SUPERVISIÓN INTELIGENTE PARA LOS FACTORES MÓVILES DE SUPRESIÓN DE UN ALGORITMO DE CONTROL DINÁMICO MATRICIAL
ALFREDO ANDRÉS GUTIÉRREZ VIVIUS
FUNDACIÓN UNIVERSIDAD DEL NORTE DIVISIÓN DE INGENIERÍAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA MAESTRÍA EN INGENIERÍA MECÁNICA
BARRANQUILLA 2006
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SUPERVISIÓN INTELIGENTE PARA LOS FACTORES MÓVILES DE SUPRESIÓN DE UN ALGORITMO DE CONTROL DINÁMICO MATRICIAL
ALFREDO ANDRÉS GUTIÉRREZ VIVIUS
Tesis de grado presentado como requisito parcial Para optar al título de MAGÍSTER EN INGENIERÍA MECÁNICA
Director: MARCO ENRIQUE SANJUÁN MEJÍA, Ph.D. Director Departamento Ingeniería Mecánica
FUNDACIÓN UNIVERSIDAD DEL NORTE DIVISIÓN DE INGENIERÍAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA MAESTRÍA EN INGENIERÍA MECÁNICA
BARRANQUILLA 2006
3
Aprobado por el profesorado de la División de Ingenierías, al interior del Departamento de Ingeniería Mecánica, en cumplimiento de los requisitos exigidos para otorgar el título de Magíster en Ingeniería Mecánica. ________________________________ Director Departamento ________________________________ Coordinador Maestría ________________________________ Jurado ________________________________ Jurado ________________________________ Corrector
Barranquilla, Abril 25 de 2006
4
Dedicado a la memoria de:
Mi madre, Marlene. Por su recuerdo que
no me canso de evocar en cada instante de mi
vida, por su ausencia, que no dejo de llorar a
pesar de que pasen los años.
Por lo que su ejemplo de vida, de ser
humano, de profesional, y de mujer, ha
significado para mí.
Por ser la luz, de mi vida, y la razón por la
cual sigo buscando ser mejor cada día.
Por el orgullo que quiero sientas en la
eternidad.
Porque este nuevo logro, sea parte de tu
maravillosa presencia en cada paso al andar.
Te amo, con todo el relleno de mi corazón.
5
AGRADECIMIENTOS
Quiero expresar mi agradecimiento a quien ha sido mi mentor, mi guía y ejemplo
profesional, pero sobre todo, a un gran amigo. A MARCO E. SANJUÁN M. Ph. D.,
I.M. Director del Departamento de Ingeniería Mecánica. Su apoyo incondicional
durante todos estos años me ha enseñado el valor de confiar en uno mismo, en
enfrentar las dificultades con mente abierta, en hacer pequeños los problemas
buscando una solución pensando como aquel que lo ideó y a no dejar pasar las
oportunidades por más sacrificios que haya que asumir.
A mi padre ALFREDO J. GUTIÉRREZ R. Arq. Y a mi tía NURY DE LA HOZ R.
Com. Quienes me han acompañado en estos años de vida. Por su paciencia, por
los ejemplos que me han mostrado durante mi corta vida, por su apoyo absoluto, y
por su particular forma de demostrarme su afecto.
A mi hermana KELLY M. GUTIÉRREZ V. Adm. Por todo su amor, cariño, respeto,
y apoyo moral durante mis estudios de maestría. Por acompañarme en cada paso
de la vida, demostrándome su temple, su carácter y su amistad.
A la fuerza que hace posible que todas las cosas sean. Por los contratiempos que
me ha ayudado a sortear, por la energía vital que me ha regalado en cada
momento de mi vida, por la sabiduría que me ha brindado cuando más lo he
6
necesitado, por su infinito afecto que ha permanecido más allá de la muerte y de
mis errores. Porque su presencia nunca me falte, y porque su infinito amor me
permita hacer y aceptar Su voluntad por el tiempo que tenga de vida.
7
CONTENIDO
Pág.
AGRADECIMIENTOS 5
CONTENIDO 7
LISTA DE TABLAS 10
LISTA DE FIGURAS 12
LISTA DE ANEXOS 19
LISTADO DE SIGLAS Y SÍMBOLOS 20
INTRODUCCIÓN 21
1. EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN 25
1.1 IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA 25
1.2 TÍTULO DEL PROBLEMA 27
1.3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 28
1.3.1 Descripción del problema 28
1.3.2 Elementos del problema 29
1.3.3 Formulación del problema 30
2. MARCO TEÓRICO 31
2.1 EL CONCEPTO DEL CONTROL PREDICTIVO BASADO EN MODELOS 31
2.1.1 Principios básicos de funcionamiento 32
2.2 OBTENCIÓN DEL MODELO DE LA RESPUESTA DINÁMICA DEL
PROCESO 35
2.3 FUNCIÓN DE COSTOS Y LEY DE CONTROL 38
2.4 EL ALGORITMO DE CONTROL DINÁMICO MATRICIAL 39
2.4.1 Ley de control 43
8
2.4.2 Ley de control DMC considerando el esfuerzo de control 46
2.4.3 Extensión al caso con varias variables 49
2.5 INTELIGENCIA ARTIFICIAL BASADA EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS
DIFUSOS 51
3. JUSTIFICACIÓN 54
4. FORMULACIÓN DE LA HIPÓTESIS 56
5. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN 57
5.1 OBJETIVO GENERAL 57
5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 57
6. ECUACIONES PARA EL AJUSTE FUERA DE LÍNEA DE LOS
FACTORES MÓVILES DE SUPRESIÓN DEL ALGORITMO DMC 59
6.1 MODELO DE APROXIMACIÓN AL COMPORTAMIENTO DINÁMICO
DEL PROCESO 59
6.2 DISEÑO EXPERIMENTAL 61
6.2.1 Función de costos para el experimento 63
6.3 MODELO DE EJECUCIÓN EXPERIMENTAL 64
6.4 ECUACIONES DE SINTONIZACIÓN 66
6.4.1 Identificación de los factores significativos 66
6.4.2 Formulación de los modelos de ecuaciones de sintonización 69
6.4.3 Optimización de los modelos de ecuaciones de sintonización 71
6.5 ECUACIONES EMPÍRICAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE LOS
FACTORES MÓVILES DE SUPRESIÓN DEL DMC 72
6.6 EVALUACIÓN DEL RENDIMIENTO DINÁMICO DE LAS ECUACIONES
DE SINTONIZACIÓN DMC GUTIÉRREZ-SANJUÁN 76
7. ALGORITMO DE SUPERVISIÓN ESCALONADO PARA LOS
FACTORES MÓVILES DE SUPRESIÓN DEL ALGORITMO DMC 80
7.1 ÍNDICE DE RENDIMIENTO ABSOLUTO MODIFICADO 80
7.2 METODOLOGÍA PARA LA EVALUACIÓN DEL ÍNDICE DE
RENDIMIENTO ABSOLUTO MODIFICADO 82
9
7.3 RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DEL ÍNDICE DE RENDIMIENTO
ABSOLUTO MODIFICADO 83
7.4 DISEÑO DE UN ALGORITMO DE SUPERVISIÓN ESCALONADO 86
8. ALGORITMO DE INFERENCIA DIFUSA PARA LA SUPERVISIÓN
INTELIGENTE DE LOS FACTORES MÓVILES DE SUPRESIÓN DEL
ALGORITMO DMC 89
8.1 DISEÑO DEL ALGORITMO INTELIGENTE DE SUPERVISIÓN 91
8.2 FUNCIONAMIENTO DEL ALGORITMO DE SUPERVISIÓN
INTELIGENTE 93
8.2.1 Mecanismos de protección contra ruido 97
9. EVALUACIÓN DEL RENDIMIENTO DINÁMICO DE LAS ESTRATEGIAS
DE SUPERVISIÓN ESCALONADA E INTELIGENTE 99
9.1 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS MODELOS DE PROCESO 99
9.2 MODELO PARA LA NEUTRALIZACIÓN DE POTENCIAL DE
HIDRÓGENO 102
9.3 MODELO DE UN REACTOR EXOTÉRMICO CONTINUAMENTE
AGITADO 121
9.4 CONCLUSIONES SOBRE LAS PRUEBAS DE RENDIMIENTO 131
10. EVALUACIÓN RENDIMIENTO DINÁMICO DE LA ESTRATEGIA DE
SUPERVISIÓN INTELIGENTE FRENTE A UN ALGORITMO PID 2 × 2
DESACOPLADO 133
10.1 EVALUACIÓN SOBRE EL MODELO A ESCALA PARA LA
NEUTRALIZACIÓN DEL POTENCIAL DE HIDRÓGENO 133
10.2 EVALUACIÓN SOBRE EL MODELO A ESCALA DE UN REACTOR
EXOTÉRMICO CONTINUAMENTE AGITADO 136
10.3 OBSERVACIONES FINALES 141
11. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 143
12. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA 145
10
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 1. Codificación para los diseños experimentales 61
Tabla 2. Niveles por factor para el primer y segundo Diseño Experimental 62
Tabla 3. Resultados optimización de ecuaciones de sintonización, Diseño
Experimental I 74
Tabla 4. Resultados optimización de ecuaciones de sintonización, Diseño
Experimental II 75
Tabla 5. Contraste índices de seguimiento de las estrategias de
sintonización para un modelo lineal de una columna de destilación 79
Tabla 6. Reglas de inferencia difusa para el supervisor de los factores de
supresión del DMC 92
Tabla 7. Contrastes entre los índices de seguimiento de las estrategias de
sintonización, supervisión escalonada y supervisión difusa, para el modelo
de neutralización del potencial de hidrógeno 122
Tabla 8. Contrastes entre los índices de seguimiento de las estrategias de
sintonización, supervisión escalonada y supervisión difusa, para el modelo
de reacción química 132
Tabla 9. Contraste entre los índices de seguimiento de las estrategias
FDMC, DMC básico, y PID desacoplado 142
Tabla 10. Valores de estado estable para el modelo de neutralización del
potencial de hidrógeno 157
Tabla 11. Valores de estado estable para el modelo de un reactor químico
continuamente agitado 161
11
Tabla 12. Análisis de varianza primer factor de supresión, Diseño
Experimental I 182
Tabla 13. Análisis de varianza segundo factor de supresión, Diseño
Experimental II 183
Tabla 14. Análisis de varianza segundo factor de supresión, Diseño
Experimental I 183
Tabla 15. Análisis de varianza primer factor de supresión, Diseño
Experimental II 184
Tabla 16. Factores significativos para cada factor móvil de supresión
considerado 184
12
LISTA DE FIGURAS
Pág.
Figura 1. Diagrama de bloques del proceso 32
Figura 2. Representación de un algoritmo MPC 35
Figura 3. Respuesta dinámica de un proceso de respuesta lenta 36
Figura 4. Diagrama de bloques de un DMC 49
Figura 5. Modelo de un proceso con dos variables de entrada y dos variables
de salida 49
Figura 6. Funciones de pertenencia difusas (a) gausiana, (b) triangular, (c)
sigmoidal, y (d) trapezoidal 52
Figura 7. Modelo de proceso 2 × 2 en lazo abierto 60
Figura 8. Modelo de proceso 2 × 2 en lazo cerrado 64
Figura 9. Estímulo al lazo cerrado para cada Diseño Experimental 65
Figura 10. Curva de probabilidad normal primer factor de supresión, Diseño
Experimental I 67
Figura 11. Curva de probabilidad normal segundo factor de supresión,
Diseño Experimental I 67
Figura 12. Curva de probabilidad normal primer factor de supresión, Diseño
Experimental II 68
Figura 13. Curva de probabilidad normal segundo factor de supresión,
Diseño Experimental II 68
Figura 14. Ejemplos de calificaciones para las respuestas dinámicas de cada
Diseño Experimental 70
13
Figura 15. Diagrama de flujo para la optimización de las ecuaciones de
sintonización propuestas 73
Figura 16. Contrastes entre las diferentes estrategias de sintonización para
controlar el modelo lineal de una columna de destilación agua – metanol 77
Figura 17. Contrastes entre las señales de control generadas por cada
estrategia de sintonización para controlar el modelo lineal de una torre de
destilación 79
Figura 18. Modelo señal pulso para la evaluación del índice de rendimiento
absoluto, y mejor comportamiento dinámico de respuesta a la prueba 81
Figura 19. Comportamiento APIM para el primer lazo principal, Diseño
Experimental I 84
Figura 20. Comportamiento APIM para el segundo lazo principal, Diseño
Experimental I 84
Figura 21. Comportamiento APIM para el primer lazo principal, Diseño
Experimental II 85
Figura 22. Comportamiento APIM para el segundo lazo principal, Diseño
Experimental II 85
Figura 23. Comportamiento factor de amortiguamiento para un cambio en el
set point del primer lazo principal, diseño experimental I 90
Figura 24. Comportamiento factor de amortiguamiento para un cambio en el
set point del segundo lazo principal, diseño experimental I 90
Figura 25. Funciones de pertenencia para las variables lingüísticas de
entrada 91
Figura 26. Funciones de pertenencia para las variables lingüísticas de salida 92
Figura 27. Superficies de respuesta difusa 93
Figura 28. Respuesta dinámica oscilatoria de segundo orden 94
Figura 29. Diagrama de bloques supervisor inteligente 96
Figura 30. Efecto de la variación en los parámetros de escalamiento del
sistema de inferencia difusa para la supervisión del DMC en el rendimiento
dinámico del mismo en lazo cerrado 97
14
Figura 31. Variaciones en la ganancia de estado estable del nivel de pH
respecto a cambios en el fluido básico (a), y respecto a cambios en el fluido
ácido (b) 102
Figura 32. Variaciones en la constante de tiempo del nivel de pH, respecto a
cambios en el fluido básico (a), y respecto a cambios en el fluido ácido (b) 103
Figura 33. Variaciones en el tiempo de retraso para el nivel de pH, respecto
a cambios en el fluido básico (a), y respecto a cambios en el fluido ácido (b) 103
Figura 34. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC
sintonizado con y sin modificaciones a través de las ecuaciones Gutiérrez-
Sanjuán, para cambios en el punto de operación del nivel de pH 104
Figura 35. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC
sintonizado con y sin modificaciones a través de las ecuaciones Gutiérrez-
Sanjuán, para cambios en el punto de operación del nivel de pH y su
incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva 105
Figura 36. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC
sintonizado con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán y empleando un filtro
digital exponencial, para cuando se realizan cambios en el punto de
operación del nivel de pH 106
Figura 37. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC
sintonizado con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán y empleando un filtro
digital exponencial, para cambios en el punto de operación del nivel de pH y
su incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva 107
Figura 38. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC
cuando se emplea una sintonía modificada a través de las ecuaciones
Gutiérrez-Sanjuán, y cuando se emplea un filtro digital exponencial
modificado, para cambios en el punto de operación del nivel de pH 109
Figura 39. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC
cuando se emplea una sintonía modificada a partir de las ecuaciones
Gutiérrez-Sanjuán, y cuando se emplea un filtro digital exponencial
15
modificado, para cambios en el punto de operación del nivel de pH, y su
incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva 110
Figura 40. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC
supervisado de forma escalonada, sintonizado con y sin modificaciones a
través de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, para cambios en el punto de
operación del nivel de pH 111
Figura 41. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC
supervisado de forma escalonada, sintonizado con y sin modificaciones a
través de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, para cambios en el punto de
operación del nivel de pH, y su incidencia en la altura libre de la mezcla
reactiva 112
Figura 42. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC
supervisado de forma escalonada cuando se emplea un filtro digital
exponencial, para variaciones generadas por cambios en el punto de
operación del nivel de pH 113
Figura 43. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC
supervisado de forma escalonada cuando se emplea un filtro digital
exponencial, para variaciones generadas por cambios en el punto de
operación del nivel de pH, y su incidencia en la altura libre de la mezcla
reactiva 114
Figura 44. Contraste entre el rendimiento dinámico de un controlador DMC
supervisado de forma escalonada para cuando se emplea una sintonía
modificada, a través de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, y para cuando se
emplea un filtro digital exponencial modificado, frente a variaciones
generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH 115
Figura 45. Contraste entre el rendimiento dinámico de un controlador DMC
supervisado de forma escalonada para cuando se emplea una sintonía
modificada, a través de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, y para cuando se
emplea un filtro digital exponencial modificado, frente a variaciones
16
generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH, y su
incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva 116
Figura 46. Comportamiento de los factores móviles de supresión para un
DMC supervisado de forma escalonada en el modelo de neutralización de pH 117
Figura 47. Contrastes entre los rendimientos dinámicos de los controladores
DMC, y DMCE con filtros digitales, y FDMC, frente a variaciones generadas
por cambios en el punto de operación del nivel de pH 118
Figura 48. Contrastes entre los rendimientos dinámicos de los controladores
DMC, y DMCE con filtros digitales, y FDMC, frente a variaciones generadas
por cambios en el punto de operación del nivel de pH, y su incidencia en la
altura libre de la mezcla reactiva 119
Figura 49. Contrastes entre los rendimientos dinámicos de los controladores
DMC y DMCE con sintonía modificada, y el controlador FDMC, frente a
variaciones generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH 120
Figura 50. Contrastes entre los rendimientos dinámicos de los controladores
DMC y DMCE con sintonía modificada, y el controlador FDMC, frente a
variaciones generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH,
y su incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva 121
Figura 51. Comportamiento de los factores móviles de supresión de un
FDMC en el modelo de neutralización de pH 122
Figura 52. Variaciones en la ganancia de estado estable en la concentración
de productos, respecto a cambios en el caudal de solvente (a), y respecto a
cambios en el caudal de vapor en el serpentín (b) 123
Figura 53. Variaciones en la constante de tiempo en la concentración de los
productos, respecto a cambios en el caudal de solvente (a), y respecto a
cambios en el caudal de vapor en el serpentín (b) 124
Figura 54. Variaciones en el tiempo de retraso en la concentración de
productos, respecto a cambios en el caudal de solvente (a), y respecto a
cambios en el caudal de vapor en el serpentín (b) 124
17
Figura 55. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC
sintonizado con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán y el DMC supervisado de
forma escalonada, frente a cambios en la concentración de los productos, y
su incidencia en la temperatura de la mezcla reactiva 125
Figura 56. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC
sintonizado con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán y el DMC supervisado de
forma escalonada, frente a cambios en la concentración de los productos 126
Figura 57. Comportamiento de los factores móviles de supresión de un DMC
supervisado de forma escalonada en el modelo de reacción química CSTR 127
Figura 58. Contrastes entre las diferentes propuestas implementadas para la
supervisión difusa de un DMC frente a los cambios en la concentración de los
productos, y su efecto en la temperatura de la mezcla reactiva 128
Figura 59. Contrastes entre las diferentes propuestas implementadas para la
supervisión difusa de un DMC frente a los cambios en la concentración de los
productos 129
Figura 60. Contrastes entre los rendimientos dinámicos del controlador DMC
y DMCE sintonizados de forma modificada, y el controlador FDMC sin filtros
digitales, para cambios sucesivos en la concentración de productos, y su
incidencia en la temperatura de la mezcla reactiva 130
Figura 61. Contrastes entre los rendimientos dinámicos del controlador DMC
y DMCE sintonizados de forma modificada, y el controlador FDMC sin filtros
digitales, para cambios sucesivos en la concentración de productos 131
Figura 62. Comportamiento de los factores móviles de supresión para un
FDMC en el modelo de reacción química CSTR 132
Figura 63. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador FDMC y
del controlador PID desacoplado, frente a variaciones generadas por
cambios en el punto de operación del nivel de pH 134
Figura 64. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador FDMC y
del controlador PID desacoplado, frente a variaciones generadas por
18
cambios en el punto de operación del nivel de pH, y su incidencia en la altura
libre de la mezcla reactiva 135
Figura 65. Contraste entre el esfuerzo de control generado por el controlador
FDMC y por el controlador PID desacoplado, en el modelo a escala para la
neutralización del potencial de hidrógeno 136
Figura 66. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador FDMC y
del controlador PID desacoplado, para cambios en la concentración de los
productos, y su incidencia en la temperatura de la mezcla reactiva 137
Figura 67. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador FDMC y
del controlador PID desacoplado, para cambios en la concentración de los
productos 138
Figura 68. Contraste entre el esfuerzo de control del FDMC y del PID
desacoplado, para el modelo a escala de un reactor químico exotérmico
continuamente agitado 139
Figura 69. Contraste entre el rendimiento dinámico de la estrategia FDMC y
DMC, sintonizadas con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, y la estrategia PID
desacoplada, para cambios en la concentración de los productos 140
Figura 70. Contraste entre el rendimiento dinámico de la estrategia FDMC y
DMC, sintonizadas con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, y la estrategia PID
desacoplada, para cambios en la concentración de los productos, y su
incidencia en la temperatura de la mezcla reactiva 141
Figura 71. Modelo a escala de un reactor para la neutralización del potencial
de hidrógeno 153
Figura 72. Modelo del reactor químico continuamente agitado 159
19
LISTA DE ANEXOS
Pág.
ANEXO 1. MODELO PARA LA NEUTRALIZACIÓN DEL POTENCIAL DE
HIDRÓGENO 152
ANEXO 2. REACTOR QUÍMICO CONTINUAMENTE AGITADO 158
ANEXO 3. ALGORITMO DE SUPERVISIÓN ESCALONADO 162
ANEXO 4. ALGORITMO DE SUPERVISIÓN DIFUSA 167
ANEXO 5. ALGORITMO PARA EL CÁLCULO EN LÍNEA DEL FACTOR DE
AMORTIGUAMIENTO 175
ANEXO 6. TABLAS DE LOS ANÁLISIS DE VARIANZA PARA LOS
DISEÑOS EXPERIMENTALES I Y II 182
20
LISTADO DE SIGLAS Y SÍMBOLOS
FOPDT: Sigla en inglés de función de transferencia de primer orden más tiempo
muerto
DMC: Sigla en inglés de algoritmo de control dinámico matricial
DMCE: Sigla en inglés de algoritmo de control dinámico matricial con supervisor
escalonado
FDMC: Sigla en inglés de algoritmo de control dinámico matricial con supervisor
difuso
MPC: Sigla en inglés de algoritmo de control predictivo basado en modelos
NPH: Sigla en inglés del horizonte de predicción
NCH: Sigla en inglés del horizonte de control
NRCH: Sigla en inglés de horizonte de control no residente
FIS: Sigla en inglés de sistema de inferencia difusa
TS: Siglas en inglés para un motor de inferencia difusa tipo Takagi - Sugeno
Av: Vector de respuesta unitaria
API: Sigla en inglés del índice de rendimiento absoluto
APIM: Sigla en inglés del índice de rendimiento absoluto modificado
: Símbolo para la razón de amortiguamiento
21
INTRODUCCIÓN
Controlar de forma autónoma el comportamiento dinámico de un proceso,
reduciendo la cantidad de esfuerzo humano requerido en el ejercicio, ha sido el
objetivo primario para investigar y desarrollar múltiples estrategias de control
automático.
En la misma proporción que el mercado ha evolucionado en un consumidor más
exigente y preocupado por el medio ambiente, las estrategias de control han
procurado mejorar su rendimiento y comportamiento dinámico en lazo cerrado.
