C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, SCrie I, p. 929-933, 1999 StatistiquelSfafisfics

Stab&t& des familles exponentielles naturelles par convolution (Convolution et familles exponentielles naturelles)

Denys POMMERET

CREST (Rennes), ENITIAA, laboratoire de statistique, rue de la GkraodiZre, B.P. 82225, 44322 Nantes cedex 3, France Courriel : pommeret@enitiaa-nantes.fr

(Requ le 15 novembre 1998, accept6 apr&s r&vision le 8 mars 1999)

R&urn& Letac (voir [lo]) a montrC que le produit de convolution de deux familles exponentielles naturelles (FEN) est encore une FEN si et seulement si ces familles sont gaussiennes ou de Poisson. Nous &tendons ce rkultat en considkrant la convolution de n (n > 2) FEN en proposant une dkmonstration originale et adaptable au cas multidimensiannel. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris

Stability of natural exponential families from the convolution

product

Abstract. When the convolution of two natural exponential families is still a natural exponential family, then these families are either Gaussian or Poisson. We generalize this result of Letac in the case ofn (n > 2) families. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris

A bridged English Version

Letac (see [lo]) has shown that if FI and F2 are two natural exponential families (NEF) on R and if F = FI * F2 = {PI * P2 ; PI E FI , P2 E FZ}, where * denotes the convolution product, is still a NEF on W, then Fl, Fz and F are either Gaussian families or Poisson families. In the following theorem we offer a generalization of this result and the multidimensional case will follow by the same method (see [7]).

THEOREM 1. - Let F,, F2,. . . , F, be n independent NEF on W and let F = Fl * Fz * . . . * F,, = {PI * PZ * . . . * P, ; Pi E F,, i = 1, . . . , n}. If F is still a NEF on R, then FI, . . . , F,, and F are either Gaussian families or Poisson families.

Note prCsentCe par Paul MALLIAVIN.

0764-4442/99/03280929 0 Acadtmie des Sciences/Elsevier, Paris 929

D. Pommeret

Proof - Let X; be the random variable with distribution vi E Ft. Write tXi = C Xj

and 5’ = Xi + tXi, and denote 4; the law of (S, Xi) on Iw’. By derivating the e$ility Ic$% (61,&) = C kv, (6) + k,< (6, + &), we obtain

j#i

Then F(&) is a NEF on Iw2 (see [12]) and using a result of Barndorff-Nielsen and Koudou [2] we may show that

E(xjls)=ori(~xj) +/A, j=1

Vtw(Xi 1 S) = yi 2 x, ( >

+ sf,, 3=1

where M; > 0 and y,, 2 0. We conclude with the help of two results of Bryc (see [31 and [4]).

1. Introduction

I1 est bien connu que la convolee l1 * ,& de deux lois gaussiennes (resp. de Poisson) independantes est encore une loi gaussienne (resp. de Poisson). Ce resultat s’etend naturellement aux familles exponentielles naturelles (FEN) comme il est remarque dans [6] et Letac (voir [lo]) a montre la caracterisation suivante :

TH&&ME 1. - Soient Fl et F2 deux FEN sur Iw indbpendantes et soit F = Fl* F2 = (PI * Pz ; PI E Fl, I’2 E Fz}. Si F est encore une FEN sur R, alors F 1, Fz et F sont des FEN de lois soit de Poisson, soit gaussiennes.

11 est interessant de vouloir Ctendre cette propriete dans deux directions : tout d’abord la gentralisation a n (n > 2) FEN independantes ; puis la version multidimensionnelle sur I@. Dans cette Note nous nous contentons de donner une demonstration du resultat pour n > 2 faisant intervenir les moments conditionnels, et qui conduira a une generalisation multidimensionnelle.

Nous resumons tout d’abord quelques resultats sur les FEN (nous renvoyons le lecteur aux livres [l] et [lo] pour plus de details). Si E est un espace vectoriel de dimension finie de dual E* et si p est une mesure de Radon positive sur E, non concentrte sur un hyperplan affine, on note

la transformee de Laplace de CL, oti (., .) designe la forme bilineaire canonique sur E* x E. Nous noterons 0, I’interieur (suppose non vide) du domaine de L,, et k,, le logarithme de L,. La derivee premiere k$ d&nit un diffeomorphisme entre 0, et son image notee M. Pour (3 E O,,, soit F(B, !L) la mesure de probabilite dont la densite par rapport B la mesure LL s’ecrit exp{ (0, z) - kp(0)}. La famille des lois F = F(p) = {P(B, p) ; 0 E O,,} est appelee famille exponentielle naturelle (FEN) engendree par /A. 11 est bien connu que la moyenne et la matrice de variance-covariance de P(B, /I)

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Convolution et familles exponentielles naturelles

sont respectivement m = ks(19) et V(m) = k:(0). 0 n note $,)11 la fonction reciproque de l$. I1 est alors nature1 d’utiliser la parametrisation par la moyenne en Ccrivant F = {P(m, F) ; m E Ad}, oti la densite de P(7n, F) par rapport a ,U n’est autre que

fiL(xcl m) = exp {(tip(m), x) - f$L($p(m))}.

La fonction V : M -+ {formes lineaires de E* --j E} est appelee la function variance de F. Elle caracterise la FEN associte et nous la notons VF. Lorsque E = R, Morris (voir [ 111) a class6 les FEN dont la fonction variance est de degre deux en la moyenne en six types : gaussien, Poisson, gamma, binomial, negative binomial et hyperbolique. Chaque type de loi contient les affinites et les puissances de convolution de cette loi.

