Exponentielles Wachstum. Bakterien und exponentielles Wachstum Quellen: Bacillus_subtilis.jpg

Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12

Exponentielles Exponentielles WachstumWachstum


Exponentielles WachstumExponentielles Wachstum








Bakterien und exponentielles Bakterien und exponentielles WachstumWachstum

Quellen: www.bakterien.org und http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Bacillus_subtilis.jpg gefunden am 03.01.2006

Modellierung von Wachstumsprozessen


1. In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor.

2. Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. 3. Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl

der Bakterien.

Wir betrachten eine Bakterienkultur. Ihr Wachstum (das aufgrund von Zellteilung zustande kommt) sei durch folgende drei Eigenschaften charakterisiert:

Bakterien und exponentielles Bakterien und exponentielles WachstumWachstum

Welt der Welt der MathematikMathematik

Reale WeltReale Welt V Ü R Z AV Ü R Z A


Wachstum von BakterienkulturenWachstum von Bakterienkulturen

Wie viele Bakterienkulturen gibt es nach 1, 2, 4 und Wie viele Bakterienkulturen gibt es nach 1, 2, 4 und nach 6 Stunden?nach 6 Stunden?

TOP:TOP:Wie viele Bakterienkulturen gibt es nach 12 Wie viele Bakterienkulturen gibt es nach 12 Stunden, wie viele nach t Stunden?Stunden, wie viele nach t Stunden?

1. In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor.

2. Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. 3. Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl

der Bakterien.



x f(x)

0 f(0) = 1000

+1 1 f(1) = 2000

+1 2 f(2) = 4000

+1 3 f(3) = 8000

+1 4 f(4) =16000

+1 5 f(5) =32000

+1 6 f(6) =64000

BakterienkulturenBakterienkulturenx bezeichnet die Stunden, x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der f(x) die Anzahl der BakterienkulturenBakterienkulturen



x f(x)

0 f(0) = 1000

+1 1 f(1) = 2000

+1 2 f(2) = 4000

+1 3 f(3) = 8000

+1 4 f(4) =16000

+1 5 f(5) =32000

+1 6 f(6) =64000



Mathematischer HintergrundMathematischer Hintergrund

„„Vokabeln“Vokabeln“

Eine Eine PotenzPotenz ist ein Term der Form b ist ein Term der Form bcc

Bedeutung: b wird c-mal mit sich selbst Bedeutung: b wird c-mal mit sich selbst multipliziert.multipliziert.Beispiel: 3Beispiel: 355 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

b wird b wird BasisBasis genannt. genannt.c wird c wird ExponentExponent genannt.genannt.

Spezialfall: 3Spezialfall: 300 = 1 = 1

Weil wir den Exponenten verändern, schreiben Weil wir den Exponenten verändern, schreiben wir im Folgenden bwir im Folgenden bxx..

Potenz-Potenz-Rechenregeln Rechenregeln s. Formelsammlungs. Formelsammlung



x f(x)

0 f(0) = 1000

+1 1 f(1) = 2000

+1 2 f(2) = 4000

+1 3 f(3) = 8000

+1 4 f(4) =16000

+1 5 f(5) =32000

+1 6 f(6) =64000




x f(x) =

0 f(0) = 1000 = 1000∙20

+1 1 f(1) = 2000 = 1000∙21

+1 2 f(2) = 4000 = 1000∙22

+1 3 f(3) = 8000 = 1000∙23

+1 4 f(4) =16000 = 1000∙24

+1 5 f(5) =32000 = 1000∙25

+1 6 f(6) =64000 = 1000∙26




x f(x) = 1000∙2x

0 f(0) = 1000 = 1000∙20

+1 1 f(1) = 2000 = 1000∙21

+1 2 f(2) = 4000 = 1000∙22

+1 3 f(3) = 8000 = 1000∙23

+1 4 f(4) =16000 = 1000∙24

+1 5 f(5) =32000 = 1000∙25

+1 6 f(6) =64000 = 1000∙26



Vergleich von linearem Vergleich von linearem WachstumWachstum

und exponentiellem Wachstum und exponentiellem Wachstum


Lineares Wachstum: Lineares Wachstum: f(x) = 0,5x + 2 f(x) = 0,5x + 2

+1 +1 +1 +1 +1 +1

x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

+ 0,5

+ 0,5

+ 0,5

+ 0,5

+ 0,5

+ 0,5

Quelle: Schmid, A./ Weidig, I. (1996). Lambacher Schweizer 10. Stuttgart: Klett, S.60



2x

x f(x)

0 f(0)=20=1

+1 1 f(1)=21=2

+1 2 f(2)=22=2∙2=4

+1 3 f(3)=23=2∙2∙2=8

+1 4 f(4)=24=2∙2∙2∙2=16

+1 5 f(5)=25=2∙2∙2∙2∙2=32

+1 6 f(6)=26=2∙2∙2∙2∙2∙2=64

f(x) = 2f(x) = 2xx


Lineares Wachstum: f(x) = 0,5x Lineares Wachstum: f(x) = 0,5x +2+2x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

+ 0,5

+ 0,5

+ 0,5

+ 0,5

+ 0,5

+ 0,5

Exponentielles Wachstum: f(x) = Exponentielles Wachstum: f(x) = 22xxx 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 1 2 4 8 16 32 64

∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2


Exponentielles Wachstum - Exponentielles Wachstum - ExponentialfunktionExponentialfunktion

Unsere Frage war:Unsere Frage war:Wie verändert sich die Anzahl der Wie verändert sich die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit?Zeit?