Es así como (a) la necesidad de adaptarse a las cambiantes condiciones de
operación, bien a causa de la flexibilidad requerida para procesar materias primas
con características diferentes en los mismos equipos de planta, como a las
características propias del proceso; (b) la necesidad de mejorar el consumo de
energía, haciendo uso racional de la misma en el ejercicio productivo; (c) la
necesidad de minimizar costos de producción optimizando el consumo de materia
prima, sin lesionar la calidad del producto final; se han convertido en parte de los
nuevos objetivos del control automático de procesos [2, 13].
La nueva tarea de los algoritmos modernos de control consiste entonces en
manipular alguna de las variables de entrada al proceso, para sostener una
condición de operación, satisfaciendo criterios comerciales cambiantes, en
22
presencia de los efectos generados por los cambios en las características del
proceso [2].
Como solución a estos retos se han diseñado diferentes algoritmos de control,
algunos basados en la predicción del comportamiento dinámico del proceso a
partir de un modelo lineal del mismo, otros basados en la teoría de conjuntos
difusos, y algunos otros diseñados para compensar por los efectos de los retardos,
entre muchas opciones ampliamente difundidas y discutidas en el ambiente
académico e industrial.
Estas tres estrategias mencionadas, dentro del universo de posibilidades
disponibles, dada su alta viabilidad de implementación física en ambientes
industriales agresivos, han terminado convirtiéndose en parte de las estrategias de
mayor expectativa y aceptación industrial [38], siendo los algoritmos de control
predictivo basados en modelos (MPC) los de mayor impacto e índice de inserción
tanto en la industria química, petroquímica, automotriz, de alimentos,
farmacológica, y metalúrgica [19].
Los algoritmos MPC basan su funcionamiento en la predicción de las señales de
control que se requerirán para optimizar el comportamiento futuro del proceso en
lazo cerrado [19]. Para lograrlo, dentro del algoritmo, se requiere de un modelo
explícito del proceso que recoja toda la dinámica inherente al mismo [2]. Este
modelo puede obtenerse a partir de la respuesta dinámica del proceso en lazo
abierto al ser estimulado en su entrada, bien con un impulso unitario o bien con un
paso escalón.
23
Sin embargo, la predicción de las señales de control requeridas implican el uso de
una función de costos y de todo un conjunto de restricciones a través de las cuales
se pueda plasmar matemáticamente los nuevos objetivos de control ya
mencionados, y así optimizar efectivamente el comportamiento futuro del proceso.
Por otra parte, los procesos continuos o por lotes propios de la industria química y
petroquímica son de naturaleza no lineal, y en algunos casos, altamente no lineal.
Pretender monitorear y controlar estos procesos con una estrategia lineal como el
MPC, podría significar un bajo rendimiento dinámico en lazo cerrado para ciertos
sectores del espectro de funcionamiento del proceso controlado [16].
Como respuesta a esta realidad se han desarrollado métodos para aumentar la
robustez de los algoritmos MPC, siendo el presente documento una recopilación
breve de los procedimientos, resultados, y pruebas de rendimiento de una
propuesta basada en la teoría de conjuntos difusos con un objetivo claro:
aumentar la robustez de un algoritmo MPC conocido como el algoritmo de control
de matriz dinámica (DMC), frente a las no linealidades inherentes al proceso
controlado, a través de una estrategia simple y que requiera de una mínima
cantidad de cálculos para su implementación y ejecución en línea.
En el capítulo uno se plantea el problema de la investigación. En el capítulo dos
se plantean los objetivos de la investigación y en el capítulo tres se presenta una
breve revisión al estado del arte y al marco teórico de los algoritmos MPC. En el
capítulo cuatro y cinco se presentan los antecedentes, la justificación, y las
hipótesis que sustenta la presente investigación.
24
En el capítulo seis se exponen los procedimientos para la obtención de un
conjunto de ecuaciones de sintonización para los factores móviles de supresión de
un algoritmo DMC.
En el capítulo siete y ocho se exponen los lineamientos de diseño de un par de
estrategias de supervisión inteligente para los factores móviles de supresión
asociados al controlador DMC.
Finalmente en el capítulo nueve se exponen un conjunto de pruebas de
rendimiento en dos modelos de procesos industriales ampliamente documentados
en la bibliografía, que sirvan para validar las propuestas de supervisión antes
expuestas. En el capítulo diez se registran las conclusiones y recomendaciones
finales que se desprendieron de la investigación.
25
1. EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN
A través del presente capítulo se realiza una identificación completa del problema
que motiva la investigación.
1.1 IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA
Según Huang, et al. : “un sistema altamente no lineal controlado por un
controlador predictivo basado en modelos lineales (MPC) podría no exhibir un
rendimiento dinámico satisfactorio”1.
Esto pues, a pesar de que los algoritmos de control predictivo utilizan la respuesta
dinámica del proceso a un estímulo conocido para predecir tanto el
comportamiento futuro de éste como el valor de las señales de control requeridas
para optimizar su comportamiento en lazo cerrado, no es posible que esta
respuesta encierre simultáneamente, además de la dinámica del proceso, las
características no lineales inherentes al mismo.
Cualquiera que sea la respuesta del proceso, a lo sumo recogerá un modelo de
aproximación lineal al comportamiento dinámico del mismo válido para una
vecindad alrededor del punto sobre el cual se desarrolló el estímulo aplicado.
1 HUANG, L. Y. et al. Fuzzy model predictive control. En: IEEE Transactions on Fuzzy Systems.
Vol. 8, No. 6 (December 2000), p. 665.
26
Para mejorar la robustez del algoritmo de control de matriz dinámica (DMC) frente
a las no linealidades propias del proceso, las investigaciones se han orientado a
diseñar estrategias inteligentes para determinar en línea una nueva versión de la
respuesta dinámica del proceso alrededor del punto actual de operación.
Algunas de estas estrategias emplean funciones no lineales de aproximación al
modelo del proceso a través de motores de inferencia difusa Takagi – Sugeno
[16]. Otras estrategias se han orientado al uso de criterios de optimización
cuadrática empleando redes neuronales [26].
Aufderheide (2003) propone en su artículo un mecanismo de adaptación basado
en dos perspectivas, una orientada a crear una base de datos donde se
almacenan matrices dinámicas obtenidas en diferentes puntos de operación del
proceso; la segunda se orienta a un banco mínimo de datos con identificaciones
FOPDT del proceso. La selección en cada caso se ejecuta con un algoritmo
Bayesiano recursivo.
Keming (1997) plantea un cambio en el mecanismo de cálculo de las futuras
acciones de control. El método se orienta a emplear un modelo no lineal diseñado
a través de un motor de inferencia TS a manera de modelo de la respuesta
dinámica del proceso cuyos parámetros fueron obtenidos a través de un motor de
inferencia difusa basado en redes neuronales.
Townsend (1998) propone emplear una red de modelos locales obtenidos a partir
de una estructura auto-regresiva con entradas externas (ARX). La estructura
asegura robustez sobre el modelo de proceso empleado, que para su publicación
27
fue un modelo de neutralización de pH. Empero, esto significaría que no es una
aplicación escalable.
Marusak (2003) propone un controlador de matriz dinámica que en cada instante
de tiempo para el cual se ejecute el algoritmo se calcule un modelo de
aproximación a la dinámica del proceso. Este procedimiento es ejecutado a través
de un motor de inferencia difusa TS, y luego de obtenido el modelo entonces el
algoritmo de matriz dinámica se ejecuta de forma tradicional.
A pesar de todos estos esfuerzos, es claro, y afirmado abiertamente en cada
investigación, que la limitante en las soluciones propuestas es la alta carga
computacional requerida para implementar la estrategia, lo que se traduce en el
requerimiento de recursos físicos con mayor capacidad de cálculo. A la final,
todas estas imposiciones se traducen en una disminución sustancial de la
capacidad de implementación de la propuesta, a causa tanto de los costos a
sufragar, como del conocimiento requerido para el mantenimiento de la estrategia.
Esto sin contar la posible disminución en su expectativa industrial a futuro.
1.2 TÍTULO DEL PROBLEMA
¿Cómo podría mejorarse el rendimiento dinámico en lazo cerrado de un algoritmo
de control DMC en procesos altamente no lineales, de forma sencilla,
disminuyendo la cantidad de cálculos necesarios para ejecutar la tarea?
28
1.3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.3.1 Descripción del problema. Una interesante propuesta fue planteada por
Cooper [11] basada en el concepto de múltiples capacidades conectadas en
cascada. Este concepto plantea la posibilidad de aproximarse a un
comportamiento dinámico no lineal a partir de la combinación lineal de
comportamientos dinámicos lineales. Es así como se diseñó una estrategia para
mejorar la robustez del algoritmo DMC frente a las no linealidades de un proceso,
sin modificar o recalcular en línea una nueva versión de la respuesta dinámica del
proceso a controlar.
El diseño tomó como punto de partida la adecuada sintonización de los factores
móviles de supresión del algoritmo DMC; esto se logró, a través de una ecuación
de sintonización que requiere como información de cálculo la identificación de la
respuesta dinámica del proceso aproximada a un modelo de primer orden más
tiempo muerto (FOPDT).
El buen ajuste de los factores móviles de supresión surte un impacto significativo
en la agresividad y estabilidad del algoritmo DMC, y en la viabilidad de ejecución
de la ley de control asociada al mismo [10]. Cabe anotar que dentro de la
documentación revisada por la presente investigación, las propuestas o métodos
para el ajuste de estos factores de supresión es bastante reducida; de hecho, en
la mayoría de las propuestas de algoritmos de adaptación, no se hace referencia
al procedimiento de ajuste inicial a estos factores, y solo una propuesta [10]
presentó un planteamiento claro para la sintonización de estos factores.
29
Con el algoritmo DMC adecuadamente sintonizado en sus factores móviles de
supresión, la propuesta procura mejorar el rendimiento de la estrategia de control
empleando de forma simultánea al menos tres controladores DMC similares en
todo concepto. Cada uno de ellos posee un modelo distinto de la respuesta
dinámica del proceso controlado, cada una de ellas obtenida alrededor de uno de
tres puntos distintos posibles dentro del espectro donde es factible controlar el
proceso.
Finalmente, cada una de estas salidas es llevada a un bloque de cálculo y
ponderación donde, a partir del concepto de múltiples capacidades conectadas en
cascada, se genera una única señal de control que se envía al proceso. A pesar
de que la cantidad de cálculos requeridos es exactamente el mismo por cada
controlador, también es cierto que si se quiere mejorar el rendimiento de la
propuesta y sus resultados, habría la necesidad de emplear más controladores
DMC simultáneamente, lo que elevaría los requerimientos de cálculo por cada
instante de tiempo en el que se ejecute la estrategia.
1.3.2 Elementos del problema. Estos son:
Amplia aceptación del algoritmo DMC.
El algoritmo DMC es vulnerable a las no linealidades inherentes a un
proceso.
Los factores móviles de supresión del algoritmo DMC regulan el esfuerzo
de control y la estabilidad del lazo.
El modelo de la respuesta dinámica del proceso empleado por el algoritmo
DMC no recoge las no linealidades inherentes al mismo.
30
1.3.3 Formulación del problema. ¿Es posible desarrollar una estrategia para
mejorar el comportamiento dinámico en lazo cerrado de un algoritmo DMC, de
forma sencilla, sin requerir de una alta capacidad del cálculo, y empleando un solo
controlador DMC?
31
2. MARCO TEÓRICO
2.1 EL CONCEPTO DEL CONTROL PREDICTIVO BASADO EN MODELOS
Según Bordóns (2000) un algoritmo de control predictivo basado en modelos
(MPC) ejecuta dos tareas básicas a saber: calcular una secuencia de acciones de
control para optimizar el comportamiento dinámico futuro del proceso, y determinar
el efecto que surte en la salida del mismo la aplicación de la señal de control
calculada.
Para ejecutar estas tareas el algoritmo MPC requiere tanto de una función para la
minimización de costos, que incluya todas aquellas restricciones a las que hubiere
lugar, como de un modelo de la respuesta dinámica del proceso controlado.
Entiéndase por proceso controlado el conjunto cascada del elemento final de
control (EFC), la planta, y el sensor transmisor como el observado en la Figura 1.
Para obtener el modelo de la respuesta dinámica del proceso se requiere resolver
los siguientes interrogantes.
¿Hasta dónde se requiere predecir el comportamiento futuro del proceso? Junto
con el período de muestreo ajustado al MPC, resolver este interrogante define el
concepto del horizonte de predicción (NPH) y la cantidad de muestras que contiene
el modelo de la respuesta dinámica del proceso.
32
Figura 1. Diagrama de bloques del proceso
GV(z) G(z) H(z)
F(z)
[EGU]
VP(z)
[EGU]
M(z)
[%CO]
C(z)
[%TO]Elemento
Final de
Control
Planta Sensor
Transmisor
PROCESO
GP(z)
M(z)
[%CO]
C(z)
[%TO]
¿Cuál es la cantidad de señales de control que se requieren calcular para
completar la secuencia de control? Resolver este interrogante se refiere al
concepto del horizonte de control (NCH).
¿Cuál es el valor del período de muestreo a emplear en la estrategia? Dado que
los algoritmos de control MPC son algoritmos discretos, regularmente este valor se
ajusta para que sea una décima parte de la mayor constante de tiempo que exhiba
el proceso [13, 45].
2.1.1 Principios básicos de funcionamiento. Con estos interrogantes resueltos,
es posible resumir en cuatro grandes pasos el funcionamiento general de un
algoritmo MPC.
a) A partir del modelo de la respuesta dinámica del proceso, y para cada
instante de tiempo que se ejecute el algoritmo MPC, se predice el
comportamiento futuro de la salida del proceso, para un horizonte de
predicción definido.
33
nknc (2.1)
Interprétese (2.1) como la predicción en el instante de tiempo n, del valor de
la salida del proceso para el instante de tiempo n + k. Todas las variables y
señales en tiempo discreto se expresarán en términos de la variable
independiente encerrada entre corchetes.
b) Se calcula una secuencia de señales de control requeridas para optimizar el
comportamiento futuro de la salida del proceso. Este procedimiento de
optimización se realiza a través de una función de costos que procura el
seguimiento a una trayectoria de referencia. A partir de la solución analítica
de esta función de costos, se genera la ley de control para el algoritmo
MPC implementado y sus restricciones.
La trayectoria de referencia hacia una nueva condición de proceso puede
ser de transición dura, como en el caso de un paso escalón, o de transición
suave, como en el caso de una respuesta de primer o segundo orden.
c) Se toma el valor actual de la señal de control calculada y se desechan las
demás señales de control de la secuencia, procedimiento característico de
los algoritmos MPC de horizonte de control no residente (NRCH).
Interprétese (2.2) como que el valor en el instante de tiempo n de la señal
de control, corresponde con la predicción de la señal de control realizada en
el mismo instante de tiempo n.
34
nnmnm ˆ (2.2)
El objetivo de la metodología NRCH es evitar que los posibles errores en
los que se haya incurrido al calcular el comportamiento futuro de la salida
del proceso a partir de las acciones de control calculadas en éste instante
de tiempo, continúen propagándose en cada futuro instante de tiempo para
el cual se ejecute nuevamente el algoritmo MPC.
d) Se toma el valor actual calculado para la señal de control y se envía al EFC
o al elemento de bajo nivel, como un controlador en modo proporcional
integral derivativo.
Junto con el modelo de la respuesta dinámica del proceso y las salidas del
mismo, se predice el comportamiento dinámico futuro del proceso a lo largo
del horizonte de predicción. Esta predicción se empleará en el siguiente
instante de tiempo en el que se vuelva a ejecutar el algoritmo MPC para
desarrollar nuevamente el ítem 1 de la secuencia.
Cabe anotar que la predicción en mención es completamente nueva, lo que
significa que no habrá dos acciones de control calculadas a partir de la
misma predicción del comportamiento dinámico futuro del proceso.
111 nnmnnm (2.3)
35
En la Figura 2 se tiene una representación gráfica de un algoritmo MPC. El bloque
encargado de ejecutar el proceso de optimización incluye tanto (1) la función de
costos que debe evaluarse en cada instante de tiempo para el que se ejecuta el
algoritmo, como (2) las restricciones a las que deba someterse la acción de
control. Todo esto queda expresado a través de la ley de control del MPC.
Figura 2. Representación de un algoritmo MPC
GOPTIM(z) GP(z)m[n|n]
GPMODELO(z)
c[n]e[n]
ĉ[n+1|n]
r[n]
Por otra parte, el bloque encargado de la predicción del comportamiento dinámico
futuro del proceso incluye tanto (1) la función para el cálculo de la predicción,
como (2) el modelo de la respuesta dinámica del proceso controlado.
2.2 OBTENCIÓN DEL MODELO DE LA RESPUESTA DINÁMICA DEL
PROCESO
Se tomará como ejemplo un proceso de respuesta lenta, que pueda aproximarse a
un modelo FOPDT. Dado un período de muestreo ajustado a una décima parte de
la mayor constante de tiempo que exhiba la respuesta del proceso, el modelo
dinámico de la misma toma su primera muestra a partir del siguiente instante de
muestreo para el cual se produjo el estímulo a la entrada del proceso.
36
Figura 3. Respuesta dinámica de un proceso de respuesta lenta
0
m
c
m
c
cc
mm
c
m
a1 a2 a3a4
a5
a6a7
a8
nm
nc
nAv
a9…
Asumiendo que el estímulo aplicado es de transición dura, el modelo de la
respuesta dinámica del proceso se toma hasta cuando se haya alcanzado entre
cinco y seis veces la constante de tiempo con que fue ajustado el período de
muestreo, o bien hasta el instante de tiempo para el cual se ha alcanzado el 98%
del valor final al que converge la respuesta del proceso a causa del estímulo
aplicado.
Según Sanjuán (1998) a partir del concepto expuesto, el modelo de la respuesta
dinámica del proceso, también conocido como el vector de respuesta unitaria (Av),
37
se obtiene a partir de la división del vector cncnc por la magnitud del paso
escalón aplicado a la entrada del proceso m .
ncm
nAv
1 (2.4)
La cantidad total de muestras de Av, que en este escenario dado el período de
muestreo tendrá entre 47 y 57 muestras, constituyen una relación aritmética entre
el horizonte de predicción (NPH) y el horizonte de control (NCH) definido para el
algoritmo MPC. De hecho, la cantidad de filas del vector columna Av es de NPH –
NCH + 1.
A partir de la correcta obtención de Av, y conocido el estímulo aplicado a la
entrada del proceso, es posible reconstruir la respuesta dinámica del proceso.
PHN
i
i inmacnc1
(2.5)
Donde los ai son las i-ésimas componentes del vector columna Av y donde m[n]
tiene la forma
1nmnmnm (2.6)
38
De esta forma es posible predecir el comportamiento dinámico futuro de la
respuesta del proceso, para una magnitud de paso escalón cualquiera, de la forma
PHN
i
i niknmacnknc1
ˆ (2.7)
Lo que evidencia las propiedades aditiva y de homogeneidad, con las cuales se
fundamenta el concepto del principio de superposición; por ende, representa un
modelo lineal.
2.3 FUNCIÓN DE COSTOS Y LEY DE CONTROL
De acuerdo con Bordóns (2000) la forma general de la función de costos para un
algoritmo MPC es la siguiente.
CHN
j
N
Nj
CH
jnmj
jnwnjncNNNJ
1
2
2
21
1
ˆ,,2
1
(2.8)
N1 y N2 son el valor mínimo y el valor máximo del horizonte de predicción
respectivamente. El intervalo definido por la diferencia entre N2 a N1 es el
horizonte de predicción del algoritmo (NPH). es un factor para penalizar los
errores futuros calculados como la diferencia entre el comportamiento dinámico
39
predicho para la respuesta del proceso (ĉ), y la trayectoria de referencia prevista
(w).
El último término de la función de costos penaliza el esfuerzo de control a través
de un factor móvil de supresión ( ). En algunos algoritmos de control MPC, al
momento de resolver de forma matemática analítica la función de costos,
prescinden de este término, para ser incluido posteriormente a partir de ley de
control [3].
Resolver aplicando procedimientos matemáticos la función de costos (2.8)
significa hallar la forma analítica de la ley de control del algoritmo MPC diseñado;
a través de esta ley de control, se calculan los valores presentes y futuros de la
secuencia de señales de control requeridos para optimizar el comportamiento
futuro de la salida del proceso, minimizando el valor de la función de costo en todo
el horizonte de predicción.
2.4 EL ALGORITMO DE CONTROL DINÁMICO MATRICIAL
El algoritmo de control dinámico matricial (DMC) emplea como modelo de la
respuesta dinámica del proceso aquella que se genera a la salida del mismo
cuando se ha aplicado una señal estímulo paso escalón.
1i
i inmacnc (2.9)
40
La predicción del comportamiento dinámico de la salida del proceso se describe
como sigue.
nkneiknmacnknc m
i
i ˆˆ1
(2.10)
El último término de (2.10) es una perturbación de valor constante y homogéneo
durante todo el horizonte de predicción, y se calcula en cada instante de muestreo
para el cual se ejecuta el algoritmo DMC.
Esta perturbación recibe el nombre de error de modelado, calculado a partir de la
diferencia entre el valor actual medido a la salida del proceso ncMEAS . , y el valor
predicho para la misma en éste instante de tiempo nnc .
nncncnnenkne MEASmm ˆˆˆ (2.11)
Expandiendo el segundo término de (2.10) se tiene.
cnkne
iknmaiknmanknc
m
Ni
i
N
i
i
PH
PH
ˆ
ˆ11
(2.12)
41
El primer término de (2.12) corresponde al efecto que las futuras acciones de
control ejercerán en la predicción del comportamiento dinámico de la respuesta del
proceso; estas acciones de control son las que se quieren calcular a través de la
ley de control.
El segundo término de (2.12) corresponde al efecto que las acciones de control
calculadas en el pasado ejercieron en la predicción del comportamiento dinámico
futuro de la respuesta del proceso; esta información ya se posee pues se calculó
en instantes de tiempo pasados.
Reemplazando (2.11) en (2.12) y aplicando (2.9) se tiene.
cinmanc
iknmaiknmanknc
i
iMEAS
Ni
i
N
i
i
PH
PH
1
11
ˆ
knfiknmankncPHN
i
i
1
ˆ (2.13)
Donde
cncinmaiknmaknf MEAS
i
i
Ni
i
PH 11
42
cncinmaaknf MEAS
i
iki
1
(2.14)
De acuerdo con Bordóns, (2.14) modela la respuesta libre del proceso, aquella
que no depende de las futuras acciones de control calculadas por el algoritmo
DMC en éste instante de tiempo [2]. Al escribir estas predicciones para un
horizonte de predicción PHN y un horizonte de control finito CHN , se tiene.
PH
N
NNi
PHiPH NnfiNnmanNnc
nfnmanmanmannc
nfnmanmannc
nfnmannc
PH
CHPH 1
123
12
1
ˆ
3213ˆ
212ˆ
11ˆ
Organizando estas NPH predicciones de forma matricial se tiene.
FMC Aˆ (2.15)
Donde la matriz A se construye a partir del vector Av, apropiadamente desplazado
hacia abajo en cada columna de A [2], para facilitar la predicción del efecto de la
43
acción de control nknm en la salida del proceso. Esta matriz se denomina
matriz dinámica.
CHPHCHPHPHPHPH
CHCHCH
NNNNNNN
NNN
aaaa
aaaa
aaa
aa
a
A
,121
121
123
12
1
0
00
000
(2.16)
La matriz M contiene las señales de control calculadas a través de la ley de
control DMC.
