Sorgenti del campo magnetico.
n Campo magnetico prodotto da una corrente n Prima legge elementare di Laplace n Legame campo elettrico e magnetico
Campo magnetico prodotto da una corrente
n Prima legge elementare di Laplace q campo magnetico prodotto da un elemento dl di
filo percorso dalla corrente i, alla distanza r
dli
r P!er
d!B
d!B = µ0
4!id!l !!er
r2
µ04!
= 10!7 TmA
= 10!7 Hm
µ0 = 4! !10"7 ! 1.26 !10"6 H
mPermeabilita` magnetica del vuoto
2
ir
∝ regola vite destrorsa
Campo magnetico prodotto da una corrente
n Prima legge elementare di Laplace q strumento di calcolo della sovrapposizione dei
contributi al campo magnetico
dli
r P!er
d!B
d!B = µ0
4!id!l !!er
r2
!B = µ0i
4!d!l !!er
r2!"
Campo magnetico prodotto da una corrente
n Prima legge elementare di Laplace q strumento di calcolo della sovrapposizione dei
contributi al campo magnetico
dli
!r !!r '
P!erd!B
O
!r
!r ' !
B = µ0i4!
d!l (!r ')! (
!r "!r ')
!r "!r '
3!#
Campo magnetico prodotto da una corrente
n Distribuzioni tridimensionali di corrente
!B = µ0i
4!d!l (!r ')! (
!r "!r ')
!r "!r '
3!#
!B = µ0
4!
!J !!err2" dV
id!l !
!JdV
Carica puntiforme in moto !B =
µ04!
!J !!err2
" d 3x!J = nq
!v
Contributo di ciascuna singola carica (campo generato da una carica puntiforme)
!B = µ0
4!q!v!!er
r2
Campo elettrico E!LAB = E!
q
E!LAB = !E
!q
se v! c! ! ! 1! ! ! 1!ELAB "
!Eq
!E ! q
!er
4!"0r2
!B = !0µ0
!v!!E (! ! 1)
Carica puntiforme in moto
!B = !0µ0
!v!!E collega i campi elettrico e magnetico di una
carica puntiforme in moto
!0µ0 =1c2! c = 1
!0µ0! 3 "108 m
s
B ! vEc2
= !Ec
( 1)β <<
Esempio: filo rettilineo percorso da corrente
n Filo percorso da corrente i. Determinare il campo magnetico a distanza h dal filo.
d!B = µ0i
4!d!l !!r
r3In P il campo e` ortogonale e diretto verso l’interno del foglio
d!l !!r = rdz sin!
dB = µ0i4!sin"dzr2
=µ0i4!cos"dzr2
O P
dz
h
r θ
φ
ez
z
i
Esempio: filo rettilineo percorso da corrente
n Filo percorso da corrente i. Determinare il campo magnetico a distanza h dal filo.
dB = µ0i4!cos"dzr2
O P
dz
h
r θ
φ
ez
z
z = htan!! dz = h(tan! )'d! = h d!
cos2!r = hcos!
Esempio: filo rettilineo percorso da corrente
n Filo percorso da corrente i. Determinare il campo magnetico a distanza h dal filo.
dB = µ0i4!
cos"h2
cos2"
h d"cos2"
O P
dz
h
r θ
φ
ez
z dB = µ0i
4!cos"hd"
Esempio: filo rettilineo percorso da corrente
n Filo percorso da corrente i. Determinare il campo magnetico a distanza h dal filo.
O P
dz
h
r θ
φ
ez
z
B = µ0i4!h
cos! d!!1
!2!B = µ0i
4!hsin!2 ! sin!1( )
mandando la lunghezza del filo all’infinito
1
2
2
2
πϕ
πϕ
→ −
→ +
sin!2 ! sin!1" 2 B = µ0i2!h
Esempio: spira quadrata n Campo nel centro del quadrato
P
a
a a
a Ogni lato e` un filo di lunghezza a
Dista a/2 dal centro del quadrato
B = µ0i
4! a2
sin !2( )! sin !1( )"#
$%
un lato =µ0i2!a
2
!1=!"4,!2=
"4
=µ0i
4! a2
22! !
22
"
#$$
%
&''
(
)**
+
,--
Esempio: spira quadrata n Campo nel centro del quadrato
un lato !B = µ0i
2!a2 22
!
"##
$
%&&
moltiplicando per 4 !B = 2 2µ0i
!a!ez
(corrente antioraria) B = 2 2µ0ia2
!a !a2=2µ0 2m!a3
P
a
a a
a i
Esempio. Spira circolare.
n Spira circolare piana di raggio r. Campo sull’asse passante per il centro, a distanza z.
d!l = Rd!
