Superposition de signaux sinusoïdaux
Exercice 1 : Expérience des fentes d’Young
En 1802, l’expérience des trous d’Young a permis de confirmer la nature ondulatoire de la lumière en réalisant une figure d’interférence lumineuse. Une version moderne de cette expérience consiste à éclairer avec un laser de longueur d’onde 𝜆 deux fentes parallèles distantes de 2𝑎 et de largeur très inférieure à 2𝑎. Sur un écran situé à une distance 𝐷 ≫ 𝑎, on recueille la lumière qui a traversé les fentes.
On fait l’hypothèse que le problème est invariant selon la direction des fentes et on travaille dans le plan 𝑥𝑂𝑦 médiateur de ces dernières. On note 𝑆! et 𝑆! les points des fentes appartenant à ce plan et 𝑂 le milieu de ces points. L’axe 𝑂𝑦 est perpendiculaire au plan contenant les fentes.
On obtient la figure interférentielle ci-‐dessous :
Données : 𝜆 = 633 nm et 𝐷 = 1,20 m.
1) Quel est le phénomène responsable de l’étalement de la lumière à la sortie des fentes ? Estimer l’ordre de grandeur de la largeur 𝑙 des fentes à partir de la figure d’interférence.
2) Pour justifier la présence de franges d’interférence sur l’écran, on assimile les ondes lumineuses émises par les points 𝑆! et 𝑆! à des ondes cylindriques (donc circulaires dans le plan de l’étude) sinusoïdales. Quelle simplification apporte l’hypothèse 𝐷 ≫ 𝑎 ?
3) Qu’observe-‐t-‐on au point central de la figure d’interférences ? On examine maintenant l’intensité lumineuse en un point 𝑀 de l’écran distant d’une quantité 𝑥! du centre de la figure.
4) Exprimer la différence de marche 𝛿 entre les trajets des deux ondes parvenant au point 𝑀. 5) Donner une approximation de cette différence de marche en utilisant la relation :
1 + 𝜀! ≈ 1 +𝜀!
2 si 𝜀 ≪ 1
6) En déduire le déphasage entre les deux ondes au point 𝑀. 7) Préciser le lieu des points correspondant à un maxima d’intensité, puis celui des minima
d’intensité. 8) En utilisant la figure d’interférence, estimer la distance 2𝑎 séparant les deux fentes.
Correction :
1) L’étalement des ondes lumineuses à la sortie des fentes est une manifestation de la diffraction. Puisqu’il y a phénomène de diffraction, cela signifie que la largeur des fentes est supérieure à la longueur d’onde 𝜆 mais inférieure à 100𝜆. Grâce à la figure d’interférences, on peut estimer la largeur d de la tâche de diffraction à environ 2 cm. Cette largeur permet d’évaluer l’ouverture angulaire 𝜃 des faisceaux diffractés selon :
tan 𝜃 =𝑑2𝐷
⇒ 𝜃 = 0,0167 𝑟𝑎𝑑
En reportant dans la loi de la diffraction (vue dans le chapitre O1) :
sin 𝜃 =𝜆𝑙 ⇒ 𝑙 = 37,9 𝜇𝑚
2) Le fait de se placer à grande distance des fentes permet d’assimiler les ondes lumineuses, sphériques en sortie des fentes, à des ondes rectilignes d’intensité uniforme au niveau de l’écran d’observation.
3) Le point 𝑂! est situé à égale distance des deux fentes, qui sont éclairées par la même source. Les phases des deux ondes qui arrivent en 𝑂! sont donc identiques puisqu’elles ont parcourues la même distance. Le déphasage est donc nul en 𝑂!, ce qui correspond à une condition d’interférences constructives : l’intensité est ainsi maximale en 𝑂!.
4) Par définition :
𝛿 = 𝑆!𝑀 − 𝑆!𝑀
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑆!𝑀! = 𝐷! + 𝑥 − 𝑎 !
𝑆!𝑀! = 𝐷! + 𝑥 + 𝑎 !