1,1
2
1
CHNCH nNnm
nnm
nnm
nnm
M
(2.17)
2.4.1 Ley de control. Considerando el caso más sencillo, aquel que no considera
el esfuerzo de control, la función de costos del algoritmo DMC tiene la forma.
44
PHN
j
jnwnjncJ1
2
ˆ (2.18)
Dada una trayectoria de referencia (w) de transición dura y una predicción (ĉ)
obtenida a partir de una matriz dinámica construida a partir de un vector Av, la
solución de (2.18) se convierte en un problema de mínimos cuadrados sobre los
residuos calculados a lo largo del horizonte de predicción como la diferencia entre
la predicción y la trayectoria de referencia.
En un algoritmo DMC la trayectoria de referencia se calcula a partir de la
diferencia entre el valor de referencia ajustado para la variable controlada (cSET[n]),
de su expresión en inglés el set point, y el valor predicho para la salida del
proceso.
ncncnenw SETˆ (2.19)
Este vector contiene un mismo valor constante y homogéneo a lo largo del
horizonte de predicción. Si se expresan los residuos matricialmente se tiene.
e-mE-CR Aˆ (2.20)
Resolver la función de costos a partir de (2.20) se convierte en hallar la solución
de un procedimiento de máximos y mínimos.
45
02RR
MR
M
T
d
d
d
d (2.21)
Esto es como sigue.
EEEMMM
EEMEEMMM
E-MEM
E-ME-MRR
TTT
TTTT
TT
TT
AAA
AAAA
AA
AA
2
Reemplazando este resultado en (2.21) se tiene.
EM
EM
EEEMMMm
RRm
TT
TT
TTTT
AAA
AAA
AAAd
d
d
d
022
2
Si el producto matricial ATA es invertible, la ley de control del algoritmo DMC tiene
la forma.
EMTT AAA
1
(2.22)
46
Que también puede expresarse como sigue. La matriz KIP suele denominarse
matriz de ganancias dinámicas.
EKM IP (2.23)
TT
IP AAA1
K (2.24)
2.4.2 Ley de control DMC considerando el esfuerzo de control. Considerando el
esfuerzo de control, la función de costos se escribe como sigue.
CHPH N
j
N
j
jnmjjnwnjncJ1
2
1
21ˆ (2.24)
El sistema de ecuaciones descrito por (2.15) posee NPH ecuaciones con NCH
incógnitas. Dado que NPH > NCH el sistema puede poseer infinitas soluciones, o no
posee solución, lo que puede aprovecharse para agregar NCH ecuaciones que
regulen el esfuerzo de control y hagan viable su solución.
Si bien es cierto que las NCH ecuaciones adicionadas no afectan mayormente el
procedimiento para la solución del sistema de ecuaciones descrito en (2.15), si es
cierto que puede afectar el condicionamiento de la matriz dinámica, haciéndola
más o menos positiva definida [36]. Esto a la final repercutirá en el cálculo de
(2.24), ya que de quedar una matriz dinámica mal condicionada, el cálculo de
47
(2.24) no sería posible. Al agregar estas NCH ecuaciones a la matriz dinámica esta
queda de la forma.
CHCHPHCHCH
CHPH
NNNNN
NN
s
I
A
A
,,
,
(2.25)
CHCH NN
I
,100
010
001
(2.26)
Al introducir (2.25) en (2.22) se tiene.
SEM
T
SS
T
S AAA1
(2.27)
1,1,
1,
CHPHCH
PH
NNN
N
s
Z
E
E
(2.28)
1,0
0
CHN
Z
(2.29)
48
Desarrollando (2.27) se tiene.
1,
1
,,
1
,
,
,,
|
|
CH
PH
CHCHCHPH
CHCH
CHPH
CHCHCHPH
N
,N
NN
T
NN
NN
T
NN
NN
T
NN
IA
I
A
IA
Z
e
M
EMTT AIAA
12 (2.30)
Que también puede escribirse como sigue.
EKM IPS (2.31)
TT
IPS AIAA12
K (2.32)
La matriz KIPS se denomina la matriz de ganancias de supresión dinámica. En la
Figura 4 se tiene un diagrama de bloques donde se exponen el funcionamiento del
algoritmo DMC. El bloque sGMC corresponde a un bloque de actualización, esto
pues el algoritmo DMC se orienta a predecir señales de control dentro de una
49
secuencia de longitud finita, y ésta se calcula a partir del comportamiento futuro
del proceso, y no del comportamiento presente calculado con anterioridad.
Figura 4. Diagrama de bloques de un DMC M(z)
[%CO]KIP ZOH(s) GP(s)
A z-1
+GMC(z)
R(z)
[%TO]
E(z)
[%TO]
R(s)
[%TO]
M(s)
[%CO]
C(z)
C(s)
[%TO]
Ĉu(z)
em(z)
Ĉpred(z)
Ĉupred(z)
11
1
z
M(z)
[%CO]
+
-
+
-
Inspirado en SMITH, Carlos and CORRIPIO, Armando. (1997). p. 689, Fig. 15-5.1.
2.4.3 Extensión al caso con varias variables. Para el caso con carias variables, y
para la presente investigación un sistema 2 × 2 como el de la Figura 5, por cada
relación entrada a salida se calcula una matriz dinámica a partir de cada vector de
respuesta unitaria.
Figura 5. Modelo de un proceso con dos variables de entrada y dos variables de salida
m1[n]
[%CO]
m2[n]
[%CO]
c1[n]
[%TO]
c2[n]
[%TO]
A11
A12
A21
A22
Inspirado en SMITH, Carlos and CORRIPIO, Armando. (1997). p. 551, Fig. 13-2.1.
50
Con cada una de estas matrices dinámicas se construye una matriz dinámica para
varias variables como se escribió en (2.33). El vector de señales de control y el
vector de residuos tienen la estructura de (2.34) y (2.35) respectivamente.
CHPH NNAA
AA
A
2,22221
1211
|
|
(2.33)
1,22
1
CHNM
M
M
(2.34)
1,22
1
PHNE
E
E
(2.35)
A pesar de que se manejen dos o más variables de entrada y dos o más variables
de salida, las leyes de control (2.22) y (2.30) se aplican de la misma forma como
para el caso con una sola variable de entrada y de salida.
Para el caso de varias variables se debe prestar especial atención a la
construcción de la matriz que hace referencia a los esfuerzo de control, ya que a
cada lazo controlado se le asocia un factor de supresión único e independiente del
otro.
51
CHCH NNI
I
2,22
1 |
|Z
------
Z
I
(2.36)
2.5 INTELIGENCIA ARTIFICIAL BASADA EN LA TEORÍA DE CONJUNTOS
DIFUSOS
La inteligencia artificial simbólica resuelve un problema expresando el
conocimiento humano experto requerido para la tarea a través de un conjunto de
reglas del tipo “si,…, entonces…” articuladas de forma lógica [43].
Los algoritmos basados en la teoría de los conjuntos difusos son el ejemplo de
estos esquemas de inteligencia artificial simbólica. Se requiere de un algoritmo
que convierta un valor real no difuso, que en adelante se denominará como un
valor concreto, en un valor difuso y que lo entregue al motor de inferencia que bien
puede ser del tipo Takagi Sugeno o del tipo Mamdani. Una vez se han evaluado
las reglas contenidas en el motor de inferencia, el resultado se lleva a un algoritmo
que se encarga de convertir el valor difuso recibido en un valor concreto.
Los algoritmos de conversión concreta a difusa y viceversa se apoyan en la teoría
de conjuntos difusos, la cual afirma que la función de pertenencia a través de la
cual se evalúa el grado con que un elemento cualquier se identifica con el
concepto enunciado por el conjunto difuso, es de transición suave, lo que permite
afirmar que los límites de un conjunto difuso son “borrosos”, y la pertenencia al
mismo no puede valuarse de forma absoluta, sino parcial, o relativa. Ejemplos de
52
conjuntos difusos representados a través de una función de pertenencia se
observan en la Figura 6.
Figura 6. Funciones de pertenencia difusas (a) gausiana, (b) triangular, (c) sigmoidal, y (d) trapezoidal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
gaussmf, P=[2 5]
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
trimf, P=[3 6 8]
(b)
(c)
(d)
Los algoritmos de conversión concreta a difusa y viceversa son parte fundamental
de los motores de inferencia difusa. Estos motores toman los valores concretos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sigmf, P=[2 4]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
trapmf, P=[1 5 7 8]
53
convertidos a valores difusos y se emplean para determinar que reglas se han
activado dentro de la base de inferencia difusa.
En esta base de datos se almacenan las reglas de inferencia que determinan que
conjunto difuso de la variable lingüística de salida debe activarse a partir de la
detección de los conjuntos difusos activos para cada variable lingüística de
entrada.
Una vez se han detectado los conjuntos difusos de salida activos, se puede
generar un valor concreto de salida al agregar los conjuntos difusos activos y
estimar un valor concreto que represente adecuadamente las reglas activas.
Estos métodos de conversión difusa a concreto pueden ser de máximos y
mínimos, o de centros de masa.
54
3. JUSTIFICACIÓN
Para adaptar al algoritmo DMC frente a las características no lineales del proceso
controlado, se han diseñado estrategias para la obtención en línea de una
respuesta dinámica del proceso controlado en cada instante de tiempo para el cual
se pone en funcionamiento el algoritmo.
La obtención de este nuevo modelo de respuesta dinámica siempre se obtiene
alrededor del punto actual de operación, y para ello se han empleado motores de
inferencia difusa del tipo Takagi-Sugeno, redes neuronales, algoritmos de
optimización cuadrática, y mezclas de motores de inferencia Takagi-Sugeno con
redes neuronales [1, 10, 20, 24, 39]. Cada uno de ellos con una carga
computacional significativamente alta.
Para reducir la carga computacional, pero aun con miras a la obtención de un
mejor modelo de la respuesta dinámica del proceso, se tienen propuestas de
obtención de modelos lineales aproximados a un modelo no lineal real, tablas de
búsqueda a partir de la ganancia de estado estable y de la constante de tiempo
del proceso, junto con modelos para cada punto significativo dentro del espectro
dinámico del proceso [10]. En cada caso no es claro el procedimiento para la
sintonización inicial de los factores de supresión del DMC.
55
Aun cuando esta investigación posee similitudes generales con el trabajo de
Dougherty et al. [11], existen diferencias importantes. Dougherty analizó el núcleo
del algoritmo DMC, en específico el impacto del factor móvil de supresión en el
rendimiento dinámico de la estrategia, desarrollando una estructura analítica que
considere todos los factores posibles para el ajuste a los factores de supresión.
La presente investigación pretende realizar una aproximación empírica al proceso
de sintonización, basado en el ensayo y error, empleando restricciones a los
valores límites que se le pueden asignar a los factores móviles de supresión
durante el ejercicio experimental.
Como mecanismo de adaptación no se pretende diseñar un dispositivo que
pondere las señales de control entregadas por un núcleo finito de controladores
DMC; sino, emplear un mecanismo de supervisión inteligente que a partir de las
condiciones dinámicas del ejercicio de control, estimadas a través de la respuesta
del proceso, reajuste en línea los valores de los factores móviles de supresión del
algoritmo DMC.
En conclusión, es una investigación que se orienta a un objetivo común: mejorar el
rendimiento en lazo cerrado de un DMC frente a las no linealidades propias de un
proceso controlado. Para ello se emplea un enfoque innovador que (a) se
preocupa por supervisar el comportamiento del DMC en cada instante de tiempo
para el cual se ejecuta el algoritmo, (b) a partir de los resultados de la supervisión
reajusta en línea el valor de cada factor de supresión buscando mejorar el
rendimiento dinámico global del sistema en lazo cerrado, y (c) no recalcula en
línea una nueva versión de la respuesta dinámica del proceso.
56
4. FORMULACIÓN DE LA HIPÓTESIS
Es posible adaptar un algoritmo de control dinámico matricial (DMC) frente a los
efectos de las no linealidades del proceso controlado, a partir del ajuste en línea
de los factores móviles de supresión del algoritmo de control, ofreciendo un mejor
rendimiento frente al que se puede obtener por la sintonización empírica de estos
factores de supresión.
57
5. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
5.1 OBJETIVO GENERAL
Desarrollar un algoritmo de supervisión inteligente, basado en la teoría de
conjuntos difusos, para el ajuste en línea de los factores móviles de supresión de
un algoritmo de control de matriz dinámica de dimensiones 2 × 2.
5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Obtener y someter a prueba un conjunto de ecuaciones empíricas para el ajuste
fuera de línea de los factores móviles de supresión de un algoritmo de control de
matriz dinámica, para dos variables controladas y dos variables manipuladas, a
través de la identificación de la respuesta dinámica del proceso como un modelo
de primer orden más tiempo muerto.
Desarrollar y someter a prueba un algoritmo de supervisión escalonado para el
ajuste en línea de los factores móviles de supresión de un algoritmo de control de
matriz dinámica de dimensiones 2 × 2.
Evaluar el rendimiento del algoritmo de control de matriz dinámica de dimensión 2
× 2 con el rendimiento del algoritmo de control de matriz dinámica supervisado de
forma inteligente por un motor de inferencia difusa en un modelo no lineal.
58
Evaluar el rendimiento del algoritmo de control de matriz dinámica supervisado de
forma inteligente por un motor de inferencia difusa de dimensión 2 × 2, con un
algoritmo de control proporcional integral derivativa desacoplada y de dimensión 2
× 2 en un modelo no lineal.
59
6. ECUACIONES PARA EL AJUSTE FUERA DE LÍNEA DE LOS FACTORES
MÓVILES DE SUPRESIÓN DEL ALGORITMO DMC
En este capítulo se presentan los elementos, procedimientos y resultados a partir
de los cuales ésta investigación entrega un conjunto de ecuaciones empíricas para
la sintonización de los factores de supresión del algoritmo DMC multivariable. Se
exponen los criterios de ajuste y selección así como una primera prueba de
funcionamiento sobre modelos lineales de procesos 2 × 2.
6.1 MODELO DE APROXIMACIÓN AL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DEL
PROCESO
Se seleccionó un modelo de proceso de dos variables manipuladas de entrada y
dos variables controladas de salida, también conocido como proceso 2 × 2, con
interacciones entre los lazos, como el que se observa en la Figura 7.
La dinámica de las variables controladas, frente a un estímulo tipo paso escalón a
la entrada del proceso, se asumió de respuesta lenta y que se pudiere aproximar a
un modelo FOPDT. Esto se justifica en dos aspectos. Dentro del universo de
comportamientos dinámicos de variables controladas, una de respuesta lenta es la
más característica y, porque existe una amplia documentación para la
identificación y aproximación de el comportamiento dinámico de la respuesta del
proceso a un modelo FOPDT.
60
Figura 7. Modelo de proceso 2 × 2 en lazo abierto
m1[n]
[%CO]
m2[n]
[%CO]
c1[n]
[%TO]
c2[n]
[%TO]
G(s)11
G(s)12 G(s)21
G(s)22
Inspirado en SMITH, Carlos and CORRIPIO, Armando. (1997). p. 551, Fig. 13-2.1.
Como criterio de apareamiento e identificación de lazos principales y secundarios
se empleó el criterio de Bristol [32, 38]. La forma de las funciones de transferencia
que se obtuvieron del procedimiento se tiene en (6.1), (6.2), (6.3) y (6.4).
111
1111
1
111
s
eKsG
sM
sCs
(6.1)
112
1212
2
112
s
eKsG
sM
sCs
(6.2)
121
2121
1
221
s
eKsG
sM
sCs
(6.3)
122
2222
2
222
s
eKsG
sM
sCs
(6.4)
61
6.2 DISEÑO EXPERIMENTAL
Se indagó el efecto que los parámetros característicos y sus interacciones de
segundo orden, asociados a cada función de transferencia del modelo de proceso
2 × 2 de la Figura 7, ejercieron sobre el ajuste a ensayo y error de los factores
móviles de supresión del DMC.
Dada la cantidad de parámetros involucrados, se optó por un diseño factorial
fraccionado, de dos niveles por factor y de resolución cinco 4122V . Las palabras
generadoras seleccionadas fueron: I = ABCDJ = BCDEK = CDEFL = DEFGM.
Para determinar los niveles de los factores J, K, L y M, se tomaron las palabras
generadoras así: J = ABCD, K = BCDE, L = CDEF, M = DEFG. La codificación
empleada en el experimento se muestra en la Tabla 1.
Tabla 1. Codificación para los diseños experimentales
Código Factor Código Factor Código Factor
A 11K E 1111 J 11
B 12K F 1212 K 12
C 21K G 2121 L 21
D 22K H 2222 M 22
Bajo este diseño se ejecutaron dos experimentos simultáneamente. Para el
primero solo las ganancias de los lazos secundarios 1221,KK del modelo de
proceso 2 × 2 cambian de signo, mientras que las ganancias de los lazos
62
principales 2211,KK permanecen no negativas. En adelante este diseño se
identificará como Diseño Experimental I.
Tabla 2. Niveles por factor para el primer y segundo Diseño Experimental
Diseño Experimental I Diseño Experimental II
Factor Nivel Bajo Nivel Alto Factor Nivel Bajo Nivel Alto
A 1.5 5.5 A -1.5 5.5
B -0.8 1.2 B 0.8 1.2
C -0.8 1.2 C 0.8 1.2
D 1.5 5.5 D -1.5 5.5
E 0.2 1.0 E 0.2 1.0
F 0.5 1.5 F 0.5 1.5
G 0.5 1.5 G 0.5 1.5
H 1.2 2.0 H 1.2 2.0
J 1.5 4.5 J 1.5 4.5
K 1.5 4.5 K 1.5 4.5
L 1.5 4.5 L 1.5 4.5
M 1.5 4.5 M 1.5 4.5
Para el segundo diseño solo las ganancias de los lazos principales cambian de
signo, mientras que las ganancias de los lazos secundarios permanecen no
negativas. En adelante este diseño se identificará como Diseño Experimental II.
Para evitar que al generarse las combinaciones del diseño 4122V se afectase el
correcto apareamiento e identificación de lazos principales y secundarios, se
trazaron niveles por factor para cada experimento a partir de las relaciones (6.5) y
(6.6).
11211 (6.5)
63
5.011 (6.6)
De acuerdo con Bristol, ij es la ganancia relativa que relaciona la i–ésima variable
controlada con la j–ésima variable manipulada [32, 45]. Al desarrollar (6.5) y (6.6)
a partir de lo expuesto en [45], se encontró que para evitar afectar el apareamiento
habría que satisfacer (6.7), mientras que para evitar confundir lazos principales
con secundarios habría que satisfacer (6.8) y (6.9). En la Tabla 2 se muestran los
niveles para el primer y segundo Diseño Experimental.
21122211 KKKK (6.7)
22221111 (6.8)
21211212 (6.9)
6.2.1 Función de costos para el experimento. La función de costos empleada
para evaluar el efecto de los factores experimentales sobre el ajuste de los
factores de supresión se muestra en (6.10).
tt
tt
Exp
dttmdttm
dttedtteJ
0
2
0
1
0
2
0
121. ,
(6.10)
64
Los primeros dos términos en (6.10) corresponden a índices de seguimiento de
cada lazo controlado, mientras que a través de los dos últimos términos se
consideraron los esfuerzos de control ejecutados por cada señal de control,
penalizando a cada uno por un mismo factor que, a partir de trabajos previos [12],
fue ajustado en un valor de ocho.
La minimización restringida de la función de costos, evaluada en cada iteración
por cada combinación de factores en cada Diseño Experimental, sólo le permitió a
los factores móviles de supresión tomar valores desde cero y hasta un valor
máximo de 50.
Figura 8. Modelo de proceso 2 × 2 en lazo cerrado
scSET
1
scSET
2
zcSET
1
zcSET
2 GDMC(z)
zm1
zm2
ZOH(s)
ZOH(s)
sm1
sm2
GP(s)
sc1
sc2
zc1
zc2
6.3 MODELO DE EJECUCIÓN EXPERIMENTAL
Para evaluar la función de costos del experimento se empleó un lazo cerrado
como el de la Figura 8. El ejercicio completo por iteración incluyó dos cambios en
el punto de operación de cada variable controlada de forma consecutiva.
65
Figura 9. Estímulo al lazo cerrado para cada Diseño Experimental
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5040
50
60
70
80
90
Tiempo [min]
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5040
50
60
70
80
90
Tiempo [min]
CSET1
(t)
C1(t)
CSET2
(t)
C2(t)
Primero se ejecutó el cambio en el punto de operación asociado al primer lazo
principal. Al término de este cambio, o cuando se alcanzó una nueva condición de
estado estable, se produjo un cambio en el punto de operación asociado al
segundo lazo principal. El procedimiento se observa en la Figura 9.
La evaluación del índice de seguimiento y de esfuerzo de control, por cada lazo
controlado, se ejecutó a lo largo de todo el horizonte de ejecución de cada
combinación por Diseño Experimental. El período de muestreo en cada iteración
66
fue ajustado a una décima parte de la mayor constante de tiempo que exhibiese el
modelo 2 × 2, en cada combinación, por cada Diseño Experimental 4122V .
6.4 ECUACIONES DE SINTONIZACIÓN
6.4.1 Identificación de los factores significativos. Dado que el objetivo
experimental consistió en detectar aquellos factores que más impactasen el ajuste
experimental de cada factor móvil de supresión del DMC, en cada iteración por
cada experimento ejecutado, buscando minimizar la función de costos (6.10), se
desarrollaron dos procedimientos de análisis de resultados.
El primero de ellos se dedicó a evaluar de forma gráfica el efecto estimado de
cada factor experimental sobre cada factor de supresión, empleando una prueba
de ajuste a una curva de probabilidad normal. Los resultados de esta primera
etapa se observan en las Figuras 10 a 13. El segundo procedimiento consistió en
evaluar el efecto de cada factor experimental a partir de un análisis de varianza,
observando el valor ajustado a cada factor móvil de supresión, frente a los
cambios de nivel de cada factor considerado por cada experimento. El intervalo
de confianza empleado en los análisis de varianza fue del 1%.
A partir de los resultados entregados por estos dos procedimientos se tomaron los
seis factores más significativos para la formulación preliminar de los modelos de
ecuaciones de sintonización. En el Anexo 6 se tienen los resultados del análisis
de varianza en varias tablas con los factores más significativos considerados en la
formulación de las ecuaciones.
67
Figura 10. Curva de probabilidad normal primer factor de supresión, Diseño Experimental I
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0.01
0.02
0.05
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90
0.95
0.98
0.99
Datos
Pro
babili
dad
M
ADH
L
CG
LMDJ
Figura 11. Curva de probabilidad normal segundo factor de supresión, Diseño Experimental I
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0.01
0.02
0.05
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90
0.95
0.98
0.99
Datos
Pro
babili
dad
J
EB
AK
CD
K
BK
EK
AJ
68
Figura 12. Curva de probabilidad normal primer factor de supresión, Diseño Experimental II
-6 -4 -2 0 2 4 6
0.01
0.02
0.05
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90
0.95
0.98
0.99
Datos
Pro
babili
dad
M
H
L
Figura 13. Curva de probabilidad normal segundo factor de supresión, Diseño Experimental II
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
0.01
0.02
0.05
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90
0.95
0.98
0.99
Datos
Pro
babili
dad
E
K
BK
69
6.4.2 Formulación de los modelos de ecuaciones de sintonización. Se formularon
modelos preliminares de ecuaciones para el ajuste fuera de línea de cada factor
móvil de supresión, a partir de los resultados entregados por cada Diseño
Experimental ejecutado.
