

23

4lim

3

∫−+

++

∞→

c

c

dxxx

x

Misalkan ( )( ) ( ) ( )2323

4

−+

+=

−+

+

x

b

x

a

xx

x. Untuk mendapatkan nilai a dan b

kita kalikan kedua ruas dengan ( )( )23 −+ xx menjadi

( ) ( )324 ++−=+ xbxax

untuk 2=x diperoleh b56 = atau 56=b

untuk 3−=x diperoleh a51 −= atau 51−=a sehingga

( )( )∫

−+

+dx

xx

x

23

4

( ) ( )cxxdx

xx+−++−=∫

−+

+−= 2ln3ln

25

6

35

156

51 .

Sekarang kita selesaikan limit bagian pertama pada ruas kanan (*)

( )( )∫

−+

+

−→

a

a

dxxx

x

02 23

4lim ( )a

a

xx05

651

2

2ln3lnlim −++−=−→

( ) ( ) −∞=−+−−−++−=−→

2ln3ln2ln3lnlim 56

51

56

51

2

aaa

Ini menunjukkan bahwa ( )( )∫

−+

+

−→

a

a

dxxx

x

02 23

4lim divergen yang berakibat

( )( )∫

−+

+∞

0 23

4dx

xx

x juga divergen.



PEMBAHASAN


KALKULUS I MA1114

SELASA / 13 JANUARI 2009


1. Diketaui D adalah daerah yang dibatasi oleh

kurva 42 =+ yx dan garis 2+= xy

a. Menggambar daerah D dan mencari

titik-titik potongnya

Titik potong kurva antara 42 =+ yx dan

2+= xy

42 =+ yx

422 =++ xx

022 =−+ xx

( )( ) 012 =−+ xx

2−=x atau 1=x

b. Menghitung luas daerah D


( ) ( )( ) xxxA ∆+−+−=∆ 242

( ) xxx ∆+−−= 22

Jika luas semua partisi dari D kita

jumlahkan akan didapat luas daerah D

yaitu :

( )∫ +−−=−

1

2

2 2 dxxxA

1

2

23 22

1

3

1

−

+−−= xxx

2

942

3

82

2

1

3

1=

−−−

+−−=

2+= xy

42 +−= xy

2−

D

1

x∆

( ) ( )242

+−+− xx



c. Menghitung volume benda putar, bila

D diputar mengelilingi sumbu x.

Bila sebuah partisi dengan tinggi

22 +−− xx dan alas x∆ diputar terhadap

sumbu x maka akan diperoleh sebuah

cakram dengan jari – jari dalam 2+x

dan jari jari bagian luar 42 +− x serta

tebal x∆ . Luas volume cakram tersebut

adalah

( )trrV dl22 −=∆ π

( ) ( ) xxx ∆

+−+−=

222 24π

( ) ( )( ) xxxxx ∆++−+−= 44168 224π

( ) xxxx ∆+−−= 1249 24π

Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah :

( )∫ +−−=−

1

2

24 1249 dxxxxV π

1

2

235 12235

1

−

+−−= xxxxπ

−−+−−

+−−= 24824

5

321223

5

1π π

5

108=

2. Menentukan a sehingga 2)0(' =f jika ( )axxa

xf11 tantan

1)( −− +=

( )( )22

11

11'

ax

a

xaxf

++

+=

karena 2)0(' =f maka

aa

+=1

2

212 aa +=

0122 =+− aa

( ) 012

=−a ,

1=a

x∆

2+= xrd

42

+−= xrl



3. Menghitung ( )x

x

xcotlim0+→

( )x

x

xcotlim0+→

( ) ( )xxxx

x

x

cotlnlimexpcotlnexplim00 ++ →→

==

( )*

1

cotlnlimexp

0

=

+→

x

x

x

−

−

=+

→

2

2

0 1

cot

csc

limexp

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx coslim

sinlimexp

cos

sin

sinlimexp

002

2

0 +++ →→→

==

( ) 10.1exp ==

Note : *limit berbentuk ∞/∞ sehingga L’H bisa diterapkan.

4. Mengitung integral

a. ∫−+− 342

xx

dx

( )*

212

∫−−

=

x

dx ( ) cx +−= − 2sin 1

Note: * jika kurang faham lakukan substitusi tx sin2 =−

b. dxxx∫ + 423

misalkan : 42 += xu maka xdxdu 2= atau x

dudx

2=

sehingga

dxxx∫ + 423 ∫=x

duux

2

3

∫= duux2

2

1 ( )∫ −= duuu 4

2

1

∫

−= duuu 2

12

3

42

1cuu +

−= 2

32

5

3

8

5

2

2

1

( ) ( ) cxx ++−+= 23

225

24

3

44

5

1



5. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar dxexx

∫∞

∞−

− 32

dxexx

∫∞

∞−

− 32 ∫+∫= −

∞→

−

−∞→

bx

ba

x

a

dxexdxex0

20

2 33

limlim

misalkan 3xu −= maka dxxdu 23−= sehingga

∫−

dxexx

32 ∫−= dueu

3

1 ce

u +−=3

1 ce

x +−= − 3

3

1

dxexx

∫∞

∞−

− 32b

x

ba

x

a

ee0

033

3

1lim

3

1lim

−

∞→

−

−∞→

−+−=

∞=+−++−= −

∞→

−

−∞→ 3

1

3

1lim

3

1

3

1lim

33b

b

a

a

ee

Jadi dxexx

∫∞

∞−

− 32 divergen.



PEMBAHASAN

UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2007-2008

KALKULUS I/MA1114


1. Diketahui suatu daerah D di kuadran I yang

dibatasi oleh kurva 24 xy −= , garis xy 3=

dan sumbu y.

a. Gambar daerah D luas daerahnya

Perhatikan gambar disamping !

Titik potong antara kurva 24 xy −= dan

xy 3= terjadi saat xx 34 2 =− yaitu

0432 =−+ xx

( )( ) 014 =−+ xx

4−=x (tidak memenuhi karena D pada

kwadran I) atau 1=x

Luas salah satu partisi dari D adalah :

( )( ) ( ) xxxxxxA ∆+−−=∆−−=∆ 4334 22

Jika kita jumlahkan luas seluruh partisi

dari D akan didapat luas daerah D yaitu

( )∫ +−−=1

0

2 43 dxxxA

613

1

0

2

233

31 4 =+−−= xxx satuan luas.

b. Menghitung volume benda putar, bila D

diputar terhadap garis 4=x

Apabila salah satu partisi dengan tinggi

432 +−−= xxt dan alas x∆ serta

berjarak x−4 dari garis 4=x diputar

terhadap garis 4=x akan diperoleh

sebuah kulit tabung dengan dengan

tinggi 432 +−−= xxt , jari-jari xr −= 4

serta tebal x∆ .

xy 3=1

( ) xx 342 −−

x∆



Volume kulit tabung tersebut adalah :

( )( ) xxxxrrtV ∆+−−−=∆=∆ 43422 2ππ ( ) xxxx ∆+−−−= 16162 23π

Apabila volume seluruh kulit tabung dijumlahkan akan diperoleh

volume benda putar yang dimaksud yaitu

( )∫ +−−−=1

0

23 16162 dxxxxV π ( ) ππ65

1

0

23

314

41 151682 =+−−−= xxxx

2. Diketahui ( ) ( ) ( )2

1

sinπ−= xxxf

a. Menghitung ( )xfx

lim

2

+→π

( ) ( ) ( )2

1

22

sinlnexplimlimπ

ππ

−

++→→

= xxxfxx

( ) ( )*

sinlnlimexp

sinlnexplim

22 22

ππππ −

=−

=++

→→ x

x

x

x

xx

( ) 10expsin

coslimexp

2

===+

→ x

x

x π

Note :*limit berbentuk 0/0 sehingga L’H dapat diterapkan.

b. Menentukan turunan pertama dari ( )xf

( ) ( )

−

= 2

1

sinπx

xxf

( ) ( )2

2

1

sinlnsinlnln

π

π

−==

−

x

xxxf

x

( )

−=

2

sinlnln

πx

xDxfD xx

( )( )

( )

( )2

2

2sincos sinln'

π

π

−

−−=

x

xx

xf

xf xx

( )( )

( )( )

( )

( )( )

−

−

−−=

−

−−= 2

1

2

2

2

2

2

2 sinsinlncotsinlncot

'π

π

π

π

πx

xx

xxxxf

x

xxxxf



3. a. Menghitung integral ( )( )

∫+−

+=∫

−−

+dx

xxx

xdx

xxx

x

23

6

6

6 3

23

3

misalkan ( )( ) 2323

63

++

−++=

+−

+

x

d

x

c

x

ba

xxx

x

untuk mendapatkan nilai a, b, c dan d kita kalikan kedua ruas dengan

( )( )23 +− xxx menghasilkan

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )*....................32232363 −++++−++−=+ xdxxcxxxbxxaxx

kemudian dengan menyulihkan nilai 0=x , 3=x , 2−=x dan 1−=x

ke dalam (*) secara berturut turut kita peroleh

b66 −= atau 1−=b

c1533 = atau 5

11=c

d102 =− atau 51−=d

dcba 4445 +−−= atau 1=a

Dengan demikian kita memiliki

( ) ( ) Cxxxx

dxxxx

dxxxx

x

++−−+−=

∫

+−

−+−=∫

−−

+

2ln3lnln

23

11

6

6

51

511

51

511

23

3

b. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ∫∞

−

0

dxxex

Misalkan xu = dan dxedv x−= maka dxdu = dan xev −−= sehingga

∫−=∫=∫−

vduuvudvdxxex

cexedxexe

xxxx +−−=∫+−= −−−−

∫∞

−

0

dxxex

axx

a

ax

a

exedxxe00

limlim−−

∞→

−

∞→

−−=∫=

11

lim1**1

lim11lim =−

+=−−

+=+−−=∞→∞→

−−

∞→a

aa

a

aa

a ee

aeae

Jadi ∫∞

−

0

dxxe x konvergen ke 1.