2. Stabilit6 par projection et moments conditionnels

Nous allons donner quelques resultats relatifs aux moments conditionnels qui permettront de demontrer le theoreme principal de cette Note (theoreme 3). Supposons que l’espace E peut s’ecrire comme le produit de deux espaces vectoriels E = El x Ea. Barndorff-Nielsen et Koudou [2] ont montre que si F est une FEN sur E et si la projection p(F) de F sur El est encore une FEN, ce qui signifie qu’il existe une mesure v sur El telle que p(F) = F(v), a ors on a les resultats suivants I (que nous resumons pour El = Iw dans cette Note) :

(i) il existe des fonctions analytiques Q! et ,l3 telles que

k”(h, 02) = a(%) + P(b),

02 m = t(ml,mz) = k$(O,,&) E E ; (ii) il existe des fonctions analytiques 4 et < telles que

6 = 4(v) + I(h) ; (iii) il existe une dbintkgration r(dz)K,(dy) de v telle que :

k&, (0,) + E’(S,)n: - Dye,) = 0.

De (i)-(ii) on obtient

am1 ml = d(ml)- i381 ’

m2 = ,O’(&) + ck’(m,)s. 2

dml 1 = #(mr)-

i3rnl a91 ’

0 = q!+l1)- do2 + E’W

Avec (iii) il vient

drn,l am1 m2w + (X - ml)w

VqX) = J&,(02) = l am, 2

7 (1)

, drni- d*k, ou - = -. De la m&me maniere, on peut obtenir Var(Y 1 X) = kg, (02). Rappelons

dBj dtQ3Oj ici des resultats de Bryc ([3] et [4]) resumes dans le theoreme suivant dont la demonstration utilise principalement les proprietes de la transformte de Laplace (un resultat plus detail16 se trouve dans [S]) :

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D. Pommeret

T&oR~%E 2. - Soit X et Y deux variables alkatoires rdelles, indkpendantes et ayant des moments du second ordre jinis. S’il existe des rtfels a, p, y, 6 tels que :

E(XIX+Y)=a(X+Y)+P, Var(X]X+Y)=y(X+Y)+S,

alors, si P(Y = 0) < 1 et si y > 0, X et Y sont de type Poisson. Si y = 0, X et Y sont de type gaussien.

3. StabilitC par convolution

Nous nous plaFons ici dans le cas E = R.

TH~ORI~ME 3. - Soient FI, . . . , F, n FEN indkpendantes sur R’ telles que F = Fl * Fz * . x F, soit encore une FEN. Alors les families F et F;, i = 1, . . . , n, sont soit toutes de type gaussien, soit toutes de type Poisson.

Dkmonstration. - Pour i = 1, . . . , n notons Xi la variable de loi vi E Fi et notons tXi = c X, et j#i

S = Xi + tXi. Les deux variables Xi et tXi sont independantes. De plus, la loi v de 5’ appartient a

F. Notons 4i la loi sur R2 de la variable (S, X;). Pour tout (or, 0,) dans fi Ouj x fi 613,~ on a j=l j=l

&,(f31,~2) = L,(~1)-&(~1 +Bz)...L*,(h),

ce qui peut encore s’ecrire

En derivant cette tgalite successivement deux fois nous obtenons la relation suivante :

Le domaine de L+% contient fi 0, j=l

et n’est done pas vide. On montre aussi que &

n’est pas concentree sur un hyperplan affine (voir [12], lemme 4.5). Ainsi, $i engendre une FEN sur El x E2 = R x W. Par hypothese, la projection sur El est encore une FEN. Utilisons alors I’CgalitC (1). On a :

E(Xi 1 S) = ffiS + ,Oioi,

Var(Xi ) S) = yiyis + Si,

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Convolution et familles exponentielles naturelles

Deux cas sont alors possibles : - soit y; = 0 et on doit alors avoir kll,‘(0) = 0 sur un ouvert ce qui signifie que k!, est constante

et done que Fi est une famille de lois gaussiennes. Le theoreme 2 montre que Xi et tX, sont simultanement gaussiennes ;

- soit Ti # 0 et le theoreme 2 montre que Xi et tXi sont simultanement de Poisson.

Ainsi, pour tout i = 1, . . _ , R,, la variable “Xi est une somme de n - 1 variables indtpendantes de lois gaussiennes ou de Poisson. L’CgalitC des transformtes de Laplace montre alors que si “Xi est gaussienne, les n - 1 autres variables le sont aussi. Inversement, si une variable est de Poisson, les autres ne peuvent etre gaussiennes et sont done aussi toutes de Poisson. 0

La demonstration du theoreme 3 se generalise a IFId en utilisant la caracterisation multidimensionnelle des FEN quadratiques simples (voir [5] et [9]). Cette generalisation est en preparation [7].

RCfkences bibliograpbiques

[1] Bamdorff-Nielsen O.E., Information and Exponential Families, Wiley, New York, 1978. [Z] Bamdorff-Nielsen O.E., Koudou A-E., Cuts in natural exponential families, Theor. Probab. and Appl. 40 (1995) 361-372. [3] Bryc W., A characterization of the Poisson process by conditional moments, Stochastics 20 (1987) 17-26. [4] Bryc W., The Normal Distribution, Lect. Notes in Statis. 100, Springer-Verlag, 1995. [5] Casalis M., The 2d + 4 simple quadratic natural exponential families on I@, Ann. Statis. 24 (1996) 1828-1854. [6] Cohen A., Sackrowitz H.B., Constructing unbiased test for homogeneity and goodness of fit, Statis. Probab. Letters 12

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