!e!
d!B = µ0i
4!d!l !!r
r3
!r = !R
!e! + z
!ez
=µ0i4!Rd!!e! ! "R
!e! + z
!ez( )
r3
P
i
dl
R
dϕ
!r z
Esempio. Spira circolare.
n Spira circolare piana di raggio r. Campo sull’asse passante per il centro, a distanza z.
P
i
dl
R
dϕ
!r d!B = µ0i
4!Rd!!e! ! "R
!e! + z
!ez( )
r3
eρr
eϕrze
r!e! !!e! = "
!ez
!e! !!ez =!e"
Esempio. Spira circolare.
n Spira circolare piana di raggio r. Campo sull’asse passante per il centro, a distanza z.
P
i
dl
R
dϕ
!r d!B = µ0i
4!Rd!!e! ! "R
!e! + z
!ez( )
r3
=µ0i4!Rd! R
!ez + z
!e!( )
r3
Esempio. Spira circolare.
n Spira circolare piana di raggio r. Campo sull’asse passante per il centro, a distanza z.
P
i
dl
R
dϕ
!r!B = µ0iR
4!d!
R !ez + z
!e!
r3!
"##
$
%&&0
2!
'
d!!e!r3= 0
0
2!
!
Bz =µ0iR4!
d! Rr30
2!
! =µ0iR
2
4! r3d!
0
2!
! =µ0iR
2
2r3
Esempio. Spira circolare.
n Spira circolare piana di raggio r. Campo sull’asse passante per il centro, a distanza z.
P
i
dl
R
dϕ
!rBz =
µ0iR2
2r3=
µ0iR2
2 R2 + z2( )3/2
z = 0! Bz (0) =µ0iR
2
2 R2( )3/2 =
µ0i2R
z ! R! Bz (z) !µ0iR
2
2 z2( )3/2 =
µ0iA2! z3
=µ04!2mz3
Dipolo magnetico – dipolo elettrico
Bz (z) !µ04!2mz3
stessa struttura del dipolo elettrico a grande distanza rispetto alle dimensioni lineari della distribuzione
campo elettrostatico di un dipolo elettrico !E = 1
4!"0r3 3(!p !!er )!er "!p#$ %&
energia potenziale di interazione tra due dipoli elettrici
U12 = !!p2 "!E1 =
14!"0r
3
!p1 "!p2 ! 3(
!p1 "!er )(!p2 "!er )#$ %&
Dipolo magnetico – dipolo elettrico
Bz (z) !µ04!2mz3
stessa struttura del dipolo elettrico a grande distanza rispetto alle dimensioni lineari della distribuzione
campo magnetico del dipolo !B = µ0
4! r33(!m !!er )!er "!m#$ %&
energia potenziale di interazione tra due dipoli magnetici
U12 = !!m2 "!B1 =
µ04! r3
!m1 "!m2 ! 3(
!m1 "!er )(!m2 "!er )#$ %&
Dipolo magnetico – dipolo elettrico
Bz (z) !µ04!2mz3
stessa struttura del dipolo elettrico a grande distanza rispetto alle dimensioni linari della distribuzione
forza tra due dipoli
!F = !
!"U
M! = !"U!!
momento rispetto all’asse di rotazione
Solenoide rettilineo n Conduttore avvolto secondo un’elica cilindrica di
passo piccolo rispetto alla sua lunghezza d
singola spira 03
24
mBr
µπ
=spira
20
3
24
R ir
µ ππ
=2
032R ir
µ=
Nnd
=
spire per unita` di lunghezza
z zP P
dz
z R r
φ
Solenoide rettilineo
z zP P
dz
z R r
φ
dB = Bspirandz =µ0nR
2i2r3
dz lungo l’asse del solenoide
r sin! = R
(zP ! z)tan! = Rdz = Rd!
sin2!
Solenoide rettilineo
dB = µ0nR2i
2r3dz = µ0ni
2sin!d!
B = µ0ni2
sin! d!!1
!2
! =µ0ni2
cos!1 ! cos!2( )
zP P 1ϕ
2ϕ
Solenoide rettilineo
B = µ0ni2
cos!1 ! cos!2( )
misurando z dal centro del solenoide
zP P 1ϕ
2ϕ
Solenoide rettilineo
Se d ! R!!1" 0!2 " !
#$%
&%
zP P 1ϕ
2ϕ
! cos!1 " cos!2 # 2
B = µ0ni2
cos!1 ! cos!2( ) " B#= µ0ni
Solenoide rettilineo
-d/2 d/2
Per R/d << 1 il campo e` approssimativamente costante in una vasta zona. Al crescere di R/d la zona si restringe e si estende la zona all’esterno in cui il campo differisce apprezzabilmente da zero.