Note :** limit berbentuk ∞/∞ sehingga L’H dapat diterapkan

1001 Soal & Pembahasan UAS

Arip Paryadi , IT Telkom

PEMBAHASAN


KALKULUS I MA1114

SABTU / 13 JANUARI 2007


1. Diketaui daerah D dibatasi oleh grafik 21 xy −= , garis x = 1, dan garis y = 1.

a. Menghitung luas daerah D

Perhatikan gambar di samping !

Luas salah satu partisi dari D adalah

xxxxA ∆=∆−−=∆ 22 ))1(1( .

Sehingga luas daerah D adalah :

luassatuan3

1

3

1 1

0

31

0

2 ==∫= xdxxA

b. Menentukan volume benda putar , jika

daerah D diputar terhadap sumbu y.

Metode kulit tabung

Jika salah satu irisan dengan tinggi 22 )1(1 xx =−− dan alas x∆ serta

berjarak x dari sumbu y diputar

terhadap sumbu y akan diperoleh suatu

kulit tabung dengan tinggi 2x , jari jari

x dan tebal x∆ . Sehingga volume kulit

tabung tersebut adalah :

( ) xxxxxV ∆=∆=∆ 32 22 ππ

24

122

1

0

41

0

3 πππ =

=∫= xdxxV

1=y

1y −=

Pembahasan UAS Kalkulus I

28


x

y

1=x2x−

Dx∆



2. a. Menentukan 'y jika yx

xy =

yxxy =

yxxy lnln =

xyyx lnln =

( ) ( )xyDyxD xx lnln =

yx

xyxyy

y1

ln''1

ln +=+

yx

yxyy

y

xlnln'' −=−

yx

yyx

y

xln'ln −=

−

xy

x

yx

y

y

ln

ln

'

−

−

=

b. Menentukan f(8) jika diketahui ( )*........).1(cos)(

3

0

∫ −=x

xxdttf π

Terlebih dahulu kita tentukan fungsi ekspilisit dari f(x) dengan

menerapkan teorema dasar kalkulus pada (*)

]).1(cos[)(

3

0∫ −=x

xx xxDdttfD π

πππ )sin()1(cos3)( 23xxxxxf −+−=

1sincos3)( 23 −−= xxxxxf πππ

2

3

3

1sincos)(

x

xxxxf

−−=

πππ

Dengan menyulihkan nilai x = 2 ke persamaan terkahir kita peroleh

2

3

2.3

12sin22cos)8()2(

−−==

πππff 0

12

101=

−−=



3. Menghitung ∫+

+dx

xx

x23

2 1

misalkan 1)1(

122

2

+++=

+

+

x

c

x

b

x

a

xx

xmaka :

)1(

)1()1(

)1(

12

2

2

2

+

++++=

+

+

xx

cxxbxax

xx

x

22 )1()1(1 cxxbxaxx ++++=+

untuk 0=x kita peroleh 1=b

untuk 1−=x kita peroleh 2=c

untuk 1=x kita peroleh cba ++= 222 atau 1−=a

sehingga :

∫+

+dx

xx

x23

2 1∫

+++−= dx

xxx 1

2112

Cxx

x +++−−= 1ln21

ln

4. Menyelidiki kekonvergenan ∫+−

0

1 1dx

x

x

∫+

=∫+ −→−

0

1

0

1 1lim

1 aa

dxx

xdx

x

x

∫+

−+=

−→

0

1 1

1)1(lim

aa

dxx

x

∫

+−+=

−→

0

1 1

11lim

aa

dxx

x

dxxxaa

+−+∫=

−

−→

21

210

1

)1()1(lim

02

12

3

1

)1(2)1(3

2lim

aa

xx

+−+=

−→

3

4)1(2)1(

3

22

3

2lim 2

12

3

1

−=

+−+−

−=

−→

aaa

Dengan demikian ∫+−

0

1 1dx

x

xkonvergen ke

3

4−



5. Diketahui 1

)(+

=x

xxf

a. Menyelidiki apakah )(xf mempunyai invers

Untuk menyelidikinya kita periksa apakah f monoton murni untuk

setiap selang pada R (sesuai dengan domainnya). Sekarang

perhatikan bahwa

Rxxx

xxxf ∈∀>

+=

+

−+= 0

)1(

1

)1(

)1()('

22

Ini menunjukkan bahwa f selalu naik yaitu f monoton murni

sehingga f memiliki invers.

b. Mencari )1(1 −−f

misalkan )(1yfx

−=

1)(

+=

x

xxf

1+=

x

xy

xxy =+ )1(

xyyx =+

yxyx −=−

yxy −=− )1(

y

y

y

yx

−=

−

−=

11

y

yyf

−=

−

1)(1

x

xxf

−=−

1)(1

2

1

)1(1

1)1(1

−=−−

−=−

−f



2xy =

xy =

mxy =

PEMBAHASAN


KALKULUS 1 MA1114



1. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik y = x2 dan y = x. Grafik fungsi

y=xm membagi luas daerah D menjadi 2 bagian yang sama.

a. Menggambar daerah D

b. Menentukan nilai m

Karena Grafik fungsi y = xm membagi

luas daerah D menjadi 2 bagian yang

sama, maka luas daerah yang dibatasi

fungsi y = xm dan y = x adalah

setengah luas D. secara matematis dapat

dituliskan dalam :

∫ −=∫ −1

0

21

0

)(2

1)( dxxxdxxx

m

1

0

321

0

12

3

1

2

1

2

1

1

1

2

1

−=

+− +

xxxm

xm

−=

+−

3

1

2

1

2

1

1

1

2

1

m

12

1

1

1

2

1=

+−

m

12

5

12

1

2

1

1

1=−=

+m

5

7=⇒ m

2xy =

xy =



2. Menentukan l = panjang kurva y = x3/2 dari titik (0,0) ke (1,1).

∫

+=

1

0

2

1 dxdx

dyl ∫

+=

1

0

2

21

2

31 dxx

∫ +=1

0 4

91 dxx

1

0

23

9

4

4

91

3

2

+= x

−

= 1

4

13

27

8 23

3. Menentukan :

a. ∫ dxxx )(cos)(sin 34

∫ dxxx )(cos)(sin 34∫= dxxxx )cos()(cos)(sin 24

( )∫ −= dxxxx )cos()(sin1)(sin 24

( )∫ −= dxxxx )cos()(sin)(sin 64

( ) ( )∫ −= xdxx sin)(sin)(sin 64

( ) ( ) cxx +−= 75 sin7

1sin

5

1

b. ∫−

1

0

1 )(tan dxx

misalkan : )(tan 1xu

−= dan dxdv =

maka : dxx

du21

1

+= dan xv = sehingga

∫=∫−

udvdxx)(tan1

∫−= vduuv dxx

xxx ∫

+−= −

2

1

1)(tan

( )∫

+

+−= −

2

2

21

1

1

1)(tan

x

xdxx

Cxxx ++−= − 21 1ln2

1)(tan

dengan demikian ∫−

1

0

1 )(tan dxx1

0

21 1ln2

1)(tan

+−= −

xxx

−−

−= − 1ln

2

102ln

2

1)1(tan 1 2ln

2

1

4−=

π



4. Menyelidiki kekonvergenan ∫−

3

0 29 x

dx

∫−

3

0 29 x

dx∫

−

=−→

a

a x

dx

0 23 9lim

misalkan : θsin3=x maka θθddx cos3=

jika 0=x maka 0=θ

jika −→ 3x maka −

→2

πθ sehingga

∫−

−→

a

a x

dx

0 23 9lim ∫

−

=−

→

b

b

d

0 2

2sin99

cos3lim

θ

θθ

π

∫−

=−

→

b

b

d

0 2

2)sin1(9

cos3lim

θ

θθ

π∫=

−

→

b

b

d

0 2

2cos9

cos3lim

θ

θθ

π

∫=−

→

b

b

d

0

2

cos3

cos3lim

θ

θθ

π∫=

−

→

b

b

d0

2

lim θπ 2

lim

2

π

π

==−

→

b

b

Jadi ∫−

3

0 29 x

dx konvergen ke

2

π

Alternative lain

∫−

3

0 29 x

dx∫

−

=−

→

a

a x

dx

0 23 9lim

a

a

x

0

1

3 3sinlim

= −

→ −

23sinlim

1

3

π=

= −

→ −

a

a

yaitu ∫−

3

0 29 x

dx konvergen ke

2

π



5. Diketahui ( ) xxxf

tan)( π−=

a. Menentukan ( )xf '