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝛿 = 𝐷! + 𝑥 + 𝑎 ! − 𝐷! + 𝑥 − 𝑎 !
⇔ 𝛿 = 𝐷 1 +𝑥 + 𝑎 !
𝐷!− 𝐷 1 +
𝑥 − 𝑎 !
𝐷!
5) En utilisant la relation de l’énoncé, on obtient :
𝛿 ≈ 𝐷 1 +𝑥 + 𝑎 !
2𝐷!− 𝐷 1 +
𝑥 − 𝑎 !
2𝐷!
⇔ 𝛿 =𝑥 + 𝑎 !
2𝐷−
𝑥 − 𝑎 !
2𝐷
⇔ 𝛿 =𝑥! + 𝑎! + 2𝑎𝑥
2𝐷−𝑥! + 𝑎! − 2𝑎𝑥
2𝐷
⇔ 𝛿 =4𝑎𝑥2𝐷
⇔ 𝛿 =2𝑎𝑥𝐷
6) Le déphasage entre les deux ondes est lié à la différence de marche par la relation :
∆𝜑 =2𝜋𝛿𝜆 ⇔ ∆𝜑 =
4𝜋𝑎𝑥𝜆𝐷
7) Les maxima d’intensité correspondent aux points pour lesquels les interférences sont constructives sont aux points pour lesquels :
∆𝜑 = 2𝑛𝜋 𝑛 ∈ ℤ ⇔ 𝑥! = 𝑛𝜆𝐷2𝑎
Les minima d’intensité correspondent aux points pour lesquels les interférences sont destructives sont aux points pour lesquels :
∆𝜑 = 2𝑛 + 1 𝜋 𝑛 ∈ ℤ ⇔ 𝑥! = 2𝑛 + 1𝜆𝐷4𝑎
8) Sur la figure, on mesure l’interfrange 𝑖, c’est-‐à-‐dire la distance séparant deux franges brillantes successives. Et on sait d’après la question précédente :
𝑖 = 𝑥!!! − 𝑥! =𝜆𝐷2𝑎
⇔ 2𝑎 =𝜆𝐷𝑖
= 2,5. 10!! 𝑚
Exercice 2 : Gamme diatonique et gamme chromatique
La gamme diatonique est constituée de douze notes dont les fréquences successives présentent le même rapport, selon la relation :
𝑓!!!𝑓!
=𝑓!𝑓!!!
∀𝑛
La treizième note de cette suite présente une fréquence double de celle de la première note et constitue la première note de l’octave immédiatement supérieure. Ainsi, en comptant les touches d’un piano et en partant d’un do, la treizième touche (en incluant le do de départ) est le do de l’octave supérieure. Sur un piano à 7 octaves, le do central correspond à une fréquence de 261,63 Hz.
1) Déterminer le rapport de fréquences entre deux notes successives (par exemple do et do
dièse). 2) En déduire les fréquences des douze notes de la gamme diatonique de l’octave centrale. 3) Dessiner le mode fondamental de la corde jouant le do de l’octave central, puis celui du do à
l’octave supérieure.
Correction :
1) Le rapport de fréquence entre la première note (do grave) et la treizième note (do aigu) vaut 2. Ainsi :
𝑓!"𝑓!
= 2
⇔ 𝑓!𝑓!×𝑓!𝑓!×𝑓!𝑓!×…×
𝑓!"𝑓!"
= 2
Les douze rapports de l’expression précédente étant égaux, on peut écrire :
𝑓!!!𝑓!
!"
= 2
⇔ 𝑓!!!𝑓!
= 2!!" ≈ 1,0595
2) En repartant de l’expression précédente, on peut écrire :
𝑓! =𝑓!𝑓!!!
×𝑓!!!𝑓!!!
×…×𝑓!𝑓!×𝑓!
⇔ 𝑓! =𝑓!!!𝑓!
!
×𝑓!
⇔ 𝑓! = 2!!"×𝑓!