A pesar de la cantidad de factores significativos detectados, se decidió emplear
sólo aquellos que le concedieran un sentido adimensional a las ecuaciones
planteadas, buscado siempre que las relaciones temporales se vieran anuladas
entre sí para que el factor móvil de supresión no quedase expresado en unidades
del tiempo.
Cada modelo planteado cuenta con un conjunto de coeficientes que fueron
ajustados de forma tal que el comportamiento dinámico en lazo cerrado que se
obtenga de las ecuaciones fuese similar a los mejores comportamientos dinámicos
logrados en cada experimento, procurando un sobre impulso inferior al 20%.
Para identificar los mejores comportamientos fueron evaluadas las 256 muestras
obtenidas por la ejecución de cada Diseño Experimental, calculándose en cada
caso los sobre impulsos generados al tratar de compensar por el cambio en el
punto de operación inducido en cada variable controlada dentro del ejercicio de
control por iteración experimental.
Se calculó la media y la desviación estándar sobre cada conjunto de sobre
impulsos calculados, generándose intervalos de confianza con media y
desviación estándar .
70
Figura 14. Ejemplos de calificaciones para las respuestas dinámicas de cada Diseño Experimental
0 5 10 15 20 25 30 35 4030
35
40
45
50
55
Tiempo (min)
Salid
a S
ensor
(%T
O)
Punto de Operación
Calificación 1
Calificación 2
Calificación 3
0 5 10 15 20 25 30 35 4030
35
40
45
50
55
Tiempo (min)
Salid
a S
ensor
(%T
O)
Punto de Operación
Calificación 4
Calificación 5
Esto siempre y cuando en el conjunto de sobre impulsos generados por el cambio
en el punto de operación inducido al primer lazo principal, se hubiera llegado a
detectar una media 1 y una desviación estándar 1.
71
Se tomó entonces como un primer subconjunto de buenos comportamientos
dinámicos aquel que se hallaba compuesto por las combinaciones experimentales
que ajustaron un comportamiento que exhibió un sobre impulso dentro del rango
definido así: [ 1 – 1, 1 + 1].
Procedimiento similar se siguió para el conjunto de sobre impulsos generados por
el cambio en el punto de operación inducido al segundo lazo principal,
obteniéndose un segundo subconjunto de buenos comportamiento dinámicos.
Como universo de ajuste del conjunto de coeficientes asociados a cada modelo de
ecuación de sintonización, se tomó la intersección entre cada subconjunto de
buenos comportamientos dinámicos, de forma independiente entre cada Diseño
Experimental ejecutado, distinguiéndose un subconjunto para el Diseño
Experimental I, y otro para el Diseño Experimental II.
6.4.3 Optimización de los modelos de ecuaciones de sintonización. Como
procedimiento de ajuste de coeficientes se desarrollo una búsqueda por mínimos
cuadrados que obedeció a la función de costos (6.11)
i
estoptiestoptWSSE wcbaJ2
,,,,, (6.11)
Donde opt fue el valor obtenido en cada iteración por cada Diseño Experimental
ejecutado. Se calculó est a partir de cada modelo de ecuación de sintonización
72
evaluado, empleando un ajuste al ensayo y error de los coeficientes asociados a la
ecuación evaluada (a, b, c,…), minimizando la función de costos (6.11).
Al ejecutar esta minimización restringida se tomaron aquellas combinaciones
derivadas del universo de ajuste seleccionado, calificando cada comportamiento
dinámico a partir de los ejemplos observados en la Figura 14. Sobre este
concepto entonces, iw es un factor de ponderación que resulta del inverso de la
calificación otorgada a la dinámica evaluada. Un diagrama de flujo del
procedimiento de optimización se observa en la Figura 15.
En la Tabla 3 se tiene los resultados del proceso de optimización ejecutado sobre
los modelos de ecuaciones de sintonización para el Diseño Experimental I. En la
Tabla 4 se tienen los resultados del proceso de optimización ejecutado sobre los
modelos de ecuaciones de sintonización para el Diseño Experimental II.
6.5 ECUACIONES EMPÍRICAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE LOS
FACTORES MÓVILES DE SUPRESIÓN DEL DMC
A partir de los resultados consignados en las Tablas 3 y 4, se tomaron como
ecuaciones de sintonización de los factores móviles de supresión del DMC, para
cuando las ganancias de los lazos secundarios cambian de signo, las expresiones
expuestas en (6.12) y (6.13).
73
Figura 15. Diagrama de flujo para la optimización de las ecuaciones de sintonización propuestas
Inicio
Ajustar
condiciones
minimización
restringida
Definir forma
ecuación a
evaluar
Ecuación
Fin
Ecuación
Asignar valor
aleatorio a los
coeficientes de la
ecuación
Tomar cada
combinación Diseño
Experimental y
evaluar la ecuación
Restar valor
predicho ecuación
del valor real
(experimental)
¿WSSE
pequeño?
Regresar
SI
NO
Entregar
coeficientes
ecuaciónPonderar cada
diferencia y
acumular resultado
74
Tabla 3. Resultados optimización de ecuaciones de sintonización, Diseño Experimental I
Factor móvil
de supresión Ecuación
Coeficientes WSSEJ
a b c
1
cb
a22
22
21
21 6.45 -0.198 0.383 938.38
b
a
K
21
2121 0.64 0.001 – 3279.1
b
K
a
21
21
21
-1.28 -0.388 – 3289.1
2
b
a
K
12
1212 0.14 -1.779 – 2112.2
b
K
a
12
12
12
215.94 -14.257 – 2342.6
b
a
K
11
1111 1.44 0.403 – 1549.6
11
11
11
11K
a 6.26 0.529 – 1196.4
cb
a12
12
11
11 6.25 0.354 -0.547 970.39
383.0
22
22
198.0
21
211 45.6tun
(6.12)
547.0
12
12
354.0
11
112 25.6tun
(6.13)
75
Para cuando las ganancias de los lazos principales cambian de signo, como
ecuaciones de sintonización se seleccionaron las expresiones expuestas en (6.14)
y (6.15).
Tabla 4. Resultados optimización de ecuaciones de sintonización, Diseño Experimental II
Factor móvil
de supresión Ecuación
Coeficientes WSSEJ
a b c
1
b
a
K
21
2111 0.80 -0.103 – 304.34
b
K
a
21
21
11
1.29 -1.114 – 1074.5
b
a
K
21
2121 0.17 -0.064 – 239.15
b
K
a
21
21
21
5.51 -0.094 – 267.23
cb
a22
22
21
21 5.69 -0.086 0.173 218.53
2
b
a
K
12
1212 0.23 -0.243 – 92.84
b
K
a
12
12
12
3.97 -0.177 – 165.96
b
a
K
12
1211 1.24 -0.228 – 278.14
b
K
a
12
12
11
0.01 8.194 – 629.98
cb
a12
12
11
11 4.08 -0.078 -0.212 108.98
76
173.0
22
22
086.0
21
211 69.5tun
(6.14)
212.0
12
12
078.0
11
112 08.4tun
(6.15)
6.6 EVALUACIÓN DEL RENDIMIENTO DINÁMICO DE LAS ECUACIONES DE
SINTONIZACIÓN DMC GUTIÉRREZ-SANJUÁN
Se comparó la sintonía que se obtiene de las expresiones (6.12) a (6.15) con
aquella que se pudo obtener al emplear las ecuaciones propuestas por Cooper y
Shridhar (1997).
Para que el contraste resulte más interesante, se tomó el modelo lineal de una
torre de destilación agua – metanol expuesto por Cooper [36]. Para no incurrir en
errores de interpretación se respetó el diseño presentado por Cooper tanto en la
sintonización como en el valor ajustado al período de muestreo del DMC.
Dado que el modelo lineal propuesto no pertenece al universo tratado a través de
los dos diseños experimentales ya comentados, se decidió comparar ambos
esquemas de ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán (GVSM). En ambos casos el diseño
del algoritmo DMC fue el mismo: (1) constante de tiempo ajustada a una décima
parte de la mayor constante de tiempo que exhiba el modelo lineal del proceso, (2)
horizonte de control de cuatro muestras, (3) horizonte de predicción de 60
muestras.
77
Dado que se desconocen las características de estado estable del sensor
transmisor empleado por Cooper en sus simulaciones, todas las curvas se
muestran en unidades generalizadas para la señal de salida del sensor transmisor
[%TO].
Figura 16. Contrastes entre las diferentes estrategias de sintonización para controlar el modelo lineal de una columna de destilación agua – metanol
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10040
50
60
70
80
90
Tiempo [min.]
c1(t
) [%
TO
]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10040
50
60
70
80
90
Tiempo [min.]
c2(t
) [%
TO
]
c1
SET(t)
GVSM IGVSM IICooper Shridhar
c2
SET(t)
GVSM I
GVSM II
Cooper Shridhar
A partir de las curvas de comportamiento dinámico de la Figura 16 se puede
observar que la estrategia DMC sintonizada con las ecuaciones Cooper –
Shridhar, para cuando se produjo el cambio en el punto de operación asociado al
78
segundo lazo principal, exhibió un comportamiento propenso a la inestabilidad y
similar en su dinámica al comportamiento de un controlador en modo PI. Se
observó un sobre impulso cercano al 30%, y un tiempo de estabilización cercano a
los 50 minutos.
La estrategia DMC sintonizada con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán propendió
por un comportamiento dinámico estable con tiempos de asentamiento
sensiblemente menores que los obtenidos con la sintonización Cooper Shridhar.
Se puede anotar que cada conjunto de ecuaciones que se obtuvo reguló un
comportamiento dinámico similar en cada ejercicio de evaluación; éste resultado
se justifica en la homogeneidad del criterio empleado para la obtención de las
mismas.
A pesar de que el modelo lineal identificado para la torre de destilación no
pertenece al universo trazado para la obtención del esquema de sintonización
Gutiérrez-Sanjuán, la estrategia mostró un rendimiento satisfactorio, que no llevo
el lazo cerrado a la inestabilidad, a pesar del escenario impuesto. Se presentó un
sobre impulso cercano al 15% y un tiempo de estabilización que no superó los 30
minutos.
En lo que respecta a la señal de control y a partir de la Figura 17 se puede
observar que la estrategia DMC sintonizada tanto con las ecuaciones Cooper–
Shridhar como con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán generan movimientos
agresivos en las señales de control de cada lazo principal para cuando en éstos se
produce un cambio en el punto de operación. En otro caso, ambas sintonías
procuraron movimientos pausados y con un crecimiento suave.
79
Tabla 5. Contraste índices de seguimiento de las estrategias de sintonización para un modelo lineal de una columna de destilación
Estrategia
de sintonía
IAE1
[%TO × min]
IAE2
[%TO × min]
Gutiérrez-Sanjuán I 186.8 226.09
Gutiérrez-Sanjuán II 208.21 234.24
Cooper Shridhar 317.1 331.54
Figura 17. Contrastes entre las señales de control generadas por cada estrategia de sintonización para controlar el modelo lineal de una torre de destilación
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10048
50
52
54
56
Tiempo [min.]
m1(t
) [%
CO
]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10046
48
50
52
54
Tiempo [min.]
m2(t
) [%
CO
]
GVSM I
GVSM II
Cooper Shridhar
GVSM I
GVSM II
Cooper Shridhar
80
7. ALGORITMO DE SUPERVISIÓN ESCALONADO PARA LOS FACTORES
MÓVILES DE SUPRESIÓN DEL ALGORITMO DMC
7.1 ÍNDICE DE RENDIMIENTO ABSOLUTO MODIFICADO
Para el diseño de un esquema piloto para supervisar los factores móviles de
supresión del DMC se analizó el efecto que en la dinámica de lazo cerrado del
sistema surtió el movimiento de los factores de supresión del DMC.
Como un indicador de este efecto, se tomó el concepto del Índice Absoluto de
Rendimiento (API) expuesto por F. G. Shinskey. API pretende cuantificar que tan
útil es una estrategia de control para un rango conocido, recorrido por los
parámetros característicos del proceso, y por sus condiciones de operación [35].
Dadas las características generadas entregadas por Shinskey para la valoración
del API, ésta investigación realizó modificaciones al procedimiento mencionado de
forma que el concepto se ajustara a los objetivos trazados por la investigación. La
prueba se caracterizó por aplicar un estímulo tipo pulso de amplitud y duración
finitas y conocidas, a manera de señal no periódica, y trazada en la Figura 18.
La duración del pulso ( P) se organizó de forma que resultara de la suma entre
menor retardo exhibido por la iteración evaluada en el modelo de proceso 2 × 2,
81
y tres veces la mayor constante de tiempo exhibido por el mismo modelo de
proceso.
Figura 18. Modelo señal pulso para la evaluación del índice de rendimiento absoluto, y mejor comportamiento dinámico de respuesta a la prueba
ci(t)
ciSET(t)
P P
c
cc
2,1,;min jiijM (7.1)
2,1,;max jiijM (7.2)
MMP 3 (7.3)
Por definición el mejor comportamiento fue aquel que, en el tiempo de duración del
estímulo aplicado, exhibió una trayectoria que se aproximó a una respuesta
FOPDT con retardo definido por (7.1) y constante de tiempo (7.2), convergiendo
absolutamente a la nueva condición de proceso impuesta por el pulso, en el
82
tiempo de duración del mismo. Cuando el estímulo cesó, el comportamiento
dinámico fue el mismo, pero en el sentido de retorno a la condición inicial.
El área bajo la curva del error generado por la mejor trayectoria de respuesta al
estímulo aplicado, tal y como el que se expone en la Figura 18, que incluye el
procedimiento de convergencia a la nueva condición de control y el posterior
retorno a la condición inicial indicada por el punto de operación correspondiente,
se denominó IAEC.
El área bajo la curva del error generada por el ejercicio de control del DMC, como
respuesta al estímulo tipo pulso aplicado a la entrada del lazo cerrado se
denominó IAER. El índice de rendimiento absoluto modificado (APIM) empleado en
la investigación, resulta de la razón entre el IAER y el IAEC, siendo el mejor APIM
aquel que más se acerque a la unidad [35].
7.2 METODOLOGÍA PARA LA EVALUACIÓN DEL ÍNDICE DE RENDIMIENTO
ABSOLUTO MODIFICADO
Se diseñó un experimento para evaluar el impacto que los factores móviles de
supresión del DMC ejercieron sobre el APIM para la estrategia de control evaluada.
A cada factor de supresión se le asignó cinco niveles a saber: 0.1 tun
i , 0.5 tun
i , tun
i ,
1.5 tun
i , y 2 tun
i . Donde tun
i se obtuvo a partir de las ecuaciones (6.12) a (6.15).
El estímulo tipo pulso de la Figura 18 fue aplicado de forma independiente al punto
de operación de cada variable controlada, mientras que el otro punto de operación
83
permanecía constante, en su condición de estado estable, durante toda la
ejecución de la prueba.
Esto es, primero se corrió un experimento para evaluar el impacto de los factores
móviles de supresión sobre el APIM del primer lazo principal, aplicando el estímulo
tipo pulso de la Figura 18 al set point del lazo, mientras que la variable controlada
del segundo lazo principal permanecía constante.
Al término de la ejecución de este experimento se volvió a desarrollar el mismo
procedimiento, pero en esa instancia el estímulo se aplicó sobre el segundo lazo
principal, mientras que la variable controlada del primer lazo principal permanecía
constante.
Como universo de discurso se tomaron los subconjuntos de buenos
comportamientos dinámicos empleados para ajustar los coeficientes asociados a
las ecuaciones de sintonización Gutiérrez-Sanjuán.
7.3 RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DEL ÍNDICE DE RENDIMIENTO
ABSOLUTO MODIFICADO
A partir de los resultados de la evaluación del APIM se observó que al evaluar el
factor sobre el primer lazo principal se desarrolló una tendencia de convergencia a
la unidad, en la medida que el valor regulado al factor móvil de supresión asociado
al lazo se atenuaba, para ambos Diseños Experimentales. Un registro de esta
observación se tiene en la Figura 19 y en la Figura 21.
84
Figura 19. Comportamiento APIM para el primer lazo principal, Diseño Experimental I
Main Effects Plot for APIM_1
AP
IM_
1
Lambda01
1.0 5.0
Lambda02
1.0 5.0
0.31
0.41
0.51
0.61
0.71
0.81
0.91
EFECTOS PRINCIPALES PARA APIM1
AP
IM1
Interaction Plot f or APIM_1
AP
IM_
1
Lambda011.0 5.0
Lambda02=1.0
Lambda02=1.0
Lambda02=5.0
Lambda02=5.0
0.26
0.46
0.66
0.86
1.06
AP
IM1
EFECTOS INTERACCIONES PARA APIM1
Figura 20. Comportamiento APIM para el segundo lazo principal, Diseño Experimental I
Main Effects Plot for APIM_2
AP
IM_
2
Lambda01
1.0 5.0
Lambda02
1.0 5.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
EFECTOS PRINCIPALES PARA APIM2
AP
IM2
Interaction Plot f or APIM_2
AP
IM_
2
Lambda011.0 5.0
Lambda02=1.0 Lambda02=1.0
Lambda02=5.0 Lambda02=5.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
AP
IM2
EFECTOS INTERACCIONES PARA APIM2
85
Figura 21. Comportamiento APIM para el primer lazo principal, Diseño Experimental II
Main Effects Plot for APIM_1
AP
IM_
1
Lambda01
1.0 5.0
Lambda02
1.0 5.0
0.65
0.75
0.85
0.95
1.05
EFECTOS PRINCIPALES PARA APIM1
AP
IM1
Interaction Plot f or APIM_1
AP
IM_
1
Lambda011.0 5.0
Lambda02=1.0
Lambda02=1.0
Lambda02=5.0
Lambda02=5.00.61
0.71
0.81
0.91
1.01
AP
IM1
EFECTOS INTERACCIONES PARA APIM1
Figura 22. Comportamiento APIM para el segundo lazo principal, Diseño Experimental II
Main Effects Plot for APIM_2
AP
IM_
2
Lambda01
1.0 5.0
Lambda02
1.0 5.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
EFECTOS PRINCIPALES PARA APIM2
AP
IM2
Interaction Plot f or APIM_2
AP
IM_
2
Lambda011.0 5.0
Lambda02=1.0 Lambda02=1.0
Lambda02=5.0Lambda02=5.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
AP
IM2
EFECTOS INTERACCIONES PARA APIM2
86
Por otra parte, se observó que al evaluar el APIM sobre el segundo lazo principal
se desarrolló una tendencia de convergencia a la unidad en la medida que el valor
ajustado al factor móvil de supresión asociado al lazo se veía amplificado. Este
resultado se observa en la Figura 20 y en la Figura 22.
Mientras las interacciones no fueron significativas para el caso del APIM evaluado
para el segundo lazo principal, se observó una interacción interesante para el caso
del APIM evaluado en el primer lazo principal. Para mejorar el APIM del primer lazo
principal se requirió tanto de atenuar el valor sintonizado al factor móvil de
supresión asociado al lazo, como de amplificar aquel asociado al segundo lazo
principal. En cambio, para mejorar el APIM del segundo lazo principal, bastó con
amplificar únicamente el factor de supresión asociado a éste lazo.
Se observó en cada figura, de la 19 a la 22, que por más alto que fuese el ajuste
de tendencia no negativa dado a cada factor móvil de supresión, el mejor APIM al
que se podía llegar se encontraba entre un 10% y hasta en un 50% menos que la
unidad. Este resultado experimental ya fue ratificado por los resultados analíticos
de Shinskey [35].
7.4 DISEÑO DE UN ALGORITMO DE SUPERVISIÓN ESCALONADO
A partir de los cambios que sean aplicados en un punto de operación asociado a
una variable controlada para el modelo de proceso 2 × 2, el supervisor escalonado
para los factores móviles de supresión del DMC aumentará o atenuará, por un
valor constante, el valor inicialmente sintonizado a los mismos, bien de forma
empírica o a través de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán expuestas de (6.12) a
(6.15).
87
El algoritmo se activa cuando se ha producido un cambio en cualquiera de los set
points del lazo 2 × 2, pero no ejecuta cambios en la sintonización de cada factor
de supresión hasta tanto no se haya alcanzado o bien una nueva condición de
estado estable, o bien una condición de límite temporal, como protección frente a
respuestas excesivamente lentas. Este limite temporal resulta de la suma entre el
momento para el cual se produce el cambio en el punto de operación y hasta 60
veces el período de muestreo ajustado al algoritmo.
Si se genera un cambio en el set point del primer lazo principal del sistema 2 × 2
en lazo cerrado, y se ha alcanzado una nueva condición de estado estable, el
algoritmo de supervisión escalonado detecta el sentido del cambio inducido en el
set point, y a partir de éste, determina si debe amplificarse o atenuarse, por un
valor constante, los valores sintonizados a cada factor de supresión.
Para cuando se produce un cambio en el set point del segundo lazo principal, el
supervisor escalonado solo amplifica al factor de supresión asociado al lazo,
dejando constante el valor previamente ajustado al factor de supresión asociado al
primer lazo principal. Un algoritmo de supervisión escalonado diseñado de esta
forma pretende conservar la filosofía de los algoritmos MPC, asignando cambios a
los factores móviles de supresión de forma que se mejore el rendimiento futuro del
controlador, para cuando se vuelva a producir, en el futuro, un cambio en el punto
de operación.
El valor por el cual se atenúa o se amplifica cada factor de supresión puede ser
fijado por el usuario, sin embargo para los objetivos de esta investigación el
supervisor escalonado solo amplificó o atenuó hasta en un 50% a cada factor de
supresión, respecto al último valor ajustado a cada uno de estos.
88
En todo caso el supervisor nunca podrá ajustar un valor inferior a la unidad a cada
factor de supresión, así como no podrá ajustar un valor mayor a cinco veces el
valor sintonizado a cada factor de supresión. Si por algún motivo se llegó a
transgredir estos límites, el supervisor reajusta los factores de supresión a sus
valores inicialmente sintonizados.
89
8. ALGORITMO DE INFERENCIA DIFUSA PARA LA SUPERVISIÓN
INTELIGENTE DE LOS FACTORES MÓVILES DE SUPRESIÓN DEL
ALGORITMO DMC
Como un indicador confiable de la estabilidad y del comportamiento dinámico de
un sistema de control en lazo cerrado, el factor de amortiguamiento dinámico,
medido en cada salida del modelo de proceso 2 × 2, fue empleado como variable
lingüística de entrada para un motor de inferencia difusa tipo Mamdani, que se
diseñó para la supervisión inteligente en línea de los factores móviles de supresión
del DMC.
Se estudió el impacto que el movimiento de los factores de supresión ejercieron
sobre el índice de amortiguamiento de la respuesta dinámica de cada lazo, a
través de un diseño experimental idéntico en factores y niveles al empleado para
evaluar el efecto que éstos ejercieron sobre el APIM de cada lazo controlado.
A partir de los resultados registrados en la Figura 23 y la Figura 24, se observó
que al aumentar los valores experimentales regulados a cada factor de supresión,
el valor del factor de amortiguamiento, calculado en línea, tendía a la unidad.