xxy

tan)( π−=

xxy

tan)ln(ln π−=

)ln()tan(ln π−= xxy

( ) ( )[ ]π−= xxDyD xx lntanln

( ) ( )xx

xxyy

tan1

ln)(sec'1 2

ππ

−+−=

( ) ( ) ( ) yxx

xxy

−+−= tan

1lnsec' 2

ππ

( ) ( ) ( ) ( ) xxx

xxxy

tan2 tan1

lnsec' ππ

π −

−+−=

b. Menghitung )(lim xfx +→π

)(lim xfx

+→π

x

x

xtan

)(lim ππ

−=+→

−=

+→

x

x

x tan)ln(explim ππ

[ ])ln()tan(explim ππ

−=+→

xxx

[ ])ln()tan(limexp ππ

−=+→

xxx

( )*

)cot(

lnlimexp

−=

+→ x

x

x

π

π

−

−=

+→ )(csc

1

limexp2 x

x

x

π

π

*2)(sin

limexpππ −

−=+→ x

x

x 1

)cos()sin(2limexp

xx

x

−=+→π

( ) 10exp 0 === e

note : * limit bernilai 0/0 sehingga L’H dapat diterapkan



PEMBAHASAN


MA-1114 KALKULUS I



1. Diketahui D dibatasi oleh 2xy = , x = 2 dan y

= 1

a. Menghitung luas D

Luas salah satu partisi pada D adalah

( ) xxA ∆−=∆ 12

sehingga luas daerah D adalah

( )∫ −=2

1

2 1 dxxA

2

1

3

3

1

−= xx

3

41

3

12

3

8=

−−

−=

b. Menghitung volume benda jika D diputar

terhadap garis x = 3

jika salah satu irisan dengan tinggi 12 −x

dan alas x∆ serta berjarak x−3 dari garis x

= 3 diputar terhadap garis 3=x akan

diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi

12 −x , jari jari x−3 dan tebal x∆ .

Sehingga volume kulit tabung tersebut

adalah :

( )( )( ) xxxx

xxxV

∆−++−=

∆−−=∆

332

132

23

2

π

π

( )∫ −++−=2

1

23 332 dxxxxV π

112

73

2

1

4

12

2

1

234 ==

−++−=

ππ xxxx

}x∆

2xy =

1=y

2=x1

4

x

y

} 12 −x

}x∆

30 x

x−3



2. Diketahui xxxxf )sin()( +=

a. Menentukan )(' xf

xxxy )sin( +=

xxxy )sinln(ln +=

xxxy )sinln(ln +=

( )( )xxxDyD xx sinln)(ln +=

( ) xxx

xxxy

y sin

cos1sinln'

1

+

+++=

( ) yxxx

xxxy

+

+++=

sin

cos1sinln'

( ) ( )xxxx

xx

xxxy sin

sin

cos1sinln' +

+

+++=

b. Menghitung )(lim0

xfx +→

)(lim0

xfx

+→

( )x

x

xx sinlim0

+=+→

( )x

x

xx sinlnexplim0

+=+→

( )[ ]xxxx

sinlnexplim0

+=+→

( )[ ]xxxx

sinlnlimexp0

+=+→

( )*

1

sinlnlimexp

0

+=

+→

x

xx

x

−

+

+

=+→

2

0 1

sin

cos1

limexp

x

xx

x

x

( )**

sin

cos1limexp

2

0

+

+−=

+→ xx

xx

x

( ) ( )

+

−++−=

+→ x

xxxx

x cos1

sincos12limexp

2

0

1)0exp(2

0exp 0 ===

= e

Note : * limit berbentuk ∞/∞ **(0/0) sehingga L’H dapat diterapkan.



3. Menghitung ∫++

+

−

1

12 52

5dx

xx

x

∫++

+

−

1

12 52

5dx

xx

x

( )∫

++

+=

−

1

122

21

5dx

x

x

misalkan : θtan21 =+x maka θθddx 2sec2=

jika 1−=x maka 0=θ

jika 1=x maka 4

πθ = sehingga

( )∫

++

+

−

1

122

21

5dx

x

x∫

+

+−=

4

0

2

2sec2

4tan4

5)1tan2(

π

θθθ

θd

∫+

+=

4

0

2

2sec2

)1(tan4

4tan2

π

θθθ

θd ∫

+=

4

0

2

2sec2

)(sec4

4tan2

π

θθθ

θd

( )∫ +=4

0

4tan22

1

π

θθ d [ ]4

0

4cosln22

1

π

θθ +−=

( )

−

+−= 02

2

1ln2

2

1π 2

2

1ln

2−=

π

4. Menghitung ∫−

dx

x 23

2 )14(

1

misalkan : θsec2

1=x maka θθθ dxd tansec

2

1= sehingga

∫−

dx

x 23

2 )14(

1

( )∫

−

= θθθ

θ

dtansec2

1

1sec

1

23

2

∫= θ

θ

θθd

23

2 )(tan

tansec

2

1∫= θ

θ

θθd

3tan

tansec

2

1∫= θ

θ

θd

2tan

sec

2

1

∫= θθθ

θd

cos

1

sin

cos

2

12

2

∫= θθθθ

dsin

cos

sin

1

2

1

∫= θθθ dcotcsc2

1C+−= θcsc

2

1Cx +−−= 2

412

1

θx2

1 241 x−



5. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ −2

1

)1ln( dxx

∫ −2

1

)1ln( dxx ∫ −=+→

2

1

)1ln(limaa

dxx

Misalkan )1ln( −= xu dan dxdv = maka 1−

=x

dxdu dan xv = sehingga

∫ ∫−=∫=− vduuvudvdxx )1ln(

∫−

−−= dxx

xxx

1)1ln(

∫−

+−−−= dx

x

xxx

1

1)1()1ln(

∫

−+−−= dx

xxx

1

11)1ln(

( ) Cxxxx +−+−−= )1ln()1ln(

Cxxxx +−−−−= )1ln()1ln(

Cxxx +−−−= )1ln()1( jadi

∫ −2

1

)1ln( dxx [ ]2

1

)1ln()1(limaa

xxx −−−=+→

( ) ( ) ( )( )[ ]aaaa

−−−−−=+→

1ln12lim1

)1ln()1(2lim1

−−−−=+→

aaaa

)1ln()1(lim)2(lim11

−−−−=++ →→

aaaaa

−

−−−=

+→

1

1

)1ln(lim1

1

a

a

a

−−

−−−=

+→

2

1

)1(

1

1

1

lim1

a

a

a

)(1)1(lim11

ansaa

−=−−−−=+→

1kekonvergen)1ln(2

1

−∫ −∴ dxx



PEMBAHASAN


MA1122 KALKULUS I

23 DESEMBER 2003


1. Diketahui 1

)(2 +

=x

xxf

a. Daerah kemonotonan f dan titik ekstrimnya beserta jenisnya

Kemonotonan dari f dapat ditentukan dari )(' xf

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )2222

2

22

2

1

11

1

1

1

21)('

+

+−=

+

−=

+

−+=

x

xx

x

x

x

xxxxf

• f monoton naik jika 0)(' >xf yaitu pada selang (-1,1)

• f monoton turun jika jika 0)(' <xf yaitu pada selang

),1()1,( ∞∪−−∞

• karena terjadi perubahan kemonotonan pada 1−=x (-- �++)

maka titik ( )( ) ( )21,11,1 −−=−− f merupakan titik minimum.

Begitu juga pada 1=x terjadi perubahan kemonotonan (++ �--)

maka titik ( )( ) ( )21,11,1 =f merupakan titik maksimum.

b. Daerah grafik f cekung atau cekung ke bawah dan titik beloknya

Daerah kecekungan dari f dapat ditentukan dari ( )xf "

( )( ) ( ) ( )( )42

2222

1

121212)("

+

−+−+−=

x

xxxxxxf

( )( ) ( )( )32

22

1

1412

+

−−+−=

x

xxxx

( )32

33

1

4422

+

+−−−=

x

xxxx

( )32

3

1

62

+

−=

x

xx ( )( )( )32 1

332

+

+−=

x

xxx

• •1− 1

+++++ −−−−−−−−−− ( )xf '

• •3− 3

+++−−− ( )xf "•0

+++ −−−



4

3,3

0,0

•

•

•

•

•

4

3,3 −−

2

1,1

2

1,1−−

( )1

grafik2 +

=x

xxf

• f cekung ke atas jika ( ) 0" >xf yaitu pada selang

),3()0,3( ∞∪−

• f cekung ke bawah jika ( ) 0" <xf yaitu pada selang

)3,0()3,( ∪−−∞

• Karena terjadi perubahan kecekungan pada 3±=x ,

0=x dan

( ) ( ) ( )0,3,3 fff − ada, maka titik ( )( ) ( )43,33,3 =f dan

( )( ) ( )43,33,3 −−=−− f serta ( )( ) ( )0,00,0 =f merupakan

titik belok.

c. Garis-garis Asimtot

• Asimtot datar/miring bebentuk baxy +=

( )0

1

1limlim

2=

+==

∞→∞→ xx

xfa

xx

( ) 01

limlim2

=+

=−=∞→∞→ x

xaxxfb

xx

Dengan demikian f hanya memiliki asistot datar yaitu y = 0.