On en déduit donc les fréquences des douze notes de la gamme diatonique :
𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Note Do Do# Ré Ré# Mi Fa Fa# Sol Sol# La La# Si 𝑓 (𝐻𝑧) 261,6 277,2 293,7 311,1 329,6 349,2 370,0 392,0 415,3 440,0 466,2 493,9
3) Les fréquences du do de l’octave central et du do de l’octave supérieur sont dans un rapport de deux. Il en va donc de même des longueurs de corde si celles-‐ci sont faites dans le même matériau et sont soumises à la même tension. Enfin, la note de fréquence la plus élevée (le do aigu donc) est émise par la corde la plus courte :
Exercice 3 : Onde sur une corde tendue
Entre deux murs, on tend une corde de masse 𝑚 = 50 g et de longueur 𝐿 = 3 m. Un dynamomètre permet de mesurer la tension 𝑇 = 200 N qui s’exerce sur la corde. 1) Par analyse dimensionnelle, proposer une expression de la vitesse de propagation 𝑐 des ondes
dans cette corde. Réaliser l’application numérique correspondante. 2) Déterminer les longueurs d’onde des modes propres de cette corde, puis les fréquences
associées. 3) On déforme localement la corde de façon à générer une impulsion. Exprimer la durée
nécessaire pour que celle-‐ci fasse un aller-‐retour sur la corde. Que peut-‐on dire de la fréquence de ces allers-‐retours ?
4) Sur quels paramètres peut-‐on jouer pour modifier la fréquence d’oscillation d’une corde ? Illustrer cette réponse sur l’exemple d’une corde de guitare.
Correction :
1) Précisons tout d’abord les dimensions des grandeurs dans le système international : 𝑚 = 𝑘𝑔 𝐿 = 𝑚
𝑇 = 𝑁 = 𝑘𝑔.𝑚. 𝑠!! Effectuons alors le produit de ces trois grandeurs, en les affectant des exposants respectifs 𝛼,𝛽 et 𝛾 :
𝑚!𝐿!𝑇! = 𝑘𝑔! .𝑚! . 𝑘𝑔.𝑚. 𝑠!! !
⇔ 𝑚!𝐿!𝑇! = 𝑘𝑔!!! .𝑚!!! . 𝑠!!! On veut que cette grandeur soit homogène à une vitesse, soit :
𝑚!𝐿!𝑇! = 𝑐 ⇔ 𝑘𝑔!!! .𝑚!!! . 𝑠!!! = 𝑚. 𝑠!!
On résout le système de trois équations associé :
𝛼 + 𝛾 = 0𝛽 + 𝛾 = 1−2𝛾 = −1
⇔
𝛼 = −12
𝛽 = +12
𝛾 = +12
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑐 =𝐿𝑇𝑚=
𝑇𝜇= 109,5 𝑚. 𝑠!!
où 𝜇 est la masse linéique de la corde.
2) Les modes propres de la corde ont des longueurs qui sont des sous-‐multiples entiers le la longueur d’onde fondamentale 𝜆! = 2𝐿. Les fréquences associées sont donc des multiples entiers de la fréquence fondamentale 𝑓! =
!!!= 18,25 𝐻𝑧.
3) L’impulsion doit effectuer un aller-‐retour sur la corde. Elle doit donc parcourir une distance de 2𝐿 à la vitesse de propagation 𝑣. Cela correspond donc à une durée :
𝑇 =2𝐿𝑐= 54,8 𝑚𝑠
La fréquence des allers retours est donc :
𝑓 =1𝑇= 18,5 𝐻𝑧
Cette fréquence est bien évidemment celle du mode fondamental.