Die Funktion, die diese Veränderung beschreibt, wird Die Funktion, die diese Veränderung beschreibt, wird deshalb deshalb ExponentialfunktionExponentialfunktion genannt. genannt.

f(x)=bf(x)=bx x b ist die Basis und x der veränderliche Exponent.

Oder rein mathematisch:Oder rein mathematisch:Wie verändert sich der Wert der Wie verändert sich der Wert der Potenz, wenn man den Potenz, wenn man den ExponentenExponenten verändert?verändert?

Natur des Bakterienwachstums:In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor.


Wachstum – Funktionaler ZusammenhangWachstum – Funktionaler Zusammenhang

Die Frage nach der Art des Wachsens führte Die Frage nach der Art des Wachsens führte zur Frage, welche zur Frage, welche Art von FunktionArt von Funktion das das Wachstum adäquat beschreiben kann.Wachstum adäquat beschreiben kann.

„„Die Anzahl der Bakterien wächst exponentiell.“Die Anzahl der Bakterien wächst exponentiell.“Oder:Oder:„Der „Der funktionale Zusammenhangfunktionale Zusammenhang zwischen der Zeit zwischen der Zeit und der Anzahl der Bakterien ist exponentiell.“und der Anzahl der Bakterien ist exponentiell.“

(Zur Erinnerung: (Zur Erinnerung: Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge eines Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge eines Holzstabes und seinem Gewicht ist linear.Holzstabes und seinem Gewicht ist linear.Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge der Seite Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge der Seite eines Quadrates und der Fläche ist quadratisch.)eines Quadrates und der Fläche ist quadratisch.)


Exponentielles Wachstum - Exponentielles Wachstum - ExponentialfunktionExponentialfunktion

In unserem Beispiel gab es zum Zeitpunkt 0In unserem Beispiel gab es zum Zeitpunkt 0(x = 0) bereits 1000 Bakterien.(x = 0) bereits 1000 Bakterien.Deshalb hatte unsere Funktion einen Faktor:Deshalb hatte unsere Funktion einen Faktor:

f(x)=bf(x)=bx x b ist die Basis und x der veränderliche Exponent.

f(x) = 1000 ∙ f(x) = 1000 ∙ 22xx

Allgemein:Allgemein:f(x) = a ∙ bf(x) = a ∙ bxx

a ist der „Startwert“ für x = 0 (im Beispiel 1000),a ist der „Startwert“ für x = 0 (im Beispiel 1000),b ist der Wachstumsfaktor (im Beispiel verdoppeln)b ist der Wachstumsfaktor (im Beispiel verdoppeln)a, b und x sind reell, b > 0, b a, b und x sind reell, b > 0, b ≠ 1 1


Wie viele Bakterien gibt esnach einer halben Stunde?

Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06)

f(1) = 1000 ∙ 21

bezeichnet die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde.

Als Potenz sind auch Brüche zulässig! Also bezeichnetf( ½ ) = 1000 ∙ 2 ½ ≈ 1414

die Anzahl der Bakterien nach einer halben Stunde.

Zurück zu unseren Zurück zu unseren Bakterien:Bakterien:

Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06)

Jetzt sind wir in der Lage, einfache Aufgaben der folgenden Art zu lösen:

Wie groß ist die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde und 15 Minuten? Lösung: Eine Stunde und 15 Minuten ist 1,25 Stunden. Wir setzen t = 1,25 ein und erhalten 2378,41423..., also sind nach 1,25 Stunden etwa 2378 Bakterien vorhanden.

Eine weitere FrageEine weitere Frage

f(x) = 1000 ∙ 2f(x) = 1000 ∙ 2xx

Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06)

Man kann zeigen, dass als Exponent nicht nur rationale Zahlen (also Brüche), sondern alle reellen Zahlen gewählt werden können.

Der Definitionsbereich einer Exponentialfunktion f(x) = bx ist also die Menge der reellen Zahlen.

Erweiterung der ExponentialfunktionErweiterung der Exponentialfunktion

f(x) = 1000 ∙ 2f(x) = 1000 ∙ 2xx


Rückblick

Potenz, Basis, Exponent ax

Exponentialfunktion: f(x) = a ∙ bf(x) = a ∙ bx, x, , wobei a, b, x reell, b > 0, b ≠ 1

Schritte der Modellbildung: V – Ü – R – Z - A

Aufstellen einer Exponentialfunktion (Modellbildung auf Grundlage eines realen Problems)

Beschreiben des Wachstums von BakterienkulturenErweiterung der Exponentialfunktion: Als Exponenten sind alle reellen Zahlen möglich.


Drei Fragen

Was ist eine Potenz, was ist eine Exponentialfunktion?

Worin bestehen Unterschiede zwischen linearem und exponentiellem Wachstum?

Wie errechne ich Bestandszahlen mit Hilfe einer Exponentialfunktion (z. B. Anzahl von Bakterien)?


InternetlinksInternetlinks

http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Bakterienhttp://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Bakterien

Selbstlernmaterial von Thomas Unkelbach unterSelbstlernmaterial von Thomas Unkelbach unterhttp://www.thomas-unkelbach.de/ http://www.thomas-unkelbach.de/


HausaufgabeHausaufgabe

BASICsBASICs

Arbeitsblatt liegt am Ausgang aus.Arbeitsblatt liegt am Ausgang aus.

Göde Klöppner, Christian Westphal, Christoph Hagel 2006Göde Klöppner, Christian Westphal, Christoph Hagel 2006

Documents

Exponentielles Wachstum. Bakterien und exponentielles Wachstum Quellen: Bacillus_subtilis.jpg