• Asimtot tegak

f tidak memiliki asimtot tegak.

d. Sketsa grafik f



2. Menentukan )2('H jika diketahui ∫+

=−4

2 4

3

1

)(x

x

dt

t

xxH

Terlebih dahulu kita tentukan fungsi ekspisit dari H(x) dengan

menerapkan teorema dasar kalkulus.

∫

+∫ =

+

=−− 4

2 4

4

2 4

33

1

1

1

)('x

xx

x

xx dt

t

xDdt

t

xDxH

∫+

+∫+

=−− 4

2 4

4

2 4

33

1

1

1

1 x

xx

x

x

dt

t

xDdt

t

( ) ( )

+

−

−+

+∫+

=−

443

24

2 421

2

41

3

1

13

xx

xxdt

t

x

x

( )257

12

2561

2

2561

82

1

12'

4

4 4=

+−

++∫

+

= dt

t

H

3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva y = x2

dan y = 4

a. Menggambar daerah D dan

menghitung luas daerahnya.


( ) xxA ∆−=∆ 24 Apabila luas seluruh partisi kita

jumlahkan maka akan diperoleh luas

dari D yaitu :

( )2

2

32

2

2

3

144

−−

−=∫ −= xxdxxA

3

32

3

88

3

88 =

+−−

−=

22−

2xy =

4

D

x∆

24 x−



b. Menghitung volume benda putar yang

terjadi apabila daerah D diputar

terhadap garis y = -1

Apabila sebuah partisi diputar

terhadap garis y = -1 maka akan

diperoleh sebuah cakram dengan jari

jari luar 5=lr dan jari jari dalam

12 += xrd serta tebal xt ∆= . volume

dari cakram tersebut yaitu

( )trrV dl22 −=∆ π

( ) xx ∆

+−=

22 125π

( ) xxx ∆+−−= 242 24π

Sehingga volume benda putar yang

dimaksud adalah :

( )∫ +−−=−

2

2

24 242 dxxxV π

2

2

3524

3

2

5

1

−

+−−= xxxπ

−+−

+−−= 48

3

16

5

3248

3

16

5

32π π

15

1088=

4. Menentukan 'y jika ( ) xxy

ln2 1+=

( ) ( ) ( )1lnln1lnln 2ln2 +=+= xxxyx

( ) ( )( )1lnlnln 2 += xxDyD xx

( )1

ln21ln'2

2

++

+=

x

xx

x

x

y

y

( )y

x

xx

x

xy

++

+=

1

ln21ln'

2

2 ( ) ( ) xx

x

xx

x

x ln2

2

2

11

ln21ln+

++

+=

4x∆

5=lr

12

+= xrd

1−



5. Hitung integral-integral berikut

a. ∫ − dxex9

Misalkan xeu −= 9 maka

x

x

e

dxedu

−

−=

92atau

xx

x

e

udu

e

duedx

292−=

−−= sehingga

∫ − dxex9 ∫−=

xe

duu2

2 duu

u∫

−−=

2

2

92 du

u

u∫

−=

92

2

2

duu

∫−

+=9

912

2du

uu∫

+−

−+=

3

23

3

2312

( ) ( ) cuuu +

+−−+= 3ln

2

33ln

2

32

( ) ( ) cuuu ++−−+= 3ln33ln32

( )( )

cu

uu +

+

−+=

3

3ln32

c

e

ee

x

xx +

+−

−−+−=

39

39ln392

b. ∫π

0

2cos xdxx

( )∫

+=

π

0 2

2cos1dx

xx ( )∫ +=

π

0

2cos2

1dxxxx

∫+=ππ

00

2 *2cos2

1

2

1xdxxx

∫−+=ππ

π

00

2

2sin2

12sin

22

1

4xdxx

x

42cos

4

10

2

1

4

2

0

2 πππ

=

++= x

Note : *terapkan integrasi parsial dengan xu = dan xdxdv 2cos=



PEMBAHASAN


PU 1333 KALKULUS



1. Diketahui daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva xy = , garis

0=x dan garis y = 3

a. Menghitung luas daerah D

Luas salah satu partisi pada D adalah

( ) xxA ∆−=∆ 3

sehingga luas daerah D adalah

( )9

0

2

39

0 3

233

−=∫ −= xxdxxA ( ) 909

3

227 2

3

=

−

−=

b. Menghitung volume benda putar jika D diputar terhadap garis

1−=y

jika salah satu irisan diputar terhadap garis 1−=y maka akan

diperoleh sebuah cakram dengan jari jari dalam ( ) 11 +=−− xx

dan jari jari luar 4 serta tebal x∆ . Sehingga volume cakram tersebut

adalah :

trtrV dl22 ππ −=∆

x∆

x−3

xy =

3

90

x∆

3

9

1+x4

1−



trr dl )( 22 −= π ( ) xx ∆+−= )14(22π

( ) xxx ∆++−= )1216(π

( ) xxx ∆+−−= 152π

( )∫ +−−= dxxxV 152π

9

0

2

3

2 153

2.2

2

1

+−−= xxxπ

9

0

2

3

2 153

4

2

1

+−−= xxxπ

( )

−

+−−= 013527.

3

481.

2

1π π

2

117=

2. Diketahui ( ) ecxxxf

coscos)( =

a. Menghitung : )(lim0

xfx→

)(lim0

xfx

+→

x

x

xcsc

0

)(coslim+→

=

( )( )x

x

xcsc

0

coslnexplim+→

=

( )( )x

x

xcsc

0

coslnlimexp+→

=

( )xxx

cosln.csclimexp0+→

=

.sin

)ln(coslimexp

*

0 x

x

x+→

=

x

x

x

x cos

cos

sin

limexp0

=+→

1)0exp( ==

Note : * limit berbentuk 0/0 , sehingga L’H bisa diterapkan.



b. Menentukan turunan pertama f(x)

( ) ecxxy

coscos=

xxy

csc)ln(cosln =

)ln(coscscln xxy =

[ ])ln(coscscln xxDyD xx =

x

xxxxxy

y cos

sin.csc)ln(coscot.csc'

1+−=

[ ] yxxxxy sec)ln(coscot.csc' +−=

[ ] xxxxxxy

csc)(cos.sec)ln(coscot.csc' +−=

3. Menghitung

a. ∫+−

dxxx

x

52

22

∫+−

dxxx

x

52

22 ( )

∫+−

= dxx

x

2221

2

misalkan θtan21 =−x maka θθddx2sec2=

sehingga :

( )∫

+−dx

x

x22

21

2∫

+

+= θθ

θ

θd

2

2sec2

4tan4

)1(tan2

∫+

+= θθ

θ

θd

2

2sec2

)1(tan4

2tan2

∫+

= θθθ

θd

2

2sec2

sec4

2tan2

∫+

= θθθ

θd

2

2sec2

sec4

2tan2

( ) c++−= θθ 2cosln22

1c+−= θθ cosln

c

xx

x+

+−

−

−= −

52

2ln

2

1tan

2

1

θ1−x

2



b. ( )∫ + dxx2ln

Misalkan )2ln( xu += dan dxdv = maka

dxx

du+

=2

1dan xv = sehingga

( )∫ + dxx2ln ∫= udv ∫−= vduuv

∫+

−+= dxx

xxx

2)2ln(

∫+

−+−+= dx

x

xxx

2

2)2()2ln(

∫

+−−+= dx

xxx

2

21)2ln(

cxxxx +−+++= )2ln(2)2ln(

cxxx +−++= )2ln()2(

4. Menyelidiki kekonvergenan integral tak wajar

a. ( )

∫+

+∞

0 23

32x

dx ∫

+

=+∞→

a

a x

dx

0 23

)32(lim

∫ +=−

+∞→

a

a

x0

23

)32(lima

a

x0

21

2

1.)32(2lim

−

+∞→

+−=

a

a x 032

1lim

+−=

+∞→ 3

1

32

1lim +

+−=

+∞→ aa 3

1=

( )∫

+

∴+∞

0 23

32x

dx konvergen ke

3

1

b. ∫−−

−3

12 6

12dx

xx

x ∫

−−

−=

−→

a

a

dxxx

x

12

3 6

12lim

( )∫

−−

−−=

−→

a

a

dxxx

xxd

12

2

3 6

6lim

a

a

xx1

2

3

6lnlim −−=−→

−∞=−−−=−→

6ln6lnlim2

3

aaa

Jadi integral di atas divergen.