También se observó que, para las combinaciones evaluadas en el experimento
diseñado y ejecutado, contrario a las observaciones entregadas al evaluar el
rendimiento dinámico de un DMC supervisado de forma escalonada, las
interacciones entre los factores de supresión fueron poco significativas sobre el
comportamiento del factor de amortiguamiento.
90
Figura 23. Comportamiento factor de amortiguamiento para un cambio en el set point del primer lazo principal, diseño experimental I
Main Effects Plot for Phi1
Ph
i1
Lamda01
1.0 5.0
Lambda02
1.0 5.0
0.19
0.23
0.27
0.31
0.35
0.39
EFECTOS PRINCIPALES PARA 1
1
Interaction Plot f or Phi1
Ph
i1
Lamda011.0 5.0
Lambda02=1.0
Lambda02=1.0
Lambda02=5.0
Lambda02=5.0
0.19
0.23
0.27
0.31
0.35
0.39
0.43
EFECTOS INTERACCIONES PARA 1
1
Figura 24. Comportamiento factor de amortiguamiento para un cambio en el set point del segundo lazo principal, diseño experimental I
Main Effects Plot for Phi1
Ph
i1
Lamda01
1.0 5.0
Lambda02
1.0 5.0
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
0.34
EFECTOS PRINCIPALES PARA 2
2
Interaction Plot f or Phi1
Ph
i1
Lamda011.0 5.0
Lambda02=1.0 Lambda02=1.0
Lambda02=5.0 Lambda02=5.0
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
0.34
EFECTOS INTERACCIONES PARA 2
2
91
Esto es, para hacer converger a la unidad el factor de amortiguamiento del lazo
principal observado, bastó con aumentar el valor ajustado al factor de supresión
asociado a éste lazo, sin modificar en lo absoluto el valor que le haya sido
ajustado previamente al factor de supresión asociado al otro lazo.
8.1 DISEÑO DEL ALGORITMO INTELIGENTE DE SUPERVISIÓN
Como variables lingüísticas de entrada se tomaron los factores de
amortiguamiento medidos en cada salida del proceso 2 × 2. Los universos de
discurso para cada una de estas variables lingüísticas de entrada se extendieron
desde el cero y hasta la unidad. Se asignaron cinco valores lingüísticos por cada
variable lingüística de entrada, tal y como se observan en la Figura 25.
Figura 25. Funciones de pertenencia para las variables lingüísticas de entrada
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
Gra
do d
e P
ert
enencia
OSCILATORIO NORMAL LENTOCUASIOSCILATORIO MEDIOLENTO
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
Gra
do d
e P
ert
enencia
OSCILATORIO NORMAL LENTOCUASIOSCILATORIO MEDIOLENTO
Como variables lingüísticas de salida se tomaron las razones de cambio para cada
factor móvil de supresión. Para cada una de estas variables lingüísticas el
universo de discurso normalizado se arregló con cinco valores lingüísticos, tal y
como se observa en la Figura 26.
92
Figura 26. Funciones de pertenencia para las variables lingüísticas de salida
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
Gra
do d
e P
ert
enencia
NG Z PGNP PP
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
Gra
do d
e P
ert
enencia
NG Z PGNP PP
En la Tabla 6 se tiene las reglas cargadas al motor de inferencia difusa diseñado,
respecto a la razón de cambio para el factor de supresión asociado tanto al primer
como al segundo lazo principal. Todas las reglas generadas en la Tabla 6 se
orientaron a generar un comportamiento dinámico en cada lazo que asegure un
factor de amortiguamiento dinámico inscrito dentro del conjunto difuso
denominado normal. Esto es, el motor de inferencia se diseñó para que el
comportamiento en lazo cerrado obedeciera a un factor de amortiguamiento que
estuviere en un rango de 0.4 a 0.8.
Tabla 6. Reglas de inferencia difusa para el supervisor de los factores de supresión del DMC
1, 2 2
OSC MOSC NORM MLENT LENT
1
OSC PG, PG PG, PP PG, Z PG, NP PG, NG
MOSC PP, PG PP, PP PP, Z PP, NP PP, NG
NORM Z, PG Z, PP Z, Z Z, NP Z, NG
MLENT NP, PG NP, PP NP, Z NP, NP NP, NG
LENT NG, PG NG, PP NG, Z NG, NP NG, NG
93
Figura 27. Superficies de respuesta difusa
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.5
0
0.5
21
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.5
0
0.5
21
2
8.2 FUNCIONAMIENTO DEL ALGORITMO DE SUPERVISIÓN INTELIGENTE
Para estimar el factor de amortiguamiento en cada lazo se emplearon dos
aproximaciones. Si se ha producido un cambio en el punto de operación se
emplea el concepto del sobre impulso por versatilidad y disponibilidad de
información, mientras que si se percibe el efecto de una perturbación en el lazo
controlado que no ha recibido un cambio en el punto de operación se emplea el
concepto de tasa de decaimiento.
En la bibliografía la tasa de asentamiento se define como la razón a la que caen
las oscilaciones de un comportamiento dinámico propio de un sistema de segundo
orden [45]. Esta tasa de decaimiento se mide como la razón entre la segunda
amplitud pico a la primera amplitud pico del comportamiento. A partir de la
nomenclatura en la Figura 28, la tasa de decaimiento se expresa
matemáticamente en (8.1)
El sobre impulso se define como el primer pico máximo por el cual se excede en
un tanto por ciento el cambio máximo inducido por la entrada [45]. Esto es, la
94
razón entre la primera amplitud máxima al cambio total inducido por la señal de
entrada. A partir de la nomenclatura en la Figura 28, el sobre impulso se expresa
matemáticamente en (8.2)
21
2
eB
C
(8.1)
21e
A
B
(8.2)
Figura 28. Respuesta dinámica oscilatoria de segundo orden
Tiempo [min.]
c1(t
)
B
A
C
c
cc
A partir de lo anterior, de (8.2) y despejando la expresión para la variable
dependiente, en el caso de un cambio en el set point, el factor de amortiguamiento
se estimó a través de (8.3).
95
Partiendo de (8.1) y despejando la expresión para la variable dependiente, para el
caso de una perturbación percibida en el lazo contrario, el factor de
amortiguamiento se estimó a través de (8.4).
AB
ABi 22 ln
ln (8.3)
BC
BCi 22 ln4
ln (8.4)
El funcionamiento del algoritmo es similar al empleado para el algoritmo
escalonado. Solo se activa si se ha producido un cambio en el set point en alguno
de los lazos controlados. Cuando esto suceda, se almacenan en vectores de
longitud variable, la respuesta dinámica de cada lazo controlado.
Cuando se haya alcanzado una condición de estado estable o se haya violado el
límite de espera a convergencia absoluta descrito en el capítulo anterior, se activa
el supervisor, y luego de estimar el factor de amortiguamiento de cada lazo, se
ajustan los valores de los factores móviles de supresión a partir de las reglas de
inferencia dispuestas en la Tabla 6.
Cuando se haya identificado sobre qué variable se produjo el cambio de punto de
operación, el algoritmo de supervisión inteligente estima el factor de
amortiguamiento para cada lazo controlado.
96
Figura 29. Diagrama de bloques supervisor inteligente
MOTOR DE
INFERENCIA
DIFUSA
+
+
En la Figura 29 se tiene un diagrama general de las partes del supervisor
inteligente. Los parámetros de escalamiento ( i) asociados a cada salida del
Motor de Inferencia Difusa (FIS) para la supervisión del DMC, regulan la
agresividad del supervisor. Preliminarmente cada factor fue ajustado con el
mismo valor, y en la Figura 30 se observa el efecto de estos factores sobre el
rendimiento dinámico de la estrategia supervisada.
En la medida que el valor ajustado al factor de escalamiento crece positivamente,
la estrategia de control supervisada se vuelve más agresiva, y propende por la
inestabilidad; mientras que si se le hace pequeña, la acción de control se vuelve
mucho más lenta, pero conservando un sobre impulso característico de los FIS
tipo PI.
Como características del FIS se puede mencionar que la función de agregación
empleada es de máximos, la función de implicación empleada fue la de mínimos, y
el método de conversión de un valor difuso a un valor concreto fue el método del
centro de masas.
97
Figura 30. Efecto de la variación en los parámetros de escalamiento del sistema de inferencia difusa para la supervisión del DMC en el rendimiento dinámico del mismo en lazo cerrado
250 300 350 400 450 50040
50
60
70
80
90
100
110
Tiempo [min.]
ci(t
) [%
TO
]i = 0.1
i = 5
1 = 10
8.2.1 Mecanismos de protección contra ruido. Para mejorar la robustez del
algoritmo de control supervisado frente al ruido, se implementaron dos estrategias
de protección. La primera se refirió a un par de filtros digitales exponenciales de
entrada al DMC, que se encargaron de filtrar la señal emitida por los sensores
transmisores. La forma analítica del filtro se expone en (8.5)
zcazcazc filtradafiltrada 11 11 (8.5)
Donde.
98
Ta
f
f
1 (8.6)
La constante de tiempo de cada filtro digital se ajustó a una quinta parte de la
mayor constante de tiempo que exhibió los dos lazos que más afecten a la señal
filtrada. El período de muestreo se ajustó para que fuese una décima parte de la
constante de tiempo ajustada al filtro.
2,1,;max5
1jiijfi (8.7)
2,1;10
1iT
if (8.8)
Esto es, para el filtro exponencial asociado a la salida del primer lazo principal, se
le asignó una quinta parte de la mayor constante de tiempo que se presente entre
las funciones de transferencia (6.1) y (6.2). Para el filtro exponencial asociado a la
salida del segundo lazo principal, se le asignó una quinta parte de la mayor
constante de tiempo que se presente entre las funciones de transferencia (6.3) y
(6.4). La asignación fraccionada de las constantes de tiempo a los filtros
exponenciales obedece a las recomendaciones encontradas en [45].
La segunda medida consistió en mejorar el mecanismo de admisión de datos a los
vectores de respuesta dinámica. Para el supervisor inteligente del DMC, además
de los filtros digitales exponenciales, se instalaron filtros duros que evitan el
almacenamiento de datos consecutivos cuya diferencia entre sí sea inferior a 0.5.
99
9. EVALUACIÓN DEL RENDIMIENTO DINÁMICO DE LAS ESTRATEGIAS DE
SUPERVISIÓN ESCALONADA E INTELIGENTE
Para evaluar y contrastar el rendimiento de cada propuesta de sintonización y
supervisión de los factores móviles de supresión del DMC presentadas por ésta
investigación, se implementó cada una de ellas sobre dos modelos de procesos
industriales instrumentados diferentes.
9.1 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS MODELOS DE PROCESO
El primer modelo de proceso fue un reactor para la neutralización de potencial de
hidrógeno (pH). El modelo fue publicado por Henson y Seborg [15]; sin embargo
éste fue modificado para mayor capacidad de reacción; esto es, mayores
volúmenes de producción respecto a lo expuesto por la referencia. La descripción
completa del modelo sus características y condiciones de estado estable se
reseñaron en el Anexo 1.
En las simulaciones realizadas sobre el modelo en mención se controló tanto la
altura de la superficie libre como el nivel pH de la mezcla reactiva. A partir del
procedimiento planteado por Bristol se encontró que el correcto apareamiento para
controlar el pH de la mezcla reactiva exigía la manipulación del caudal de fluido
básico, mientras que para controlar la altura de la superficie libre de la mezcla
reactiva, se debía manipular el caudal de fluido ácido, aunque se observó un alto
índice de interacción entre los lazos.
100
De (9.1) hasta (9.3) se tienen los resultados de la identificación fuera de línea
realizada sobre el modelo de neutralización y aproximado a un modelo de primer
orden más tiempo muerto (FOPDT), mientras que en (9.4) se tienen los resultados
de la matriz de ganancias relativas.
CO
TOK
%
%;
96.098.0
84.09.0 (9.1)
min;61.234.12
51.3466.32 (9.2)
min
min;
39.138.0
109.21056.4 52
(9.3)
51.049.0
49.051.0ij (9.4)
Dada la forma de las ganancias de estado estable identificadas se tomaron las
ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán que hacen referencia a cambios de signo en las
ganancias de las interacciones secundarias y se prestó especial atención a los
bajos niveles de las relaciones tiempo muerto a constante de tiempo, verificando
que las cantidades sintonizadas no superaran un valor máximo de 100.
El segundo modelo que se implementó fue el de un reactor exotérmico
continuamente agitado (CSTR). El modelo planteó un reactor a volumen
constante o por rebose; la doble reacción involucrada en el modelo requirió del
calentamiento de los reactivos para motivar la generación de los productos. En
este escenario se controlaron tanto la concentración de los productos a la salida
101
del reactor, como la temperatura de la mezcla reactiva. La descripción completa
del modelo de reacción exotérmica continuamente agitado (CSTR) se reseñó en el
Anexo 2.
A partir del apareamiento de Bristol se encontró que para controlar la
concentración de la mezcla reactiva se debía manipular el caudal de solvente
puro, que para el caso fue un línea de agua pura; mientras que para controlar la
temperatura de la mezcla reactiva se debía manipular la cantidad de vapor
saturado que se hace ingresar al serpentín instalado al interior del reactor. Este
serpentín se encarga de proveer la energía que requiere la reacción para la
generación de productos. De (9.5) hasta (9.7) se tienen los resultados de la
identificación realizada sobre el modelo CSTR, aproximado a un modelo FOPDT,
mientras que en (9.8) se tienen los resultados del cálculo de la matriz de
ganancias relativas que verifican el apareamiento.
48.017.0
15.042.0K (9.5)
2733
3330 (9.6)
42
4
1016.71008.3
21.01023.6 (9.7)
89.011.0
11.089.0ij (9.8)
102
Para este segundo modelo también se emplearon las ecuaciones de sintonización
Gutiérrez-Sanjuán que hacen alusión a cambios de signo en las ganancias de
estado estable de los lazos secundarios, vigilando el ajuste excesivo por las bajas
relaciones de tiempo muerto a constante de tiempo.
9.2 MODELO PARA LA NEUTRALIZACIÓN DE POTENCIAL DE HIDRÓGENO
Se analizó el comportamiento de la reacción a partir de la identificación fuera de
línea de su dinámica y aproximada a un modelo FOPDT. En la Figura 31 se
observan las variaciones en la ganancia de estado estable, mientras que en la
Figura 32 se reseñan los resultados para la constante de tiempo, y en la Figura 33
para el tiempo de retardo. Al observar cada una de las figuras mencionadas se
evidenció un fuerte comportamiento no lineal a lo largo de todo el universo
discurso de la señal de control para cada variable manipulada, lo que resultó
atractivo para los efectos de valorar la efectividad de las propuestas de
supervisión ya expuestas.
Figura 31. Variaciones en la ganancia de estado estable del nivel de pH respecto a cambios en el fluido básico (a), y respecto a cambios en el fluido ácido (b)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Señal de Control Normalizada [%CO/%CO]
Ganancia
de E
sta
do E
sta
ble
[%
TO
/%C
O]
(a)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Señal de Control Normalizada [%CO/%CO]
Ganancia
de E
sta
do E
sta
ble
[%
TO
/%C
O]
(b)
103
Figura 32. Variaciones en la constante de tiempo del nivel de pH, respecto a cambios en el fluido básico (a), y respecto a cambios en el fluido ácido (b)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Señal de Control Normalizada [%CO/%CO]
Consta
nte
de T
iem
po [
min
]
(a)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Señal de Control Normalizada [%CO/%CO]
Consta
nte
de T
iem
po [
min
]
(b)
Figura 33. Variaciones en el tiempo de retraso para el nivel de pH, respecto a cambios en el fluido básico (a), y respecto a cambios en el fluido ácido (b)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
2
4
6
8
10
12
Señal de Control Normalizada [%CO/%CO]
Retr
aso [
min
]
(a)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
2
4
6
8
10
12
Señal de Control Normalizada [%CO/%CO]
Retr
aso [
min
]
(b)
Para analizar el rendimiento dinámico de las estrategias de supervisión en
mención, se decidió variar el punto de operación asociado al nivel de pH de forma
sucesiva, mientras que el punto de operación asociado con la altura libre de la
mezcla reactiva al interior del tanque se mantuvo constante.
104
Figura 34. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC sintonizado con y sin modificaciones a través de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, para cambios en el punto de operación del nivel de pH
0 2 4 6 8 10 12 143
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo [dias]
pH
pHSet
(t)
pHDMC
(t)
pHDMCMod.(t)
En la Figura 34 y Figura 45 se observa como el comportamiento en lazo cerrado
del modelo controlado por la estrategia DMC fue lento, hasta el punto que para el
segundo cambio en el punto de operación del nivel de potencial de hidrógeno la
estrategia no logra hacer converger la variable de interés al calor indicado. Esto
se sustenta en los valores altos de las constantes de tiempo de la reacción
identificadas en (9.2). La constante de tiempo mecánica impuesta por las
dimensiones del modelo de neutralización de pH también coadyuvó a este
resultado.
105
Figura 35. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC sintonizado con y sin modificaciones a través de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, para cambios en el punto de operación del nivel de pH y su incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva
0 2 4 6 8 10 12 141.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
Tiempo [dias]
Niv
el [m
]
NivelSet
(t)
NivelDMC
(t)
NivelDMCMod.(t)
Para mejorar el rendimiento del algoritmo DMC sintonizado con las ecuaciones
Gutiérrez-Sanjuán en lazo cerrado, se decidió atenuar en un 80% el valor ajustado
al factor de supresión asociado al lazo de control de la altura libre de la mezcla
reactiva, con lo que se logró una mejora en el tiempo de convergencia al punto de
operación en lazo cerrado; empero, al observar la Figura 34 y la Figura 35 el
efecto de esta atenuación, se concluye que se generó una acción de control más
inestable y sensible al ruido natural de la variable controlada. Esto es, el costo de
106
mejorar el tiempo de convergencia fue la estabilidad en lazo cerrado del modelo
controlado.
Figura 36. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC sintonizado con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán y empleando un filtro digital exponencial, para cuando se realizan cambios en el punto de operación del nivel de pH
0 2 4 6 8 10 12 143
4
5
6
7
8
9
10
11
Tiempo [dias]
pH
pHSet
(t)
pHDMC
Filtrado(t)
pHDMC
Filtrado Mod.(t)
A partir de los resultados entregados por estas primeras simulaciones, y
aprovechando el criterio de robustez del controlador dinámico matricial
supervisado por un FIS (FDMC) en lazo cerrado, se modeló e implementó un filtro
digital exponencial a la entrada de la señal del sensor transmisor asociado al
107
monitoreo del nivel de pH. Este filtro digital fue similar en su modelo y
características de diseño al filtro empleado para mejorar la robustez del
controlador FDMC.
Figura 37. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC sintonizado con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán y empleando un filtro digital exponencial, para cambios en el punto de operación del nivel de pH y su incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva
0 2 4 6 8 10 12 141.75
1.8
1.85
1.9
1.95
2
2.05
Tiempo [dias]
Niv
el [m
]
NivelSet
(t)
NivelDMC
Filtrado(t)
NivelDMC
Filtrado Mod.(t)
En la Figura 36 y Figura 37 se observa como la implementación del filtro redujo la
cantidad de oscilaciones de baja amplitud del punto de operación pero generó
fuertes oscilaciones de mayor amplitud, y exhibiendo dificultades de convergencia
108
cuando se lleva el punto de control a un nivel de potencial de hidrógeno de 8 o de
5.
Dado que entre más cercano esté el período de muestreo asignado al filtro digital
respecto a la constante de tiempo ajustada al mismo, su capacidad de filtrado se
hace mayor, restringiendo aun más el paso de las señales de alta frecuencia que
inciden en la amplitud de la señal monitoreada, se decidió estudiar el efecto que
este tipo de modificaciones surtía sobre el modelo evaluado.
Es así como en la Figura 36 y la Figura 37 se observó que el filtro que se sintonizó
con un período de muestreo similar a la constante de tiempo presentó tanto una
cantidad menor de oscilaciones como una dinámica lenta, al momento de
converger al nuevo punto de operación impuesto.
En la Figura 38 y en la Figura 39 se comparan los rendimientos dinámicos del
algoritmo DMC con sintonización por las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán
modificada, y con filtros digitales modificados en su diseño.
Procedimiento similar al que se persiguió con el controlador DMC sintonizado con
las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, se evaluó el rendimiento del controlador DMC
supervisado de forma escalonada o DMCE. Para este caso, en la Figura 40 y
Figura 41, se evidenció la fuerte incidencia de la inadecuada sintonización del
factor de supresión asociado al lazo de control que monitorea la altura de la
superficie libre de la mezcla reactiva.
109
Figura 38. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC cuando se emplea una sintonía modificada a través de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, y cuando se emplea un filtro digital exponencial modificado, para cambios en el punto de operación del nivel de pH
0 2 4 6 8 10 12 143
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo [dias]
pH
pHSet
(t)
pHDMCMod.(t)
pHDMCFilt.Mod.(t)
Esto pues, dadas las bajas relaciones de retrasos a constante de tiempo y la
estructura de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, al asignarle un valor alto al factor
de supresión asociado al lazo de control de nivel, y junto con el movimiento
continuo de crecimiento inducido en el mismo por el funcionamiento del supervisor
escalonado, degeneró el comportamiento dinámico del lazo controlador hasta el
punto de hacerlo converger a la dinámica de un controlador de ganancia pura.
110
Figura 39. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC cuando se emplea una sintonía modificada a partir de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, y cuando se emplea un filtro digital exponencial modificado, para cambios en el punto de operación del nivel de pH, y su incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva
0 2 4 6 8 10 12 14
1.84
1.86
1.88
1.9
1.92
1.94
Tiempo [dias]
Niv
el [m
]
NivelSet
(t)
NivelDMCMod.(t)
NivelDMCFilt. Mod.(t)
Modificar la sintonización de este factor de supresión coadyuvó al mejoramiento
del rendimiento del lazo cerrado referido a la convergencia en el punto de
operación indicado, pero se obtuvieron nuevas oscilaciones durante la mayor parte
de la prueba, tal y como se observa en la Figura 40 y la Figura 41.
111
Figura 40. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC supervisado de forma escalonada, sintonizado con y sin modificaciones a través de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, para cambios en el punto de operación del nivel de pH
0 2 4 6 8 10 123
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo [dias]
pH
pHSet
(t)
pHDMCE
(t)
pHDMCEMod. (t)
En concordancia con el efecto de incorporar un filtro digital exponencial a la salida
del sensor transmisor que monitorea el potencial de hidrógeno en el caso del
controlador DMC básico y sintonizado con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, se
evaluó el efecto del filtro en conjunto con la estrategia de supervisión escalonada
para el modelo de neutralización.
112
Figura 41. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC supervisado de forma escalonada, sintonizado con y sin modificaciones a través de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, para cambios en el punto de operación del nivel de pH, y su incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva
0 2 4 6 8 10 12
1.5
2
2.5
3
3.5
Tiempo [dias]
Niv
el [m
]
NivelSet
(t)
NivelDMCE
(t)
NivelDMCEMod. (t)
A través de los resultados de las pruebas registrados en la Figura 42 y en la
Figura 43, se observó que el efecto del filtro exponencial digital fue el mismo para
cuando se evaluó con el controlador DMC básico: se atenuaron tanto las
oscilaciones de estado estable, o lo que puede entenderse como una reducción en
los tiempos de la respuesta transitoria, y se atenuaron los sobre impulsos
generados por el movimiento de los factores de supresión en conjunto con los
cambios sucesivos en el punto de operación.