4) Pour modifier la fréquence de l’onde émise par une corde, on peut modifier -‐ soit sa longueur (plus la corde est courte, plus la fréquence est élevée) -‐ soit sa tension (plus la tension est élevée, plus la vitesse de propagation est élevée et donc plus la fréquence est élevée) -‐ soit sa masse linéique (plus la masse linéique est élevée, plus la vitesse de propagation est faible et donc plus la fréquence est faible) = différence entre les cordes de guitare classique (en nylon) et les cordes de guitare électrique (en acier)
Exercice 4 : Modélisation d’un didjeridoo
Le didjeridoo est un instrument à vent utilisé par les aborigènes du nord de l'Australie. En le simplifiant, on peut le représenter comme un tuyau sonore cylindrique de longueur 𝐿, fermé à une extrémité et ouvert à l'autre. Lorsqu'une onde stationnaire s'établit dans un tuyau cylindrique, on observe un nœud (N) de vibration à une extrémité si celle-‐ci est fermée, et un ventre (V) de vibration si cette extrémité est ouverte. On note 𝑐 la célérité du son dans l'air.
1) Exprimer la fréquence 𝑓! du fondamental en fonction de 𝑐 et 𝐿. 2) Quelle devrait être la longueur minimale d’un tuyau ouvert aux deux extrémités (type flûte)
pour donner le même fondamental (aussi appelé note de même hauteur) qu’un didjeridoo ?
On analyse maintenant un son envoyé dans un tuyau AB de longueur 𝐿 = 80 cm par l’intermédiaire d’un haut-‐parleur placé à l’extrémité B du tuyau. Le son émis est sinusoïdal de fréquence 𝑓 = 850 Hz. On déplace un micro à l’intérieur du tube et on mesure les amplitudes suivantes en fonction de la position 𝑑 du micro par rapport à l’extrémité A du tuyau. On obtient le tableau suivant :
𝑑 (cm) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 𝑉 (mV) 0,2 11,3 16 11,4 0,2 11,2 16 11,5 0,15 11,1 16 11,6 0,3 11 16 11,7 0,3
3) Qu’observe-‐t-‐on aux extrémités du tuyau ? 4) Déterminer la célérité du son dans l’air contenu dans le tuyau à la température de l’expérience. 5) Quel est l’harmonique correspondant à ce mode de vibration ? Quelle est la fréquence du mode
fondamental ?
Correction :
1) Par définition, pour une onde stationnaire, la distance entre deux nœuds ou deux ventres consécutifs vaut :
𝑑!!! = 𝑑!!! =𝜆2
et la distance entre un nœud et un ventre consécutif vaut :
𝑑!!! =𝜆4
Le mode fondamental n’étant formé que d’un seul fuseau et, comme l’une des extrémités correspond à un nœud et l’autre extrémité à un ventre, on a nécessairement :
𝐿 =𝜆4
On utilise alors la relation entre la période spatiale de l’onde et sa fréquence :
𝜆 = 𝑐𝑇 =𝑐𝑓 ⇒ 𝑓! =
𝑐4𝐿
2) Si le tuyau est ouvert aux deux extrémités, le mode fondamental est constitué d’un seul fuseau présentant un ventre à chaque extrémité. Pour que ce mode ait exactement la même fréquence que le précédent, il faut aussi qu’il ait la même longueur d’onde. On en déduit donc que le tube doit avoir une longueur :
𝐿! =𝜆2 ⇒ 𝐿 = 2𝐿
3) On constate que les extrémités du tuyau correspondent à des nœuds de vibrations. Elles sont donc
fermées. 4) La distance entre deux nœuds successifs vaut :
𝑑!!! =𝜆2=
𝑐2𝑓
= 20 𝑐𝑚
⇒ 𝑐 = 2𝑓𝑑!!! = 340 𝑚. 𝑠!!
5) Le mode enregistré présente 5 nœuds et 4 ventres de vibration : il s’agit donc de l’harmonique 𝑛 = 4. Cette harmonique correspond à la fréquence :
𝑓! = 850 𝐻𝑧 La fréquence 𝑓! du mode fondamental se déduit alors par :
𝑓! = 𝑛𝑓! ⇒ 𝑓! =𝑓!4= 212 𝐻𝑧