PEMBAHASAN


MA 1314 KALKULUS I



1. Menentukan 'y dari bentuk emplisit 1=+ xyex

( ) ( )1xxy

x DexD =+

( ) 0'1 =++ xyyexy

0'1 =++ xyxyexyye

xyxy yeexy −−= 1'

xy

xy

xe

yey

−−=

1'

2. Menghitung ∫ + dxx)2ln(

( Lihat Pembahasan Ujian Akhir Semester Ganjil 2003/2004 Pu 1333

Kalkulus I Senin 5 Januari 2004 No. 3b)

3. Diketahui ∫−−

−3

12 6

12dx

xx

x

a. Memeriksa apakah integral di atas adalah integral tak wajar

Benar , integral di atas merupakan integral tak wajar karena jika

subtitusikan x = 3 maka fungsi integran 6

122 −−

−

xx

xmenjadi tak

terdefinisi.

b. Memeriksa kekonvergenan integral di atas.

( Lihat Pembahasan Ujian Akhir Semester Ganjil 2003/2004 Pu

1333 Kalkulus I Senin 5 Januari 2004 No. 4b)



4. ( Untuk kurikulum baru soal ini termasuk dalam materi kalkulus tingkat

II)

a. Menentukan selang kekonvergenan deret :

( )∑ +++=+∞

=0

2 ...3211n

n xxxn

misalkan : ( ) nn xna 1+=

maka ( ) 11 2 +

+ += nn xna

n

n

n a

a 1lim

+

∞→

=ρ( )( ) n

n

n xn

xn

1

2lim

1

+

+=

+

∞→

( )( )

xn

n

n 1

2lim

+

+=

∞→

( )( )1

2lim

+

+=

∞→ n

nx

n

x=

• Agar deret konvergen maka haruslah ρ < 1yaitu 1<x atau

11 <<− x .

• Memeriksa kekonvergenan deret pada ujung selang

- untuk 1−=x deret menjadi ( )∑ −+∞

=0

)1.(1n

nn . Untuk menguji

kekonvergenannya kita lakukan uji deret ganti tanda.

11

11

1

21 >+

+=+

+=+

nn

n

a

a

n

n atau nn aa >+1

Karena nn aa >+1 maka menurut uji deret ganti tanda deret

tersebut divergen.

- Untuk 1=x deret menjadi ( )∑ +++=+∞

=0

....3211n

n . Deret ini

monoton naik dan tak terbatas di atas sehingga deret ini

divergen.

jadi ( )∑ +∞

=0

1n

nxn konvergen pada 11 <<− x



b. Menentukan jumlah deret pada soal 4a dengan menggunakan :

xxxx

−=++++

1

1...1 32

( )∑ ++++=+∞

=0

32...43211

n

nxxxxn

( )....1 32 ++++= xxxDx

( )21

1

1

1

xxDx

−=

−=

5. Menentukan deret McLaurin dari fungsi x

xxf

+=

1)(

( )

−−=

+=

+=

xx

xx

x

xxf

1

1

1

1

1)(

( ) ( ) ( )( )......132

+−+−+−+= xxxx

( ) ( ) ( ) 1

000

11+

∞

=

∞

=

∞

=

∑ −=∑ −=∑ −= n

n

nn

n

n

n

nxxxxx



PEMBAHASAN


KALKULUS / PU 1333

6 JANUARI 2003


1. Diketaui ecx

xxfcos)1()( +=


ecxxxf

cos)1ln()(ln +=

)1ln(cos)(ln += xecxxf

( ) ( ))1ln(cos)(ln += xecxDxfD xx

1

1.cos)1ln(cot.cos

)(

)('

+++−=

xecxxgxecx

xf

xf

[ ] )(1

1.cos)1ln(cot.cos)(' xf

xecxxgxecxxf

+++−=

[ ] ecxxecx

xxgxecxxf

cos)1ln(.cos

1

1)1ln(cot.cos)(' +

+++−=


xfx

+→

)(lim0

xfx

+→

ecx

x

xcos

0

)1(lim +=+→

( )ecx

x

xcos

0

)1ln(explim +=+→

( )ecx

x

xcos

0

)1ln(limexp +=+→

)1ln(.coslimexp0

+=+→

xecxx

*sin

)1ln(limexp

0 x

x

x

+=

+→

x

x

x cos

1

1

limexp0

+=

+→

e== )1exp(

Note : *limit berbentuk 0/0, sehingga kita dapat menerapkan L’H



2. Menghitung integral

a. ( )dxx 25ln +∫

misalkan : )25ln( += xu dan dxdv =

maka dxx

du25

5

+= dan xv = sehingga

( ) ∫=+∫ udvdxx 25ln ∫−= vduuv

dxx

xxx ∫

+−+=

25

5).25ln(

dxx

xx ∫+

−−+= )25

21()25ln(

cxxxx +

+−−+= )25ln(

5

2)25ln(

cxxx +−+

+= )25ln(

5

2

b. ∫−

224 xx

dx

misalkan : tx sin2= maka tdtdx cos2=

sehingga

∫−

224 xx

dx ∫

−

=

tt

tdt

22sin44sin4

cos2

∫−

=)sin1(4sin4

cos2

22tt

tdt∫=

)(cos4sin4

cos2

22tt

tdt

∫=tt

tdt

cos2.sin4

cos22 ∫=

t

dt2sin4

∫= tdtec2cos4

1

cgt +−= cot4

1c

x

x+

−−=

24

4

1

tx

2

24 x−



3. Menyelidiki kekonvergenan dari

a. ( )

∫+

+∞

023

1x

dx

( ) ( )∫

+=∫

+ +∞→

+∞ a

a x

dx

x

dx

0 23

023

1lim

1

( )∫ +=−

+∞→

a

a

dxx0

23

1lim

a

a

x0

21

)1(2lim−

+∞→

+−=

211

12lim =

−

+−=

+∞→ aa

Ini menunjukkan bahwa ( )

∫+

+∞

023

1x

dx konvergen ke 2.

b. ∫+∞−

0

21dx

e

ex

x

∫+

=∫+ −∞→∞−

0

2

0

21

lim1 b

x

x

bx

x

e

dxedx

e

e

Misalkan : xeu = maka dxedux=

Jika −∞→x maka +→ 0u

Jika 0=x maka 1=u sehingga

∫+

=∫+ −∞→∞−

0

2

0

21

lim1 b

x

x

bx

x

e

dxedx

e

e

∫+

=+→

1

20 1

limcc u

du 11

0

)(tanlimcc

u−

→ +

=

4)(tan)1(tanlim

11

0

π=−= −−

→+

cc

Ini menunjukkan bahwa ∫+∞−

0

21dx

e

ex

x

konvergen ke 4

π.



4. Diketahui daerah D dibatasi oleh xy = ,

x = 4 , sumbu x.

a. Menentukan luas D

Luas salah satu partisi dari D adalah

xxA ∆=∆

dengan demikian luas seluruh daerah D

adalah

3

16

3

24

0

2

34

0

==∫= xdxxA

b. Menghitung volume benda putar jika D

diputar terhadap sumbu y.

Jika sebuah partisi dari D dengan tinggi

x dan alas x∆ serta berjarak x dari

sumbu y diputar terhadap sumbu y

maka aka diperoleh sebuah kulit tabung

dengan jari jari x, tebal x∆ dan tinggi

x . Sehingga volume kulit tabung

tersebut sebesar

xxxxxV ∆=∆=∆ 23

22 ππ

jadi volume benda yang dimaksud

adalah

πππ5

128

5

2.22

4

0

254

0

23

==∫= xdxxV

x∆ 4=x0

x

x∆

x

x



PEMBAHASAN

UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2002/ 2003

MA1314 KALKULUS I

JUMAT, 13 JUNI 2003


1. Menghitung

a. ( ) ( )∫

+−

+−

41

64322

23

xx

xxx

misalkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( )41141

6432222

23

+

++

−+

−=

+−

+−

x

dcx

x

b

x

a

xx

xxx,

untuk mendapatkan nilai a, b, c, dan d kalikan kedua ruas dengan

( ) ( )41 22+− xx sehingga persamaan menjadi

( )( ) ( ) ( )( )*1441643 22223 −+++++−=+− xdcxxbxxaxxx,

kemudian dengan menyulihkan nilai 1=x , 1−=x , 0=x dan 2=x

secara berturut turut kita peroleh

b55 = atau 1=b

ba 51013 +−=− atau 5

9=a

dba −+−= 440 atau 5

16−=d

dcba 368820 +++= atau 5

6=c

sehingga

( ) ( )dx

xx

xxx∫

+−

+−

41

64322

23

( ) ( ) ( )dx

x

x

xx∫

+

−+

−+

−=

45

166

1

1

15

922

( ) ( ) ( )dx

xx

x

xx∫

+−

++

−+

−=

4

**1

5

16

4

*2

5

3

1

1

15

9222

( )( )

( ) cx

xx

x +

−++

−−−= −

2tan

5

84ln

5

3

1

11ln

5

9 12

Note : gunakan substitusi 42 += xu pada (*) dan tx tan2= pada (**)



b. ∫+

dx

xx 1

1

22

misalkan θtan=x maka θθddx2sec= sehingga

∫+

dx

xx 1

1

22∫

+

= θθθθ

d2

22sec

1tantan

1

∫= θθθθ

d2

22sec

sectan

1

∫= θθθ

dsectan

12 ∫= θ

θθ

θd

cos

1

sin

cos2

2

∫= θθθ

θd

sin

1

sin

cos∫= θθθ dcsccot

c+−= θcsc cx

x+

+−=

12

2. Menentukan kekonvergenan integral tak wajar ( )

dx

x

x∫

+

+∞

1232

1

( )dx

x

x∫

+

+∞

1232 1

( )∫

+

=+∞→

a

ax

x

1 23

2 1

lim

misalkan 12 += xu maka xdxdu 2=

jika 1=x maka 2=u

jika +∞→x maka +∞→u sehingga

( )∫

++∞→

a

ax

x

1 23

2 1

lim ∫=+∞→

b

bu

du

2 23

21

lim

b

b u 2

2.