113
Figura 42. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC supervisado de forma escalonada cuando se emplea un filtro digital exponencial, para variaciones generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH
0 2 4 6 8 10 12 144
5
6
7
8
9
10
Tiempo [dias]
pH
pHSet
(t)
pHDMCEFiltrado(t)
pHDMCEFilt. Mod.(t)
Sin embargo, hacia el final de la prueba, como se observa en la Figura 42 y la
Figura 43, el movimiento acumulado en los factores de supresión generó un
rendimiento dinámico en lazo cerrado considerablemente lento, con un aumento
notable en el tiempo de asentamiento.
En la Figura 44 y en la Figura 45, al contrastar el DMCE básico, sintonizado con
las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, y el DMCE apoyado con un filtro exponencial,
se observó como la primera ofrece una respuesta más sensible a los ruidos de la
114
variable controlada, manifestado en que la mayor parte de la prueba la estrategia
no logró mantenerse cerca del punto de operación indicado, situación que fue
corregida al momento de insertar un dispositivo de filtrado digital.
Figura 43. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC supervisado de forma escalonada cuando se emplea un filtro digital exponencial, para variaciones generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH, y su incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva
0 2 4 6 8 10 12 141.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Tiempo [dias]
Niv
el [m
]
NivelSet
(t)
NivelDMCEFiltrado(t)
NivelDMCEFilt. Mod.(t)
115
Figura 44. Contraste entre el rendimiento dinámico de un controlador DMC supervisado de forma escalonada para cuando se emplea una sintonía modificada, a través de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, y para cuando se emplea un filtro digital exponencial modificado, frente a variaciones generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH
0 2 4 6 8 10 123
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo [dias]
pH
pHSet
(t)
pHDMCEMod. (t)
pHDMCEFilt. Mod.(t)
Empero, al robustecer el algoritmo con dispositivos de filtrado, también se generó
un rendimiento en lazo cerrado de respuesta lenta cuando se han acumulado
varios cambios en el punto de operación. Esto se puede observar de la Figura 44
y la Figura 45, hacia el final de la prueba cuando el algoritmo de control no
converge rápidamente al punto de operación, elevando significativamente el
tiempo de asentamiento.
116
Figura 45. Contraste entre el rendimiento dinámico de un controlador DMC supervisado de forma escalonada para cuando se emplea una sintonía modificada, a través de las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, y para cuando se emplea un filtro digital exponencial modificado, frente a variaciones generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH, y su incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva
0 2 4 6 8 10 121.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
Tiempo [dias]
Niv
el [m
]
NivelSet
(t)
NivelDMCEMod. (t)
NivelDMCEFilt. Mod.(t)
De la Figura 46 se observa que solo un factor de supresión sufrió cambios en la
ejecución de la prueba. El movimiento parcial en los factores de supresión
inducido por el supervisor escalonado se justifica en que el lazo asociado con el
nivel de pH corresponde al segundo lazo principal, y por condiciones de diseño,
mejorar el APIM del segundo lazo principal no requiere del movimiento del factor
de supresión asociado al primer lazo principal, que para el modelo corresponde al
lazo de control de nivel.
117
Figura 46. Comportamiento de los factores móviles de supresión para un DMC supervisado de forma escalonada en el modelo de neutralización de pH
0 2 4 6 8 10 12 145
5.5
6
6.5
7
7.5
8
Tiempo [dias]
1(t
)
0 2 4 6 8 10 12 14
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tiempo [dias]
2(t
)
Para la implementación del FDMC se tomaron los resultados entregados por las
simulaciones con el DMC y con el DMCE. Esto es, se sintonizó con las
ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán referidas a los cambios de signo en las ganancias
de las interacciones secundarias, pero atenuando en un 80% el valor sintonizado
al factor de supresión asociado al lazo que controla la altura de la superficie libre
de la mezcla reactiva. Además se ajustó el período de muestreo de cada filtro
instalado a la igualdad con la respectiva constante de tiempo.
En la Figura 47, cuando la prueba hace converger al proceso controlado al nivel
de 8, la estrategia FDMC presento un conjunto de oscilaciones de baja amplitud
pero de alta frecuencia, lo que evidencia una sensibilidad de la estrategia al punto
de operación en mención. A pesar del comportamiento oscilatorio en el nivel de
pH 8, el FDMC logró sostener un comportamiento dinámico homogéneo en las
tendencias de ascenso y descenso impuestos por el punto de control, reduciendo
los índices de seguimiento y convergiendo a cada nuevo punto de operación.
118
Figura 47. Contrastes entre los rendimientos dinámicos de los controladores DMC, y DMCE con filtros digitales, y FDMC, frente a variaciones generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH
0 2 4 6 8 10 12
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo [dias]
pH
pHSet
(t)
pHDMCFilt. Mod.(t)
pHDMCEFilt. Mod.(t)
pHFDMC
(t)
Finalmente se puede anotar que la estrategia FDMC presentó un comportamiento
satisfactorio respecto a modificaciones no previstas en el DMC y el DMCE como lo
fue la inclusión de un filtro digital.
En la Figura 49 y Figura 50 se contrastan las propuestas finales presentadas como
resultados por esta investigación, contrastando el rendimiento del FDMC respecto
al DMC y al DMCE sintonizados con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán pero
119
modificando la sintonización por una atenuación del 80%, en ausencia de
cualquier estrategia de filtrado digital.
Figura 48. Contrastes entre los rendimientos dinámicos de los controladores DMC, y DMCE con filtros digitales, y FDMC, frente a variaciones generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH, y su incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva
0 2 4 6 8 10 12
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
Tiempo [dias]
Niv
el [m
]
NivelSet
(t)
NivelDMCFilt. Mod.(t)
NivelDMCEFilt. Mod(t)
NivelFDMC
(t)
En la Figura 49 y Figura 50 se observa como la estrategia FDMC logró un
comportamiento en lazo cerrado de seguimiento cercano al punto de operación
indicado en cada prueba a pesar de las no linealidades del proceso y al ruido
característico de la variable de interés.
120
Figura 49. Contrastes entre los rendimientos dinámicos de los controladores DMC y DMCE con sintonía modificada, y el controlador FDMC, frente a variaciones generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH
0 2 4 6 8 10 123
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo [dias]
pH
pHSet
(t)
pHDMCMod.(t)
pHDMCEMod. (t)
pHFDMC
(t)
Es así como para la mayoría de los puntos de operación el FDMC logró acercar la
variable controlada al valor deseado para la misma, sin los sobre impulsos
excesivos que presentaron las estrategias DMC y DMCE. En la Tabla 7 se
reseñan los índices de seguimiento para cada caso evaluado, y en la Figura 51 se
observa el movimiento inducido en los factores móviles de supresión a cargo de la
supervisión difusa.
121
Figura 50. Contrastes entre los rendimientos dinámicos de los controladores DMC y DMCE con sintonía modificada, y el controlador FDMC, frente a variaciones generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH, y su incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva
0 2 4 6 8 10 121.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
Tiempo [dias]
Niv
el [m
]
NivelSet
(t)
NivelDMCMod.(t)
NivelDMCEMod. (t)
NivelFDMC
(t)
9.3 MODELO DE UN REACTOR EXOTÉRMICO CONTINUAMENTE AGITADO
Se analizó el comportamiento del modelo de la reacción exotérmica a través del
comportamiento de los parámetros característicos de un modelo FOPDT,
obtenidos a partir de la identificación fuera de línea del comportamiento dinámico
del modelo.
122
Figura 51. Comportamiento de los factores móviles de supresión de un FDMC en el modelo de neutralización de pH
0 2 4 6 8 10 121
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Tiempo [dias]
1(t
)
0 2 4 6 8 10 12
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo [dias]
2(t
)
Tabla 7. Contrastes entre los índices de seguimiento de las estrategias de sintonización, supervisión escalonada y supervisión difusa, para el modelo de neutralización del potencial de hidrógeno
Estrategia IAE1
[m × min.] IAE2
[pH × min.]
DMC Gutiérrez-Sanjuán
476.56 3110.1
DMC Gutiérrez-Sanjuán
Modificado 44.08 2827.0
DMC Gutiérrez-Sanjuán
Modificado con filtro 79.65 7416.1
DMC Gutiérrez-Sanjuán
Modificado con filtro modificado 55.31 4720.5
DMCE Gutiérrez-Sanjuán
4160 1223.9
DMCE Gutiérrez-Sanjuán
Modificado 804.84 3471.2
DMCE Gutiérrez-Sanjuán
Modificado con filtro 1375.2 7272.0
DMCE Gutiérrez-Sanjuán
Modificado con filtro modificado 1373.2 6257.4
FDMC 49.03 3324.6
123
En la Figura 52 se tiene el comportamiento de la ganancia de estado estable, en la
Figura 53 se tiene el comportamiento de la constante de tiempo, mientras que en
la Figura 54 se tiene el comportamiento del tiempo de retardo.
A partir de la Figura 52 y en la Figura 54, el comportamiento dinámico de la
concentración de los productos, respecto a variaciones inducidas de forma
independiente en los caudales del fluido reactivo de entrada y el fluido solvente
puro, evidenció un fuerte comportamiento no lineal para la constante de tiempo y
el tiempo de retardo, a lo largo de todo el universo discurso de la señal de control
para cada variable manipulada.
Figura 52. Variaciones en la ganancia de estado estable en la concentración de productos, respecto a cambios en el caudal de solvente (a), y respecto a cambios en el caudal de vapor en el serpentín (b)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
Señal de Control Normalizada [%CO/%CO]
Ganancia
de E
sta
do E
sta
le [
%T
O/%
CO
]
(a)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
Señal de Control Normalizada [%CO/%CO]
Ganancia
de E
sta
do E
sta
ble
[%
TO
/%C
O]
(b)
El comportamiento de la ganancia de estado estable, en la Figura 52, aunque no
lineal, no presentó una variación que excediera en más de un 40% al valor más
alto registrado para la misma ganancia respecto a cada punto de la curva de
comportamiento.
124
Figura 53. Variaciones en la constante de tiempo en la concentración de los productos, respecto a cambios en el caudal de solvente (a), y respecto a cambios en el caudal de vapor en el serpentín (b)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 210
15
20
25
30
35
Señal de Control Normalizada [%CO/%CO]
Consta
nte
de T
iem
po [
min
]
(a)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 214
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
Señal de Control Normalizada [%CO/%CO]
Consta
nte
de T
iem
po [
min
]
(b)
Figura 54. Variaciones en el tiempo de retraso en la concentración de productos, respecto a cambios en el caudal de solvente (a), y respecto a cambios en el caudal de vapor en el serpentín (b)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Señal de Control Normalizada [%CO/%CO]
Retr
aso [
min
]
(a)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 23
4
5
6
7
8
9
Señal de Control Normalizada [%CO/%CO]
Retr
aso [
min
]
(b)
Para analizar el rendimiento dinámico de las estrategias de supervisión
escalonada e inteligente diseñadas para el DMC, se decidió variar el punto de
operación asociado con la concentración de los productos a la salida del reactor,
125
mientras que el punto de operación asociado con la temperatura de la mezcla
reactiva se mantuvo constante. Dado que el modelo se implementó como un
reactor a volumen constante no se presentaron los niveles de ruido natural en la
variable controlada como los observados en el reactor para la neutralización del
potencial de hidrógeno.
Figura 55. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC sintonizado con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán y el DMC supervisado de forma escalonada, frente a cambios en la concentración de los productos, y su incidencia en la temperatura de la mezcla reactiva
0 5 10 15 20 25 30 35 40140
145
150
155
160
165
Tiempo [dias]
Tem
pera
tura
[°F
]
TemperaturaSet(t)
TemperaturaDMC(t)
TemperaturaDMCE(t)
126
Bajo esta anotación, al evaluar el rendimiento dinámico en lazo cerrado del
controlador DMCE frente al controlador DMC básico sintonizado con las
ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, en la Figura 55 se observó como el controlador
DMCE generó un comportamiento en lazo cerrado lento al momento de converger
al punto de operación indicado, hasta el punto que durante buena parte de la
prueba se mantuvo alejado del punto de operación asociado con la temperatura de
la mezcla reactiva.
Figura 56. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador DMC sintonizado con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán y el DMC supervisado de forma escalonada, frente a cambios en la concentración de los productos
0 5 10 15 20 25 30 35 400.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
Tiempo [días]
cB(t
) [lbm
ole
/ft3
]
cBSet(t)
cBDMC(t)
cBDMCE(t)
127
En relación al comportamiento dinámico para la compensación de la concentración
de los productos frente a los cambios sucesivos en el punto de control asociado
con la misma variable, en la Figura 56 se observó que el controlador DMCE
generó un comportamiento lento en lazo cerrado al momento de recuperar la
nueva condición de control. En la Figura 57 se observa el comportamiento de los
factores de supresión.
Figura 57. Comportamiento de los factores móviles de supresión de un DMC supervisado de forma escalonada en el modelo de reacción química CSTR
0 5 10 15 20 25 30 35 400
1
2
3
4
5
6
Tiempo [dias]
1(t
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Tiempo [dias]
2(t
)
A partir de los resultados obtenidos al valorar el rendimiento dinámico de las
estrategias DMC y DMCE, se evaluó el rendimiento en lazo cerrado del FDMC
para tres diferentes contextos. Los dos primeros se refirieron a la puesta en
operación del FDMC con el sistema de filtrado digital, mientras que en el último se
prescindió del uso de estos dispositivos.
La diferencia entre los dos primeros contextos se refiere al valor asignado a cada
período de muestreo. Con el primer esquema se ajustó un período de muestreo
equivalente a una décima parte de la constante de tiempo del filtro. Con el
128
segundo esquema se ajustó un período de muestreo equivalente a una centésima
de la misma constante de tiempo.
Figura 58. Contrastes entre las diferentes propuestas implementadas para la supervisión difusa de un DMC frente a los cambios en la concentración de los productos, y su efecto en la temperatura de la mezcla reactiva
0 5 10 15 20 25 30 35 40148
150
152
154
156
158
160
162
Tiempo [dias]
Tem
pera
tura
[°F
]
TemperaturaSet(t)
TemperaturaFDMCNo Filtro(t)
TemperaturaFDMC
(t)
TemperaturaFDMCMod. (t)
A partir de la Figura 58 se observa que el prescindir del esquema de filtrado, o el
modificarlo en sus parámetros de diseño, no generó una mejora significativa al
momento de llevar la variable controlada el punto de operación indicado.
129
Figura 59. Contrastes entre las diferentes propuestas implementadas para la supervisión difusa de un DMC frente a los cambios en la concentración de los productos
0 5 10 15 20 25 30 35 400.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
Tiempo [dias]
cB(t
) [lbm
ole
/ft3
]
cBSet(t)
cBFDMC No filtro(t)
cBFDMC(t)
cBFDMC Mod.(t)
Empero, en la Figura 59 se observa que para el modelo de prueba, esto es dado
el funcionamiento por rebose del reactor, el no comportamiento ruidoso natural de
la variable controlada y las dimensiones físicas del reactor, convendría prescindir
del esquema de filtrado digital, ya que le permite a la estrategia converger a los
puntos de operación indicados a lo largo de la prueba, y sostener un
comportamiento dinámico global homogéneo. En la Figura 62 se observan los
cambios que se ejecutaron en los factores de supresión a causa de la supervisión
difusa sobre los mismos.
130
En la Figura 60 y en la Figura 61 se observa que el comportamiento del FDMC sin
el esquema de filtrado digital fue muy similar al ofrecido por el DMCE al momento
de compensar los efectos de los cambios sucesivos en el punto de operación de la
concentración de productos así como su efecto sobre la temperatura de la mezcla
reactiva.
Figura 60. Contrastes entre los rendimientos dinámicos del controlador DMC y DMCE sintonizados de forma modificada, y el controlador FDMC sin filtros digitales, para cambios sucesivos en la concentración de productos, y su incidencia en la temperatura de la mezcla reactiva
0 5 10 15 20 25 30 35 40140
145
150
155
160
165
Tiempo [dias]
Tem
pera
tura
[°F
]
TemperaturaSet(t)
TemperaturaDMC(t)
TemperaturaDMCE(t)
TemperaturaFDMCSin f iltro
(t)
131
Figura 61. Contrastes entre los rendimientos dinámicos del controlador DMC y DMCE sintonizados de forma modificada, y el controlador FDMC sin filtros digitales, para cambios sucesivos en la concentración de productos
0 5 10 15 20 25 30 35 400.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
Tiempo [dias]
cB(t
) [lbm
ole
/ft3
]
cBSet(t)
cBDMC(t)
cBEscalonado(t)
cBFDMC sin f iltros(t)
9.4 CONCLUSIONES SOBRE LAS PRUEBAS DE RENDIMIENTO
El FDMC ofrece tanto un comportamiento como un rendimiento dinámico
satisfactorio respecto aquel ofrecido por el DMC básico y el DMCE, partiendo cada
propuesta de una sintonización basada en las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán,
aunque no es estrictamente necesario que ésta sea la sintonía inicial para el buen
funcionamiento de la estrategia.
132
Figura 62. Comportamiento de los factores móviles de supresión para un FDMC en el modelo de reacción química CSTR
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Tiempo [dias]
i(t)
2FDMC sin f iltro(t)
2FDMC T = 0.1 (t)
2FDMC T = (t)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Tiempo [dias]
i(t)
1FDMC sin f iltro(t)
1FDMC T = 0.1 (t)
1FDMC T = (t)
El uso de un esquema de filtrado digital coadyuvó fuertemente al comportamiento
dinámico de cada estrategia DMC supervisada o no supervisada, empero su
funcionalidad queda sujeta tanto a los tiempos de respuesta en lazo abierto
instrumentado del proceso controlado, como a la vulnerabilidad del instrumento de
medición al ruido de planta, y a la naturaleza ruidosa de la variable controlada.
Esto pues el costo dinámico de robustecer una estrategia de control es la
velocidad de respuesta de la estrategia al recuperar un nuevo punto de control.
En la Tabla 8 se reseñan los índices de seguimiento para los modelos evaluados
en esta investigación.
Tabla 8. Contrastes entre los índices de seguimiento de las estrategias de sintonización, supervisión escalonada y supervisión difusa, para el modelo de reacción química
Estrategia IAE1
[lbmole × min.] IAE2
[°F × min.]
DMC Gutiérrez-Sanjuán 281.86 26000 DMCE Gutiérrez-Sanjuán 1276.5 55980
FDMC Filtrado Básico 1549.6 74660 FDMC Filtrado Modificado 1418.4 81260
FDMC Sin Filtrado 1215.3 66672
133
10. EVALUACIÓN RENDIMIENTO DINÁMICO DE LA ESTRATEGIA DE
SUPERVISIÓN INTELIGENTE FRENTE A UN ALGORITMO PID 2 × 2
DESACOPLADO
Para contrastar el objetivo general de esta investigación, la supervisión inteligente
de los factores móviles de supresión del DMC, con un algoritmo de control
proporcional integral derivativo (PID) 2 × 2 desacoplado, se implementó cada
controlador sobre los dos modelos de procesos industriales instrumentados
diferentes expuestos en el capítulo anterior. Para la sintonización y ajuste del
controlador PID 2 × 2 desacoplado se siguieron las instrucciones indicadas en
[32].
10.1 EVALUACIÓN SOBRE EL MODELO A ESCALA PARA LA
NEUTRALIZACIÓN DEL POTENCIAL DE HIDRÓGENO
En la Figura 63 y en la Figura 64 se tienen los resultados del contraste entre el
algoritmo PID 2 × 2 desacoplado, y el algoritmo DMC supervisado de forma
inteligente por un motor de inferencia difusa. Se observa como el rendimiento de
la estrategia FDMC superó la propuesta PID tanto en el tiempo de convergencia
como en la cantidad de oscilaciones alrededor de cada nuevo punto de operación.
También se observó como en la zona que corresponde a un nivel de pH de 8, la
propuesta PID se comporta de forma marginalmente estable; es decir, en esa
zona el sistema se encontraba en el límite de estabilidad, zona para la cual el
FDMC logró un comportamiento satisfactorio.
134
Figura 63. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador FDMC y del controlador PID desacoplado, frente a variaciones generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH
0 2 4 6 8 10 12 140
2
4
6
8
10
12
Tiempo [dias]
pH
pHSet.(t)
pHFDMC(t)
pHPID(t)
En la Figura 63 se observan picos del potencial de hidrógeno en el ejercicio del
algoritmo PID desacoplado que no se presentan en el ejercicio del algoritmo
FDMC. Esto puede justificarse en la no linealidad del modelo del proceso que
generó variaciones en más de un 50% en los parámetros característicos del
modelo respecto a los valores obtenidos en el punto de diseño.
135
Figura 64. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador FDMC y del controlador PID desacoplado, frente a variaciones generadas por cambios en el punto de operación del nivel de pH, y su incidencia en la altura libre de la mezcla reactiva
0 2 4 6 8 10 121.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
Tiempo [dias]
Niv
el [m
]
NivelSet(t)
NivelFDMC(t)
NivelPID(t)
Para la compensación de nivel, observada en la Figura 64, el algoritmo de control
FDMC generó unos picos significativos a causa del sostenimiento adecuado del
nivel de potencial de hidrógeno. En la Figura 65 se observan los esfuerzos de
control de cada estrategia, evidenciándose la agresividad del algoritmo PID
desacoplado sobre el elemento final de control. Esta agresividad se acentúa
fuertemente alrededor de la zona para la cual se afirma que el sistema se
encontraba en el límite de estabilidad.
136
Figura 65. Contraste entre el esfuerzo de control generado por el controlador FDMC y por el controlador PID desacoplado, en el modelo a escala para la neutralización del potencial de hidrógeno
0 2 4 6 8 10 120
20
40
60
80
100m
1(t
) [%
CO
]
0 2 4 6 8 10 12 140
20
40
60
80
100
Tiempo [dias]
m2(t
) [%
CO
]
m2PID(t)
m2FDMC(t)
m1PID(t)
m1FDMC(t)
Por su parte el esfuerzo de control FDMC fue mas lento, con lo que se puede
afirmar que es amigable con la vida útil del elemento final de control.
10.2 EVALUACIÓN SOBRE EL MODELO A ESCALA DE UN REACTOR
EXOTÉRMICO CONTINUAMENTE AGITADO
Ejercicio similar se efectuó en el modelo a escala de un reactor químico
exotérmico continuamente agitado. Los resultados obtenidos, y registrados en la
Figura 71 y 72, demuestran que mientras las variables controladas en el lazo sean
137
de comportamiento lento, la propuesta PID desacoplado podrá ser tan exitosa
como se le ajuste en sus factores de escalamiento. A partir de la Figura 66 se
observa como la propuesta PID desacoplada logra mantener la variable controlada
en el punto de control indicado por la simulación, con algunos picos de amplitud en
breves instantes de tiempo durante el ejercicio de control. Por su parte la
propuesta FDMC en este nuevo escenario se conserva como una estrategia de
control lenta y de comportamiento irregular durante el ejercicio de control.