2

1lim

−=

+∞→

2

1

2

11lim =+−=

+∞→ bb

Jadi ( )

dx

x

x∫

+

+∞

1232

1 konvergen ke

2

1

θ

12 +x

1

x



3. Diketaui ( )2

cot)(x

xxf =

a. Menentukan turunan pertama dari f(x)

( )2

cotlnlnx

xy =

( )xxy cotlnln 2=

( ) ( ))ln(cotln 2xxDyD xx =

( )x

xxxxxy

y cot

cot.csccotln2'

1 2 −+=

( ( ) )yxxxxy csccotln2' 2−=

( ( ) )( )2

cotcsccotln2' 2 xxxxxxy −=


xfx +→

( )2

cotlim0

x

x

x+→

( )2

cotlnexplim0

x

x

x+→

=

( )xxx

cotlnexplim2

0+→

= ( )xxx

cotlnlimexp2

0+→

=

( )*

1

cotlnlimexp

2

0

=

+→

x

x

x

−

−

=+→

3

2

0 2

cot

csc

limexp

x

x

x

x

x

x

x

x

x cos

sin

sin

1

2limexp

2

3

0+→

=

=

++ →→ x

x

x

x

xx coslim

sinlim

2

1exp

2

00

10.1.2

1exp =

=

Note :

*limit berbentuk ∞/∞ sehingga kita dapat menerapkan L’H



4. Menentukan selang kekonvergenan ( )

∑+∞

=+

1212

1

nn

n

n

x

(untuk kurikulum baru materi ini termasuk dalam kalkulus tingkat II)

misalkan ( )

212

1

n

xa

n

n

n +

+=

maka ( )

22

1

1)1(2

1

+

+=

+

+

+n

xa

n

n

n

( ))12(2

122

1

++

+=

+

+

nn

xn

n

n

n

n a

a 1lim

+

∞→

=ρ( )( ) ( )n

n

n

n

n x

n

nn

x

1

2

122

1lim

21

22

1

+++

+=

+

+

+

∞→

( )

( ) ( )121

1

2

2lim 2

21

2

1

+++

+=

+

+

+

∞→ nn

n

x

xn

n

n

n

n

( )12)1(

2

1lim 2

2

+++=

∞→ nn

nx

n

++

+=

∞→2

2

2

121

lim2

1

nnn

nx

n 2

1+=

x

• Agar deret konvergen maka haruslah 1<ρ yaitu 12

1<

+xatau

21 <+x 212 <+<−⇒ x 13 <<−⇒ x

• Memeriksa kekonvergenan deret pada ujung selang

- untuk 3−=x deret menjadi

( )∑

−∞

=+

1212

2

nn

n

n

( )∑

−=

∞

=+

1212

21

nn

nn

n

( )∑

−=

∞

=12

1

2

1

n

n

n

Untuk memeriksa kekonvergenannya dapat dilakukan uji deret

ganti tanda.

misalkan 2

1

nan = maka

21)1(

1

+=+

nan sehingga

n

n

a

a 1+o

( )2

2

1+=

n

n1;1

1

11

1

22

≥<

+−=

+= n

nn

n



nn

alim∞→

o 01

lim 2==

∞→ nn

Karena 11 <+

n

n

a

adan 0lim =

∞→n

n

a maka menurut uji deret ganti

tanda ( )

∑−∞

=12

1

n

n

n konvergen yang berakibat

( )∑

−∞

=12

1

2

1

n

n

n juga

konvergen.

- untuk 1=x deret menjadi ( )

∑∞

=+

1212

2

nn

n

n∑=∞

=12

1

2

1

n nyang merupakan

deret p dengan p = 2 < 1 yang menunjukan bahwa deret ini

konvergen.

• Jadi deret ( )

∑+∞

=+

1212

1

nn

n

n

x konvergen pada 13 ≤≤− x



PEMBAHASAN


KALKULUS I

Uas 2002-2003 kalkulus I

1. Menghitung ( ) x

x

xsin

0

tanlim+→

( ) x

x

xsin

0

tanlim+→

( ) x

x

xsin

0

tanlnexplim+→

= ( ) x

x

xsin

0

tanlnlimexp+→

=

( )xxx

tanlnsinlimexp0+→

=( )

*csc

tanlnlimexp

0 x

x

x+

→

=

xx

x

x

x cotcsc

tan

sec

limexp

2

0 −

=+→ x

x

x csc

seclimexp

2

0 −=

+→

x

x

x2

0 cos

sinlimexp −=

+→

1)0exp( 0 === e

Note : * limit berbentuk ∞/∞ sehingga kita dapat menerapkan L’H

2. Menentukan 'y dari 2

)sin2( xxy +=

2

)sin2( xxy +=

2

)sin2ln(ln xxy +=

)sin2ln(ln 2xxy +=

( ) ( )( )xxDyD xx sin2lnln 2 +=

( )x

xxxxy

y sin2

cossin2ln2'

1 2

+++=

( ) yx

xxxxy

+++=

sin2

cossin2ln2'

2

( ) ( )2

sin2sin2

cossin2ln2'

2x

xx

xxxxy +

+++=



3. Menghitung ∫−

dxx

x 14 2

misalkan : θsec2

1=x maka θθθ ddx tansec

2

1= sehingga

∫−

dxx

x 14 2

∫−

= θθθ

θ

θdtansec

2

1

sec2

1

1sec2

∫= θθθ dtantan2

∫= θθd2tan ∫ −= θθ d)1(sec2

c+−= θθtan ( ) cxx +−−= − 2sec14 12

4. Menentukan kekonvergenan

a. dxe

ex

x

∫+

∞

∞−−

−

21

dxe

ex

x

∫+

∞

∞−−

−

21 ∫

++∫

+=

−

−

∞→−

−

−∞→

b

x

x

bax

x

a

dxe

edx

e

e

02

0

21

lim1

lim

misalkan : xeu

−= maka dxedux−−= sehingga

dxe

ex

x

∫+ −

−

21∫

+

−=

21 u

ducu +−= −1tan ( ) ce

x +−= −−1tan

dxe

ex

x

∫+

∞

∞−−

−

21 ( ) ( )b

x

ba

x

a

ee0

10

1tanlimtanlim

−−

∞→

−−

−∞→

−+−=

( )

+−+

+−= −−

∞→

−−

−∞→ 4tanlimtan

4lim

11 ππ b

b

a

a

ee

240

24

ππππ=

++

+−=

Jadi dxe

ex

x

∫+

∞

∞−−

−

21 konvergen ke

2

π

θ14

2−x

1

x2



b. ∫∞

∞− xx

dx3ln

Karena domain dari ln x adalah x > 0 maka kita tidak dapat

melakukan pengintegralan untuk kasus ini.

5. a. Memeriksa kekonvergenan deret ∑∞

=

+

1

1

!

3

n

n

n

misalkan : !

3 1

na

n

n

+

= maka )!1(

3 2

1+

=+

+n

an

n

n

n

n a

a 1lim

+

∞→

=ρ( ) 1

2

3

!

!1

3lim +

+

∞→ +=

n

n

n

n

n ( )!1

!

3

3lim 1

2

+=

+

+

∞→ n

nn

n

n

( ) !1

!3lim

nn

n

n +=

∞→ ( )0

1

1lim3 =

+=

∞→ nn

karena ρ = 0 < 1 maka menurut uji hasil bagi deret ∑∞

=

+

1

1

!

3

n

n

n

konvergen.

b. Menentukan selang kekonvergenan deret ∑+

∞

=

−

02

1

)1(

2

n

nn

n

x

misalkan : ( )1

22

1

+=

−

n

xa

nn

n maka ( )( ) 22

2

11

22

1

2

1

1++

=++

=++

+nn

x

n

xa

nnnn

n

n

n

n a

a 1lim

+

∞→

=ρnn

nn

n x

n

nn

x1

2

2

1

2

1

22

2lim −

+

∞→

+

++=

22

1

2

2lim 2

21

1 ++

+=

+

−∞→ nn

n

x

xn

n

n

n

n 22

12lim 2

2

++

+=

∞→ nn

nx

n

22

1lim2

2

2

++

+=

∞→ nn

nx

n

++

+

=∞→

2

2

2

2

221

11

lim2

nnn

nn

xn

x2=



• Agar deret konvergen maka haruslah 1<ρ yaitu 12 <x atau

2

1

2

1121 <<−⇒<<− xx

• Memeriksa kekonvergenan deret pada ujung selang.

- untuk 2

1−=x deret menjadi

∑+

−

∞

=

−

02

1

)1(

2

12

n

nn

n

( )∑

+

−=

∞

=

−−

02

1

)1(

212

n

nnn

n

( )∑

+

−=

∞

=02 )1(

1

2

1

n

n

n

Untuk memeriksa kekonvergenannya dapat dilakukan uji

deret ganti tanda.

misalkan 1

12 +

=n

an maka 22

1

1)1(

1221

++=

++=+

nnnan

22

12

21

++

+=+

nn

n

a

a

n

no

( )22

12)12(12

2

++

+−+++=

nn

nnn

( )22

12222

2

++

+−++=

nn

nnn ( )0;1

22

121

2≥<

++

+−= n

nn

n

nn

alim∞→

o 01

1lim 2

=+

=∞→ nn

karena 11 <+

n

n

a

adan 0lim =

∞→n

n


tanda deret( )

∑+

−∞

=02 )1(

1

n

n

n konvergen yang berakibat

( )∑

+

−∞

=02

)1(

1

2

1

n

n

n juga konvergen.

- untuk 2

1=x deret menjadi

∑+

∞

=

−

02

1

)1(

2

12

n

nn

n∑

+=

∞

=

−−

02

1

)1(

22

n

nn

n∑

+=

∞

=02 )1(

1

2

1

n n



Sekarang perhatikan bahwa 22 1 nn >+ atau 22

1

1

1

nn<

+

untuk setiap nilai n. mengingat bahwa ∑∞

=02

1

n nmerupakan

deret yang konvergen (deret p dengan 12 >=p ) maka

menurut uji perbandingan deret ∑+

∞

=02 1

1

n nkonvergen yang

berakibat ∑+

∞

=02

)1(

1

2

1

n njuga konvergen.

• Dengan demikian deret ∑+

∞

=

−

02

1

)1(

2

n

nn

n

x konvergen pada

2

1

2

1≤≤− x



PEMBAHASAN


DA 1314 KALKULUS I


Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314

1. Membuktikan bahwa 1,22)( 2 −≤++= xxxxf memiliki invers dan

menentukan )(1xf

−

Untuk membuktikan bahwa f memilik invers harus kita tunjukkan bahwa

f monoton murni pada domain yang diberikan. Sekarang perhatikan

bahwa untuk 1−<x kita memiliki 0)1(222)(' <+=+= xxxf yang

menunjukkan bahwa f selalu naik pada 1−<x atau f monoton murni

yaitu f memiliki invers.

misalkan ( )yfx1−=

1,222 −≤++= xxxy

( ) 112

++= xy

( ) 112

−=+ yx

( ) 11 −−=+ yx 1,01 −≤∀≤+ xxkarena

11 −−−= yx

11)(1 −−−=−yyf

1,11)(1 ≥−−−=−xxxf

2. a. mencari integral tak tentu ∫+

+dx

xx

x

4

43

misalkan : ( )4

42

+

+

xx

x

42 +

++=

x

cbx

x

a

dengan menyamakan penyebut pada ruas kanan diperoleh

( )4

42

+

+

xx

x

)4(

)()4(2

2

+

+++=

xx

xcbxxa

4+x xcbxxa )()4( 2 +++=

acxxbax 4)(4 2 +++=+



Dengan membandingkan koefisien suku yang sejenis di dapat

44 =a atau 1=a , 1=c , 0=+ ba atau 1−=b . sehingga

∫+

+dx

xx

x

4

43 ∫

+

+−+= dx

x

x

x 4

112 ∫

++

+

−+= dx

xx

x

x 4

1

4

122

( )∫ ∫

++

+

+∫ −=

44

4

2

1122

2

x

dx

x

xddx

x

( ) cx

xx +

++−= −

2tan

2

14ln

2

1ln 12

b. Menghitung ∫−3

12

29

dxx

x

misalkan : θsin3=x maka θθddx cos3=

jika 1=x maka 3

1sin

1−=θ

jika 3=x maka 2

πθ = sehingga

∫−3

12

29

dxx

x∫

−=

−

2

3

1sin

2

2

1

cos3sin9

sin99

π

θθθ

θd

∫−

=−

2

3

1sin

2

2

1

cos3sin9

)sin1(9π

θθθ

θd

∫=−

2

3

1sin

2

2

1

cos3sin9

cos9

π

θθθ

θd

∫=−

2

3

1sin

21

cos3sin9

cos3

π

θθθ

θd

∫=−

2

3

1sin

2

1

cot

π

θθd ∫ −=−

2

3

1sin

2

1

)1(csc

π

θθ d



( )2

3

1sin 1

cot

π

θθ−

−−=

−

−−

−= −−

3

1sin

3

1sincot

20 11π

3

1sin22

2

1−++−=π

3. Menyelidiki kekonvergenan integral tak wajar

a. dxx∫ +∞

0

)1ln(

dxx∫ +∞

0

)1ln( dxxa

a∫ +=

∞→ 0

)1ln(lim

Misalkan )1ln( += xu dan dxdv = maka dxx

du1

1

+= dan xv =

sehingga

dxx∫ + )1ln( ∫= udv ∫−= vduuv

∫+

−+= dxx

xxx

1)1ln(

∫+

−+−+= dx

x

xxx

1

1)1()1ln( dx

xxx ∫

+−−+=

1

11)1ln(

( ) cxxxx ++−−+= )1ln()1ln( cxxx +−++= )1ln()1(

dxx∫ +∞

0

)1ln( [ ]a

a

xxx0

)1ln()1(lim −++=∞→

[ ] ∞=−++=∞→

aaaa

)1ln()1(lim

Jadi dxx∫ +∞

0

)1ln( divergen.

4. Menentukan selang kekonvergenan dari deret pangkat ∑+

−∞

=

+

0

1

32

)2(

n

nn

n

x

misalkan ( )

32

21

+

−=

+

n

xa

nn

n maka ( )

52

2 12

1+

−=

++

+n

xa

nn

n



n

n

n a

a 1lim

+

∞→

=ρ( )

( ) nn

nn

n x

n

n

x1

12

2

)32(

)52(

2lim +

++

∞→ −

+

+

−=

( )52

322lim

+

+−=

∞→ n

nx

n 52

32lim2

+

+=

∞→ n

nx

nx2=

• Agar deret kongergen maka haruslah 1<ρ yaitu 12 <x atau

2

1<x

2

1

2

1<<−⇒ x

• Memeriksa kekonvergenan deret pada ujung selang .

- untuk 2

1−=x deret menjadi

∑+

−−

∞

=

+

0

1

32

2

1)2(

n

nn

n

( ) ( )∑

+

−−=

∞

=

−++

0

11

32

212)1(

n

nnnn

n∑

+−=

∞

=0 32

12

n n.

sekarang perhatikan bahwa untuk 0≥n berlaku

)2(24232 +=+<+ nnn atau )2(2

1

32

1

+>

+ nn. mengingat

bahwa ∑=∑+

∑ =+

∞

=

∞

=

∞

= 200

1

2

1

2

1

2

1

)2(2

1

knn knn merupakan kelipatan

dari deret harmonis yang divergen, maka menurut uji

perbandingan deret ∑+

∞

=0 32

1

n ndivergen yang berakibat

∑+

−∞

=0 32

12

n n juga divergen.

- untuk 2

1=x deret menjadi

∑+

−

∞

=

+

0

1

32

2

1)2(

n

nn

n

( ) ( )∑

+

−=

∞

=

−++

0

111

32

22)1(

n

nnn

n∑

+

−=

∞

=

+

0

1

32

)1(2

n

n

n



misalkan 32

1

+=

nan maka

( ) 52

1

312

11

+=

++=+

nnan sehingga

152

21

52

2)52(

52

321 <+

−=+

−+=

+

+=+

nn

n

n

n

a

a

n

no dan

032

1limlim =

+=

∞→∞→ na

nn

n

o

karena 11 <+

n

n

a

adan 0lim =

∞→n

n


tanda ∑+

−∞

=

+

0

1

32

)1(

n

n

nkonvergen yang berakibat ∑

+

−∞

=

+

0

1

32

)1(2

n

n

njuga

konvergen.

• jadi ∑+

−∞

=

+

0

1

32

)2(

n

nn

n

x konvergen pada interval

2

1

2

1≤<− x .

5. Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin untuk fungsi 24

1)(

xxf

−=

24

1)(

xxf

−=

−

=2

4

11

1

4

1

x

12

;...4

1

4

1

4

11

4

13

22

22<

+

+

+

+=

xxxx

++++= ...