Figura 66. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador FDMC y del controlador PID desacoplado, para cambios en la concentración de los productos, y su incidencia en la temperatura de la mezcla reactiva
0 5 10 15 20 25 30 35 40140
145
150
155
160
165
Tiempo [dias]
Tepera
tura
[°F
]
TemperaturaSet(t)
TemperaturaPID(t)
TemperaturaFDMC(t)
138
Figura 67. Contraste entre el rendimiento dinámico del controlador FDMC y del controlador PID desacoplado, para cambios en la concentración de los productos
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
Tiempo [dias]
cB(t
) [lbm
ole
/ft3
]
cBSet(t)
cBPID(t)
cBFDMC(t)
En la Figura 67 se observa como la estrategia FDMC durante el primer intervalo
de la prueba, sostiene un comportamiento ágil al compensar por cada cambio en
el punto de control. Empero, con el paso de cada cambio en el set point, la
estrategia se vuelve más lenta; en dos cambios del punto de operación la
estrategia no logró converger a la nueva condición indicada en el tiempo que le fue
permitido.
139
Figura 68. Contraste entre el esfuerzo de control del FDMC y del PID desacoplado, para el modelo a escala de un reactor químico exotérmico continuamente agitado
0 5 10 15 20 25 30 35 400
20
40
60
80
100m
1(t
) [%
CO
]
0 5 10 15 20 25 30 35 4020
40
60
80
100
Tiempo [dias]
m2(t
) [%
CO
]
m2PID(t)
m2FDMC(t)
m1PID(t)
m1FDMC(t)
Todo esto significa que la propuesta de supervisión, y soportado en el efecto que
se surte al manipular progresivamente los factores móviles de supresión, para un
modelo de proceso de respuesta lenta, se convierta en un controlador
progresivamente lento. Esta situación puede mejorarse si se prescinde de
emplear un supervisor y emplear un algoritmo DMC sintonizado con las
ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, tal y como se observa en la Figura 69 y la Figura
70.
140
Empero, el que en la simulación se obtenga un controlador que sigue fielmente al
punto de operación no significa que al momento de implementar la estrategia sea
la mejor opción.
Figura 69. Contraste entre el rendimiento dinámico de la estrategia FDMC y DMC, sintonizadas con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, y la estrategia PID desacoplada, para cambios en la concentración de los productos
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
Tiempo [dias]
cB(t
) [lbm
ole
/ft3
]
cBSet(t)
cBPID(t)
cBFDMC(t)
cBDMC(t)
En la Figura 68 se observa como la señal de control PID desacoplada generó
cambios agresivos en la misma señal, lo que se traduce en una reducción de la
vida útil del elemento final de control. Por su parte el controlador FDMC generó
una señal de control de transición suave, no solo gracias a los cambios sucesivos
141
en los factores de supresión, sino también en la constante de tiempo del modelo
interno del proceso.
Figura 70. Contraste entre el rendimiento dinámico de la estrategia FDMC y DMC, sintonizadas con las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán, y la estrategia PID desacoplada, para cambios en la concentración de los productos, y su incidencia en la temperatura de la mezcla reactiva
0 5 10 15 20 25 30 35 40140
145
150
155
160
165
Tiempo [dias]
Tem
pera
tura
[°F
]
TemperaturaSet(t)
TemperaturaPID(t)
TemperaturaFDMC(t)
TemperaturaDMC(t)
10.3 OBSERVACIONES FINALES
La propuesta FDMC 2 × 2 logró controlar un proceso de neutralización del
potencial de hidrógeno a pesar de las fuertes interacciones entre cada variable
controlada. El controlador PID desacoplado ofreció un mejor rendimiento en un
142
proceso donde las interacciones son menos fuertes y el modelo de proceso es de
respuesta lenta.
Tabla 9. Contraste entre los índices de seguimiento de las estrategias FDMC, DMC básico, y PID desacoplado
Estrategia IAE1
[m × min.] IAE2
[pH × min.] IAE1
[lbmole × min.] IAE2
[°F × min.]
DMC Gutiérrez-Sanjuán
– – 281.86 26000
FDMC 33.82 1517.5 1112.6 4915.8 PID
Desacoplado 13.91 2806.4 14.31 2474.7
La robustez de la propuesta FDMC, manifestada en las protecciones contra ruido
eléctrico, en el escenario de un proceso de respuesta lenta, conlleva a una
estrategia de control limitada en el tiempo requerido para converger al nuevo
punto de proceso.
En esta condición preparar un algoritmo de control más simple, como el algoritmo
de control de matriz dinámica sintonizado por las ecuaciones Gutiérrez-Sanjuán,
se convierte en una estrategia atractiva y efectiva en contraste con el rendimiento
de una estrategia clásica como el PID desacoplado.
143
11. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
El efecto de las no linealidades inherentes a un proceso industrial afecta el
rendimiento en lazo cerrado de la estrategia de control DMC que, basada en
modelos lineales de la respuesta dinámica del proceso, predice del
comportamiento futuro del proceso para estimar los valores presentes y futuros de
las acciones de control requeridas para alcanzar a un comportamiento en lazo
cerrado determinado. Es así como las estrategias de supervisión inteligente para
los factores característicos de la estrategia DMC son parte de un primer conjunto
de intentos de adaptación simple frente a las no linealidades del proceso.
La implementación de un esquema simple de supervisión escalonada para los
factores de supresión de un algoritmo DMC satisface las premisas planteadas en
la hipótesis de la investigación, ya que con una pequeña cantidad de bucles y
direcciones de memoria se puede generar una protección primaria frente a los
efectos de las no linealidades del proceso, aunque se puede degenerar el
rendimiento en lazo cerrado al de un controlador de ganancia pura.
Satisfaciendo un criterio de optimización, la estrategia de supervisión inteligente
basada en un motor de inferencia difusa, y robustecida con un sistema de filtrado
digital, logró un rendimiento dinámico mejorado respecto al ofrecido por el uso de
la estrategia supervisada de forma escalonada, y frente a la referencia PID
desacoplada para modelos de proceso de dimensiones 2 × 2.
144
Cada propuesta puede mejorar el rendimiento global de la estrategia DMC,
empero la adecuada sintonización inicial se convierte en la piedra angular de la
propuesta que aunque procura satisfacer la hipótesis planteada sigue estando
expuesta a una identificación fuera de línea sensible a la no linealidad del proceso
alrededor del punto de identificación. Convendría entonces el evaluar la estructura
de la estrategia de sintonización propuesta en esta investigación para cuando las
relaciones retraso a constante de tiempo son pequeñas.
Como recomendación final, la implementación física tanto de la estrategia DMC
como de las estrategias de supervisión se hace necesaria no solo para verificar los
resultados obtenidos en esta investigación, sino para valorar la verdadera
reducción de costos en dispositivos físicos, capacidad de procesamiento y de
memoria, respecto a otras propuestas de adaptación.
Se puede afirmar que la propuesta es económica en el uso de recursos pues el
mecanismo de supervisión solo actúa para ciertos instantes de tiempo; empero,
cuantificar los recursos necesarios para mencionados instantes de tiempo se
puede lograr solo bajo la implementación física de la propuesta.
145
12. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
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[34] SCHOTT, K. D. and BEQUETTE, B. W. Control of nonlinear chemical
processes using multiple-model adaptive control (MMAC). Paper presented at the
AIChE Annual Meeting 1994. San Francisco, CA. Original no consultado.
Resumen en: A multiple model adaptive strategy for DMC. Denver, Colorado
(June, 2003); p. 2497–2502.
150
[35] SHINSKEY, F. G. Putting controllers to the test. En : Chemical Engineering.
(December, 1990); p. 96–106.
[36] SHRIDHAR, Rahul and COOPER, Douglas J. A Tuning Strategy for
Unconstrained Multivariable Model Predictive Control. En : Ind. Eng. Chem. Res.
Vol. 37, No. 10 (1998); p. 4003–4016.
[37] –––––––– and ––––––––. Selection of the move suppression coefficients in
tuning dynamic matrix control. En : Proceedings of the American Control
Conference. Albuquerque, New Mexico (June, 1997); p. 729–733.
[38] TAKATSU, Haruo and ITOH, Toshiaki. Future needs of control theory in
industry – report of the control technology survey in Japanese industry. En : IEEE
Transactions on Control Systems Technology. Vol. 7 No. 3 (May, 1999); p. 298–
305.
[39] TOWNSEND, Shane et al. Nonlinear dynamic matrix control using local
models. En : Proceedings of the American Control Conference. Philadelphia,
Pennsylvania (June, 1998); p. 801–805.
[40] YOON, T. W. et al. Adaptive predictive control of a distillation column. En :
International Journal of Applied Mathematics and Computers Science. Vol. I No. 9
(1999); p. 193-206. Original no consultado. Resumen en: A multiple model
adaptive strategy for DMC. Denver, Colorado (June, 2003); p. 2497–2502.
[41] ZOU, J. and GUPTA, Y. P. An adaptive single prediction controller. En :
Control Intelligent Systems. Vol. 3 No. 27 (1999); p. 132-139. Original no
consultado. Resumen en: A multiple model adaptive strategy for DMC. Denver,
Colorado (June, 2003); p. 2497–2502.
151
[42] ANTON, Howard. Introducción al álgebra lineal. Tercera edición. Méjico DF :
Limusa Wiley, 2004. 726 p.
[43] ISAI VIÑUELA, Pedro y GALVÁN LEÓN, Inés M. Redes de neuronas
artificiales: un enfoque práctico. Madrid, España : Pearson, 2004. 229 p.
[44] MONTGOMERY, Douglas C. Diseño y análisis de experimentos. Segunda
edición. Méjico DF : Limusa Wiley, 2004. 686 p.
[45] SMITH, Carlos and CORRIPIO, Armando. Principles and practice of
automatic process control. Second Edition. Wiley and Sons, 1997. p. 673.
152
ANEXO 1. MODELO PARA LA NEUTRALIZACIÓN DEL POTENCIAL DE
HIDRÓGENO
Un diagrama esquemático del proceso a escala para la neutralización de pH se
presenta en la Figura 71. El proceso consta de tres líneas de alimentación, la
primera corresponde a la línea de ácido NHO3 (f1), la cual es regulada a través de
una válvula de control proporcional; la segunda línea corresponde al buffer
NaHCO3 (f2), el cual es regulado bajo la observación de un rotámetro; finalmente,
la tercera línea corresponde al fluido básico NaOH (f3), el cual es regulado a través
de una válvula de control proporcional.
Antes de llegar al reactor, el fluido ácido se lleva a un tanque que opera como un
filtro frente a cambios bruscos en el caudal ácido. Una vez el NHO3 ingresa al
tanque reactor, éste se encuentra con el buffer, con el cual reacciona inicialmente,
antes de reaccionar con la base que también ingresa directamente al reactor. De
esta forma se liberan los iones de hidrógeno, que son desalojados del reactor a
través de una línea de escape, cuyo flujo es regulado a través de una válvula
manual. El objetivo del lazo de control es mantener la concentración de iones de
hidrógeno en el nivel deseado, asegurando un pH de 7.
El modelo dinámico del proceso que se presentan a continuación está basado en
el desarrollo de M. A. Henson, y D. E. Seborg (1994), cuyo eje central se basa en
la creación de unos invariantes, a través de los cuales, se modela la concentración
de iones que no se altera en cada caudal del sistema. Las reacciones químicas
que se desarrollan están en (A1.1) a (A1.3)
153
Figura 71. Modelo a escala de un reactor para la neutralización del potencial de hidrógeno
h1(t)
h2(t)
h3
f1(t)
f1e(t)
HNO3
NaHCO3
NaOH
f2(t)
f3(t)
f(t)
pH(t)
LP
m1(t) m2(t)
HHCOCOH332 (A1.1)
HCOHCO33 (A1.2)
HOHOH2 (A1.3)
Las constantes de equilibrio correspondientes son:
32
31
COH
HHCOKa (A1.4)
154
3
32
HCO
HCOKa (A1.5)
OHHKw (A1.6)
El equilibrio químico es modelado a partir de la definición de dos reacciones de
invariantes, para cada línea de entrada:
IiiiaCOHCOOHHW
3312 (A1.10)
iiibiCOHCOCOHW
3332 (A1.11)
Donde el subíndice i se refiere a cada línea de entrada así: i = 1 se refiere a la
línea de HNO3, i = 2 se refiere a la línea de NaHCO3, i = 3 se refiere a la línea de
NaOH. El invariante Wa se refiere a la cantidad de carga presente en el flujo,
mientras que Wb representa la concentración de iones CO3=.
El modelo dinámico empieza con el balance general de masa en el reactor.
dt
tdhAtftftftf 2
321 (A1.12)
155
Válvulas de control automático
tmf
tfdt
tdfv 1
max
11
11
100 (A1.13)
tmf
tfdt
tdfv 2
max
33
32
100 (A1.14)
Válvula manual a la salida del reactor
n
v hthCtf 32
' (A1.15)
Nivel de pH a la salida del reactor
HtpH10
' log (A1.16)
Retraso por transporte
tttpHtpH0
'
(A1.17)
156
Tiempo muerto
tf
ALtt
pp
4
0 (A1.18)
Relación de efluentes de pH
0
1
2
4
2
211
2
211
4H
H
KtW
H
KK
H
K
H
KK
H
K
tW w
a
aaa
aaa
b
(A1.19)
Relación de efluentes para la reacción de los invariantes
tftWtfW
tfWtfWtWthdt
dA
aa
aeaa
4433
2211422
(A1.20)
tftWtfW
tfWtfWtWthdt
dA
bb
bebb
4433
2211422
(A1.21)
157
Tabla 10. Valores de estado estable para el modelo de neutralización del potencial de hidrógeno
Dispositivo Variable Valor Unidades
Tanque de
Reacción
A2 0.5327 m2
h2 1.8772 m
h3 0.1 m
Flujo
f1 30 × 10-3 m3/min.
f1max 60 × 10-3 m3/min.
f2 0.994 × 10-3 m3/min.
f3 28.1928 × 10-3 m3/min.
f3max 56.3856 × 10-3 m3/min.
Válvula manual n 0.607
C’v 0.0391 m3/min–m1/2
Válvula de control v1 0.1 min.
v2 0.1 min.
Sensores t1 0.25 min.
t2 0.25 min.
Tubería de salida ApLp 0.1184 m3
Invariantes
Wa1 0.003 M
Wa2 -0.03 M
Wa3 -0.00305 M
Wa4 -4.303·10-4 M
Wb1 0 M
Wb2 0.03 M
Wb3 5·10-5 M
Wb4 5.2763·10-4 M
Constantes de
Equilibrio
Ka1 4.47·10-7
Ka2 5.62·10-11
Kw 1·10-14
pH pH 7.0302
158
ANEXO 2. REACTOR QUÍMICO CONTINUAMENTE AGITADO
El sistema de la Figura 72 es un tanque reactor continuamente. Dentro del reactor
ocurren dos reacciones simultáneamente como se indica a continuación.
CBA2 (A2.1)
EBC2 (A2.2)
La reacción A2.0 es una reacción endotérmica con un calor de reacción dado. El
calor de reacción de la reacción A2.1 es despreciable. Las tasas de reacción están
dadas por las siguientes expresiones.
TRTE
BAA etctcktr 0 (A2.3)
tctcktr cAC
'
0 (A2.4)
El ingeniero de planta ha indicado que la variable de proceso es la concentración
del reactivo B, tcB . Es factible la manipulación del caudal de vapor que ingresa
al serpentín para el calentamiento de la mezcla reactiva, al igual que el caudal de
solvente puro, para el caso agua purificada. El sistema funciona por
desbordamiento y las expresiones dinámicas del proceso se exponen a
continuación.
159
Figura 72. Modelo del reactor químico continuamente agitado
m1(t)
m2(t)
T2(t), f2(t), cT1(t), f1(t), Ca(t), co
T(t), f(t), c
w(t)
Balance de masa en estado transitorio.
00210 tfttftf w (A2.5)
Balance molar para B en estado transitorio.
tcdt
dVtftctrVtrV BRBcRAR
2
1
2
1 (A2.6)
Tasas de reacción.
TRTE
BA
a
A etctcktr 0 (A2.7)
tctcktr CA
c
C 0 (A2.8)
Balance molar para A en estado transitorio.
160
tcdt
dVtftctrVtftc ARAARa 1 (A2.9)
Balance molar para C en estado transitorio.
tcdt
dVtftctrVtrV CRCcRAR
2
1 (A2.10)
Balance de energía en estado transitorio al interior del reactor
tTdt
dVctTtfctTtTAU
HtrVtTtfctTctf
RvwT
RAARww
000
221010
(A2.11)
Balance de energía en estado transitorio para el serpentín.
tTdt
dCtTtTAUhtw wMwTfg 0 (A2.12)
Válvulas de control automático.
1001
max
222
1
1 tm
v ftfdt
tdf (A2.13)
1100
2
max
21
1 tm
v wtwdt
tdw (A2.14)
161
Tabla 11. Valores de estado estable para el modelo de un reactor químico continuamente agitado
Dispositivo Variable Valor Unidades
Serpentín
Longitud 240 pies
Uo 5.25 Btu/(min–pies2–°F)
cP 0.14 Btu lb °F
OD 4.5 Pulgadas
Peso 11.2 lb/pie
Reactivos
E 27820 Btu/ lbmol
R 1.987 Btu / (lbmol °R)
kco 8.5x109 ft3/(lbmol B min)
ka0 4.1x101 ft3/(lbmol A min)
HRA 1000 Btu/ lbmolA
Válvulas de control automático
v1 0.25 min.
v2 0.25 min.
1 25
2 100
Línea de alimentación
ρ0 68 lb/ft3
cP 0.85 Btu/lbm ºF
cV 0.82 Btu/lbm ºF
Línea de vapor λ 966 Btu/lbm
Agua cP=cV 1 Btu/lbm ºF
ρw 62.4 lbm/ft3
Producto cP=cV 0.9 Btu/lbm ºF
Reactor VR 750 ft3
Estado estable
f1 18 ft3/min
f2 14 ft3/min
T1 140 ºF
T2 85 ºF
cAi 0.95 lbmol A/ft3
w 40 lbm/min
162
ANEXO 3. ALGORITMO DE SUPERVISIÓN ESCALONADO
A continuación el algoritmo en lenguaje de Matlab para la supervisión escalonada
de los factores móviles de supresión de un controlador dinámico matricial.
function phi = scaledsup(cset1,cset2,c1,c2,time,Ts)
%
% % PHI = SCALEDSUP(CSET1,CSET2,C1,C2,TIME,TS)
% % SCALEDSUP es una función que ejecuta un supervisor para un controlador DMC
% multivariable (2x2). La función detecta los cambios en los valores deseados de % cada lazo controlado, y a partir de estos cambios decide si debe amplificarse o
% atenuarse el valor ajustado a los factores móviles de supresión.
% % CSET1, CSET2 son los valores deseados para cada lazo controlado, mientas
% que C1, C2 son los valores medidos de las variables controladas a través % de los sensores transmisores.
%
% PHI es un vector de dimensión 1x2 en cuya primera posición contiene el % valor por el cual debe atenuarse o amplificarse el primer factor móvil de
% supresión, mientras que en la segunda posición tenemos el valor por el % cual debe atenuarse o amplificarse el segundo factor móvil de supresión.
%
% TIME es el reloj del sistema %
% TS es el período de muestreo ajustado al algoritmo DMC %
% % *************************************
% * Propiedad intelectual de: *
% * ALFREDO ANDRES GUTIERREZ VIVIUS * % * Ingeniero Electronico *
% * Barranquilla Colombia * % * Diciembre de 2005 *
% *************************************
163
% Se ajustan variables globales
global flag_z flag_e flag_c phi c1v c2v cset1_p cset2_p next_sup
% Condiciones de funcionamiento si la bandera de cero esta activa
if flag_z == 1
% Se verifica si se ha producido un cambio en los valores deseados de
% las variales controladas
test_1 = abs(cset1 - cset1_p);
test_2 = abs(cset2 - cset2_p); phi = [1 1];
if test_1 == 0 & test_2 == 0
% Si no se ha producido cambio alguno en los valores deseados % entonces se actualizan las memorias con los valores actuales
% ajustados.
cset1_p = cset1;
cset2_p = cset2;
elseif test_1 > 1 | test_2 > 1
% Si se ha producido un cambio en alguno de los dos valores
% deseados para las variables controladas, entonces se procede a % encender la bandera de espera, y apagar la bandera de zero
flag_z = 0;
flag_e = 1;
% Se ajustan los vectores que nos indicarán cuando debemos salir
% del modo de espera y pasar al modo de cálculo. Los vectores % almacenarán hasta 25 posiciones de memoria, que inicialmente se
% hallan llenas con ceros.
c1v = zeros(1,25);
c2v = zeros(1,25);
% Se ajusta seguro de funcionamiento y disparo seguro del % supervisor
next_sup = time;
end end
if flag_e == 1
164
% Si el modo de espera esta activo entonces se almacena en los vectores % de memoria FIFO el valor actual entregado por cada sensor instalado.
c1v_u = [c1, c1v(1:24)]; c2v_u = [c2, c2v(1:24)];
% Comparamos la información almacenada en la primera posición de
% memoria de los vectores con la información almacenada en la última % posición de memoria de cada vector respectivamente.
test_3 = abs(c1v_u(1) - c1v_u(25)); test_4 = abs(c2v_u(1) - c2v_u(25));
if (test_3 < 1 & test_4 < 1) | time >= next_sup + 30*Ts
% Si la comparación arroja que ambos valores son iguales, entonces % debemos salir del modo de espera y encender el modo de cálculo
flag_e = 0;
flag_c = 1;
elseif test_3 > 1 | test_4 > 1
% Si la comparación arroja que los valores son distintos, entonces
% debemos salvar la información almacenada en los vectores de % memoria FIFO
c1v = c1v_u; c2v = c2v_u;
end
end
if flag_c == 1
% Si el modo de cálculo está encendido entonces debe mos proceder a
% determinar en cuanto fue el cambio producido por los valores deseados % de las variables controladas.
dcset1 = cset1 - cset1_p; dcset2 = cset2 - cset2_p;
% Luego a partir de las posibles combinaciones entonces se indica en
% cuanto debe amplificarse o atenuarse los valores iniciales ajustados
% a los factores móviles de supresión del DMC.
if dcset1 == 0 if dcset2 == 0
phi1 = 1; phi2 = 1;
elseif dcset2 > 0
165
phi1 = 1; phi2 = 1.5;
elseif dcset2 < 0
phi1 = 1; phi2 = 1.5;
end end
if dcset1 > 0 if dcset2 == 0
phi1 = 0.5;
phi2 = 1.25; elseif dcset2 > 0
phi1 = 0.5; phi2 = 1.5;
elseif dcset2 < 0
phi1 = 0.5; phi2 = 1.5;
end end
if dcset1 < 0 if dcset2 == 0
phi1 = 1.5;
phi2 = 1.25; elseif dcset2 > 0
phi1 = 1.5; phi2 = 1.5;
elseif dcset2 < 0
phi1 = 1.5; phi2 = 1.5;
end end
% Se entregan los valores de los factores de escalamiento
phi = [phi1 phi2];
% Se apagan las banderas de espera y de cálculo para encender % nuevamente la bandera de cero.
flag_c = 0; flag_e = 0;
flag_z = 1;
% Se actualizan las memorias sobre los valores deseados para cada
% variable controlada
cset1_p = cset1; cset2_p = cset2;
% Se limpian los vectores de memoria FIFO con los valores actuales
% indicados por los sensores instalados en cada lazo de control
166
c1v = c1*ones(1,25);
c2v = c2*ones(1,25);
end
167
ANEXO 4. ALGORITMO DE SUPERVISIÓN DIFUSA
A continuación el algoritmo de supervisión inteligente basada en un motor de
inferencia difusa para la supervisión en línea de los factores móviles de supresión
de un algoritmo de control dinámico matricial.
function phi = fdmc(cset1,cset2,c1,c2,time,Ts)
%
% PHI = FDMC(CSET1,CSET2,C1,C2,TIME,TS) %
% FDMC es una función que ejecuta un supervisor para un controlador DMC % multivariable (2x2), basado en un esquema de inteligencia artificial
% basado en algoritmos de lógica difusa.