64

1

16

1

4

11

4

1 642xxx

++++= ...

256

1

64

1

16

1

4

1 642xxx 1

2; <

x



PEMBAHASAN


KALKULUS 1

SENIN / 24 NOVEMBER 2000

Uas 2000-2001 Kalkulus I

1. Diketahui xxxxf

1

)42()( +=


xxxy

1

)42( +=

xxxy

1

)42ln(ln +=

)42ln(1

ln xx

xy +=

( ) ( )

+= xx

xxx

DyD 42ln1

ln

( )xx

yy xx

xxxx 1

42

4ln42ln242ln

1'

12 +

+++

−=

( )( )

yxx

yxx

xxxx

+

++

+−=

42

4ln42ln242ln'

2

( )( )

( ) xxx

xx

xxxx

xxy

1

242

42

4ln42ln242ln' +

+

++

+−=

b. menghitung )(lim xfx ∞→

)(lim xfx ∞→

( )xxx

x

1

42lim +=∞→

( )xxx

x

1

42lnexplim +=∞→

( )xxx

x

1

42lnlimexp +=∞→

( )xx

x x42ln

1limexp +=

∞→

( )*

42lnlimexp

x

xx

x

+=

∞→xx

xx

x 42

4ln42ln2limexp

+

+=

∞→



+

+

=∞→

14

24

4ln2ln4

24

limexpx

x

xx

x

+

+

=∞→

12

1

4ln2ln2

1

limexpx

x

x

( ) 44lnexp ==

Note : *limit berbentuk ∞/∞ sehingga dalil L’H dapat diterapkan

2. Menghitung

a. ( )( ){ }∫ −−5

3

21ln dxxx

( )( ){ } ( )∫ +−=∫ −−5

3

25

3

23ln21ln dxxxdxxx

misalkan : ( )23ln 2 +−= xxu dan dxdv = maka

dxxx

xdu

23

322 +−

−= dan xv = sehingga

( ) ∫−=∫=∫ +− vduuvudvdxxx 23ln 2

( ) dxxx

xxxxx ∫

+−

−−+−=

23

3223ln

2

22

( ) dxxx

xxx ∫

−+

−+−+−=

2

2

1

1223ln 2

( ) ( ) ( ) cxxxxxx +−−−−−+−= 2ln21ln223ln 2

( ) ( ) ( ) ( )[ ]5325

3

2 2ln21ln223ln23ln −−−−−+−=∫ +− xxxxxxdxxx

( )02ln62ln33ln24ln1012ln5 −−−−−−−=

62ln23ln24ln1012ln5 +−−−−=

42.3.4

12ln

22

5

−

= 4

34

12ln

22

5

−

= 412ln3 −=



• Untuk solusi yang lebih mudah gunakan hubungan

( )( ){ } ( ) ( )∫ −+∫ −=∫ −−5

3

5

3

5

3

2ln1ln21ln dxxdxxdxxx kemudian lakukan

lakukan integral parsial pada masing masing bagian pada ruas kanan.

b. ∫−

−dx

x

x

29

32

misalkan : θsin3=x maka θθddx cos3= sehingga

∫−

−dx

x

x

29

32∫

−

−= θθ

θ

θdcos3

sin99

3)sin3(2

2

∫−

−= θθ

θ

θdcos3

)sin1(9

3sin6

2

∫−

= θθθ

θdcos3

cos9

3sin6

2

( )∫ −= θθ d3sin6 c+−−= θθ 3cos6

cxx

+

−

−−= −

3sin3

3

96 1

2

cx

x +

−−−= −

3sin392 12

3. Menghitung ∫++−

−−dx

xxx

xx

)22)(1(

322

2

misalkan : 221)22)(1(

3222

2

++

++

−=

++−

−−

xx

cbx

x

a

xxx

xx

dengan mengalikan kedua ruas dengan )22)(1( 2 ++− xxx diperoleh

( ) ( )( )12232 22 −++++=−− xcbxxxaxx .

Dengan menyulihkan nilai 1=x , 0=x , dan 2=x kita peroleh

a54 =− atau 54−=a

ca −=− 23 atau 57=c

cba ++=− 2103 atau 59=b sehingga

θ

x3

29 x−



∫++−

−−dx

xxx

xx

)22)(1(

322

2

dxxx

x

x∫

++

++

−

−=

)22(5

79

)1(5

42

( ) ∫ ∫++

−++

++−−=

225

2

22

22

10

91ln

5

422

xx

dxdx

xx

xx

( )( )

( )∫

++−∫

++

+++−−=

115

2

22

22

10

91ln

5

422

2

x

dx

xx

xxdx

( ) ( ) ( ) cxxxx ++−+++−−=−

1tan5

222ln

10

91ln

5

4 12

4. Menentukan kekonvergenan integral tak wajar

a. ∫2

0

tan

π

θθd ∫=−

→

a

a

d0

2

tanlim θθπ

a

a

tt0

2

tanseclnlim +=−

→π

∞=+−+=−

→

oaa

a

tan0seclntanseclnlim

2

π

Ini menunjukkan bahwa ∫2

0

tan

π

θθd divergen.

b. ∫∞−

0 2

dxxex

dxxeb

x

b∫=

−∞→

0 2

lim

misalkan : 2xu = maka xdxdu 2=

jika 0=x maka 0=u

jika −∞→x maka +∞→u sehingga

dxxeb

x

b∫

−∞→

0 2

lim ∫=∞→

0

2

1lim

c

u

c

due ∫=∞→

0

lim2

1

c

u

c

due

0

lim2

1

c

u

c

e∞→

= −∞=−=∞→

c

c

ee0lim

2

1

Jadi ∫∞−

0 2

dxxex

divergen.

5. Menentukan selang kekonvergenan deret ∑+

−∞

=

+

1

1

)1()1(

k

kk

kk

x



misalkan : ( ))1(

11

+−=

+

kk

xa

kk

k maka ( ))2)(1(

11

21

++−=

++

+kk

xa

kk

k dan

k

k

k a

a 1lim

+

∞→

=ρ( )

( ) kk

kk

k x

kk

kk

x1

12

1

)1(

)2)(1(

1lim +

++

∞→ −

+

++

−=

( ))2(

.1lim

+

−=

∞→ k

xk

k

xk

kx

k

=+

=∞→ )2(

.lim

• Agar deret konvergen maka haruslah 1<ρ yaitu 1<x atau

11 <<− x

• Memeriksa kekonvergenan pada ujung selang.

- untuk 1−=x deret menjadi

( )( )

∑+

−−

∞

=

+

1

1

1

)1(1

k

kk

kk( )

( )∑

+−=

∞

=

+

1

12

1

11

k

k

kk∑

+−−=

∞

1 1

11

kk

Deret ini merupakan deret collaps yang konvergen.

- untuk 1=x deret menjadi :

( )( )

∑+

−∞

=

+

1

1

1

)1(1

k

kk

kk( )

( )∑

+−=

∞

=

+

1

1

1

11

k

k

kk

Untuk memeriksa kekonvergenannya kita lakukan uji deret ganti

tanda.

Misalkan )1(

1

+=

kkak maka

)2)(1(

11

++=+

kkak sehingga

( ))2)(1(

1* 1

++

+=+

kk

kk

a

a

k

k

2

2)2(

+

−+=

k

k1;1

2

21 ≥<

+−= k

k dan

0)1(

1limlim* =

+=

∞→∞→ kka

kk

k

Karena 11 ≥∀<+ kaa kkdan 0lim =

∞→k

k

a maka menurut uji

deret ganti tanda deret ( )( )

∑+

−∞

=

+

1

1

1

11

k

k

kk kovergen.

• Jadi ∑+

−∞

=

+

1

1

)1()1(

k

kk

kk

x konvergen pada selang 11 ≤≤− x



TRIGONOMETRY FORMULAE

1cossin 22 =+ xx

xx 22 tan1sec =−

( ) yxyxyx sincoscossinsin +=+ ( ) yxyxyx sincoscossinsin −=−

( ) yxyxyx sinsincoscoscos −=+ ( ) yxyxyx sinsincoscoscos +=−

( )yx

yxyx

tantan1

tantantan

−

+=+

( )

yx

yxyx

tantan1

tantantan

+

−=−

xxx cossin22sin =

xxx 22 sincos2cos −=

−=

−=

2cos

2cossin

ππxxx

+=

−=

2sin

2sincos

ππxxx

( ) xx sinsin =−π

( ) xx coscos −=−π

( )xx 2cos1cos212 +=

( )xx 2cos1sin

212 −=

( ) ( )[ ]yxyxyx −++−= coscossinsin

21

( ) ( )[ ]yxyxyx −++= coscoscoscos

21

( ) ( )[ ]yxyxyx −++= sinsincossin

21

2cos

2sin2sinsin

vuvuvu

−+=+

2cos

2cos2coscos

vuvuvu

−+=+

2sin

2sin2coscos

vuvuuv

−+=−

x

xx

cos

sintan =

x

xx

sin

coscot =

xx

cos

1sec =

xx

sin

1csc =