% % La función detecta los cambios en los valores deseados de cada lazo
% controlado, y a partir de estos cambios decide la cantidad de datos que % deben ser almacenados en vectores alternos, información concerniente al
% comportamiento de la dinámica en lazo cerrado del sistema. %
% A partir de este vector de datos se busca caractericar la respuesta
% dinámica del sistema a partuir del factor de supresión que exhiba el % vector de datos. Con esta información, y un motor de inferencia basado
% en lógica difusa, se estima en cuanto debe aumentar o disminuir el valor % actual ajustado a cada factor movil de supresión del lazo de control
%
% CSET1, CSET2 son los valores deseados para cada lazo controlado, mientas % que C1, C2 son los valores medidos de las variables controladas a través
% de los sensores transmisores. %
% PHI es un vector de dimensión 1x2 en cuya primera posición contiene el
% valor por el cual debe atenuarse o amplificarse el primer factor móvil de % supresión, mientras que en la segunda posición tenemos el valor por el
% cual debe atenuarse o amplificarse el segundo factor móvil de supresión. %
168
% TIME es el reloj del sistema %
% TS es el período de muestreo ajustado al algoritmo DMC
% %
% ************************************* % * Propiedad intelectual de: *
% * ALFREDO ANDRES GUTIERREZ VIVIUS * % * Ingeniero Electronico *
% * Barranquilla Colombia *
% * Diciembre de 2005 * % *************************************
%
% Se ajustan variables globales
global flag_z flag_e flag_c phi c1v c2v c1d c2d cset1_p cset2_p indice global next_sup
% Condiciones de funcionamiento si la bandera de cero esta activa
if flag_z == 1
% Se verifica si se ha producido un cambio en los valores deseados de % las variales controladas
test_1 = abs(cset1 - cset1_p); test_2 = abs(cset2 - cset2_p);
phi = [0 0];
if test_1 == 0 & test_2 == 0
% Si no se ha producido cambio alguno en los valores deseados
% entonces se actualizan las memorias con los valores actuales % ajustados.
cset1_p = cset1;
cset2_p = cset2;
elseif test_1 > 1 | test_2 > 1
% Si se ha producido un cambio en alguno de los dos valores
% deseados para las variables controladas, entonces se procede a
% encender la bandera de espera, y apagar la bandera de zero
flag_z = 0; flag_e = 1;
% Se ajustan los vectores que nos indicarán cuando debemos salir
% del modo de espera y pasar al modo de cálculo. Los vectores
169
% almacenarán hasta 25 posiciones de memoria, que inicialmente se % hallan llenas con ceros.
c1v = zeros(1,25); c2v = zeros(1,25);
c1d = 0; c2d = 0;
indice = 1; next_sup = time;
end end
if flag_e == 1
% Si el modo de espera esta activo entonces se almacena en los vectores % de memoria FIFO el valor actual entregado por cada sensor instalado.
c1v_u = [c1, c1v(1:24)];
c2v_u = [c2, c2v(1:24)]; c1d(indice) = c1;
c2d(indice) = c2;
indice = indice + 1;
% Comparamos la información almacenada en la primera posición de % memoria de los vectores con la información almacenada en la última
% posición de memoria de cada vector respectivamente.
test_3 = abs(c1v_u(1) - c1v_u(25));
test_4 = abs(c2v_u(1) - c2v_u(25));
if (test_3 < 1) & (test_4 < 1) | time >= next_sup + 50*Ts
% Si la comparación arroja que ambos valores son iguales, entonces
% debemos salir del modo de espera y encender el modo de cálculo
flag_e = 0; flag_c = 1;
elseif test_3 > 1 | test_4 > 1
% Si la comparación arroja que los valores son distintos, entonces % debemos salvar la información almacenada en los vetores de
% memoria FIFO
c1v = c1v_u;
c2v = c2v_u;
end end
170
if flag_c == 1
% Si el modo de cálculo está encendido entonces debe mos proceder a
% determinar en cuanto fue el cambio producido por los valores deseados % de las variables controladas.
dcset1 = abs(cset1 - cset1_p);
dcset2 = abs(cset2 - cset2_p);
% Luego a partir de las posibles combinaciones entonces se indica en
% cuanto debe aumentarse o disminuir los valores iniciales ajustados % a los factores móviles de supresión del DMC, previa supervisión de un
% motor de inferencia basado en lógica difusa.
if dcset1 == 0
if dcset2 == 0
phi1 = 0;
phi2 = 0;
elseif dcset2 > 0
% En caso que se haya producido un cambio efectivo en algún
% valor deseado para la variable controlada, entonces procede % el cálculo del factor de amortiguamiento, propio de la
% dinámica del sistema analizado
% Se calcula el factor de amortiguamiento para el primer lazo
% de control a partir del concepto de una perturbación
damper1 = damping(c1d,cset1,2);
% Se calcula el valor del factor de amortiguamiento para el
% segundo lazo de control a partir del concepto de un cambio en % el valor deseado de la variable controlada
damper2 = damping(c2d,[cset2_p cset2],1);
% Se trabaja con un elemento no lineal que evita que el valor % entregado por la función de cálculo para el factor de
% amortiguamiento se salga de un rango que se extiende desde el % cero hasta la unidad
if damper1 > 1
damper1 = 1;
elseif damper1 < 0
damper1 = 0;
171
end
if damper2 > 1
damper2 = 1;
elseif damper2 < 0
damper2 = 0;
end
% Se convoca al motor de inferencia difuso
FDMC = readfis('FDMC');
% Se supervisa el comportamiento del sistema en lazo cerrado y % se determina en cuanto debe aumentar o atenuarse cada factor
% movil de supresión.
factores = evalfis([damper1 damper2],FDMC);
% Se entregan los valores de cambio
phi1 = factores(1);
phi2 = factores(2);
end
end
if dcset1 > 0
if dcset2 == 0
% En caso que se haya producido un cambio efectivo en algún % valor deseado para la variable controlada, entonces procede
% el cálculo del factor de amortiguamiento, propio de la
% dinámica del sistema analizado
% Se calcula el factor de amortiguamiento para el primer lazo % de control a partir del concepto de un cambio en el valor
% deseado de la variable controlada
damper1 = damping(c1d,[cset1_p cset1],1);
% Se calcula el factor de amortiguamiento para el segundo lazo
% de control a partir del concepto de una perturbación
damper2 = damping(c2d,cset2,2);
172
% Se trabaja con un elemento no lineal que evita que el valor
% entregado por la función de cálculo para el factor de
% amortiguamiento se salga de un rango que se extiende desde el % cero hasta la unidad
if damper1 > 1
damper1 = 1;
elseif damper1 < 0
damper1 = 0;
end
if damper2 > 1
damper2 = 1;
elseif damper2 < 0
damper2 = 0;
end
% Se convoca al motor de inferencia difuso
FDMC = readfis('FDMC');
% Se supervisa el comportamiento del sistema en lazo cerrado y
% se determina en cuanto debe aumentar o atenuarse cada factor
% movil de supresión.
factores = evalfis([damper1 damper2],FDMC);
% Se entregan los valores de cambio
phi1 = factores(1);
phi2 = factores(2);
elseif dcset2 > 0
% En caso que se haya producido un cambio efectivo en algún
% valor deseado para la variable controlada, entonces procede % el cálculo del factor de amortiguamiento, propio de la
% dinámica del sistema analizado
% Se calcula el factor de amortiguamiento para el primer lazo % de control a partir del concepto de un cambio en el valor
% deseado de la variable controlada
173
damper1 = damping(c1d,[cset1_p cset1],1);
% Se calcula el factor de amortiguamiento para el segundo lazo % de control a partir del concepto de un cambio en el valor
% deseado de la variable controlada
damper2 = damping(c2d,[cset2_p cset2],1);
% Se trabaja con un elemento no lineal que evita que el valor
% entregado por la función de cálculo para el factor de % amortiguamiento se salga de un rango que se extiende desde el
% cero hasta la unidad
if damper1 > 1
damper1 = 1;
elseif damper1 < 0
damper1 = 0;
end
if damper2 > 1
damper2 = 1;
elseif damper2 < 0
damper2 = 0;
end
% Se convoca al motor de inferencia difuso
FDMC = readfis('FDMC');
% Se supervisa el comportamiento del sistema en lazo cerrado y
% se determina en cuanto debe aumentar o atenuarse cada factor % movil de supresión.
factores = evalfis([damper1 damper2],FDMC);
% Se entregan los valores de cambio
phi1 = factores(1); phi2 = factores(2);
end
174
end
% Se trabaja con un elemento no lineal que evita que el valor entregado
% por el sueprvisor basado en lógica difusa para aumentar o disminuir % el valor ajustado a cada factor móvil de supresión del DMC para que
% no abandone un rango que se extiende desde el cero hasta la unidad
if phi1 > 1
phi1 = 1
elseif phi1 < -1
phi1 = -1;
end
if phi2 > 1
phi2 = 1
elseif phi2 < -1
phi2 = -1;
end
phi = [phi1 phi2];
% Se apagan las banderas de espera y de cálculo para encender % nuevamente la bandera de cero.
flag_c = 0; flag_e = 0;
flag_z = 1;
% Se actualizan las memorias sobre los valores deseados para cada % variable controlada
cset1_p = cset1; cset2_p = cset2;
% Se limpian los vectores de memoria FIFO con los valores actuales
% indicados por los sensores instalados en cada lazo de control
c1v = c1*ones(1,25);
c2v = c2*ones(1,25); c1d = 0;
c2d = 0;
end
175
ANEXO 5. ALGORITMO PARA EL CÁLCULO EN LÍNEA DEL FACTOR DE
AMORTIGUAMIENTO
A continuación el algoritmo para el cálculo en línea del factor de amortiguamiento
de una respuesta dinámica.
function dampval = damping(c,cset,flag) %
%DAMPVAL = DAMPING(C,CSET,FLAG)
% % DAMPING es una función que evalúa en línea el valor del factor de
% amortiguamiento de la respuesta dinámica de un lazo de control cerrado, % operado por un controlador DMC multivariable.
%
% FLAG es un indicador de si la valoración del factor de amortiguamiento de % la respuesta dinámica de sistema se realizará sobre una respuesta que ha
% percibido una perturbación, o si lo hará sobre una respuesta generada a % causa de un cambio en el valor deseado de la variable controlada.
% % Si FLAG es 1 entonces se calcula el valor del factor de amortiguamiento
% para cuando se ha producido un cambio en el valor deseado, mientras que
% si FLAG es 2 entonces se calcula el valor del factor de amortiguamiento % para cuando se ha producido una perturbación en el lazo.
% % C es un vector que contiene las muestras de la respuesta dinámica a la
% que se le evalúa el valor del coeficiente de amortiguamiento.
% % CSET es un vector que contiene el valor pasado y el valor actual que le
% fue ajustado a valor deseado del lazo controlado. Para cuando se evalúa % el valor del factor de amortiguamiento a causa de un cambio en el valor
% deseado de la variable controlada, CSET es un vector con dos datos
% CSET[n-1] y CSET[n]. %
% Para cuando se evalúa el valor del factor de amortiguamiento a causa de % una perturbación, CSET es un valor, el valor actual ajustado al valor
176
% deseado de la variable controlada.
% %
% ************************************* % * Propiedad intelectual de: *
% * ALFREDO ANDRES GUTIERREZ VIVIUS *
% * Ingeniero Electronico * % * Barranquilla Colombia *
% * Diciembre de 2005 * % *************************************
%
% Se activa el interruptor que evalua la condicion a analizar
switch flag
% Si se quiere calcular el valor del factor de amortiguamiento a causa
% de un cambio en el valor deseado de la variable controlada.
case 1
% Se determinan las dimensiones del vector de datos.
ub = max(size(c));
lb = 1;
% Se genera una memoria que almacene el primer dato del vector de
% datos suministrado
memoria = c(1);
% Se genera un dato falso para evitar que en un búsqueda no se
% obtenga el valor maximo buscado
maximo = 1;
% Se evalúa si el cambio producido en el valor deseado de la
% variable controlada es hacia un sentido positivo, o hacia un % sentido negativo.
if c(ub) > c(1)
% En caso de que el cambio se produzca en sentido positivo % entonces procedemos a buscar el primer maximo de la respuesta
% dinámica almacenada en C.
for k = 1 : ub - lb - 1
% A pesar de que el vector de datos suministrado proviene
177
% de un filtro, se genera un umbral de decisión a partir
% del cual se tendran en cuenta los valores almacenados en % el vector de datos. Si las diferencias entre valores
% sucesivos es inferior a este umbral, entonces se % considerará como ruido.
if abs(memoria - c(k)) > 0.5
if c(k) > memoria
maximo = c(k); memoria = c(k);
elseif c(k) < memoria
% Si ya se encontró el primer maximo podemos % terminar la búsqueda.
break
end
end
end
elseif c(ub) < c(1)
% En caso de que el cambio se produzca en sentido negativo,
% entonces procedemos a buscar el primer minimo de la respuesta
% dinámica almacenada en C.
for k = 1 : ub - lb - 1
% A pesar de que el vector de datos suministrado proviene
% de un filtro, se genera un umbral de decisión a partir % del cual se tendran en cuenta los valores almacenados en
% el vector de datos. Si las diferencias entre valores % sucesivos es inferior a este umbral, entonces se
% considerará como ruido.
if abs(memoria - c(k)) > 0.5
if c(k) < memoria
maximo = c(k);
memoria = c(k);
elseif c(k) > memoria
178
% Si ya se encontró el primer minimo, podemos % terminar la búsqueda.
break
end
end
end
end
% Es posible que no se halle un máximo dentro de los vectores
% obtenidos. En ese caso se asume una respuesta extremadamente % lenta.
if maximo == 1
dampval = 1;
elseif abs(cset(2) - maximo) < 0.5
% Es posible que la respuesta ajustada sea muy lenta, en cuyo
% caso podemos obviar el cálculo del factor de amortiguamiento % podemos aproximarlo a un valor característico de estas
% respuestas.
dampval = 0.8;
elseif abs(cset(2) - maximo) > 0.5
% Se calcula el valor del cambio en el valor deseado de la
% variable controlada
A = abs(cset(1) - cset(2));
% Se calcula la desviación del valor maximo hallado, respecto % al valor deseado de la variable de proceso
D = abs(maximo - cset(2));
% Se calcula el valor del factor de amortiguamiento a partir % del concepto del sobre impulso.
dampval = -log(D/A)/sqrt(pi^2+log(D/A)^2);
179
end
% Se borra la memoria del valor maximo para la próxima búsqueda
clear datos maximo
% Si se quiere calcular el valor del factor de amortiguamiento a % causa de una perturbación inducida en el lazo controlado.
case 2
% Se determinan las dimensiones del vector de datos suministrado
ub = max(size(c)); lb = 1;
% Se genera una memoria que almacene el primer dato del vector
% suministrado
memoria_up = c(1);
% Se genera un contador para conducir la búsqueda
contador_up = 1;
% Se genera un dato falso para evitar que en un búsqueda no se % obtenga el valor maximo buscado
maximo = 1;
% Si la respuesta del lazo es muy lenta, o si la perturbación solo % generó un poco de ruido en el lazo controlado, entonces podemos
% aproximar el factor de supresión a un valor lento estándar.
if abs(max(c) - cset) < 0.5
% En caso que el pico maximo no supere el umbral
dampval = 0.8;
elseif abs(max(c) - cset) < 0.5 & abs(min(c) - cset) < 0.5
% En caso que el pico maximo y el pico mínimo no superen el % umbral
dampval = 0.8;
elseif maximo == 1
180
% En caso que no se encuentre un maximo, se asume un
% amortiguamiento extremadamente lento
dampval = 1;
else
% En caso de que la perturbación haya generado pico mas altos
% del umbral.
for k = 1 : ub - lb - 1
% Buscamos los máximos que se presentaron dentro de la
% respuesta dinámica suministrada, siempre que la pendiente % de comportamiento sea positiva.
if c(k+1) - c(k) > 0
% Se evita que la búsqueda sea alterada por un ruido % que no supera un umbral de decisión.
if abs(memoria_up - c(k)) > 0.5
if c(k) > memoria_up
maximo(contador_up) = c(k); memoria_up = c(k);
elseif c(k) < memoria_up
% En caso que la pendiente de comportamiento se % haga negativa, entonces se suspende la
% búsqueda, se reinicia la memoria de maximo, y % se deja constancia de la omisión.
memoria_up = c(1); contador_up = contador_up + 1;
end
end
end
end
% Buscamos los primeros dos máximos hallados dentro del proceso
% anterior.
181
[R,V,S] = find(maximo,2,'first');
% En caso de que la búsqueda entregue dos maximos legibles y
% significativos.
if max(size(R))>1
B = S(1) - cset;
D = S(2) - cset;
elseif max(size(R))<2
% En caso de que solo se haya producido un maximo legible y
% significativo, se ajusta una factor de supresión % conocido.
B = S(1) - cset;
D = 0.707 * B;
end
% Se calcula el valor del factor de amortiguamiento a partir
% del concepto de la tasa de decaimiento.
dampval = -log(D/B)/sqrt(4*pi^2+log(D/B)^2);
end
% Se limpia la memoria de maximos
clear datos maximo
end end
182
ANEXO 6. TABLAS DE LOS ANÁLISIS DE VARIANZA PARA LOS DISEÑOS
EXPERIMENTALES I Y II
A continuación se reseñan las Tablas donde se consignan los resultados del
análisis de varianza para los Diseños Experimentales I y II.
Tabla 12 Análisis de varianza primer factor de supresión, Diseño Experimental I
Fuente de Variación
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad
Media de Cuadrados
Fo F P Decisión
D 389.54 1 389.54 6.80 6.74 9.66E-03 SI
G 418.88 1 418.88 7.32 6.74 7.32E-03 SI
H 748.16 1 748.16 13.07 6.74 3.65E-04 SI
K 746.26 1 746.26 13.03 6.74 3.71E-04 SI
L 3725.12 1 3725.12 65.06 6.74 3.28E-14 SI
M 4511.70 1 4511.70 78.80 6.74 1.52E-16 SI
AD 836.37 1 836.37 14.61 6.74 1.68E-04 SI
BK 746.26 1 746.26 13.03 6.74 3.71E-04 SI
CG 1502.70 1 1502.70 26.24 6.74 6.11E-07 SI
DJ 834.91 1 834.91 14.58 6.74 1.70E-04 SI
LM 1502.70 1 1502.70 26.24 6.7399 6.11E-07 SI
Error 13971.02 244 57.26
Total 29933.61 255
183
Tabla 13. Análisis de varianza segundo factor de supresión, Diseño Experimental II
Fuente de Variación
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad
Media de Cuadrados
Fo F P Decision
B 598.90 1 598.90 8.81 6.74 3.30E-03 SI
E 759.08 1 759.08 11.16 6.74 9.65E-04 SI
J 528.12 1 528.12 7.77 6.74 5.74E-03 SI
K 1817.43 1 1817.43 26.72 6.74 4.86E-07 SI
AJ 655.40 1 655.40 9.64 6.74 2.13E-03 SI
AK 619.04 1 619.04 9.10 6.74 2.82E-03 SI
BK 1817.43 1 1817.43 26.72 6.74 4.86E-07 SI
EJ 619.04 1 619.04 9.10 6.74 2.82E-03 SI
EK 655.40 1 655.40 9.64 6.74 2.13E-03 SI
Error 16729.81 246 68.01
Total 24799.64 255
Tabla 14. Análisis de varianza segundo factor de supresión, Diseño Experimental I
Fuente de Variación
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad
Media de Cuadrados
Fo F P Decisión
A 372.96 1 372.96 13.29 6.74 3.28E-04 SI
B 592.11 1 592.11 21.10 6.74 7.11E-06 SI
E 725.03 1 725.03 25.83 6.74 7.57E-07 SI
J 927.73 1 927.73 33.06 6.74 2.76E-08 SI
K 1444.40 1 1444.40 51.46 6.74 9.36E-12 SI
AE 386.80 1 386.80 13.78 6.74 2.56E-04 SI
AJ 854.46 1 854.46 30.44 6.74 9.01E-08 SI
AK 594.38 1 594.38 21.18 6.74 6.84E-06 SI
BE 504.61 1 504.61 17.98 6.74 3.21E-05 SI
BJ 535.99 1 535.99 19.10 6.74 1.86E-05 SI
BK 1444.40 1 1444.40 51.46 6.74 9.36E-12 SI
CD 683.86 1 683.86 24.37 6.74 1.51E-06 SI
CF 230.14 1 230.14 8.20 6.74 4.57E-03 SI
DM 288.90 1 288.90 10.29 6.74 1.52E-03 SI
EJ 594.38 1 594.38 21.18 6.74 6.84E-06 SI
EK 854.46 1 854.46 30.44 6.74 9.01E-08 SI
FG 280.19 1 280.19 9.98 6.74 1.79E-03 SI
FL 403.32 1 403.32 14.37 6.74 1.91E-04 SI
JK 386.80 1 386.80 13.78 6.74 2.56E-04 SI
Error 6623.62 236 28.07
Total 18728.53 255
184
Tabla 15. Análisis de varianza primer factor de supresión, Diseño Experimental II
Fuente de Variación
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad
Media de Cuadrados
Fo F P Decisión
H 1479.75 1 1479.75 26.85 6.74 4.64E-07 SI
K 1078.14 1 1078.14 19.56 6.74 1.47E-05 SI
L 3214.92 1 3214.92 58.33 6.74 5.14E-13 SI
M 3297.94 1 3297.94 59.83 6.74 2.78E-13 SI
AL 436.53 1 436.53 7.92 6.74 5.29E-03 SI
BK 1078.14 1 1078.14 19.56 6.74 1.47E-05 SI
CG 783.59 1 783.59 14.22 6.74 2.05E-04 SI
CL 472.49 1 472.49 8.57 6.74 3.74E-03 SI
DJ 666.77 1 666.77 12.10 6.74 5.99E-04 SI
DK 448.96 1 448.96 8.15 6.74 4.69E-03 SI
GM 472.49 1 472.49 8.57 6.74 3.74E-03 SI
HM 848.81 1 848.81 15.40 6.74 1.13E-04 SI
LM 783.59 1 783.59 14.22 6.74 2.05E-04 SI
Error 13339.03 242 55.12
Total 28401.14 255
Tabla 16. Factores significativos para cada factor móvil de supresión considerado
Diseño Experimental I Diseño Experimental II
Factor de Supresión
Factor Significativo
Factor de Supresión
Factor Significativo
1
K21
1
K11
21/ 21 K21
22/ 22 21/ 21
22/ 22
2
K11
2
K11 K12 K12
11/ 11 11/ 11
12/ 12 12/ 12